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Class 6 Exam > Class 6 Notes > आरएस अग्रवाल समाधान: गुणांक और गुणन (व्यायाम 2B)

आरएस अग्रवाल समाधान: गुणांक और गुणन (व्यायाम 2B) - Class 6 PDF Download

प्रश्न 1: निम्नलिखित संख्याओं का 2 से विभाज्यता परीक्षण करें:

(i) 2650 अंतिम अंक = 0 ∴ यह 2 से विभाज्य है।
(ii) 69435 अंतिम अंक = 5 ∴ यह 2 से विभाज्य नहीं है।
(iii) 59628 अंतिम अंक = 8 ∴ यह 2 से विभाज्य है।
(iv) 789403 अंतिम अंक = 3 ∴ यह 2 से विभाज्य नहीं है।
(v) 357986 अंतिम अंक = 6 ∴ यह 2 से विभाज्य है।
(vi) 367314 अंतिम अंक = 4 ∴ यह 2 से विभाज्य है।

प्रश्न 2: निम्नलिखित संख्याओं का 3 से विभाज्यता परीक्षण करें:

(i) 733 अंकों का योग = 7 + 3 + 3 = 13, जो 3 से विभाज्य नहीं है। ∴ 733, 3 से विभाज्य नहीं है।
(ii) 10038 अंकों का योग = 1 + 0 + 0 + 3 + 8 = 12, जो 3 से विभाज्य है। ∴ 10038, 3 से विभाज्य है।
(iii) 20701 अंकों का योग = 2 + 0 + 7 + 0 + 1 = 10, जो 3 से विभाज्य नहीं है। ∴ 20701, 3 से विभाज्य नहीं है।
(iv) 524781 अंकों का योग = 5 + 2 + 4 + 7 + 8 + 1 = 27, जो 3 से विभाज्य है। ∴ 524781, 3 से विभाज्य है।
(v) 79124 अंकों का योग = 7 + 9 + 1 + 2 + 4 = 23, जो 3 से विभाज्य नहीं है। ∴ 79124, 3 से विभाज्य नहीं है।
(vi) 872645 अंकों का योग = 8 + 7 + 2 + 6 + 4 + 5 = 32, जो 3 से विभाज्य नहीं है। ∴ 872645, 3 से विभाज्य नहीं है।

प्रश्न 3: निम्नलिखित संख्याओं का 4 से विभाज्यता परीक्षण करें:

(i) 618 दसवें और इकाई के अंकों से बनी संख्या = 18, जो 4 से विभाज्य नहीं है। ∴ 618, 4 से विभाज्य नहीं है।
(ii) 2314 दसवें और इकाई के अंकों से बनी संख्या = 14, जो 4 से विभाज्य नहीं है। ∴ 2314, 4 से विभाज्य नहीं है।
(iii) 63712 दसवें और इकाई के अंकों से बनी संख्या = 12, जो 4 से विभाज्य है। ∴ 63712, 4 से विभाज्य है।
(iv) 35056 दसवें और इकाई के अंकों से बनी संख्या = 56, जो 4 से विभाज्य है। ∴ 35056, 4 से विभाज्य है।
(v) 946126 दसवें और इकाई के अंकों से बनी संख्या = 26, जो 4 से विभाज्य नहीं है। ∴ 946126, 4 से विभाज्य नहीं है।
(vi) 810524 दसवें और इकाई के अंकों से बनी संख्या = 24, जो 4 से विभाज्य है। ∴ 810524, 4 से विभाज्य है।

प्रश्न 5: निम्नलिखित संख्याओं का 6 से विभाज्यता परीक्षण करें:

(i) 2070 अंतिम अंक = 0 ∴ यह 2 से विभाज्य है। अंकों का योग = 2 + 0 + 7 + 0 = 9, जो 3 से विभाज्य है। ∴ 2070, 2 और 3 दोनों से विभाज्य है। इसलिए यह 6 से भी विभाज्य है।
(ii) 46523 अंतिम अंक = 3 ∴ यह 2 से विभाज्य नहीं है। ∴ 46523, 6 से विभाज्य नहीं है।
(iii) 71232 अंतिम अंक = 2 ∴ यह 2 से विभाज्य है। अंकों का योग = 7 + 1 + 2 + 3 + 2 = 15, जो 3 से विभाज्य है। ∴ 71232, 2 और 3 दोनों से विभाज्य है। इसलिए यह 6 से भी विभाज्य है।
(iv) 934706 अंतिम अंक = 6 ∴ यह 2 से विभाज्य है। अंकों का योग = 9 + 3 + 4 + 7 + 0 + 6 = 29, जो 3 से विभाज्य नहीं है। ∴ 934706, 6 से विभाज्य नहीं है।
(v) 251730 अंतिम अंक = 0 ∴ यह 2 से विभाज्य है। अंकों का योग = 2 + 5 + 1 + 7 + 3 + 0 = 18, जो 3 से विभाज्य है। ∴ 251730, 2 और 3 दोनों से विभाज्य है। इसलिए यह 6 से भी विभाज्य है।
(vi) 872536 अंकों का योग = 8 + 7 + 2 + 5 + 3 + 6 = 31, जो 3 से विभाज्य नहीं है। ∴ 872536, 6 से विभाज्य नहीं है।

प्रश्न 6: निम्नलिखित संख्याओं का 7 से विभाज्यता परीक्षण करें:

(i) 826 6 × 2 = 12 और 82 82 और 12 के बीच का अंतर = 70, जो 7 से विभाज्य है। ∴ 826, 7 से विभाज्य है।
(ii) 117 7 × 2 = 14, 11 14 और 11 के बीच का अंतर = 14 - 11 = 3, जो 7 से विभाज्य नहीं है। ∴ 117, 7 से विभाज्य नहीं है।

किसी संख्या को 7 से विभाज्य होने के लिए, उसका अंतिम अंक और उसके बाकी अंकों का गुणनफल की गणना की जाती है। नीचे कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

(i) 117: 1 × 2 = 2, और 11 का अंतर 11 - 2 = 9 है, जो 7 से विभाज्य नहीं है। अतः 117 7 से विभाज्य नहीं है।
(ii) 2345: 5 × 2 = 10, और 234 का अंतर 234 - 10 = 224 है, जो 7 से विभाज्य है। अतः 2345 7 से विभाज्य है।
(iii) 6021: 1 × 2 = 2, और 602 का अंतर 602 - 2 = 600 है, जो 7 से विभाज्य नहीं है। अतः 6021 7 से विभाज्य नहीं है।
(iv) 14126: 6 × 2 = 12, और 1412 का अंतर 1412 - 12 = 1400 है, जो 7 से विभाज्य है। अतः 14126 7 से विभाज्य है।
(v) 25368: 8 × 2 = 16, और 2536 का अंतर 2536 - 16 = 2520 है, जो 7 से विभाज्य है। अतः 25368 7 से विभाज्य है।

प्रश्न 7: निम्नलिखित संख्याओं की 8 से विभाज्यता का परीक्षण करें:

(i) 9364: दी गई संख्या = 9364। सौ, दस और इकाई अंकों से बनी संख्या 364 है, जो 8 से विभाज्य नहीं है। अतः 9364 8 से विभाज्य नहीं है।
(ii) 2138: दी गई संख्या = 2138। सौ, दस और इकाई अंकों से बनी संख्या 138 है, जो 8 से विभाज्य नहीं है। अतः 2138 8 से विभाज्य नहीं है।
(iii) 36792: दी गई संख्या = 36792। सौ, दस और इकाई अंकों से बनी संख्या 792 है, जो 8 से विभाज्य है। अतः 36792 8 से विभाज्य है।
(iv) 901674: दी गई संख्या = 901674। सौ, दस और इकाई अंकों से बनी संख्या 674 है, जो 8 से विभाज्य नहीं है। अतः 901674 8 से विभाज्य नहीं है।
(v) 136976: दी गई संख्या = 136976। सौ, दस और इकाई अंकों से बनी संख्या 976 है, जो 8 से विभाज्य है। अतः 136976 8 से विभाज्य है।
(vi) 1790184: दी गई संख्या = 1790184। सौ, दस और इकाई अंकों से बनी संख्या 184 है, जो 8 से विभाज्य है। अतः 1790184 8 से विभाज्य है।

प्रश्न 8: निम्नलिखित संख्याओं की 9 से विभाज्यता का परीक्षण करें:

(i) 2358: हमें पता है कि कोई संख्या 9 से विभाज्य है, यदि उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य हो। 2 + 3 + 5 + 8 = 18, जो 9 से विभाज्य है। अतः 2358 9 से विभाज्य है।

∴ 2358 को 9 से भाग दिया जा सकता है (ii) 3333 में

अंक का योग 3 3 3 3 = 12 जो 9 से विभाज्य नहीं है ∴ 3333
(iii) 98712 में अंक का योग = 9 8 7 1 2 = 27 जो 9 से विभाज्य है ∴ 98712 को 9 से भाग दिया जा सकता है
(iv) 257106 में अंक का योग = 2 5 7 1 0 6 = 21 जो 9 से विभाज्य नहीं है ∴ 257106 को 9 से भाग नहीं दिया जा सकता है
(v) 647514 में अंक का योग = 6 4 7 5 1 4 = 27 जो 9 से विभाज्य है ∴ 647514 को 9 से भाग दिया जा सकता है
(vi) 326999 में अंक का योग = 3 2 6 9 9 9 = 38 जो 9 से विभाज्य नहीं है ∴ 326999 को 9 से भाग नहीं दिया जा सकता है

प्रश्न 9. निम्नलिखित संख्याओं को 10 से विभाज्यता के लिए परीक्षण करें : (i) 5790 (ii) 63215 (iii) 55555 उत्तर। हमें पता है कि एक संख्या 10 से विभाज्य होती है यदि उसकी एक अंक 0 है ∴ (i) 5790 को 10 से भाग दिया जा सकता है

प्रश्न 10. निम्नलिखित संख्याओं को 11 से विभाज्यता के लिए परीक्षण करें : (i) 4334 (ii) 83721 (iii) 66311 (iv) 137269

(v) 901351 (vi) 8790322 उत्तर। (i) दी गई संख्या = 4334
अजीब स्थानों पर अंकों का योग = 4 3 = 7
सम स्थानों पर अंकों का योग = 3 4 = 7
दो योग का अंतर = 7 – 7 = 0 ∴ 4334 को 11 से भाग दिया जा सकता है।
(ii) दी गई संख्या = 83721
अजीब स्थानों पर अंकों का योग = 1 7 8 = 16
सम स्थानों पर अंकों का योग = 2 3 = 5
दो योग का अंतर = 16 – 5 = 11, जो 11 का गुणनखंड है। ∴ 83721 को 11 से भाग दिया जा सकता है।
(iii) दी गई संख्या = 66311
अजीब स्थानों पर अंकों का योग = 1 3 6 = 10
सम स्थानों पर अंकों का योग = 1 6 = 7
दो योग का अंतर = 10 – 7 = 3, जो 11 का गुणनखंड नहीं है। ∴ 66311 को 11 से भाग नहीं दिया जा सकता है।
(iv) दी गई संख्या = 137269
अजीब स्थानों पर अंकों का योग = 9 2 3 = 14
सम स्थानों पर अंकों का योग = 6 7 1 = 14
दो योग का अंतर = 14 – 14 = 0

∴ 137269 को 11 से विभाजित किया जा सकता है। (v) दिया गया संख्या = 901351

अजीब स्थानों पर अंकों का योग = 1 3 0 = 4

जोड़ी स्थानों पर अंकों का योग = 5 1 9 = 15

दोनों योगों का अंतर = 15 – 4 = 11, जो कि 11 का गुणांक है। ∴ 901351 को 11 से विभाजित किया जा सकता है।

(vi) दिया गया संख्या = 8790322

अजीब स्थानों पर अंकों का योग = 2 3 9 8 = 22

जोड़ी स्थानों पर अंकों का योग = 2 0 7 = 9

दोनों योगों का अंतर = 22 – 9 = 13, जो कि 11 का गुणांक नहीं है। ∴ 8790322 को 11 से विभाजित नहीं किया जा सकता है।

प्रश्न 11. निम्नलिखित संख्याओं में, * को सबसे छोटे संख्या से बदलें ताकि वह 3 से विभाजित हो सके।

(i) 27*4
(ii) 53*46
(iii) 8*711
(iv) 62*35
(v) 234*17
(vi) 6*1054

उत्तर:

(i) दिया गया संख्या = 27*4
अंकों का योग = 2 7 4 = 13
13 के बाद का संख्या जो 3 से विभाजित है, वह 15 है। ∴ आवश्यक सबसे छोटे संख्या = 15 – 13 = 2।
(ii) दिया गया संख्या = 53*46
दिए गए अंकों का योग = 5 3 4 6 = 18, जो कि 3 से विभाजित है। ∴ आवश्यक सबसे छोटे संख्या = 0।
(iii) दिया गया संख्या = 8*711
दिए गए अंकों का योग = 8 7 1 1 = 17
17 के बाद का संख्या जो 3 से विभाजित है, वह 18 है। ∴ आवश्यक सबसे छोटे संख्या = 18 – 17 = 1।
(iv) दिया गया संख्या = 62*35
दिए गए अंकों का योग = 6 2 3 5 = 16
16 के बाद का संख्या जो 3 से विभाजित है, वह 18 है। ∴ आवश्यक सबसे छोटे संख्या = 18 – 16 = 2।
(v) दिया गया संख्या = 234*17
दिए गए अंकों का योग = 2 3 4 1 7 = 17
17 के बाद का संख्या जो 3 से विभाजित है, वह 18 है। ∴ आवश्यक सबसे छोटे संख्या = 18 – 17 = 1।
(vi) दिया गया संख्या = 6*1054
दिए गए अंकों का योग = 6 1 0 5 4 = 16
16 के बाद का संख्या जो 3 से विभाजित है, वह 18 है। ∴ आवश्यक सबसे छोटे संख्या = 18 – 16 = 2।

प्रश्न 12. निम्नलिखित संख्याओं में, * को सबसे छोटे संख्या से बदलें ताकि वह 9 से विभाजित हो सके।

(i) 65*5
(ii) 2*135
(iii) 6702*
(iv) 91*67
(v) 6678*1
(vi) 835*86

उत्तर:

(i) दिया गया संख्या = 65*5
दिए गए अंकों का योग = 6 5 5 = 16
16 के बाद का संख्या जो 9 से विभाजित है, वह 18 है। ∴ आवश्यक सबसे छोटे संख्या = 18 – 16 = 2।
(ii) दिया गया संख्या = 2*135
दिए गए अंकों का योग = 2 1 3 5 = 11
11 के बाद का संख्या जो 9 से विभाजित है, वह 18 है। ∴ आवश्यक सबसे छोटे संख्या = 18 – 11 = 7।
(iii) दिया गया संख्या = 6702*
दिए गए अंकों का योग = 6 7 0 2 = 15
15 के बाद का संख्या जो 9 से विभाजित है, वह 18 है। ∴ आवश्यक सबसे छोटे संख्या = 18 – 15 = 3।
(iv) दिया गया संख्या = 91*67
दिए गए अंकों का योग = 9 1 6 7 = 23
23 के बाद का संख्या जो 9 से विभाजित है, वह 27 है। ∴ आवश्यक सबसे छोटे संख्या = 27 – 23 = 4।
(v) दिया गया संख्या = 6678*1
दिए गए अंकों का योग = 6 6 7 8 1 = 28
28 के बाद का संख्या जो 9 से विभाजित है, वह 36 है। ∴ आवश्यक सबसे छोटे संख्या = 36 – 28 = 8।
(vi) दिया गया संख्या = 835*86
दिए गए अंकों का योग = 8 3 5 8 6 = 30
30 के बाद का संख्या जो 9 से विभाजित है, वह 36 है। ∴ आवश्यक सबसे छोटे संख्या = 36 – 30 = 6।

प्रश्न 13. निम्नलिखित संख्याओं में, * को सबसे छोटे संख्या से बदलें ताकि वह 11 से विभाजित हो सके।

(i) 26*5
(ii) 39*43
(iii) 86*72
(iv) 467*91
(v) 1723*4

(vi) 9*8071 उत्तर। (i) दिया गया संख्या = 26*5 इसके अंशों का योग विषम स्थानों में = 5 6 = 11 इसके अंशों का योग सम स्थानों में = * 2 दोनों योगों का अंतर

= 11 – (* 2) दिया गया संख्या 11 से विभाज्य होगा यदि दोनों योगों का अंतर = 0 हो। ∴ 11 – (* 2) = 0 11 = * 2 11 – 2 = * 9 = * ∴ आवश्यक सबसे छोटी संख्या = 9। (ii) दिया गया संख्या = 39*43 इसके अंशों का योग विषम स्थानों में = 3 * 3 = * 6 इसके अंशों का योग सम स्थानों में = 4 9 = 13 दोनों योगों का अंतर = * 6 – 13 = * – 7 दिया गया संख्या 11 से विभाज्य होगा, यदि दोनों योगों का अंतर = 0 हो। ∴ * – 7 = 0 * = 7 ∴ आवश्यक सबसे छोटी संख्या = 7। (iii) दिया गया संख्या = 86*72 इसके अंशों का योग विषम स्थानों में = 2 * 8 = * 10 इसके अंशों का योग सम स्थानों में = 7 6 = 13 दोनों योगों का अंतर = * 10 – 13 = * – 3 दिया गया संख्या 11 से विभाज्य होगा, यदि दोनों योगों का अंतर = 0 हो। ∴ * – 3 = 0 * = 3 ∴ आवश्यक सबसे छोटी संख्या = 3। (iv) दिया गया संख्या = 467*91 इसके अंशों का योग विषम स्थानों में = 1 * 6 = * 7 इसके अंशों का योग सम स्थानों में = 9 7 4 = 20 दोनों योगों का अंतर = 20 – (* 7) = 20 – * – 7 = 13 – * स्पष्ट है कि दोनों योगों का अंतर 11 का गुणांक होगा यदि 13 – * = 11 ∴ 13 – 11 = * 2 = * * = 2 ∴ आवश्यक सबसे छोटी संख्या = 2। (v) दिया गया संख्या = 1723*4 इसके अंशों का योग विषम स्थानों में = 4 3 7 = 14 इसके अंशों का योग सम स्थानों में = * 2 1 = * 3 दोनों योगों का अंतर = * 3 – 14 = * – 11 ∴ दिया गया संख्या 11 से विभाज्य होगा, यदि * – 11 11 का गुणांक हो, जो संभव है यदि * = 0। ∴ आवश्यक सबसे छोटी संख्या = 0। (vi) दिया गया संख्या = 9*8071 इसके अंशों का योग विषम स्थानों में = 1 0 * = 1 * इसके अंशों का योग सम स्थानों में = 7 8 9 = 24 दोनों योगों का अंतर

24 – 1 – * = 23 – * ∴ यदि 23 – * 11 का गुणांक है, तो दिया गया संख्या 11 से विभाज्य होगा, जो संभव है यदि * = 1। ∴ आवश्यक सबसे छोटा संख्या = 1।

प्रश्न 14: 11 से विभाज्यता का परीक्षण करें

(i) 10000001
(ii) 19083625
(iii) 2134563
(iv) 10001001
(v) 10203574
(vi) 12030624

उत्तर:

(i) दिया गया संख्या = 10000001

असमान स्थानों में अंकों का योग = 1 0 0 0 = 1

सम स्थानों में अंकों का योग = 0 0 0 1 = 1

दो योगों का अंतर = 1 – 1 = 0 ∴ संख्या 10000001 11 से विभाज्य है।

(ii) दिया गया संख्या = 19083625

असमान स्थानों में अंकों का योग = 5 6 8 9 = 28

सम स्थानों में अंकों का योग = 2 3 0 1 = 6

दो योगों का अंतर = 28 – 6 = 22, जो 11 से विभाज्य है। ∴ संख्या 19083625 11 से विभाज्य है।

(iii) दिया गया संख्या = 2134563

अंक का योग = 2 1 3 4 5 6 3 = 24, जो 9 से विभाज्य नहीं है। ∴ संख्या 2134563 9 से विभाज्य नहीं है।

(iv) दिया गया संख्या = 10001001

अंक का योग = 1 0 0 0 1 0 0 1 = 3, जो 3 से विभाज्य है। ∴ संख्या 10001001 3 से विभाज्य है।

(v) दिया गया संख्या = 10203574

इसके दस और इकाई के अंकों द्वारा बनी संख्या 74 है, जो 4 से विभाज्य नहीं है। ∴ संख्या 10203574 4 से विभाज्य नहीं है।

(vi) दिया गया संख्या = 12030624

इसके सौ, दस और इकाई के अंकों द्वारा बनी संख्या = 624, जो 8 से विभाज्य है। ∴ संख्या 12030624 8 से विभाज्य है।

प्रश्न 15: निम्नलिखित में से कौन से प्राथमिक संख्या हैं?

(i) 103
(ii) 137
(iii) 161
(iv) 179
(v) 217
(vi) 277
(vii) 331
(viii) 397

उत्तर:

103, 137, 179, 277, 331, 397 प्राइम संख्या हैं।

प्रश्न 16: एक संख्या का उदाहरण दें: (i) जो 2 से विभाज्य है लेकिन 4 से नहीं। (ii) जो 4 से विभाज्य है लेकिन 8 से नहीं। (iii) जो 2 और 8 दोनों से विभाज्य है लेकिन 16 से नहीं। (iv) जो 3 और 6 दोनों से विभाज्य है लेकिन 18 से नहीं।

उत्तर: (i) 154 (ii) 612 (iii) 5112, 3816 (iv) 3426, 5142 आदि।

प्रश्न 17: निम्नलिखित बयानों के सामने (T) सत्य और (F) असत्य लिखें: (i) यदि कोई संख्या 4 से विभाज्य है, तो वह 8 से भी विभाज्य होगी।

(ii) यदि कोई संख्या 8 से विभाज्य है, तो वह 4 से भी विभाज्य होगी। (iii) यदि कोई संख्या दो संख्याओं के योग को ठीक से विभाजित करती है, तो इसे अलग-अलग संख्याओं को ठीक से विभाजित करना चाहिए।

(iv) यदि कोई संख्या 9 और 10 दोनों से विभाज्य है, तो इसे 90 से भी विभाज्य होना चाहिए। (v) एक संख्या 18 से विभाज्य है, यदि यह 3 और 6 दोनों से विभाज्य है। (vi) यदि कोई संख्या 3 और 7 से विभाज्य है, तो इसे 21 से भी विभाज्य होना चाहिए।

(vii) दो लगातार विषम संख्याओं का योग हमेशा 4 से विभाज्य होता है। (viii) यदि कोई संख्या तीन संख्याओं को ठीक से विभाजित करती है, तो इसे उनके योग को भी ठीक से विभाजित करना चाहिए।

उत्तर: (i) असत्य (ii) सत्य (iii) असत्य (iv) सत्य (v) असत्य

(vi) सत्य

(vii) सत्य (viii) सत्य।

प्राइम फैक्टराइजेशन

प्राइम फैक्टर: एक दिए गए संख्या का फैक्टर प्राइम फैक्टर कहलाता है यदि यह फैक्टर एक प्राइम संख्या है।

प्राइम फैक्टराइजेशन: किसी दिए गए संख्या को प्राइम फैक्टर के गुणन के रूप में व्यक्त करना प्राइम फैक्टराइजेशन कहलाता है।

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