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Class 6 Exam > Class 6 Notes > गणित (गणित प्रकाश ) कक्षा 6 > आरएस अग्रवाल समाधान: गुणक और गुणा (व्यायाम 2डी)

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सबसे पहले, हम 161 और 207 का H.C.F. खोजते हैं। निम्नलिखित संख्याओं का H.C.F. खोजें, प्राइम फैक्टराइजेशन विधि का उपयोग करते हुए:

Q.1. 84, 98। उत्तर: हमारे पास है

84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7
98 = 2 × 7 × 7 = 2 × 7²

∴ H.C.F. = 2 × 7 = 14।

Q.2. 170, 238। उत्तर: हमारे पास है

170 = 2 × 5 × 17
238 = 2 × 7 × 17

∴ H.C.F. of 170 and 238 = 2 × 17 = 34।

Q.3. 504, 980। उत्तर: हमारे पास है

504 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7 = 2³ × 3² × 7
980 = 2 × 2 × 5 × 7 × 7 = 2² × 5 × 7²

∴ H.C.F. of 504 and 980 = 2 × 7 = 4 × 7 = 28।

Q.4. 72, 108, 180। उत्तर: हमारे पास है

72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3²
108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 2² × 3³
180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2² × 3² × 5

∴ H.C.F. of 72, 108, 180 = 2² × 3² = 4 × 9 = 36।

Q.5. 84, 120, 138। उत्तर: हमारे पास है

84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 2³ × 3 × 5
138 = 2 × 3 × 23

∴ H.C.F. of 84, 120 and 138 = 2 × 3 = 6।

Q.6. 106, 159, 371। उत्तर: हमारे पास है

106 = 2 × 53
159 = 3 × 53
371 = 7 × 53

∴ H.C.F. of 106, 159, 371 = 53।

Q.7. 272, 425। उत्तर: हमारे पास है

272 = 2 × 2 × 2 × 2 × 17 = 2⁴ × 17
425 = 5 × 5 × 17 = 5² × 17

∴ H.C.F. of 272 and 425 = 17।

Q.8. 144, 252, 630। उत्तर: हमारे पास है

144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2⁴ × 3²
252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 = 2² × 3² × 7
630 = 2 × 3 × 3 × 5 × 7 = 2 × 3² × 5 × 7

∴ H.C.F. of 144, 252 and 630 = 2 × 3² = 2 × 9 = 18।

Q.9. 1197, 5320, 4389। उत्तर: हमारे पास है

1197 = 3 × 3 × 7 × 19 = 3² × 7 × 19
5320 = 2 × 2 × 2 × 5 × 7 × 19 = 2³ × 5 × 7 × 19
4389 = 7 × 3 × 11 × 19

∴ H.C.F. of 1197, 5320, 4389 = 7 × 19 = 133।

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संख्याओं का H.C.F. निकालने के लिए विभाजन विधि का उपयोग करें:

प्र.10. 58, 70।

उत्तर: विभाजन विधि द्वारा, हमें मिलता है: ∴ 58 और 70 का H.C.F. = 2।

प्र.11. 399, 437।

उत्तर: विभाजन विधि द्वारा, हमें मिलता है: ∴ 399 और 437 का H.C.F. = 19।

प्र.12. 1045, 1520।

हल: विभाजन विधि द्वारा, हमें मिलता है: ∴ 1045 और 1520 का H.C.F. = 95।

प्र.13. 1965, 2096।

उत्तर: विभाजन विधि द्वारा, हमें मिलता है: ∴ 1965 और 2096 का H.C.F. = 131।

प्र.14. 2241, 2324।

उत्तर: विभाजन विधि द्वारा, हमें मिलता है: ∴ 2241 और 2324 का H.C.F. = 83।

प्र.15. 658, 940, 1128।

पहले, हम 658 और 940 का H.C.F. निकालते हैं। ∴ 658 और 940 का H.C.F. = 94।
अब, हम 94 और 1128 का H.C.F. निकालते हैं। ∴ 94 और 1128 का H.C.F. = 94।

इसलिए, 658, 940 और 1128 का H.C.F. = 94।

प्र.16. 754, 1508, 1972।

पहले, हम 754 और 1508 का H.C.F. निकालते हैं। ∴ 754 और 1508 का H.C.F. = 754।
अब, हम 754 और 1972 का H.C.F. निकालते हैं। ∴ 754 और 1972 का H.C.F. = 58।

इसलिए, 754, 1508 और 1972 का H.C.F. = 58।

प्र.17. 391, 425, 527।

पहले, हम 391 और 425 का H.C.F. निकालते हैं। ∴ 391 और 425 का H.C.F. = 17।
अब, हम 17 और 527 का H.C.F. निकालते हैं। ∴ 17 और 527 का H.C.F. = 17।

इसलिए, 391, 425 और 527 का H.C.F. = 17।

प्र.18. 1794, 2346, 4761।

पहले, हम 1794 और 2346 का H.C.F. निकालते हैं। ∴ 1794 और 2346 का H.C.F. = 138।
अब, हम 138 और 4761 का H.C.F. निकालते हैं। ∴ 138 और 4761 का H.C.F. = 69।

इसलिए, 1794, 2346 और 4761 का H.C.F. = 69।

प्र.19. 59, 97।

उत्तर: पहले, हम 59 और 97 का H.C.F. निकालते हैं। ∴ 59 और 97 का H.C.F. = 1। इस प्रकार, 59 और 97 को-प्राइम हैं।

प्र.20. 161, 192।

उत्तर: पहले, हम 161 और 192 का H.C.F. निकालते हैं। ∴ 161 और 192 का H.C.F. = 1। इस प्रकार, 161 और 192 को-प्राइम हैं।

प्र.21. 343, 432।

उत्तर: पहले, हम 343 और 432 का H.C.F. निकालते हैं। ∴ 343 और 432 का H.C.F. = 1। इस प्रकार, 343 और 432 को-प्राइम हैं।

प्र.22. 512, 945।

उत्तर: पहले, हम 512 और 945 का H.C.F. निकालते हैं।

∴ 512 और 945 का H.C.F. 1 है। इसलिए 512 और 945 को-प्राइम हैं।

Q.23. 385, 621।
उत्तर: सबसे पहले, हम 385 और 621 का H.C.F. निकालते हैं। ∴ 385 और 621 का H.C.F. 1 है। इसलिए 385 और 621 को-प्राइम हैं।

Q.24. 847, 1014।
उत्तर: सबसे पहले, हम 847 और 1014 का H.C.F. निकालते हैं। ∴ 847 और 1014 का H.C.F. 1 है। इसलिए 847 और 1014 को-प्राइम हैं।

Q.25. सबसे बड़ा संख्या ज्ञात करें जो 615 और 963 को 6 का शेष छोड़कर विभाजित करती है।
उत्तर: स्पष्ट है कि हमें सबसे बड़ा संख्या ज्ञात करना है जो (615 – 6) और (963 – 6) को ठीक से विभाजित करता है।
तो, आवश्यक संख्या = 615 – 6 = 609 और 963 – 6 = 957 का H.C.F. ∴ आवश्यक सबसे बड़ा संख्या = 87।

Q.26. सबसे बड़ा संख्या ज्ञात करें जो 2011 और 2623 को क्रमशः 9 और 5 का शेष छोड़कर विभाजित करती है।
उत्तर: स्पष्ट है कि हमें सबसे बड़ा संख्या ज्ञात करना है जो 2011 – 9 = 2002 और 2623 – 5 = 2618 को ठीक से विभाजित करता है।
तो, आवश्यक सबसे बड़ा संख्या = 2002 और 2618 का H.C.F. ∴ आवश्यक सबसे बड़ा संख्या = 154।

Q.27. सबसे बड़ा संख्या ज्ञात करें जो 445, 572 और 699 को क्रमशः 4, 5, और 6 का शेष छोड़कर विभाजित करती है।
उत्तर: स्पष्ट है कि हमें सबसे बड़ा संख्या ज्ञात करना है जो (445 – 4), (572 – 5) और (699 – 6) को ठीक से विभाजित करता है।
तो, आवश्यक संख्या = 441, 567 और 693 का H.C.F.। सबसे पहले, हम 441 और 567 का H.C.F. निकालते हैं। ∴ 441 और 567 का H.C.F. 63 है।
इसके बाद, 63 और 693 का H.C.F. 63 है। इसलिए आवश्यक संख्या = 63।

Q.28. निम्नलिखित भिन्नों को निम्नतम रूप में घटित करें:
(i) (ii) (iii)
उत्तर: (i) दी गई भिन्न = सबसे पहले, हम 161 और 207 का H.C.F. निकालते हैं। ∴ 161 और 207 का H.C.F. = 23 है। दी गई भिन्न के अंश और हर को 23 से विभाजित करने पर हमें मिलता है:
(ii) दी गई भिन्न: सबसे पहले, हम 517 और 799 का H.C.F. निकालते हैं। ∴ 517 और 799 का H.C.F. 47 है। दी गई भिन्न के अंश और हर को 47 से विभाजित करने पर हमें मिलता है:
(iii) दी गई भिन्न: सबसे पहले, हम 296 और 481 का H.C.F. निकालते हैं। ∴ 296 और 481 का H.C.F. 37 है।

दी गई भिन्न के अंश और हर को 37 से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है।

प्रश्न 29: तीन लकड़ी के टुकड़े जिनकी लंबाई क्रमशः 42 मीटर, 49 मीटर और 63 मीटर है, को समान लंबाई की तख्तियों में विभाजित करना है। प्रत्येक तख्ती की अधिकतम संभव लंबाई क्या है? उत्तर:

तीन लकड़ी के टुकड़ों की लंबाई = 42 मीटर, 49 मीटर, 63 मीटर
प्रत्येक तख्ती की अधिकतम संभव लंबाई = H.C.F. (42 मीटर, 49 मीटर और 63 मीटर)

पहले हम 42 और 49 का H.C.F. निकालते हैं।

∴ 42 और 49 का H.C.F. = 7

अब हम 7 और 63 का H.C.F. निकालते हैं।

∴ 7 और 63 का H.C.F. = 7

∴ 42 मीटर, 49 मीटर और 63 मीटर का H.C.F. = 7 मीटर

इसलिए आवश्यक तख्ती की लंबाई = 7 मीटर।

प्रश्न 30: तीन अलग-अलग कंटेनर में क्रमशः 403 लिटर, 434 लिटर और 465 लिटर दूध है। एक ऐसा कंटेनर ढूंढें जो सभी कंटेनरों के दूध को एक सटीक संख्या में माप सके। उत्तर:

तीन अलग-अलग कंटेनरों में दूध की मात्रा = 403 लिटर, 434 लिटर और 465 लिटर
स्पष्ट है कि आवश्यक कंटेनर की अधिकतम क्षमता = H.C.F. (403 लिटर, 434 लिटर, 465 लिटर)

हमारे पास:

403 = 13 × 31
434 = 2 × 7 × 31
465 = 5 × 3 × 31

इसलिए 403 लिटर, 434 लिटर और 465 लिटर का H.C.F. = 31 लिटर

आवश्यक कंटेनर की अधिकतम क्षमता = 31 लिटर।

प्रश्न 31: 527 सेब, 646 नाशपाती और 748 संतरे हैं। इन्हें समान संख्या में फलों वाले ढेरों में व्यवस्थित करना है। प्रत्येक ढेर में फलों की अधिकतम संख्या क्या है? कितने ढेर बनते हैं? उत्तर:

दी गई फल = 527 सेब, 646 नाशपाती और 748 संतरे
स्पष्ट है कि प्रत्येक ढेर में फलों की अधिकतम संख्या = H.C.F. (527, 646 और 748)

हमारे पास:

527 = 17 × 31
646 = 2 × 17 × 19
748 = 2 × 2 × 11 × 17

इसलिए 527, 646 और 748 का H.C.F. = 17

∴ प्रत्येक ढेर में आवश्यक फलों की संख्या = 17

कुल फलों की संख्या = 527 + 646 + 748 = 1921

ढेरों की संख्या =

प्रश्न 32: लंबी टेप निर्धारित करें जिसका उपयोग लंबाई 7 मीटर, 3 मीटर 85 सेंटीमीटर और 12 मीटर 95 सेंटीमीटर को सटीक रूप से मापने के लिए किया जा सके।

उत्तर: दी गई लंबाइयाँ हैं:

7 मीटर = 7 × 100 सेंटीमीटर = 700 सेंटीमीटर
3 मीटर 85 सेंटीमीटर = (3 × 100 + 85) सेंटीमीटर = 385 सेंटीमीटर
12 मीटर 95 सेंटीमीटर = (12 × 100 + 95) सेंटीमीटर = 1295 सेंटीमीटर

स्पष्ट है कि आवश्यक सबसे लंबी टेप की लंबाई है:

H.C.F. (700 सेंटीमीटर, 385 सेंटीमीटर और 1295 सेंटीमीटर)

हमारे पास:

700 = 2 × 2 × 5 × 5 × 7 = 2² × 5² × 7
385 = 5 × 7 × 11
1295 = 5 × 7 × 37

अतः H.C.F. (700, 385 और 1295) = 5 × 7 = 35

आवश्यक सबसे लंबी टेप की लंबाई = 35 सेंटीमीटर.

प्रश्न 33: एक आयताकार आँगन की लंबाई 18 मीटर 72 सेंटीमीटर और चौड़ाई 13 मीटर 20 सेंटीमीटर है। इसे समान आकार की वर्ग टाइलों से पक्का करना है। ऐसी टाइलों की न्यूनतम संख्या ज्ञात करें।

उत्तर: आँगन की लंबाई = 18 मीटर 72 सेंटीमीटर = (18 × 100 + 72) सेंटीमीटर = 1872 सेंटीमीटर

आँगन की चौड़ाई = 13 मीटर 20 सेंटीमीटर = (13 × 100 + 20) सेंटीमीटर = 1320 सेंटीमीटर

प्रत्येक वर्ग टाइल की सबसे बड़ी ओर = H.C.F. (1872 सेंटीमीटर और 1320 सेंटीमीटर)

अब:

1872 = 2 × 2 × 2 × 2 × 9 × 13 = 2⁴ × 3² × 13
1320 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 11 = 2³ × 3 × 5 × 11

तो, H.C.F. (1872 और 1320) = 2³ × 3 = 8 × 3 = 24

अतः वर्ग टाइल की सबसे बड़ी ओर = 24 सेंटीमीटर

अब आँगन का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई = 1872 × 1320 सेंटीमीटर²

एक वर्ग टाइल का क्षेत्रफल = ओर × ओर = 24 × 24 सेंटीमीटर²

अतः ऐसी टाइलों की न्यूनतम संख्या:

प्रश्न 34: निम्नलिखित का H.C.F. ज्ञात करें:

(i) दो अभाज्य संख्याएँ
(ii) दो अनुक्रमिक संख्याएँ
(iii) दो सह-प्राइम संख्याएँ
(iv) 2 और एक सम संख्या

उत्तर:

(i) मान लें कि दो अभाज्य संख्याएँ 13 और 17 हैं, हम इनका H.C.F. ज्ञात करते हैं: H.C.F. = 1.
(ii) मान लें कि दो अनुक्रमिक संख्याएँ 59 और 60 हैं। इनका H.C.F. ज्ञात करते हैं:

∴ दो लगातार संख्याओं 59 और 60 का H.C.F. = 1। (iii) मान लेते हैं कि दो को-प्राइम संख्याएँ 45 और 56 हैं। हम 45 और 56 का H.C.F. निम्नलिखित प्रकार से निकालते हैं: ∴ 45 और 56 का H.C.F. = 1। (iv) हम 2 और एक अन्य सम संख्या = 48 लेते हैं और 2 और 48 का H.C.F. निम्नलिखित प्रकार से निकालते हैं: ∴ 2 और सम संख्या 48 का H.C.F. = 2।

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