MCQ: गोलार्ध - Bank Exams MCQ

दिया गया:

तंबू की ऊँचाई = 22.5 मीटर
फ्रस्टम के ऊपरी और निचले गोलाकार छोर के व्यास क्रमशः 21 मीटर और 39 मीटर हैं।

उपयोग किया गया सूत्र:

फ्रस्टम की झुकी हुई ऊँचाई (l) = √[H² + (R - r)²]
फ्रस्टम का वक्र सतह क्षेत्र = πl(R + r)
गेंद के आधे भाग का वक्र सतह क्षेत्र = 2πr²
यहाँ,
H = फ्रस्टम की ऊँचाई
R = निचला व्यास
r = ऊपरी व्यास और गेंद के आधे भाग का व्यास

गणना:

दिए गए चित्र में,
फ्रस्टम की ऊँचाई = 12 मीटर और गेंद के आधे भाग की ऊँचाई = 10.5 मीटर
ऊपरी व्यास = 21/2
निचला व्यास = 39/2
अब,
फ्रस्टम की झुकी हुई ऊँचाई (l) = √[12² + {(39/2) - (21/2)}²]

तंबू का सतह क्षेत्र = फ्रस्टम का वक्र सतह क्षेत्र + गेंद के आधे भाग का वक्र सतह क्षेत्र
तो,
तंबू का सतह क्षेत्र = 15π(39/2 + 21/2) + 2π × (21/2)²

इसलिए, आवश्यक कपड़े का क्षेत्र 

∴ तंबू बनाने के लिए उपयोग किए गए कपड़े का क्षेत्रफल (मीटर² में) है 

दी गई जानकारी:

रबर के गेंद का बाहरी व्यास = 22 इंच।

मोटाई = 0.5 इंच

उपयोग किया गया सूत्र:

गेंद का सतही क्षेत्र = 4πr² [जहाँ, r गेंद का त्रिज्या है]

गेंद का आंतरिक त्रिज्या = बाहरी त्रिज्या - मोटाई

व्यास = 2 × त्रिज्या

गणनाएँ:

बाहरी व्यास = 22

रबर के गेंद का आंतरिक त्रिज्या = 11 - 0.5 = 10.5 इंच
अब, रबर के गेंद के आंतरिक सतह का क्षेत्रफल = 4 x 3.14 x 10.52
= 4 × 3.14 × 110.25
= 1384.74 वर्ग इंच
∴ उत्तर है 1384.74 वर्ग इंच।

दिया गया:

अर्धगोलाकार का कुल सतही क्षेत्र = 462 cm²

सूत्र:

अर्धगोलाकार का कुल सतही क्षेत्र = 3πr²

गणना:

प्रश्न के अनुसार

अर्धगोलाकार का कुल सतही क्षेत्र = 462

∴ अर्धगोलाकार का व्यास = 7 × 2 = 14 cm

दिया गया:

आंतरिक व्यास = 84 सेमी
आंतरिक सतह पर टिन प्लेटिंग की लागत = रु. 21 प्रति सेमी².

उपयोग किया गया सिद्धांत:

अर्धगोल के वक्र सतह क्षेत्रफल = 2π r²

गणना:

आंतरिक व्यास = 84 सेमी
आंतरिक त्रिज्या = 84/2 सेमी = 42 सेमी
अर्धगोल के वक्र सतह क्षेत्रफल = 2π r²

टिन-प्लेटिंग की लागत 100 सेमी² कटोरे के लिए = रु. 21
कटोरे के 1 सेमी² की टिन-प्लेटिंग की लागत = रु. 21/100
कटोरे के 11088 सेमी² क्षेत्र की टिन-प्लेटिंग की लागत = (21/100) × 11088 = रु. 2,328.48
इस प्रकार, टिन-प्लेटिंग की लागत रु. 2,328.48 है।
here4; विकल्प 1 सही उत्तर है।

दी गई जानकारी:

अर्धगोलाकार का त्रिज्या = 3.5 सेमी

उपयोग किया गया सूत्र:

अर्धगोलाकार का आयतन = (2/3)πr³
गोलाकार का आयतन = (4/3)πr³
r = त्रिज्या

गणना:
मान लें कि गोलाकार का त्रिज्या r है
प्रश्न के अनुसार:

∴ छोटे गोलाकारों का त्रिज्या = 7/4 सेमी

दी गई जानकारी:

एक शंकु, एक अर्द्धगोल और एक बेलन समान आधार पर खड़े हैं और इनकी ऊँचाई समान है।

उपयोग किया गया सूत्र:

शंकु का आयतन = 1/3 πr²h

अर्द्धगोल का आयतन = 2/3πr³

बेलन का आयतन = πr²h

गणना:

एक शंकु, एक अर्द्धगोल और एक बेलन समान आधार पर खड़े हैं और इनकी ऊँचाई समान है।

इसलिए, शंकु का आधार का त्रिज्या = अर्द्धगोल का त्रिज्या = बेलन का त्रिज्या = r
इनकी ऊँचाई भी समान है = h
शंकु की ऊँचाई = h
बेलन की ऊँचाई = h
अर्द्धगोल की ऊँचाई = r = h
∴ शंकु का आयतन = V₁= 1/3π r²h
बेलन का आयतन = V₂ = πr²h
अर्द्धगोल का आयतन = V₃ = 2/3π r² × r
⇒ 2/3 π r² × h = 2/3π r²h
शंकु : अर्द्धगोल : बेलन का आयतन का अनुपात 

⇒  1/3π r²h :  2/3π r²h :  πr²h
⇒ 1/3 : 2/3 : 1
⇒ 1 : 2 : 3
∴ विकल्प 1 सही है।

दिया गया:

एक ठोस अर्धगोल का त्रिज्या 21 सेंटीमीटर है।
सिलेंडर की घुमावदार सतह क्षेत्र का अनुपात उसकी कुल सतह क्षेत्र से 2/5 है।

उपयोग किया गया सूत्र:

सिलेंडर की घुमावदार सतह क्षेत्र = 2πRh
सिलेंडर का कुल सतह क्षेत्र = 2πR(R + h)
सिलेंडर का आयतन = πR²h
ठोस अर्धगोल का आयतन = 2/3πr³ 
(जहाँ r एक ठोस अर्धगोल का त्रिज्या है और R एक सिलेंडर का त्रिज्या है)

गणनाएँ:
प्रश्न के अनुसार,
CSA/TSA = 2/5
⇒ [2πRh]/[2πR(R + h)] = 2/5
⇒ h/(R + h) = 2/5

⇒ 5h = 2R + 2h

⇒ h = (2/3)R .......(1)

सिलेंडर का आयतन और ठोस अर्धगोल का आयतन समान हैं।

⇒ πR²h = (2/3)πr³
⇒ R² × (2/3)R = (2/3) × (21)³
⇒ R³ = (21)³
⇒ R = 21 सेंटीमीटर
∴ इसके आधार का त्रिज्या (सेंटीमीटर में) 21 सेंटीमीटर है।

दी गई जानकारी: 

टैंक का आंतरिक त्रिज्या 10.5 मीटर है
एक पाइप 7.7 लीटर प्रति सेकंड की दर से टैंक को खाली कर रहा है।

सिद्धांत:  
अर्धगोल का आयतन = 2π/3 x r³
1 मी³ = 1000 लीटर
1000 सेमी³ = 1 लीटर

गणना: 
अर्धगोलाकार टैंक का आयतन है 
⇒ 2/3 × 22/7 x 10.5 x 10.5 x 10.5
⇒ 2425.5 मी³

टैंक की क्षमता है 
⇒ 2425.5 × 1000 लीटर
⇒ 2425500 लीटर
इसलिए, 
पाइप द्वारा 2/3 भाग को खाली करने में समय है 
⇒ (2/3 x 2425500) ÷ 7.7 सेकंड
⇒ 210,000 सेकंड
घंटों में समय 
⇒ 210,000/3600
⇒ 175/3 घंटे
∴ आवश्यक समय 175/3 घंटे है।

दिया गया:

अर्धगोलाकार अवसाद का व्यास = 4 सेमी
घन का प्रत्येक चेहरा = 10 सेमी

उपयोग किया गया सिद्धांत:

घन का कुल सतह क्षेत्रफल = 6a²
अर्धगोल के CSA = 2πr²
गोल का क्षेत्रफल = πr²
a = घन का पक्ष या किनारा
r = गोल या अर्धगोल का त्रिज्या

गणना:

नीचे दिए गए ठोस का चित्र दिया गया है जैसा कि दी गई जानकारी के अनुसार है,

यह अर्धगोलाकार आकार घन के प्रत्येक चेहरे पर बनेगा

अर्धगोल का त्रिज्या = 4/2 = 2 सेमी
प्रश्न के अनुसार,
आवश्यक सतह क्षेत्रफल = घन का कुल सतह क्षेत्रफल - 6 × प्रत्येक चेहरे पर बने गोल के क्षेत्रों का योग + 6 × घन के प्रत्येक चेहरे पर बने अर्धगोल के CSA
⇒ आवश्यक सतह क्षेत्रफल = 6 x 10² - 6 x π2² + 6 x 2π2²
⇒ आवश्यक सतह क्षेत्रफल = 600 + 6π2²
⇒ आवश्यक सतह क्षेत्रफल = 600 + 24 x 22/7
⇒ आवश्यक सतह क्षेत्रफल = 600 + 528/7

∴ शेष ठोस का सतह क्षेत्रफल (सेमी² में) है  

दी गई:

एक अर्धगोल का व्यास 28 सेमी है।

उपयोग किया गया सिद्धांत:

1. अर्धगोल का आयतन = 2πR³/3 (जहां R = त्रिज्या)
2. व्यास = त्रिज्या × 2

गणना:

अर्धगोल की त्रिज्या = 28/2 = 14 सेमी
अब, अर्धगोल का आयतन

∴ अर्धगोल का आयतन 5749.33 सेमी³ है।

दिया गया:

एक ठोस अर्धगोलाकार का आयतन है  
मान लीजिए π = 22/7

उपयोग किया गया सूत्र:

ठोस अर्धगोलाकार का आयतन = 2/3πr³
ठोस अर्धगोलाकार का कुल सतह क्षेत्रफल = 3πr²

जहाँ, 
r, अर्धगोलाकार का त्रिज्या है

गणना:

प्रश्न के अनुसार, आवश्यक आंकड़ा है:

ठोस अर्धगोलाकार का आयतन,

अब, 

ठोस अर्धगोलाकार का कुल सतह क्षेत्रफल  

अतः ठोस अर्धगोलाकार का कुल सतह क्षेत्रफल 594/7 सेमी² है।

दिया गया:

हिमिष्फेरिकल कटोरे की बाहरी त्रिज्या (R) = 45 सेमी।
हिमिष्फेरिकल कटोरे की आंतरिक त्रिज्या (r) = 41 सेमी।

उपयोग किया गया सूत्र:

हिमिष्फेरिकल शेल का कुल सतह क्षेत्रफल (T.S.A)

गणना:

उपरोक्त सूत्र का उपयोग करते हुए हम प्राप्त करते हैं:

∴कटोरे का कुल सतह क्षेत्रफल 7756π सेमी² है।

दिया गया:

अर्धगोलाकार का कुल सतह क्षेत्रफल = 16632 cm²

प्रयोग की गई सूत्र:

ठोस अर्धगोलाकार का आयतन 
 
गणना:-

यह दिया गया है कि अर्धगोलाकार का कुल सतह क्षेत्रफल 16632 cm है।

कुल सतह क्षेत्रफल = 3 π r²

अतः ठोस अर्धगोलाकार का आयतन 155232 cm³ है।

दी गई जानकारी:

आंतरिक त्रिज्या = 6 सेमी
मोटाई = 0.37 सेमी

उपयोग किया गया सूत्र:

बाह्य त्रिज्या = आंतरिक त्रिज्या + मोटाई
अर्धगोलाकार वस्तु का वक्र सतह क्षेत्र = 2πr²

गणनाएँ:

सूत्र के अनुसार,
⇒ बाह्य त्रिज्या = 6 + 0.37 = 6.37 सेमी

⇒ अतः, अर्धगोलाकार वस्तु का वक्र सतह क्षेत्र 255.0548 सेमी² है

दिया गया:

बड़े अर्धगोल के व्यास = छोटे अर्धगोल के व्यास का 3 गुना

उपयोग किए गए सिद्धांत:

अर्धगोल का आयतन = (2/3) × π × (व्यास)³
अनुपात = [(बड़े अर्धगोल का आयतन – छोटे अर्धगोल का आयतन)/छोटे अर्धगोल का आयतन]

गणना:

मान लेते हैं कि छोटे अर्धगोल का व्यास r इकाई है।
⇒ बड़े अर्धगोल का व्यास = 3r
छोटे अर्धगोल का आयतन = 2πr³/3 इकाई
⇒ बड़े अर्धगोल का आयतन = 2π/3 × (3r)³ इकाई = 18πr³ इकाई
अनुपात = [{18πr³ – (2πr³/3)}/2πr³/3] = 26 ∶ 1
∴ बड़े अर्धगोल का आयतन और छोटे अर्धगोल का आयतन के बीच का अंतर का अनुपात छोटे अर्धगोल के आयतन के लिए 26 ∶ 1 है।