Differentiation in Single Variable - MATLAB Video Lecture | MATLAB Programming for Numerical Computation - Software Development

हैलो और न्यूमेरिकल
कम्प्युटशंस के लिए
MATLAB प्रोग्रामिंग
(MATLAB programming for Numerical Computations
) में आपका स्वागत
है।
हम मॉड्यूल 3 में हैं
और इस मॉड्यूल में
हम न्यूमेरिकल डिफ्रेंटिएशन
(numerical differentiation) और न्यूमेरिकल
इंटीग्रेशन (numerical
integration) पर विचार कर
रहे हैं।
इस मॉड्यूल के पहले
3 व्याख्यानों में,
हम न्यूमेरिकल डिफ्रेंटिएशन
(numerical differentiation) पर जायेंगे
और इस मॉड्यूल के
अंतिम 3 व्याख्यानों
में हम न्यूमेरिकल
इंटीग्रेशन (numerical
integration) पर जायेंगे।
यह व्याख्यान 3.1 है।
इस व्याख्यान में,
हम एक वेरिएबल (variable)
में डिफ्रेंटिएशन
(differentiation) को कवर करने
जा रहे हैं।
मुख्य रूप से यह व्याख्यान
फर्स्ट डिफरेंसेस
(first differences) पर ध्यान
केंद्रित करने जा
रहा है जो f '(x) दिए गए
f(x)है।
मॉड्यूल 2 में, हमने
f(x)के लिए फॉरवर्ड
डिफरेंस (forward difference)
सूत्र तैयार किया
था।
तो f(x) के लिए फॉरवर्ड
डिफरेंस (forward difference)
यहां दिया गया है।
f(x) को f(x+h)-f(x) पूरी चीज
h द्वारा विभाजित
दी गई है।
हमने देखा कि यह विधि
आर्डर (order) h पावर (power
) 1 सटीक थी।
वह फॉरवर्ड डिफरेंस
(forward difference) सूत्र था।
फर्स्ट डेरिवेटिव
(first derivative) के लिए अन्य
सूत्र यहां दिए गए
हैं।फॉरवर्ड डिफरेंस
(forward difference) सूत्र जैसा
कि हमने अभी कहा था
f(x) को f(x+h)-f(x) पूरी चीज
h द्वारा विभाजित
की h पावर (power ) 1 सटीक
है।
सेंट्रल डिफरेंस
(central difference) सूत्र फॉरवर्ड
डिफरेंस (forward difference)
सूत्र से अधिक सटीक
है।
और सेंट्रल डिफरेंस
(central difference) f(x+h)-f(x-h) पूरी
चीज 2h द्वारा विभाजित
है।
इसका मतलब यह है कि,
यदि आप f(x) परडेरिवेटिव
(derivative) खोजना चाहते
हैं, तो हम उस विशेष
बिंदु के बाद 1 बिंदु
से पहले एक बिंदु
लेते हैं, उस विशेष
बिंदु के बाद और उन
2 बिंदुओं का उपयोग
करके स्लोप (slope) पाएं।
यही एक सेंट्रल डिफरेंस
(central difference) सूत्र है।
आप शायद पहले से ही
अपने गणित पाठ्यक्रम
से जानते हैं, कि सेंट्रल
डिफरेंस (central difference)
सूत्र फॉरवर्ड डिफरेंस
(forward difference) फार्मूला
से अधिक सटीक है।
यह h पावर (power ) 2 सटीक
है।
इसका मतलब यह है कि
हर बार जब हम 10 के कारक
से h को कम करते हैं,
तो एरेर (error) 100 के कारक
से भी कम हो जाती है,
10 का कारक नहीं।
ऐसा क्यों है, ऐसा
इसलिए है क्योंकि
यह शक्ति 2 सटीक और
पिछड़ा है अंतर फार्मूला
यहां दिया गया है।
हम जो करने जा रहे
हैं, हम वही उदाहरण
लेंगे जिसे हमने
मॉड्यूल 2 में शामिल
किया है।
यह x के tan inverse है और
हम आगे, सेंट्रल (central)
और बैकवर्ड डिफरेंस
(backward difference) सूत्रों
को उस विशेष समस्या
के लिए ढूंढेंगे।
हम h के पावर(power)-4 के
लिए ऐसा करेंगे।
तो चलिए MATLAB पर जाएं
और यह समस्या करें।
तो, numDiff1 को संपादित
करें।
f’(x), f(x)= tan inverse x जब x = 1
के लिए न्यूमेरिकल
डिफ्रेंटिएशन (numerical
differentiation) सूत्रों की
तुलना करना।
तो a = 1 और TrueVal 1 से 1+ वर्ग
से विभाजित होने
जा रहा है।
और हमारा h 1.0*e के पावर(power)-4
ठीक है।
फॉरवर्ड डिफरेंस
(forward difference) सूत्र।
ठीक है, फॉरवर्ड डिफरेंस
(forward difference) फॉर्मूला
a+h के tan inverse माइनस (minus
) a विभाजित h के tan inverse।
FwdDiff atan(a+h)-atan(a) विभाजित
h के बराबर है।
और हमें यहां ब्रैकेट
डालने की ज़रूरत
है क्योंकि पूरे
अंकक को h द्वारा विभाजित
करने की आवश्यकता
है।
फॉरवर्ड डिफरेंस
(forward difference) फॉर्मूला
में एरेर (error) TrueVal का
abs है - fwdDiff ठीक है।
सेंट्रल डिफरेंस
(central difference) ctrDiff बराबर
हमें यहां जाने के
लिए, atan(a+h)-atan(a-h) विभाजित
2h।
तो atan(a+h)-atan(a-h) ठीक है।
इसे फिर से ब्रैकेट
में जाना जरूरी है
जो हमें याद h से विभाजित
है माफ करना है, 2 से
गुणा करके h द्वारा
विभाजित किया गया
है।
और फिर डिनोमिनेटर
(denominator) में भी ब्रैकेट,
errCtr में चला जाता है,
इन ब्रैकेट को नुमेरटर
(numerator) और साथ ही डिनोमिनेटर
(denominator) दोनों में याद
रखें ठीक है।
सेंट्रल डिफरेंस
(central difference) सूत्र में
एरेर (error) abs trueVal - ctrDiff
ठीक है और हम इसे बैकवर्ड
डिफरेंस (backward difference)
सूत्र के लिए कॉपी
और पेस्ट (copy and paste) करेंगे।
बैकवर्ड डिफरेंस
(backward difference) फॉर्मूला
bkdDiff है, bkdDiff atan(a)-atan(a-h)
विभाजित h।
तो चलिए इसे बदल दें।
तो atan(a)-atan(a-h)/h।
errBkd, bkd trueVal-bkdDiff का पूर्ण
मान है ठीक है।
तो आइए इसे सेव (save)
करें और हमें इसे
run कर दें और परिणाम
ठीक देखें।
तो हमने इसे run किया
है और अब हमारे पास
परिणाम हैं।
बैकवर्ड डिफरेंस
(backward difference सूत्र में
एरेर (error) 2 .5*10 के पावर(power)-5
है।
सेंट्रल डिफरेंस
(central difference) फॉर्मूला
का 8 *10 के पावर(power)-10
है, फॉरवर्ड डिफरेंस
(forward difference) फॉर्मूला
का 2.5 *10 के पावर(power)-5
है।
अगर हम चाहते हैं
कि हम यहां जा सकें
और हम disp का उपयोग
करके परिणाम प्रदर्शित
कर सकते हैं।
जैसा कि हमने पहले
देखा था, फॉरवर्ड
डिफरेंस (forward difference)
में disp एरेर (error) है,
num2str, errFwd इसे close करें
और यह एरेर (error) प्रदर्शित
करेगा।
और इसी तरह सेंट्रल
डिफरेंस (central difference)
में disp error एरेर (error)
num2str, errFwd है।
मुझे इस errFwd को बदलने
नहीं दें और बस इसे
run कर दें और देखें
कि वास्तव में क्या
होता है ठीक है।
आप जानते हैं कि यहां
क्या उम्मीद करनी
है।
मैं बस यह दिखाना
चाहता हूं क्योंकि
यह वास्तव में एक
बहुत ही आम एरेर (error)
है।
मेरा मतलब है कि इसके
बारे में सोचने के
लिए आओ, आपको लगता
है कि ये छोटी चीजें
हैं जिन्हें हम कोई
एरेर (error) नहीं देंगे।
लेकिन ये फिर से छोटी
चीजें हैं, इसका मानव
अभ्यास, एक कोड (code)
लिखना एक मानवीय
अभ्यास है और इन चीजों
को होना चाहिए।
तो, मैं आपको कुछ सामान्य
चीजें दिखा रहा हूं
जो करने का अंत है।
असल में, मैं स्वयं
इस प्रकार की एरेर्स
(errors) को कुछ बार करता
हूं और इन एरेर्स
(errors) को कभी-कभी पहचानना
काफी कठिन होता है।
तो मुझे इसे run करने
दें और देखें कि क्या
होता है।
तो, जब मैं इसे run करता
हूं तो क्या होता
है फॉरवर्ड डिफरेंस
(forward difference) फॉर्मूला
में एरेर (error) होती
है, 2.5 *10 के पावर(power)-5
और सेंट्रल डिफरेंस
(central difference) सूत्र में
एरेर (error) फिर से 2.5
*10 के पावर(power)-5 है।
तो यह एक संदेह उठाना
चाहिए।
तो, आपको एक ही परिणाम
क्यों मिल रहे हैं
और हम जानते हैं कि
हमें एक ही परिणाम
क्यों मिल रहे हैं
क्योंकि ऐसा नहीं
है क्योंकि हमने
सेंट्रल डिफरेंस
(central difference) सूत्र की
गणना करने में गलती
की है।
हम इस errFwd को errCtr करने
के लिए भूल गए हैं
ठीक है।
तो, हम बस इसे save करते
हैं और इसे run करते
हैं।
और अब हम सही परिणाम
प्राप्त करेंगे।
फॉरवर्ड डिफरेंस
(forward difference) में एरेर
(error) 2.5 *10 के पावर(power)-5
है और सेंट्रल डिफरेंस
(central difference) में एरेर
(error) 8.3 *10 के पावर(power)-10
है।
तो हम देखते हैं कि
सेंट्रल डिफरेंस
(central difference) सूत्र फॉरवर्ड
डिफरेंस (forward difference)
और बैकवर्ड डिफरेंस
(backward difference सूत्र के
मुकाबले कहीं अधिक
सटीक है।
तो, हमने इस विशेष
उदाहरण को समाप्त
किया।
तो हमने जो देखा है,
हमने यह विशेष उदाहरण
के लिए 10 के पावर -4
है।
अब हम क्या करना चाहते
हैं, मानों की एक श्रृंखला
के लिए दोहराएं।
याद रखें कि हम इसे
लूप (loop) के लिए मॉड्यूल
2 में कर चुके हैं।
अब हम इसे लूप (loop) का
उपयोग नहीं कर रहे
हैं लेकिन अर्रे
(array) संचालन का उपयोग
कर रहे हैं।
ठीक है और चलिए यहाँ
पर जाएं।
मैं क्या करूँगा,
मैं इस सब पर comment out
करूंगा ताकि हम केवल
फॉरवर्ड डिफरेंस
(forward difference) फॉर्मूला
पर ध्यान केंद्रित
कर सकें।
आप राइट क्लिक (right
click) करें और comment पर
क्लिक (click) करें।
एक बार ऐसा करने के
बाद पूरी चीज पर comment
की जाएगी और यह नहीं
run करेंगे । मैं इस
डिस्प्ले (display) को
भी हटा दूंगा।
क्योंकि हमें ज़रूरत
नहीं है।
तो, अब हम क्या करना
चाहते हैं, हम इसे
करने के लिए h = 10 के
पावर(power) - 2, 10 के पावर(power)
-3, - 4 और - 5 ठीक है।
हम अर्रे (array) ऑपरेशन
का उपयोगकर सकते
हैं।
तो h को एक मूल्य के
रूप में देने की बजाय,
हम h को अर्रे (array) के
रूप में उपयोग करेंगे
10 के पावर(power) से -1 से
-1 के स्टेप्स (steps) में
-5 तक, ठीक है।
तो यह हमें एक वेक्टर
देने जा रहा है जो
- 1, - 2, - 3, - 4, - 5.
हम तत्व शक्ति द्वारा
तत्व जा रहे हैं।
यह महत्वपूर्ण है,
हम तत्व शक्ति द्वारा
तत्व 10 में से a कर
रहे हैं।
तो जो हमारे h को 10
के पावर(power) से -1 से
2, 3, 4 और 5 के बराबर होगा?
आइए इसे हाइलाइट
(highlight) करें और इस राइट
क्लिक (right click) करें
evaluate selection मूल्यांकन
करें और देखें कि
हम वास्तव में क्या
प्राप्त करते हैं,
हम h को 10 के पावर(power)
से -1 से -2, -3, -4 और -5.
ठीक है।
तो चलिए यहाँ पर जाएं
और देखते हैं की क्या
होता है।जब हम यह
नुमेरटर (numerator) देते
हैं, मुझे केवल नुमेरटर
(numerator) को हाइलाइट (highlight)
करने दें।
कोष्ठक के साथ राइट
क्लिक (right click) करें,
मुझे इसे हाइलाइट
(highlight) करने दें और
evaluate selection पर क्लिक
(click) करें ठीक है।
अब हमने हमारे a को
परिभाषित नहीं किया
है, इसलिए a = 1 इसके
बारे में खेद है।
और आइए हम इसका पुनर्मूल्यांकन
करें और enter दबाएं।
हम फिर से एक वेक्टर
मिलता है।
atan(a+h)-atan(a) वेक्टर है।
तो, अब हम क्या कर
रहे हैं हमारे पास
नुमेरटर (numerator में
1/5 वेक्टर है और हमारे
पास denominator में 1/5 वेक्टर
है।
और हम इसे विभाजित
कर रहे हैं।
यहां एक और समस्या
है।
हमें एक और बदलाव
करने की जरूरत है।
मैं नहीं बताऊंगा
कि परिवर्तन क्या
किया जाना है।
क्या आप स्पॉट कर
सकते हैं कि दूसरे
बदलाव की क्या ज़रूरत
है?
ठीक है।
मैं रुक जाऊंगा; आप
इस वीडियो को रोक
सकते हैं और इस बारे
में सोच सकते हैं
कि एक और परिवर्तन
क्या है जिसे हमें
यहां फॉरवर्ड डिफरेंस
(forward difference) फ़ॉर्मूला
की गणना करने के लिए
बनाया जाना चाहिए।
मैं इस कोड को run करूँगा
और देखते हैं कि वास्तव
में क्या होता है।
हम जो उम्मीद कर रहे
हैं वह एक 1/5 वेक्टर
होने के लिए फॉरवर्ड
डिफरेंस (forward difference)
सूत्र है।
चलो देखते हैं कि
हमें क्या मिलता
है।
FwdDiff, फॉरवर्ड डिफरेंस
(forward difference) 1/5 वेक्टर
नहीं है बल्कि इसके
बजाय केवल एक ही मान
ठीक है।
और इसका कारण यह है
कि हम इस स्लैश (slash)
को कर रहे हैं हम तत्व
से तत्व विभाजन द्वारा
नहीं ले रहे हैं।
लेकिन वास्तव में
हम कर रहे हैं जो लीस्ट
स्क्वायर (least square ) के
रूप में जाना जाता
है।
इस बारे में चिंता
न करें कि हम वास्तव
में यहां क्या कर
रहे हैं।
यह ऐसा कुछ है जिसे
हम शायद इस पाठ्यक्रम
के मॉड्यूल 6 में कवर
करेंगे।
तत्व से तत्व विभाजन
के लिए आपको स्लैश
(slash) का उपयोग नहीं
करना चाहिए।
लेकिन आपको डॉट स्लैश
(dot slash) का उपयोग करना
चाहिए क्योंकि हम
तत्व से तत्व विभाजन
बनाना चाहते हैं।
आइए इसे सेव (save) करें
और इसे run करें और देखें
कि हमें क्या परिणाम
मिलते हैं।
चलिए एक loglog प्लॉट
(plot) h छंद errFwd पर प्लॉट
(plot) करते हैं।
और हमें यह सीधी रेखा
मिल जाएगी।
याद रखें यह परिणाम
है कि हम पहले ही मॉड्यूल
2 में प्राप्त कर चुके
थे।
हमने for loop का उपयोग
करके ऐसा किया था।
अब हमने MATLAB ठीक में
array संचालन का उपयोग
करके इसका समाधान
किया है।
तो आइए अब इसे h को
10 के पावर(power) से -1 के
मानों की एक श्रृंखला
के लिए देखें - 1 से
10 के पावर(power) से -12 तक
ठीक है।
(वीडियो14:11 शुरू होता
है) लेकिन इससे पहले
हम इसे सेंट्रल (central)
और बैकवर्ड डिफरेंस
(backward difference) फार्मूला
के लिए भी करेंगे।
तो मुझे इसे हाइलाइट
करने दें।
राइट क्लिक (click) करें
और uncomment पर क्लिक (click)
करें।
हमारे h को एक वेक्टर
में बदलने के लिए
आवश्यक सभी चीज़ों
को याद रखना आवश्यक
है।
और एकमात्र चीज जिसे
हमें यहां बदलने
की जरूरत थी, एक डॉट
स्लैश (dot slash)था, और
कु छ भी आवश्यक नहीं
था और ऐसा इसलिए है
क्योंकि जब atan वेक्टर
हो जाता है तो स्वयं
ही लेता है।
यह परिणामस्वरूप
एक वेक्टर देगा जहां
स्पर्श (tangent) तत्वों
ने इसे प्रत्येक
तत्व और 2 * h के लिए
प्राप्त किया था।
हमें डॉट स्टार (dot
star) की आवश्यकता नहीं
है क्योंकि यह एक
स्केलर (scalar) गुणा है।
तो अन्य चीजों में
से कोई भी नहीं बदला
गया है और हम इसे करने
दें।
आइए परिणामों को
प्लॉट (plot) करें।
हमें loglog प्लॉट (plot)
h पर प्लॉट करने की
जरूरत है।
क्षमा करें, errFwd, नीली
रेखा(blue line) h, errCtr।
आइए हम एक के रूप में
a रेड लाइन (red line) और
h errBkd कहते हैं।
- मैजेंटा लाइन (magenta
line) ठीक है।
इसे (save) करें और इसे
run करें और देखें कि
हमें क्या परिणाम
मिल रहे हैं।
Magenta लाइन और नीली (blue)
रेखा लगभग एक दूसरे
के शीर्ष पर ठीक है।
और फॉरवर्ड (forward) और
बैकवर्ड डिफरेंस
(backward difference) सूत्रों
में एरर्स (errors ) सेंट्रल
डिफरेंस (central difference)
सूत्रों से ज्यादा
है।
आइए 10 के पावर(power) से
-10 तक बढ़ाये और देखें
कि हमें क्या मिलता
हैं।
यदि आपको याद है कि
हमने मॉड्यूल 2 में
क्या किया है, तो हमें
क्या प्राप्त करना
चाहिए, हम h के कुछ
मूल्य पर एरेर (error)
में न्यूनतम प्राप्त
करेंगे।
h के मूल्य फॉरवर्ड
डिफरेंस (forward difference)
सूत्र और सेंट्रल
डिफरेंस (central difference)
सूत्र के लिए अलग
होने जा रहे हैं।
यही वह है जिसे हम
देखेंगे।
तो चलो clear all करते है।
आइए इसे save करें और
हमें run करने दें।
तो हमें क्या मिलता
है, कि फॉरवर्ड (forward)
और सेंट्रल (central) , बैकवर्ड
डिफरेंस (backward difference)
सूत्र में एरेर (error)।
सेंट्रल डिफरेंस
(central difference) सूत्र में
सभी एरेर (error) भी गिरती
है।
और एक न्यूनतम है।
फॉरवर्ड डिफरेंस
(forward difference) और बैकवर्ड
डिफरेंस (backward difference)
फॉर्मूला के लिए
न्यूनतम 10 के पावर(power)
-8 है . जबकि सेंट्रल
डिफरेंस (central difference)
सूत्र के लिए न्यूनतम
10 के पावर(power)- 5 होता
है ठीक है।
वास्तविक स्थान जहां
न्यूनतम होता है,
फॉरवर्ड (forward) और सेंट्रल
फॉरवर्ड (central forward) और
बैकवर्ड डिफरेंस
(backward difference) सूत्र के
लिए eps के पावर(power) 1/2
और सेंट्रल डिफरेंस
(central difference) सूत्र के
लिए 1/3 पर होता है।
तो फॉरवर्ड डिफरेंस
(forward difference) फॉर्मूला
के लिए एरेर (error) में
न्यूनतम 10 के पावर(power)
-8 पर है।
और सेंट्रल डिफरेंस
(central difference) सूत्र के
लिए लगभग 10 के पावर(power)
-5 या 10 के पावर(power) -6
है।
ठीक है।
देखते हैं कि हमारे
पास क्या है।
तो मॉड्यूल 2 को याद
करें, ट्रंकेशन (truncation)
और राउंड ऑफ (round off)
एरेर (error) के बीच ट्रेडऑफ(trade
off) है । हम फॉरवर्ड
(forward) और सेंट्रल डिफरेंस
(central difference) फॉर्मूला
में समान ट्रेडऑफ
(trade off) देखते हैं भी
ठीक है।
तो इसके पीछे सैद्धांतिक
विचार कम्प्यूटेशनल
टेक्नोलॉजी कोर्स
(computational technology course) मॉड्यूल
6 भाग 2 में शामिल थे,
जिसके लिए लिंक (link)
यहां दिया गया है।
इसलिए यदि आप सैद्धांतिक
समझ प्राप्त करने
में रुचि रखते हैं
कि हमें फॉरवर्ड
(forward)और सेंट्रल (central)
और बैकवर्ड डिफरेंस
(backward difference) सूत्र के
लिए विभिन्न मूल्यों
पर न्यूनतम क्यों
मिलता है, तो आप इस
वीडियो व्याख्यान
में जा सकते हैं और
उन वीडियो व्याख्यान
को देख सकते हैं।
उस व्याख्यान में,
हमने जो किया है, हमने
f(x)=2 - x + ln x लिया है और
उस विशेष समस्या
के लिए फॉरवर्ड (forward)और
सेंट्रल (central) और बैकवर्ड
डिफरेंस (backward difference)
सूत्र गणना की है।
और सही समाधान 1 / x
- 1 ठीक है।
तो यह एक समस्या है
कि हम अभ्यास के लिए
ठीक से हल करना चाहते
हैं।
तो इसके साथ मैं व्याख्यान
3.1 के अंत में आ गया।
इस व्याख्यान में,
हमने f`(x)की गणना के
लिए फॉरवर्ड (forward)और
बैकवर्ड (backward ) और सेंट्रल
डिफरेंस (central difference)
सूत्र को कवर किया
है।
धन्यवाद और आपको
अगले व्याख्यान में
मिलते हैं।