Higher Order Differentiation Formulae - MATLAB Video Lecture | MATLAB Programming for Numerical Computation - Software Development

नमस्कार, संख्यात्मक
गणना के लिए MATLAB प्रोग्रामिंग
में आपका स्वागत
है। हम मॉड्यूल 3 में
हैं। इस मॉड्यूल
के पहले भाग के व्याख्यान
3.1 में हम संख्यात्मक
भेदभाव का प्रयोग
कर रहे हैं। अभीतक
हमने समझा कि किसी
दिए गए फ़ंक्शन के
लिए f(x) की गणना कैसे
करें। इस मॉड्यूल
में हम एक उदाहरण
लेँगे जो व्यावहारिक
प्रकृति के साथ-साथ
एक सिंगल वेरिएबल
के लिए उच्च डेरिवेटिव
ढूंढता है। विशेष
रूप से, हम कुछ उदाहरण
समस्याओं के लिए
f ``(x) को ढूंढेंगे।
तो, पिछले व्याख्यान
में हमने देखा है
कि पहले व्युत्पन्न
की गणना कैसे करें।
अब इसके बजाय यदि
हम केंद्रीय अंतर
फॉर्मूला का उपयोग
करके दूसरे व्युत्पन्न
की गणना करना चाहेंगे,
तो हमें
f `` x = f(x+ h)-2 f(x)+ f(x-h)/h2 मिलेगा.
यहापर मैंने (x+ h) और
(x-h) लिखने के बजाय
सबस्क्रिप्ट i + 1, i
और i- 1 दिया है|
यह केंद्रीय अंतर
सूत्र जैसा कि हमने
पिछले व्याख्यान
में देखा था, h^2 सटीक
है। हम पिछले व्याख्यान
से याद करते हैं की
f’(x) को f(i +1) – f(i-1) विभाजित
2h के रूप में हम लिख
सकते है| यह पहला अंतर,
केंद्रीय अंतर सूत्र
का उपयोग करते हुए
पहला व्युत्पन्न
निकलने का सूत्र
है। यह दूसरी व्युत्पन्न
के लिए सूत्र है; यह
तीसरे व्युत्पन्न
के लिए सूत्र है और
इसी प्रकार आगे।
हम उच्च डेरिवेटिव
के लिए सूत्रों की
व्याख्या बना सकते
है , यहां पर यह एच
घन होना चाहिए नाकि
एच वर्ग। हालाकि
इस व्याख्यान में
हम केवल दूसरे व्युत्पन्न
के बारे में देखेंगे।
तो, चलिए फिर से उस
प्रश्न को देखते
हैं
f(x)= TAN-१ (x ) तो f''(x) निकाले
|
अभी हम MATLAB पर चलते
है, हमें x = a पर f ''(x)खोजना
था जहा a = 1 हैँ|
आइए माने a h था e ^ -4|
इसलिए, हम इस विशेष
सूत्र द्वारा दिए
गए एफ `` टैन इनवर्क्स
एफ 'की गणना करना चाहते
थे।
(वीडियो02:32 शुरू होता
है)
तो TrueVal = 2 को 1 + वर्ग
से विभाजित करके
गुणा किया जाता है,
पूरे उसमें नकारात्मक
होता है। और मैं सिर्फ
एक नकारात्मक संकेत
डालूँगा। यही हमारा
सच वाल है। तो सच वैल
है - 0. 5.
हम tan-1 (x) का f''(x) निकलना
चाहते है| यह f''(x) इस
विशेष सूत्र से निकला
जा सकता है| तो TrueVal
= 2 को a से गुणा और 1
+ a 2 से विभाजित करके,
इस पुरे को वर्ग करके
उसका नकारात्मक लेना
है । मैं सिर्फ एक
नकारात्मक संकेत
डालूँगा। यही हमारा
true value हैँ। तो true value
यहाँ आया - 0. 5.
आइए यहां दिए गए सूत्र
का उपयोग करके संख्यात्मक
व्युत्पन्न की गणना
करें। वह है
(a + h)-2f(a) + f (a -h)/h2 .f यह कुछ
और नहीं बल्कि tan है।
(वीडियो03:07 शुरू होता
है)
तो, numDiff = atan(a+ h)- 2 . atan (a)
- 2 * atan (a) + atan (a -h), a - h,
हम इसे सभी को कंस
में डाल दें एवं h
2 द्वारा विभाजित
करे। यह बनेगा हमारा
numDiff| और numDiff लगभग बराबर
है - 0. 5 के . TrueVal और numDiff
के बीच के अंतर के
बीच त्रुटि, abs(trueVal-numDiff)
इस सूत्र से आती है
।
और त्रुटि 1. 4 * 10^-8 के
करीब है |
तो अभीतक हमने tan-1(x)
के लिए f''(X) को देखा।
आइये अगले उदाहरण
पर जाएं।
यह उदाहरण कम्प्यूटेशनल
टेक्नोलॉजी कोर्स
मॉड्यूल 6 भाग 2 से
लिया गया है। यहाँ
f(x) = 2 - (x + ln x ) है। इस फलन
के लिए हम केंद्रीय
व्युत्पन्न का उपयोग
करके f '(x) और f''(x) निकालेंगे।
मेरा सुझाव है कि
अगर आपने इसे खुद
करने का प्रयत्न
नहीं किया है, तो कृपया
इस चरण को यहाँ यहाँ
रोके और f '(x) और f''(x) निकालने
का प्रयत्न करे।
आप इसे सिर्फ एक मूल्य
के लिए निकाले जिसमे
step size h हो, मान लीजिये
की h = 10 ^ -4 है। इस बिच
मै आपको MATLAB में भी
इसका समाधान देता
हु। (वीडियो 05:22 से
शुरू होता है)।
मैंने स्क्रीन साफ
कर दी है। आइए हम दूसरी
समस्या 2-(x+ ln x) के लिए
numDiff2, संख्यात्मक भेदभाव
संपादित करें। मान
लेते है की हम इसका
x, a = 1 और h= 1 e -4 पर समाधान
निकलना है। मानते
है f(x+ h) को f1 , f(x) को f2
और f(x- h) को f3 | तो ये बनेगा
2 - a, माफ़ कीजियेगा
2- (a+ h). असल में इस प्रकार
x = a+ h, f1 = 2- (x+ log(x)). फिर हम
चढ़ाएंगे x = a and f2 = 2- (x+
log(x)), x = a- h and f3 = 2- (x+ log(x)).
TrueVal, TrueVal1 f ' के लिए हो
जायेगा 1 /(x-1) , मतलब
1 / (a- 1)। और TrueVal2 है – 1/
a2.
यही हमें चाहिए संख्यात्मक
व्युत्पन्न निकलने
के लिए। numDiff1 का स्वरुप
होता है (f1- f3) / 2h और numDiff2
था (f1- 2f2+ f3)/h2
err1 होगा err1 = abs(trueVal1-numDiff1)।
आगे से ,numDiff कहने के
बजाय, हम इसे numVal कहेंगे।
अब shift + enter दबाये। तो
सभी मूल्य बदल जाएंगे
और numDiff बन जायेगा numVal2।
तो यह err1 = (trueVal1 - numVal1)
है और err2 = abs(trueVal2- numVal2)
है।
इसे सहेज लें और इसे
चलाएं। तो हमें err1
मिला 3 *e^- 9, err2 मिला 5
* e ^-9. अगर हम देखे numVal1,
वो आएगा 3 * e ^ -9 .
यहाँ हम उम्मीद करते
है की trueVal1 होगा 0, numVal2
होगा -1 साथ ही trueVal2
होगा -1.
इस प्रकार हम देख
सकते है की केंद्रीय
अंतर सूत्र का उपयोग
करने पर h = 10 ^ - 4 के लिए
त्रुटिया काफी छोटी
है।
तो चूँकि हमने दूसरे
उदाहरण 2-(x + ln x) ले लिए
संख्यात्मक अवकलन
पूरा कर लिया है, हम
आगे एक नयी समस्या
को देखे जोकि काफी
व्यवाहरिक महत्व
रखती है।
यह फलन रसायन शास्त्र
से आता है। जैसा कि
आप सभी जानते हैं
कि रासायनिक अभिक्रिया
की दर यहां दिए गए
एरेनियस फॉर्म(Arrhenius
form) में लिखी जा सकती
है। अभिक्रिया का
दर r इस तरह लिखा जाता
है; r = k* e ^ (-E /RT)*C^1.25। यहापर
दर स्थिरांक K = 1000 एवम
e/r = 2500 है. चलिए MATLAB पर
इस समस्या को हल करने
का प्रयास करें।
नया प्रोग्राम edit
rxnRateDiff.
%एरेनियस अभिक्रिया
का f’(x) निकाले
% r = k* e ^ (-E /RT)*C^1.25
% स्थिरांक
k = 1000 ;
EbyR = 2500;
C = 1.0 ;
T = 600;
अच्छा, यहाँ तापमान
वह भौतिक परिमाण
है जो बदल रहा है,
इसलिए तापमान का
विश्लेषणात्मक अवकलज(analytical
derivative), क्युकी यहाँ
e^(-E/RT) है, बन जायेगा
(E/(R*T^2))*r .
तो, चलिए पहले दर(rate)
r = k गुणा e ^ -
e / rt * c ^1.25 निकालें । TrueVal
बनेगीं r *e /(R*T^2)। अब
फिर संख्यात्मक अवकलन
(numerical differentiation)के लिए
हमें r1 और r2 निकालने
होंगे। r1 हमे मिलेगा
k गुना (ऊपर का समीकरण),
जिसमे T की जगह आ जायेगा
T+h .
r1 = k* exp (-EbyR /(T+h))*C^1.25
इसी प्रकार केन्द्रिय
मध्य (central difference) का प्रयोग
करके r2 बनेगा
r2 = k* exp (-EbyR /(T-h))*C^1.25
और numval बन जायेगा
numval = (r1- r2) / (2 * h) ;
अब सवाल ये उठता है
की h का मूल्य (value) क्या
लिया जाये। सुविधा
के लिए अबतक हम जो
लेते है
h = 1.0 *e ^-4
और err बनेगा abs(trueVal - numVal)
err = abs(trueVal - numVal)
आइए इसे सहेजे और
चलाएं(save and run). हम उम्मीद
करते हैं कि इसमें
कोई त्रुटि नहीं
है। समाधान (solution) में
जो त्रुटि है वह trueValऔर
numVal के बीच का अंतर
हैँ।
यहापर TrueVal है 0. 1077 और
numval भी दिखेगा 0. 1077.
err = 4.2104 * e-11
TrueVal = 0. 1077
numVal = 0. 1077
तो, यह केंद्रीय मध्य
(central difference) सूत्र का
उपयोग कर T = 600 केल्विन
पर r' मतलब dr/dt खोजने
के हमारे अभ्यास
को पूरा करता है जहाँपर
r Arrhenius रूप की रासायनिक
अभिक्रिया की दर
(rate of chemical reaction) है। आप
आगे करने का प्रयास
कर सकते हैं की, h के
मूल्य को बढ़ाने
या घटाने से dr/dt में
त्रुटियों(error) में
क्या परिवर्तन होता
है।
हमने पिछले व्याख्यान
में देखा था कि, h का
इष्टतम मूल्य(optimum
value), केंद्रीय मध्य
(central difference) का उपयोग
करके f `(x) के लिए दिया
जाता है मशीन परिशुद्धता(machine
precision)^1/3
optimum value of h = (epsilon-machine) ^ 1/3.
h की इष्टतम(optimum) मूल्य
(value) h = (e-machine)^ 1/3 ऐसी सिर्फ
उन्ही परिमानो के
लिए होगा जिसका तापमान
(temperature) जोकि स्वतन्त्र
चर (independent variable) है 1 के
करीब होगा (of the order 1)
.
तो इस उदाहरण को देखने
से पहले हमने अन्य
उदाहरण 2-(x+ ln x) के लिए
f'(x) और f ''(x) निकाला केंद्रीय
मध्य (central difference)सूत्र
का उपयोग करके।
केंद्रीय मध्य (central
difference) का प्रयोग करके
f'(x) का इष्टतम मूल्य(optimum
value) आ गयी ईपीएसलॉन
^ 1/3 मतलब (e ^ 1/3)
इसी प्रकार f ''(x) का
इष्टतम मूल्य(optimum
value) आ गयी ईपीएसलॉन(epsilon)
^ 1/4 मतलब (e ^ 1/3)
ये h की इष्टतम वैल्यू
(ऑप्टिमम) निकालने
और पढ़ने के लिए हम
अभ्यास समस्या के
रूप में इसे देख सकते
है। अगले व्याख्यान
में, हम अभिक्रिया
की इस दर(reacton rate) के
इस भौतिक उदाहरण
पर फिर से जा रहे हैं।
इसके साथ मैं व्याख्यान
3.2 के अंत में आता हूं
और मैं आपको अगले
व्याख्यान में मिलूंगा।
आपको बहुत धन्यवाद
और अलविदा।