Basics of Linear Algebra - MATLAB Video Lecture | MATLAB Programming for Numerical Computation - Software Development

नमस्कार और संख्यात्मक
अभिकलन के लिए MATLAB
प्रोग्रामिंग (MATLAB
programming for numerical computations) में
आपका स्वागत है।
अब हम इस पाठ्यक्रम
के सप्ताह 4 में हैं।
इस सप्ताह में हम
रैखिक समीकरण (linear
equation) को कवर करने जा
रहे हैं। तो मूल रूप
से हम पहले व्याख्यान
4.1 में रैखिक बीजगणित
(linear algebra) को कवर करने
जा रहे हैं, वेक्टर
x के मूल्यों को खोजने
के लिए b के बराबर
प्रकृति ax की समस्याओं
को हल करने के लिए
रैखिक बीजगणित (linear
algebra) का उपयोग करने
के लिए कई तरीकों
का पालन किया। इससे
पहले कि हम ऐसा करें
कि हम रैखिक बीजगणित
(linear algebra) से कुछ परिणामों
को पुन: लाएं।
इसके लिए संबंधित
वीडियो कम्प्यूटेशनल
तकनीक (computational techniques)
के पाठ्यक्रम 3 लेक्चर
1 में हैं। वह लिंक
(link) जिसके लिए लिंक
आपके सामने दिया
गया है। तो आइए रैखिक
बीजगणित (linear algebra) के
कुछ परिणामों की
समीक्षा करें। तो
क्या एक वेक्टर (vector)
कुछ भी नहीं है, लेकिन
एक स्केलर का एक सेट
एक उदाहरण यहाँ पर
दिखाया गया है। तो
इस वेक्टर (vector) का
एक आयाम है इस मामले
में इस वेक्टर (vector)
का आयाम सुविधा के
रूप में 2 है जो हम
इस पूरी व्याख्यान
श्रृंखला में करने
जा रहे हैं।
हम सभी वैक्टरों
को कॉलम वैक्टर मानने
जा रहे हैं, जिसका
अर्थ है कि वैक्टरों
में n पंक्तियाँ होंगी,
लेकिन एक एकल स्तंभ
होगा। जैसा कि आप
यहाँ देख सकते हैं
कि हमारे पास 2 पंक्तियाँ
हैं लेकिन एक एकल
स्तंभ है अब इस स्तंभ
वेक्टर में एक आयाम
है जो तत्वों की संख्या
के अलावा कुछ नहीं
है। अगर हम ज्यामितीय
व्याख्या को देखना
चाहते हैं।
यह कुछ भी नहीं हो
सकता है, लेकिन इस
space में एक 2 आयामी space
में एक बिंदु है जो
x अक्ष पर दूरी 2 है
और y अक्ष पर दूरी
3 या पहले अक्ष पर
अधिक उचित रूप से
दूरी 2 और दूसरी धुरी
पर दूरी 3 है। । अब
इस विशेष वेक्टर
में एक दिशा है जो
मूल रूप से मान 2, 3
द्वारा दी गई है और
साथ ही इसका एक मानदंड
भी है।
अब तक का सबसे सामान्य
मानदंड जो हम अब तक
इस्तेमाल कर रहे
हैं, उसे इस वेक्टर
के 2 मानक के रूप में
जाना जाता है, जो मूल
से उस विशेष बिंदु
की दूरी के वर्ग के
अलावा और कुछ नहीं
है। तो 2 वर्ग + 3 वर्ग
का वर्ग मार्ग इस
विशेष वेक्टर के
2 मानदंड के अलावा
कुछ भी नहीं है। इसी
तरह हमारे पास वेक्टर
का 1 मानदंड और वेक्टर
(vector) का वेक्टर (vector)
मान या वेक्टर (vector)
का अनन्त मानदंड
ऐसा है जिसमें हम
जाने वाले नहीं हैं।
लेकिन अनिवार्य रूप
से सिर्फ जिस तरह
से हम एक भौतिक बिंदु
के साथ दूरी को space
में जोड़ते हैं, एक
वेक्टर एक ऐसे मानदंड
से जुड़ा हो सकता
है, जो size या उस विशेष
वेक्टर की दूरी के
संकेत के अलावा कुछ
नहीं है।
ठीक है, अब अगला हम
देख चुके हैं कि इसका
क्या मतलब है जब हम
अज्ञात में 2 समीकरणों
को हल करना चाहते
हैं। इसलिए यहां
मैं 2 समीकरणों और
2 अज्ञात के 3 अलग-अलग
मामलों को दिखा रहा
हूं। अज्ञात x1 और
x2 हैं और 2 समीकरणों
में वास्तव में एक
ही समाधान हो सकता
है 0 समाधान हो सकता
है और अनंत संख्या
में समाधान हो सकता
है। तो जब हम एक ही
समाधान प्राप्त करते
हैं, तो 0 समाधान और
अनंत संख्या में
समाधान हम इस स्लाइड
(slide) पर ग्राफ़िकल
(graphical) रूप से दिखा
रहे हैं।
इसलिए यदि आप पहले
उदाहरण को देखते
हैं, तो हमारे पास
समीकरण X1 + 2 x2 = 1, X1- x2 = 4
होते हैं, ये यहाँ
पर नीली और लाल रेखा
का प्रतिनिधित्व
करते हैं और ये 2 रेखाएं
एक बिंदु (3-1) पर प्रतिच्छेद
करती हैं। तो (3-1) एक
अनूठा समाधान है
ठीक है। अगला है अगर
ये 2 समीकरण दूसरे
समीकरण के रूप में
x- X1- x 2 होने के बजाय,
अगर हमारे पास 2x1 +
4x2 थे जो कि अगले समीकरण
के बाएं हाथ की ओर
के रूप में बाएं हाथ
की ओर डबल के अलावा
कुछ भी नहीं है, जो
है 2x1 + 4x2 जो अगले समीकरण
का बायाँ हाथ है।
और दाहिने हाथ की
ओर अगर हम उस मूल्य
को 4 के रूप में लेते
हैं, तो हम देख सकते
हैं कि ये अब 2 समानांतर
रेखाओं का प्रतिनिधित्व
करते हैं। ये 2 समानांतर
रेखाएं प्रतिच्छेद
करने वाली नहीं हैं
और इस मामले में हमारे
पास 0 समाधान होने
वाले हैं। और अब इस
मामले में अगर दूसरा
समीकरण कुछ भी नहीं
था, लेकिन पहले समीकरण
का दोगुना था तो 2x1
+ 4x2 = 2, जो कि इस पहले
समीकरण के दोहरे
के अलावा और कुछ नहीं
है।
हम इन 2 पंक्तियों
को एक दूसरे के ऊपर
लेटते जा रहे हैं
और हमारे पास अनंत
संख्या में समाधान
होने वाले हैं। तो
सवाल यह है कि हमें
एकल समाधान कब मिलेगा?
जब हम अनंत समाधान
प्राप्त करते हैं?
और जब हम 0 समाधान
प्राप्त करते हैं?
ठीक है और इसका उत्तर
मैट्रिक्स (matrix) की
रैंक (rank) का पता लगाने
से है।
इसलिए यदि हम मैट्रिक्स
a की रैंक (rank) को देखते
हैं और अगर इस विशेष
मामले में मैट्रिक्स
की रैंक (rank) 2 के बराबर
है, तो हमारे पास एक
अनूठा समाधान होने
वाला है यदि n x n वर्ग
मैट्रिक्स के वर्ग
का आयाम आयामी वर्ग
मैट्रिक्स के बराबर
है n, तो हमारे पास
समस्या के लिए एक
अनूठा समाधान होगा
ax = b ठीक है।
लेकिन क्या होगा
अगर रैंक 2 (rank) के बराबर
नहीं है? यही कारण
है कि हम मध्य स्तंभ
के साथ-साथ दाहिने
कॉलम में भी देखते
हैं। उस स्थिति में
हमें मैट्रिक्स a,b
की रैंक (rank) को देखने
की जरूरत है, यदि मैट्रिक्स
a की रैंक (rank) a, b की रैंक
(rank) के बराबर है, तो
हमारे पास अनंत संख्या
में समाधान होने
वाले हैं लेकिन यदि
रैंक (rank) a, b के बराबर
नहीं है, तो हम 0 समाधान
ठीक करने जा रहे हैं।
हमें MATLAB पर चलते हैं
और इन 3 उदाहरणों को
देखते हैं जिन्हें
हमने देखा है इसलिए
हमें मैट्रिक्स a,
मैट्रिक्स को देखें
1 2; 1 -1। b दायां हाथ है
जो कि 1, 4 ठीक है। तो
ये वो 2 मूल्य हैं
जो हमारे पास हैं
जब हम ax = b को हल करना
चाहते हैं। हम जानते
हैं कि समाधान x =a * b
के उलटा (inverse) होने
वाला है। और x जैसा
कि आप यहाँ देख सकते
हैं 3, -1 है जो हमने
अपनी पावर पॉइंट
स्लाइड (powerpoint slide)में
एक मिनट पहले देखा
था।
अब MATLAB के पास इन समीकरणों
को हल करने का एक अधिक
कुशल तरीका है और
इस मामले में बैकलैश
(backslash) का उपयोग कर
रहा है। चूँकि हम
b से व्युत्क्रम के
पूर्ववर्ती गुणा
कर रहे हैं इसलिए
हम इसे एक बैकस्लैश
(backslash) b के रूप में लिखते
हैं और जब हम एंटर
दबाते हैं तो हम समाधान
3, -1 प्राप्त करने जा
रहे हैं। a के लिए
एक बैकस्लैश (backslash)
b और जिसके पास एक
रैंक (rank)= n है इस विशेष
कमांड के ठीक समान
है।
आइए हम स्लैश (slash) c
की मदद करते हैं और
देखते हैं कि हम क्या
ठीक हैं। यदि आप याद
करते हैं, हमने पहले
मॉड्यूल में क्या
किया था तो हमने तत्व
विभाजन और तत्व द्वारा
तत्व संचालन को देखा
था और यही बाद में
इस सहायता स्लैश
(help slash) हिस्सा हमें
दिखा। लेकिन हम जिस
चीज में अधिक रुचि
रखते हैं वह यह देखने
के लिए है कि वास्तव
में बाएं विभाजन
और दाएं विभाजन का
क्या मतलब है।
तो a बैकस्लैश (backslash)
b बाएं विभाजन है जो
कि inv a * b के समान है,
यदि nxn मैट्रिक्स
के साथ n रैंक (rank)= m
ठीक है। यह कुछ अलग
है अगर a की mat रैंक
n के बराबर नहीं है
तो हम अभी उस स्थिति
में नहीं जाएंगे।
और फिर हमारे पास
एक समतुल्य है जिसे
एक सही विभाजन कहा
जाता है दायां भाग
b aके व्युत्क्रम से
गुणा किया जाता है।
समस्या ax के बराबर
बी के लिए, हमें एक
बाएं उलटा (inverse) होना
चाहिए। तो x का व्युत्क्रम
(inverse) b से b b से गुणा
नहीं किया गया है,
और इसलिए हमने बाएं
उलटा (inverse) दिया है
जो कि backslash द्वारा
इंगित किया गया है,
यहाँ backslash छोटा b है,
और यही वह समाधान
है जो हमें मिला।
इसलिए यह पहली बात
थी कि हमने देखा कि
इन समीकरणों को कैसे
हल किया जाए।
हमें देखते हैं कि
कैसे MATLAB का उपयोग
करके पता लगाया जाए
कि आपके समीकरणों
में एक अद्वितीय
समाधान या अनंत समाधान
या 0 समाधान होने जा
रहे हैं या नहीं।
और हम ऐसा कर सकते
हैं कि रैंक (rank) a और
मैट्रिक्स की रैंक
(rank) a 2 के बराबर है इसलिए
हम कहते हैं कि यह
पूर्ण रैंक (rank) मैट्रिक्स
है। इसका मतलब है
कि, मैट्रिक्स a के
पद पंक्तियों की
संख्या या स्तंभों
की संख्या के बराबर
है।
हम मैट्रिक्स के
size को m, n = size a कहकर भी
पा सकते हैं। m पंक्तियों
की संख्या होने वाली
है, n उन स्तंभों की
संख्या होने जा रही
है जिन्हें हमने
पहले ही देख लिया
है कि मॉड्यूल 1 में।
अब हम दूसरे उदाहरण
को देखते हैं और दूसरा
उदाहरण, हमारा b वही
रहता है जिसे हमने
अपने a को 1 2 2 4 में बदल
दिया है।. आइए हम उस
a को 1, 2; 2, 4 के बराबर
बदलाव करें. मुझे
अर्धविराम skip करने
के लिए इसे echo करते
हैं, इसलिए हमारा
a 1 2 2 4. 4. हमें a = 1 रैंक
मिलता है।
और इसलिए एक अद्वितीय
समाधान नहीं होगा
माफ करना, ax=b हमारे
पास एक अनूठा समाधान
नहीं होगा। इसमें
या तो अनंत संख्या
की समाधान या 0 समाधान
हो सकती है। और ऐसा
करने के लिए हमें
मैट्रिक्स a,b के रैंक
को खोजने की आवश्यकता
है। और मैट्रिक्स
a,b = 2 की रैंक (rank) जिसका
मतलब है कि a,b की रैंक
a की रैंक (rank) के समान
नहीं है।
तो हमारे पास 0 समाधान
होने जा रहे हैं जो
कि यह विशेष मामला
है। अब हम b को 1 2, b = 1;2
में बदलते हैं. ध्यान
दें कि हमने उस अर्धविराम
का उपयोग किया है
क्योंकि हम कॉलम
वेक्टर चाहते हैं।
ताकि हमारा b। a का
रैंक बदलने वाला
नहीं है क्योंकि
हमने रैंक (rank) नहीं
बदला है क्षमा करें
हमने मैट्रिक्स a
नहीं बदला है। आइए
अब हम a के रैंक (rank)
के आधार पर देखें।
और इस मामले में, a,b
के रैंक (rank) एक मामले
में a के रैंक (rank) के
बराबर है
हम अनंत संख्या में
समाधान करने जा रहे
हैं। आइए अब अगली
अवधारणा को रेखीय
बीजगणित (linear algebra) में
देखते हैं और वह अवधारणा
है जिसे स्थिति संख्या
के रूप में जाना जाता
है। इन 2 उदाहरणों
में हमारे पास X1 + 2x2
= 1 और X1 + 4x2 = 2 समीकरण
थे। दूसरे समीकरण
के बजाय X1 + 4x2 में होने
पर, अगर हमें इसे 3.999
x2 में बदलना है तो
ठीक है। हम इस विशेष
समीकरण को ठीक करने
जा रहे हैं और हमारा
मैट्रिक्स a 1 2 ; 2 3.999
होने जा रहा है
यदि आप इस समीकरण
को हल करते हैं तो
हम समाधान को 3, -1 के
रूप में प्राप्त
करने जा रहे हैं।
अब यदि हम 1 और 2.001 के
बजाय अपने b में बहुत
छोटा परिवर्तन करते
हैं, यदि हम इसे 1 और
2.0 में बदलते हैं, तो
हम समाधान में एक
बहुत बड़ा परिवर्तन
करने जा रहे हैं।
और इसका कारण यह है
कि क्या स्थिति संख्या
(condition number) के रूप में
जाना जाता है या एक
खराब स्थिति मैट्रिक्स
के रूप में जाना जाता
है। हालत संख्या
(condition number) मैट्रिक्स
के eigen मूल्यों के
अनुपात के अलावा
कुछ भी नहीं है।
इसलिए इस विशेष मामले
a में एक n x n मैट्रिक्स
के 2 Eigen मान हैं और
इस मामले में 2 Eigen मानों
का अनुपात लगभग 25000
है जो काफी बड़ी संख्या
है और इसलिए हम देखते
हैं कि परिणाम यथोचित
b मैट्रिक्स के छोटे
परिवर्तन के लिए
काफी बदल जाते हैं
ठीक है। तो आइए एक
1 2; 2 3.999 के रूप में परिभाषित
किए जाने पर स्थिति
की संख्या (condition number)
देखें जो हमारा मैट्रिक्स
a था।
हम कमांड cond का उपयोग
क्रम की स्थिति संख्या
(condition number) को खोजने
के लिए करेंगे और
cond 2.5 है 2.5 * 10^4 यह लगभग
25000 है। अब हम कमांड
eig और eig का उपयोग करते
हुए Eigen मान पा सकते
हैं आप 2 Eigen मान और
हम यह भी सत्यापित
कर सकते हैं कि शर्त
संख्या (condition number) 2 Eigen
मानों का अनुपात
ठीक है। और उस का परम
(absolute) मूल्य।
हाँ और यह ठीक यही
है कि हमारी स्थिति
संख्या (condition number) यह
है कि हमने कमांड
cond का उपयोग करके प्राप्त
किया है। इसलिए MATLAB
कमांड cond किसी भी मैट्रिक्स
की स्थिति संख्या
(condition number) ज्ञात कर
रहा है। MATLAB कमांड
rank उस विशेष मैट्रिक्स
की rank का पता लगाने
के लिए है और MATLAB कमांड
eig उस मैट्रिक्स के
Eigen मूल्यों को खोजने
के लिए कमांड है।
अब हम वापस लौटते
हैं और देखते हैं
कि हमारे Eigen मान कमांड
क्या कर सकते हैं।
इसलिए मैं help eig टाइप
करूंगा। और इसलिए
हम ईजन मूल्य देख
सकते हैं। इसलिए
अगर हम सिर्फ 1 आउटपुट
तर्क के साथ एक कमांड
eig देते हैं, तो हम
एक कॉलम वेक्टर प्राप्त
करने जा रहे हैं जिसमें
Eigen मान शामिल हैं।
हालाँकि अगर हम 2 तर्क
देते हैं v और d, v एक
मैट्रिक्स का है
जिसमें Eigen वैक्टर
हैं और d मैट्रिक्स
होने जा रहा है जिसके
विकर्ण तत्व Eigen मान
हैं।
तो आइए हम MATLAB v,d=eig में
देखें, जो कि eig के
बराबर है। इसलिए
जैसा कि हमने कुछ
मिनट पहले ही याद
किया था कि हम वैक्टर
को कॉलम वैक्टर के
रूप में परिभाषित
करेंगे। तो यह eigen
वेक्टर 1 है जो -.89, 0.45
है जो इस Eigen मान के
अनुरूप पहला Eigen वेक्टर
है। दूसरा ईजनवेक्टर
(eigen vector) यह है जो इस
ईजेन वैल्यू (eigen value)
से मेल खाता है।
ठीक है आइए हम देखें
कि क्या यह समीकरण
को संतुष्ट करता
है बल्कि v = lambda*v करता
है कि क्या यह संतुष्ट
है या ठीक नहीं है।
आइए हम उसको देखने
का प्रयास करें।
तो हम कहते हैं कि
l कुछ भी नहीं है लेकिन
d1 ठीक है। और हमारा
v पहला कॉलम के अलावा
कुछ भी नहीं था। पहला
स्तंभ का अर्थ मूल
रूप से सभी पंक्तियों
और स्तंभ संख्या
1 है। यह l पहला Eigen मान
है, यह v पहला Eigen वेक्टर
है। हम कहते हैं कि
a*v-lambda*v है जो हमें मिलता
है, हम 10^- 15 से मान के
रूप में प्राप्त
करते हैं.
देखो, आइए हम a*v को
देखें और a*v 10- 3 का क्रम
से है। इसलिए सभी
व्यावहारिक उद्देश्यों
के लिए इस विशेष आदमी
को a* lambda लगभग lambda *a के
बराबर है। फिर से
ध्यान रखें कि उसने
पिछले 2 मॉड्यूल में
पहले क्या कहा था,
कंप्यूटर एक परिमित
सटीक मशीन (finite precision
machine) है।
इसका मतलब यह है कि
कंप्यूटर की लीस्ट
काउंट (Least count) है। इसलिए
जब हम वास्तविक संख्याओं
का उपयोग करके फ़्लोटिंग
पॉइंट नंबरों (floating
point numbers) का उपयोग करने
में समस्याएँ करने
जा रहे हैं, तो हम
हमेशा ऐसा नहीं करेंगे
जब हम (a-b) करेंगे । हम
हमेशा 0 और उसके बराबर
मान प्राप्त करने
वाले नहीं होते हैं।
हम a और b दोनों के मूल्य
की तुलना में बहुत
कम संख्या के रूप
में (a-b) का कुछ गुना
मूल्य प्राप्त करने
जा रहे हैं।
और जो कि हम अनिवार्य
रूप से देख रहे हैं
वह यह है कि क्या v
द्वारा एक या कई lambda*v
के करीब है या नहीं।
इसलिए v द्वारा एक
से अधिक a मान है और
lambda*v का भी यही मूल्य
है। आइए हम दूसरे
उदाहरण पर ध्यान
दें, जहां हम lambda को
इस दूसरे eigen मूल्य
के रूप में लेते हैं।
तो l d2, 2 है और v कुछ भी
नहीं है, लेकिन v सभी
पंक्तियों और दूसरे
स्तंभों पर ठीक है।
आइए हम v से गुणा करें,
यह a* v का मान है। और
हम lambda*v को देखते हैं
और यह वैसा ही है जैसा
कि lambda को हम ठीक से
गुणा करते हैं। हमने
जो किया उसे फिर से
करने के लिए। जब आप
2 arguments के साथ कमांड
चलाते हैं तो हमने
Eigen मान और Eigen वैक्टर
खोजने के लिए कमांड
eig का उपयोग किया था।
पहला argument आपको eigen वैक्टर
वाले मैट्रिक्स देगा।
उस मैट्रिक्स का
पहला कॉलम पहला Eigen
वेक्टर है, उस मैट्रिक्स
a का दूसरा कॉलम दूसरा
Eigen वेक्टर और इसी
तरह है। eig से दूसरा
तर्क एक मैट्रिक्स
है जिसके विकर्ण
तत्व विभिन्न eigen मान
हैं।
पहला a11 पहला Eigen मान
है, a22 दूसरा Eigen मान
है और इसी तरह nth Eigen
मान है।
तो यह है कि रैखिक
बीजगणित (linear algebra) की
समीक्षा जो इस पाठ्यक्रम
के बाकी हिस्सों
के लिए उपयोगी होने
जा रही है और अब हम
उन सभी उपयोगी MATLAB
फ़ंक्शंस को फिर
से तैयार करते हैं
जो हमने अब तक किए
हैं। मुख्य रूप से
मॉड्यूल 1 में पिछले
व्याख्यान में। हमने
मैट्रिक्स exponent, मैट्रिक्स
लॉगरिदम (logarithm), मैट्रिक्स
स्क्वायर रूट, मैट्रिक्स
पावर पर ध्यान दिया
है और आज हमने मैट्रिक्स
डिवीजन, लेफ्ट डिवीजन
के साथ-साथ राइट डिवीजन
को भी देखा। इसलिए
ये ऐसे commands थे जिन्हें
हमने पहले मॉड्यूल
की तरह कवर किया है।
आज हमने मैट्रिक्स
के व्युत्क्रम (inverse)को
खोजने के लिए कमांड
inv को कवर किया, मैट्रिक्स
की रैंक खोजने के
लिए rank, मैट्रिक्स
की स्थिति संख्या
खोजने के लिए cond। हम
एक मिनट में वेक्टर
या मैट्रिक्स का
मान ज्ञात करने के
लिए कमांड norm का उपयोग
करेंगे। हम अभी के
लिए अपने आप को वैक्टर
में ले जाएंगे, लेकिन
एक मैट्रिक्स के
लिए command भी मौजूद है।
हमने ईगन (eigen) मूल्यों
और ईजेन (eigen) वैक्टर
को खोजने के लिए eig
का भी इस्तेमाल किया,
लू चोल्स्की क्यूआर
फैक्टराइजेशन (lu cholesky
qr factorization), शूर (schur) अपघटन
ये कुछ ऐसे हैं जो
बहुत सारे इंजीनियर
काफी उपयोग करते
हैं और मैंने उन्हें
पूर्णता के लिए इस
विशेष तालिका में
रखा है। लुड रचना
(Lud composition) कुछ ऐसी है
जिसे हम इस मॉड्यूल
के चौथे व्याख्यान
में कवर करने जा रहे
हैं।
हालाँकि आपको इस
पाठ्यक्रम के उद्देश्य
के लिए शेष चीज़ों
के विलक्षण मूल्य
के अपघटन (singular value decompostion)
या स्कोर्स अपघटन
(schur decompostion) या कोलेस्की
फैक्टराइज़ेशन (cholesky
factorization) इत्यादि के
बारे में चिंता करने
की ज़रूरत नहीं है।
ठीक है तो चलिए अंत
में, अब हम चलते हैं
और norm का पता लगाते
हैं। तो चलिए हम बताते
हैं, आइए हम अपने वेक्टर
x को देखें। अब इस
वेक्टर (vector) का मानदंड
कुछ भी नहीं है लेकिन
3 वर्ग + 1 वर्गमूल है
जो कि n का वर्ग है।
तो norm x, 10 का वर्गमूल
होने जा रहा है जो
कि 3.1623 के अलावा और
कुछ नहीं है। तो norm
किसी भी वेक्टर के
size का एक संकेतक है।
तो इसके साथ ही हम
मॉड्यूल 4 के व्याख्यान
1 के अंत में आते हैं।
इसलिए हमने इस विशेष
मॉड्यूल के व्याख्यान
1 में क्या किया है,
रैखिक बीजगणित (linear
algebra) की मूल बातें
कवर करने के लिए।
इसलिए मुख्य रूप
से हमने फार्म ax = b
के समीकरणों को हल
करने की कोशिश करते
हुए देखा है, Eigen मानों
और Eigen वैक्टरों को
देखो कि हालत संख्या
(condition number) का क्या मतलब
है, रैंक का क्या मतलब
है और हम यह जानने
के लिए कि हम रैंक
का उपयोग कैसे कर
सकते हैं। अद्वितीय
समाधान, अनंत संख्या
समाधान या 0 समाधान
को फार्म अक्ष = b के
समीकरण के लिए प्राप्त
करेंगे, ताकि रैखिक
बीजगणित (linear algebra) के
पुनरावर्तन के लिए
इस व्याख्यान को
समाप्त किया जा सके।
और अगले व्याख्यान
में आपको धन्यवाद।