Gauss-Seidel Method - MATLAB Video Lecture | MATLAB Programming for Numerical Computation - Software Development

नमस्कार और संख्यात्मक
अभिकलन के लिए MATLAB
प्रोग्रामिंग (MATLAB
programming for numerical computations) में
आपका स्वागत है।
हम मॉड्यूल संख्या
4 में हैं, जहां हम
प्रकार के ax = b के रैखिक
समीकरणों (linear equations)
को हल करने पर चर्चा
कर रहे हैं।
यह व्याख्यान 4.4 है
और आज, हम गियर (gear)
को थोड़ा बदलने जा
रहे हैं, और इसके बारे
में बात करते हैं
जो इसे ईट्रिटीव
(iterative) विधियों के रूप
में जाना जाता है।
सबसे लोकप्रिय ईट्रिटीव
(iterative) विधियाँ गॉस
सिडेल (Gauss siedel) विधि
और जैकोबी (Jacobi) Iterations
हैं।
गॉस सिडल (Gauss siedel) और
जैकोबी (Jacobi) ईट्रिशन
(iteration) में, हम क्या
करते हैं, हम लिखते
हैं, प्रत्येक समीकरण
को फिर से लिखते हैं।
ताकि समाधान प्राप्त
करने के लिए पहले
समीकरण का उपयोग
किया जा सके, पहले
वेरिएबल (variable) x के
लिए, दूसरा वेरिएबल
(variable)दूसरे वेरिएबल
(variable) x (2) के लिए समाधान
प्राप्त करने के
लिए फिर से लिखा जाता
है, इसलिए x और (n) तक
आगे।
उदाहरण के लिए, यदि
हम पहला समीकरण लेते
हैं, तो हम A1,1 x (1) = b1 - A1,2
x (2) - A1,3 x (3) और A 1, nx(n) तक
लिखेंगे।
फिर पूरी चीज़ को
A1,1 से विभाजित करें।
वह पहला समीकरण है,
जिसके बाद हम X1 के
लिए समाधान ढूंढेंगे।
इसी तरह हम दूसरे
समीकरण को फिर से
लिखते हैं, A2,2 x (2) को
छोड़कर सभी शब्दों
को बाईं ओर से लेते
हैं।
दूसरे समीकरण में
अन्य सभी शब्द, दाईं
ओर ले जाए जाते हैं
और हम दूसरे समीकरण
का उपयोग x (2) प्राप्त
करने के लिए करते
हैं, इसलिए और आगे।
यही वह रणनीति है
जिसका उपयोग जैकोबी
(Jacobi) ईट्रिशन (iteration)
के साथ-साथ गॉस सिडेल
(Gauss siedel) ईट्रिटीव (iterative)यों
में भी किया जाता
है।
जैकोबी (Jacobi) ईट्रिशन
(iteration) और गॉस सिडेल
(Gauss siedel) ईट्रिशन (iteration)
के बीच का अंतर यह
है कि, जैकोबी (Jacobi)
ईट्रिशन (iteration) ने समाधान
वेक्टर x का उपयोग
किया है जो पिछले
ईट्रिशन (iteration) में
प्राप्त किया गया
था।
जबकि, गॉस सिडल (Gauss
siedel) पद्धति केवल x
का नवीनतम मूल्य
का उपयोग करता है।
गॉस सिडल (Gauss siedel) पद्धति
पर चर्चा, कम्प्यूटेशनल
तकनीक पाठ्यक्रम
मॉड्यूल 3, व्याख्यान
6 में की गई।
और उसके लिए लिंक
यहाँ पर दिया गया
है।
हमने जो उदाहरण माना,
वह है X1 + 2 x2 = 1, X1 - x2 = 4।
ऐसा करने के 2 तरीके
हैं, हम इन भावों को
प्राप्त करने के
लिए इसे समीकरण 1 और
इस समीकरण 2 के रूप
में कहते हैं, या हम
इस समीकरण को समीकरण
नंबर 1 कहते हैं और
हम इस समीकरण को समीकरण
संख्या 2 के रूप में
कहते हैं।
हमारे कहने का मतलब
यह है कि इसे x (1) = 1 - 2x
के रूप में फिर से
यहाँ पर दिखाया जा
सकता है, और x (2) = 4 - x
(1) पूरी चीज़ - 1 द्वारा
विभाजित, जो - 4 + X1 है।
इसलिए यह यहाँ पर
लिखा गया है, इसलिए
यह काम करने का पहला
तरीका है।
चीजों को करने का
दूसरा तरीका है, हम
पहले समीकरण के रूप
में x (1) = 4 + x2 लिख सकते
हैं।
और x (2) = 1- x (1), 2 से विभाजित।
तो, हम इस विधि का
उपयोग करने के साथ-साथ
गॉस सिडेल (Gauss siedel) विधि
को देखने जा रहे हैं।
तो हमें MATLAB पर जाने
के लिए ठीक है।
अब हम MATLAB में हैं,
हमें गॉस सिडेल (Gauss
siedel) ईट्रिशन (iteration)करते
हैं।
तो आइए सबसे पहले
हमें अपने समाधान
को शुरू करने की आवश्यकता
है।
तो हमारा समाधान,
हम x = (0, 0) के रूप में
ठीक करेंगे।
और फिर पहला ईट्रिशन
(iteration) x (1) = 1 - 2 * x (2), 1 - 2 गुणा
x (2) से होने जा रहा
है और दूसरा x (2) = - 4+
x ( 1), - 4+ x (1) होने जा रहा
है ठीक है और हम इसे
iter1 कहेंगे।
फिर, हम स्क्रिप्ट
(script) नहीं लिख रहे
हैं।
मैं आपको कमांड प्रॉम्प्ट
(command prompt) पर टाइप करके
सीधे दिखा रहा हूं।
आप इसे कुछ ही मिनटों
में अपेक्षाकृत छोटी
समस्याओं के लिए
3 या 4 वेरिएबल (variable)
में कर सकते हैं।
मैं आपको एक फ़ंक्शन
लिखने का तरीका बताने
जा रहा हूं, ताकि गॉस
सिडल (Gauss siedel) पद्धति
का उपयोग करके ऐसा
किया जा सके।
वैसे भी, यह पहली ईट्रिशन
(iteration) के बाद परिणाम
है।
हमें अपना x मान [1,
- 3] मिला है।
हम इसे दोहराते हैं,
इसे ईट्रिशन (iteration)
संख्या 2 के लिए।
ईट्रिशन (iteration) के बाद,
दूसरा ईट्रिशन (iteration)
x [7, 3] है।
आइए हम इसे ईट्रिशन
(iteration) संख्या 3 के लिए
करते हैं।
x [- 5, - 9] हो जाता है. ईट्रिशन
(iteration) 4, ईट्रिशन (iteration)
5, ईट्रिशन (iteration) 6, ईट्रिशन
(iteration) 7, ईट्रिशन (iteration)
संख्या 8, ईट्रिशन
(iteration) संख्या 9 और ईट्रिशन
(iteration) संख्या 10 ठीक
है।
10 वीं ईट्रिशन (iteration)
के अंत में x का मान
1027 और 1023 हो जाता है
क्योंकि आप देख सकते
हैं कि मान परिवर्तित
हो रहे हैं।
इस स्थिति में, जब
हम पहले समीकरण का
उपयोग करते हैं, तो
गणना x (1) और दूसरा
समीकरण प्राप्त करने
के लिए, गणना x (2) मान
प्राप्त करने के
लिए, समाधान हो रहा
है।
अब देखते हैं, क्या
होता है, अगर यह है,
जो हम उपयोग करने
जा रहे थे, और अब इस
मामले में, हम एक लूप
का उपयोग करेंगे,
फिर से x = (0,0) ठीक है।
और हम iter = 1: 10 के लिए
लूप का उपयोग करते
हैं।
इसलिए हम इसे 10 ईट्रिशन
(iteration) के लिए दोहराएंगे।
इस स्थिति में, x (1)
4 + x (2) के बराबर होने
जा रहा है और हमारा
x (2) बराबर होने जा
रहा है, आइए देखते
हैं x (2) आधे के बराबर
होने वाला है 1 - x (1)।
0.5 को 1 - x (1) से गुणा करके,
और अंत में ठीक है।
तो आइए देखते हैं
कि x का हल क्या है।
अब x हमने 2.998 और - 0.9990
के रूप में प्राप्त
कर लिया है।
आइए हम फिर से एक और
यात्रा करें।
और हम देखेंगे, कि
x का मान क्या है।
X का मान 3.0010 और - 1.005 है।
यदि हम करते हैं, एक
और ईट्रिशन (iteration) ठीक
है, x 2.9995 होने जा रहा
है।
आइए हम एक और ईट्रिशन
(iteration) करें और दूसरा
एक, ठीक है बस हम एक
बार और रुकेंगे, और
यह x समाधान है, कि
हम समाधान प्राप्त
कर रहे हैं, धीरे-धीरे
और निश्चित रूप से
(3, - 1) में परिवर्तित
(converge) हो रहे हैं।
तो, यह एक बहुत ही
त्वरित ईट्रिशन (iteration)
है, कुछ सैद्धांतिक
underpinning, गॉस सिडेल (Gauss
siedel) और जैकोबी (Jacobi)
ईट्रिशन (iteration) के पीछे।
तो, आप के लिए एक महसूस
कर सकते हैं, तथ्य
यह है कि गॉस सिडेल
(Gauss siedel) या जैकोबी (Jacobi)
तरीकों को अभिसरण
(converge) की गारंटी नहीं
है।
ठीक है, तो अब हम विचार
करें, समीकरण पिछले
व्याख्यान से उदाहरण
हैं।
हमारे पास ये 3 समीकरण
और 3 अज्ञात हैं।
सिस्टम को तिरछे
रूप से प्रभावी (diagonally
dominant) बनाने के लिए
हम जो करने जा रहे
हैं, वह यह है कि पहला
समीकरण, इस आदमी का
होने जा रहा है, और
दूसरा समीकरण यह
लड़का बनने वाला
है, और तीसरा समीकरण
यह लड़का बनने वाला
है । हमारे यहाँ 4
आदमी सबसे बड़ा मूल्य
है।
इसलिए हम चाहते हैं
डालिए, कि यह विशेष
समीकरण समीकरण संख्या
2 के रूप में है।
तब यह समीकरण समीकरण
संख्या 1 बन गया।
और यह समीकरण संख्या
3 हो गया।
इसलिए, यदि यह पहला
समीकरण है, जो पहला
समीकरण 2, 1, 3 है।
तो हमें यहाँ जाना
है।
clc गॉस सिडेल (Gauss siedel)
को संपादित करें।
हम जो करना चाहते
हैं, तिरछे प्रमुख
मैट्रिक्स को ठीक
करने के लिए पुन: व्यवस्थित
करें।
इसलिए हम 2, 3, 1 अधिकार
के रूप में पुनर्व्यवस्थित
करना चाहते हैं।
तो, जैसा कि, हमने
अभी एक नए वेरिएबल
(variable) के रूप में कहा
है।
नई मैट्रिक्स = Ab (2)
होने जा रही है कि
दूसरी पंक्ति, Ab के
बाद तीसरी पंक्ति,
उसके बाद Ab पहली पंक्ति
ठीक है।
तो यह फिर से व्यवस्थित
है और हम इस को हटा
देंगे।
इसलिए अब, हमने समस्या
का समाधान कर दिया
है।
अब हम क्या करना चाहते
हैं, हम गॉस सिडेल
(Gauss siedel) विधि का उपयोग
करके इसे हल करना
चाहते हैं।
हम परिभाषित करेंगे,
हमारी त्रुटि और
हमारे समाधान यहाँ
पर।
initialize x=zeroes (3, 1)।
वास्तव में मैं n = 3
करूँगा।
3 समीकरण हैं और 3 अज्ञात
के n = 3 और x = zeroes (n, 1) और
मेरे पास error= zeroes(n, 1)
होगी ठीक है।
ध्यान रखें, मैं err
और error शब्द का उपयोग
कर रहा हूं, क्योंकि
error MATLAB में एक keyword है।
इसलिए हम MATLAB और gauss
gs ईट्रिशन (iteration) में
ज्ञात keyword का उपयोग
करने से बचना चाहते
हैं।
तो, iter = 1 से, हम कहते
हैं कि हम 25 ईट्रिशन
(iteration) करना चाहते हैं
ठीक है।
और हम समीकरण संख्या
1 2 3 का उपयोग करने
जा रहे हैं और इसी
तरह n तक।
तो k = (1, n) और लूप को
यहीं समाप्त करें।
तो, हमारे x (k) numerator/denominator
के बराबर होने वाला
है।
denominator लगाने में आसान
है।
तो, भाजक A (k, k) है।
तो, हम बस उस पहले
A (k, k) को डालेंगे और
देखते हैं कि अंश
क्या होने वाला है।
अंशक(numerator) Bk हो रहा
है।
अब Bk kth row के रूप में
है और अंतिम तत्व
सही है, फिर से इसे
As (k, k) होना है।
तो Bs कुछ भी नहीं था
लेकिन, खेद है, Bk कुछ
भी नहीं है, लेकिन
As मैट्रिक्स में अंतिम
कॉलम है, इसलिए kth तत्व
अंतिम कॉलम As kth row और
अंतिम कॉलम होने
जा रहा है।
तो, इसीलिए हमारे
पास As (k, -end) ठीक है।
यहाँ हमारे पास जो
कुछ भी है, A(k, j)* x (j) का
योग है।
A(k, j) As(k, j)* x (j) होने जा
रहा है।
और हम इसे j = (1: k - 1) से
योग करने जा रहे हैं।
अब फिर से, मैट्रिक्स
गुणन वास्तव में
काम करता है, इस विशेष
मामले में, क्योंकि
As (k, 1: k - 1) हमें एक पंक्ति
वेक्टर देने जा रहा
है, और x (j) (1: k - 1) हमें
देने जा रहा है कॉलम
वेक्टर, (k, k + 1: n)* x(k + 1:
n) ठीक है।
तो, यह b भाग होने जा
रहा है, यह पहला योग
होने जा रहा है, और
यह यहाँ पर दूसरा
योग होने जा रहा है।
और x (k) कुछ भी नहीं
है लेकिन अंश As(k, k)
द्वारा विभाजित अंश
ठीक है।
अपनी त्रुटि (error) की
गणना करने के लिए,
हम जो करना चाहते
हैं, पहले अपने x (k)
को एक dummy वेरिएबल
(variable)में संग्रहीत
करें जिसे xold कहा जाता
है।
तो xold = x (k) और हमारे
पास यहाँ पर कमांड
हो सकती है।
err(k) abs(xold) या abs(k) - xold के
अलावा कुछ नहीं है
ठीक है।
और हमने ऐसा किया
है, और अब हर ईट्रिशन
(iteration) के अंत में हम
कहते हैं कि हम कुछ
चीजें छापना चाहते
हैं।
इसलिए, हम print करना
चाहते हैं, iteration number,
iter num 2, str iter और error = num2str
(max(err)) ठीक है।
और हम इसे save करें,
और इसे run करें और देखें
कि हमें क्या मिलने
वाला है।
तो, गॉस सिडल (Gauss siedel,
उफ़! तो एक त्रुटि
(error) है।
हमें यहाँ जाने दो।
तो, इस display में एक त्रुटि
है, असंतुलित कोष्ठक,
जिसका मूल अर्थ यह
है कि, मेरे पास नहीं
था, यहाँ पर कोष्ठक
थे, इसलिए यह त्रुटि
थी।
इसलिए, फिर से डिबगिंग
(debugging) के मामले में,
जो हमें एहसास हुआ
कि त्रुटि थी, और त्रुटि
ने कहा कि, असंतुलित
कोष्ठक थे, मूल रूप
से इसका मतलब था कि
हमें अपने ब्रैकेट
की जांच करनी होगी।
तो, चलिए हम इस स्क्रीन
(screen) को क्लियर (clear)
करते हैं और गॉस सिडल
(Gauss siedel) को फिर से run
करते हैं।
तो, क्या होता है,
एक ईट्रिटीव (iterative)
संख्या 1.
त्रुटि 3.5 है और वह
त्रुटि 7e -5 तक काफी
कम हो जाती है और हम
कह सकते हैं कि, जब
भी त्रुटि 10^-4 से नीचे
चली गई हो. हमें कहेंगे,
कि हम अभिसरण से खुश
हैं।
इसलिए, हम इसे ईट्रिशन
(iteration) 23 पर ही रोक देंगे।
और अगर हम x टाइप करते
हैं, तो हम जो समाधान
प्राप्त करने जा
रहे हैं वह 1.0001, 2.0000
और 1.0000 है।
यदि आप पिछले व्याख्यान
से याद करते हैं, तो
यह वास्तव में समाधान
था।
इसलिए, हमने यही किया
है।
हमने अब तक जो भी किया
है, वह गॉस सिडेल (Gauss
siedel) पद्धति को देखते
हैं और गॉस सिडल (Gauss
siedel) पद्धति का उपयोग
करते हुए एक 3-आयामी
समस्या को हल किया
है।
हमारे पास आपके लिए
2 असाइनमेंट (assignment)
होंगे।
पहला असाइनमेंट (assignment)
है, आप इस कोड (code) को
गॉस सिडेल (Gauss siedel) विधि
के लिए लेते हैं, जिसे
ऑनलाइन पोस्ट (online
post) किया जाएगा, और
आप इस कोड को जैकोबी
(Jacobi) ईट्रिशन (iteration)
का उपयोग करके चलाने
के लिए संशोधित करते
हैं।
वह आपका पहला असाइनमेंट
(assignment) है।
दूसरी असाइनमेंट
(assignment) समस्या यह होने
वाली है, कि आप 3/3 के
बजाय 4/4 समस्या को
गॉस सिडल (Gauss siedel) विधि
का उपयोग करके हल
करें, और समाधान x
प्राप्त करें।
ध्यान रखें यह वही
समस्या है जो पिछले
असाइनमेंट (assignment) में
होम असाइनमेंट (home
assignment) के रूप में दी
गई थी।
तो, मैं आपको क्या
सुझाव देता हूं, यदि
संभव हो तो इस विशेष
वीडियो के अंत के
बाद, आप वापस जाएं
और इस वीडियो को देखे
बिना MATLAB में अपने
गॉस सिडल (Gauss siedel) पद्धति
को हल करने का प्रयास
करें।
और एक बार जब आप समाधान
को पूरा करने में
सक्षम हो जाते हैं,
तो आप इस वीडियो को
देख सकते हैं और अपने
समाधान की तुलना
कर सकते हैं, जो समाधान
मैंने दिया है।
यदि आप फंस गए हैं,
तो आप वापस जा सकते
हैं और इस वीडियो
चरण को फिर से चला
सकते हैं और अपने
आप को इस समस्या में
मदद कर सकते हैं, इस
समस्या से ठीक है।
तो, यह है कि मैं कैसे
सुझाव देता हूं, आप
इस वीडियो का उपयोग
करते हैं, समझने के
लिए गॉस सिडल (Gauss siedel)
विधि बेहतर है।
इसके साथ मैं व्याख्यान
4.4 के अंत में आता हूं।
तो आपको धन्यवाद
और अगले व्याख्यान
में आपको देखता हूं।