Using MATLAB command fzero Video Lecture | MATLAB Programming for Numerical Computation - Software Development

नमस्कार और संख्यात्मक
अभिकलन के लिए MATLAB
प्रोग्रामिंग (MATLAB
programming for numerical computations में
आपका स्वागत है।
हम सप्ताह संख्या
5 व्याख्यान 5.2 में
हैं।
इस सप्ताह में हम
nonlinear बीजीय समीकरणों
(non linear algebraic equations)को को
कवर कर रहे हैं और
आज के व्याख्यान
में हम MATLAB फ़ंक्शन
fzero का उपयोग करने
पर ध्यान केंद्रित
करने जा रहे हैं।
MATLAB फ़ंक्शन fzero एक
रैखिक, एक एकल अज्ञात
में एकल nonlinear समीकरण
को हल करने की एक विधि
है।
पिछले व्याख्यान
में हमने bisection विधि
देखी है जो 2 प्रारंभिक
अनुमानों को देखते
हुए f (x) = 0 के समाधान
की गणना करने की विधि
थी।
2 प्रारंभिक अनुमान
समाधान के दोनों
ओर स्थित हैं।
fzero एक MATLAB प्रोग्राम
है जो तकनीकों का
उपयोग करता है।
bisection नियम के समान
यह समस्या कथन (problem
statement) के आधार पर bisection
और अन्य तकनीकों
के एक जोड़े का उपयोग
करता है।
तो हम आज के व्याख्यान
में 2 बातें करने जा
रहे हैं, पहले देखते
हैं कि फ़ंक्शन fzero
का उपयोग कैसे किया
जाता है, दूसरा हम
bisection नियम को संशोधित
करने जा रहे हैं जिसे
हमने पिछले व्याख्यान
में कार्यक्रम बनाया
और bisection नियम को समझने
और संख्यात्मक समीकरण
समझने के लिए बेहतर
तरीके से हल करना
है।
तो आइए हम MATLAB फ़ंक्शन
fzero को देखें।
उसी समीकरण को हल
करने के लिए हम fzero
का उपयोग करने जा
रहे हैं।
यह हमने पिछले व्याख्यान
में किया था कि समीकरण
2-x + ln (x) ठीक था।
अब यदि हम fzero की मदद
करने जा रहे हैं, तो
हम यह पता लगाएंगे
कि fzero का उपयोग कैसे
करें।
कुछ सबसे महत्वपूर्ण
चीजें जो मैंने यहां
सूचीबद्ध की हैं।
fzero का उपयोग निम्नानुसार
होने जा रहा है।
समाधान xSol जो fzero = fzero
से आउटपुट (output)है,
उसके बाद x वैरिएबल
(variable) में फ़ंक्शन
का नाम प्रारंभिक
अनुमानों के बाद
आता है xSol परिणामी
समाधान है, funName उस
फ़ंक्शन का नाम है
जो वैरिएबल (variable) x
पर f (x) का मान लौटाता
है।
ठीक है।
MATLAB में फ़ंक्शन के
नाम पर कॉलिंग फ़ंक्शन
(calling function) को पास करने
के लिए अलग-अलग तरीके
हैं।
हम मूल रूप से इस @ func
@ प्रतिनिधित्व का
उपयोग करने जा रहे
हैं, जिसे anonymized functions
representation के रूप में
जाना जाता है।
तो यह वह विधि है जिसका
हम उपयोग करने जा
रहे हैं।
जैसा कि यहाँ दिखाया
गया है, जैसा कि विधि
के अनुसार दिखाया
गया है @ के बाद कोष्ठक
में वैरिएबल (variable)
का नाम जिसे आपको
हल करने की आवश्यकता
है, उसके बाद एक space,
उसके बाद फ़ंक्शन
का नाम जिसमें आप
f(x)=0 मूल्य प्राप्त
करने के लिए उपयोग
करेंगे जिसे आप हल
करना चाहते हैं ताकि
funName f (x) दिया जा सके
और फंक्शन को वेरिएबल
(variable) x का मान दिया।
अब funName में अन्य पैरामीटर
(parameters) भी हो सकते हैं
और इस स्थिति में
हमारे पास अन्य पैरामीटर
(parameter) भी यहाँ सूचीबद्ध
होंगे।
यह x और यह x समान होना
चाहिए।
यही वह वैरिएबल (variable)
है जिसके लिए fzero हल
करने वाला है।
जब हम इस MATLAB फ़ंक्शन
का उपयोग करते हैं
तो ठीक है।
वहाँ विभिन्न, जैसा
कि मैंने कहा कि functions
का उपयोग करने के
अन्य तरीके भी हैं
और सबसे आम तरीका
@ funName का उपयोग करना
है।
हम उस विशेष पद्धति
का उपयोग नहीं करने
जा रहे हैं क्योंकि
यह कुछ पुरानी पद्धति
है और कार्यों का
उपयोग करने की यह
विधि है।
हालांकि शुरुआत में
थोड़ा कम सरल वास्तव
में एक बहुत शक्तिशाली
तरीका है।
तो चलिए MATLAB पर चलते
हैं और f (x) को 0.
के बराबर हल करने
के लिए फ़ंक्शन fzero
का उपयोग करते हैं
तो संपादित करें,
हमें fun4Bisec कहने दें।
इसलिए हम फंक्शन
और फंक्शन के नाम
का उपयोग करने जा
रहे हैं, जिसे मैं
केवल fun4Bisec कहूंगा।
तो कार्य fval = fun4Bisec (x)।
हमारे फंक्शन का
नाम है ओके।
उस फ़ंक्शन का नाम
ध्यान में रखें जो
हमारे यहां ठीक है,
वही होना चाहिए यह
नाम फ़ाइल के नाम
के समान होना चाहिए।
फ़ाइल का नाम वही
है, जो MATLAB फ़ंक्शन
को पहचानता है, जहाँ
तक हमें उस फ़ंक्शन
के नाम का संबंध है
जो हम यहाँ लिखते
हैं और फ़ाइल का नाम
हमेशा एक ही होना
चाहिए।
और हमारे पास जो फ़ंक्शन
हमारे f (x) है वह fval = 2-x
+ log (x) और end के अलावा
और कुछ नहीं है।
end वैकल्पिक है इसलिए
एक अच्छा प्रोग्रामिंग
अभ्यास के रूप में
हम end को भी यहां शामिल
करने जा रहे हैं।
तो अब हम बताते हैं
कि x4 के लिए fun4Bisec क्या
हो रहा है, इसलिए f
(x) = 1 है, इसलिए हम कहेंगे
x = 1 और f सिर्फ 2-x + log (x)
है।
और x = 1, 2-x + log (x) के लिए
वह मान भी 1 के बराबर
है आइए हम x का उपयोग
करके उस फ़ंक्शन
को कॉल करते हैं और
जो 1 का मान लौटाए।
हम कहते हैं कि हम
इसे 2 का उपयोग करते
हुए लौटाने के लिए
थे।
इसे f(2) वापस करना चाहिए।
अगर हम इसे 3 का उपयोग
करके कॉल करते हैं,
तो यह f (3) वापस आ जाएगा।
अगर हम इसे 4 का उपयोग
करके कॉल करते हैं,
तो यह 4 वापस आ जाएगा
ठीक है।
यदि आप पिछले व्याख्यान
से याद करते हैं, तो
हमने अपना प्रारंभिक
अनुमान हमारे xl को
दिया था जो हमने = 1
के रूप में दिया था।
हमारे xu को हमने 4 के
बराबर दिया था।
इस कारण कि हमने @ xl
f (1) के लिए xl 1 @ xu f (4) बराबर
किया था जो -0.6137 के
बराबर था जो विपरीत
संकेतों के होते
हैं यदि आप bisection विधि
में याद करते हैं,
तो हमें विपरीत संकेतों
के xl और xu देने की आवश्यकता
थी और हमें fzero में
भी ऐसा करने की आवश्यकता
है।
तो अब जब हमने उस फ़ंक्शन
को लिया है।
हम कहने जा रहे हैं
xSol = fzero ठीक है।
@x ठीक है।
x वह वैरिएबल (variable)
है जिसे हम हल करना
चाहते हैं, इसलिए
@ x spacebar फ़ंक्शन का
नाम है।
फ़ंक्शन का नाम fun4Bisecx
ठीक है।
तो, f (x) उसी का नाम है
जो फंक्शन है।
तो, f (x) ठीक वैसा ही
है जैसा हम यहां पर
देते हैं।
यह हमारे f (x) के अलावा
और कुछ नहीं है।
f(x) से ठीक पहले हमें
ब्रैकेट के अंदर
देने की जरूरत है,
उन वैरिएबल (variables) का
नाम जिन्हें हम हल
करने जा रहे हैं।
और हमारे शुरुआती
अनुमान 1 और 4 हैं।
हम उन्हें अल्पविराम
या अर्धविराम के
साथ अलग करेंगे।
और हम एंटर (enter) दबाते
हैं और हमें xSol मिलेगा।
यदि आप व्याख्यान
5.1 से याद करते हैं,
तो 3.4162 वास्तव में
समाधान था जो हमें
पिछले व्याख्यान
में मिला था।
हमें फिर से fzero के
वाक्यविन्यास में
जाना है।
fzero xSol होने जा रहा है,
समाधान कोष्ठक में
fzero होने जा रहा है,
फ़ंक्शन का नाम, वैरिएबल
(variable) x के फ़ंक्शन
का नाम, प्रारंभिक
अनुमान।
हमारे शुरुआती अनुमान
1 और 4 ठीक थे।
अब x पर फ़ंक्शन के
नाम से पहले हमारे
पास क्या था, वैरिएबल
(variable) जिसे हमें @ x के
लिए हल करने की आवश्यकता
है।
तो @ ब्रैकेट में @ वैरिएबल
(variable) को फंक्शन फाइल
के नाम से हल करना
होगा।
फ़ंक्शन फ़ाइल fun4Bisec
थी।
मैं बाद में fun4 टाइप
करूंगा और यहां tab
क्लिक करूंगा और
MATLAB को मेरे लिए fun4
के साथ मेल खाने वाले
फंक्शन नामों के
आधार पर भरेगा।
तो यह वास्तव में
fzero का मुख्य हिस्सा
है । fzero का मुख्य हिस्सा
उस फ़ंक्शन पर कैसे
गुजरना है।
और प्रारंभिक अनुमानों
को क्या देना है या
कैसे ठीक है।
हम इसके अंत में अर्धविराम
को दबाते हैं और हम
स्क्रीन पर चले बिना
समाधान प्राप्त करेंगे
और हमें xSol मिलेगा।
मान लें कि हम इसे
1 और 4 के बजाय देने
वाले थे, तो हम कहें
कि हम इसे 2 और 4 के
रूप में दे रहे थे।
2 और 4 ब्रैकेट।
समाधान और उसी समाधान
को ब्रैकेट करने
के लिए और यदि हमें
एंटर (enter) दबाना था,
तो हम फिर से उसी समाधान
को प्राप्त करने
जा रहे हैं।
यदि आप अपने बाएं
हाथ की ओर देखते हैं,
तो xSol का हमारा मूल्य
वास्तव में नहीं
बदला है।
हमारा xSol 3.1462 है।
अब इसके बजाय अगर
हम अपने शुरुआती
अनुमानों को 0 और 1
के रूप में देना चाहते
हैं, तो अब यह एक समस्या
है।
समस्या यह है क्योंकि
log(0) प्राप्त नहीं
किया जा सकता है।
तो हम इसे 0.
से बदलते हैं।
हमें 1e-5 कहते हुए बहुत
कम संख्या में बदल
देते हैं और देखते
हैं कि हमें क्या
मिलता है।
और हम इसे देते हैं
और अब हम दूसरा समाधान
प्राप्त कर रहे हैं।
अन्य समाधान 0.1586 था
और पहला समाधान 3.1462
था।
याद करें कि हमने
पिछले व्याख्यान
में क्या किया था।
हमने दिखाया था कि
वक्र x अक्ष को 2 अलग-अलग
बिंदुओं पर रखता
है।
अब हम पता लगा चुके
हैं कि fzero का उपयोग
करके दोनों समाधान
कैसे ठीक हैं।
तो आइए हम powerpoint पर
वापस जाते हैं।
क्या समस्या है जो
हमने अभी हल की थी,
नॉनलाइनियर समीकरण
(non-linear equation) 2-x + ln (x) को
हल करने के लिए fzero
का उपयोग करने के
लिए, हमने एक फ़ंक्शन
बनाया है जिसे fun4Bisec
कहा जाता है और उस
फ़ंक्शन का उपयोग
करके इसे fzero पर पास
किया गया है।
अब हम जो करने जा रहे
हैं वह पिछले व्याख्यान
से bisection विधि है।
हम इसे modify करने जा
रहे हैं।
हमारे bisection विधि के
अंदर हमारे f (x) को
हार्ड कोडिंग (hard coding)
करने के बजाय, हम उस
फ़ंक्शन का उपयोग
करना चाहते हैं जो
हमने अभी fzero के लिए
बनाया है और हम उस
फ़ंक्शन का उपयोग
अपने bisection विधि में
करने जा रहे हैं।
तो हम MATLAB पर वापस जाते
हैं और ठीक करते हैं।
तो बस फिर से हमारा
उद्देश्य क्या है,
हम clear और clc clear all करते
हैं।
आइए अपने bisection नियम
को संपादित करें
जो हमने पिछले व्याख्यान
में बनाया था और हम
उस को संशोधित करने
जा रहे हैं।
हमने जो कुछ किया
था वह यह था कि f(x), हमने
समग्र रूप से चलने
वाले program में इसे सीधे
हार्ड कोड (hard code) किया
था।
एक नई विधि का उपयोग
करें जिसमें हम इस
फ़ंक्शन fun4Bisec का उपयोग
करने जा रहे हैं जिसे
हमने हाल ही में bisection
नियम का उपयोग करके
हल करने के लिए बनाया
है।
और यह बदलाव काफी
सरल और हर जगह होने
जा रहा है।
हम फ़ंक्शन की गणना
कैसे करने जा रहे
हैं?
आप करेंगे, जिस फ़ंक्शन
को हम इसे फ़ंक्शन
कॉल के साथ बदलने
जा रहे हैं।
तो fun4Bisec (xl) ठीक है।
बस इतना ही।
याद रखें कि हमने
कुछ मिनट पहले क्या
किया था।
हमने कहा fun4Bisec ठीक
है।
और fun4Bisec (4) ने फ़ंक्शन
के मूल्य के अलावा
कुछ नहीं दिया, fun4Bisec
(1) ने फ़ंक्शन के मूल्य
के अलावा कुछ नहीं
दिया।
अगर हमें x = 4 कहना
है और हम fun4Bisec को x के
साथ call करते हैं, तो
फंक्शन f(x) मान देने
जा रहा है।
तो हम सब करने जा रहे
हैं, इसे fun4Bisec में बदलें।
तो चलिए हम इसे fun4Bisec
में बदल देते हैं
और fNew भी fun4Bisec fNew sorry, fNew
fun4Bisec, xNew, fun4Bisec होने जा
रहा है।
और वह सभी परिवर्तन
हैं जो हमें करने
की आवश्यकता है और
कुछ और नहीं जो बदल
गया है।
आइए हम इसे save करते
हैं और इसे MATLAB में
हल करते हैं।
और जिस तरह से हम bisecRule
करने जा रहे हैं, दर्ज
करें।
और हमें देखते हैं
कि हमारा xNew और xNew 3.1462
है।
अब हम 1 और 4 के बजाय
अपने प्रारंभिक अनुमानों
को बदलते हैं, आइए
हम उन्हें 0 या 1e-5 और
1 में बदलें.
हमें इस fun4Bisec को चलाने
दें, sorry, आइए हम इस
bisecRule को चलाते हैं
और देखते हैं कि समाधान
क्या होने जा रहा
है।
xNew 0.1586 होने जा रहा
है क्योंकि हमने
अपने fzero मेथड का उपयोग
करके ठीक किया था।
और आखिरकार हम क्या
करने जा रहे हैं, हम
अपने MATLAB कोड में एक
और बदलाव करने जा
रहे हैं और हम एक एरर
(error) मानदंड के आधार
पर रोक मानदंड रखने
जा रहे हैं।
तो एरर (error) सहिष्णुता
है, हमें इसे tolX ठीक
कहते हैं।
X में एरर (error) 1e-6 है।
इसलिए यदि एरर (error)
नीचे आती है या अगर
xnew-xl 1e-6 से नीचे आती
है, तो हम इस समाधान
तकनीक को बंद करने
जा रहे हैं और यही
हम यहाँ पर करने जा
रहे हैं।
अगर abs (error) tolX से कम है,
तो break लें।
यह कुछ ऐसा है जो हमने
पहले भी देखा है।
हम 25 पुनरावृत्तियों
से कम break end होने जा
रहे हैं।
तो चलिए वास्तव में
हम maxIter को 100 में बदलते
हैं।
ताकि हम इसके अभिसरण
(convergence) के लिए पर्याप्त
संख्या में पुनरावृत्ति
bisection नियम के लिए दे
सकें।
आइए हम अपने शुरुआती
अनुमानों को पहले
की तरह 1 e -5 और 1.
हमें इसे save करने और
bisecRule चलाने दें।
आइए हम clear scree clc और bisecRule
को करें।
और इस मामले में हमारा
xNew 0.1586 है।
और हमारी और अगर हम
अपनी एरर (error) की जांच
करते हैं, तो हमारी
एरर (error) 9 * 10^-7 है जो
कि 10^-6 से कम है।
तो अब एक अंतिम काम
करते हैं।
प्रारंभिक अनुमानों
को वापस 1 और 4 में बदलें
और देखें कि यह कैसे
चलता है।
और इस bisecRule को चलाएं
और एंटर (enter) दबाएं
और हमारा xNew 3.1462 का
सॉल्यूशन (solution) बनने
वाला है।
यह यहाँ पर अन्य समाधान
है।
हमारी एरर (error) 7 * 10^-7
होने वाली है।
इसलिए हमारा समाधान
3.1462 उस एरर (error) सहिष्णुता
में परिवर्तित हो
गया है जिसकी हमें
आवश्यकता थी।
और अगर हम i टाइप करते
हैं, तो हम जानेंगे
कि हमने 23 पुनरावृत्तियों
में रूपांतरण (converge)
किया है।
तो हमने क्या किया
है।
इस व्याख्यान में
क्या किया है, यह जानने
के लिए, हमने व्याख्यान
में 2 काम किए हैं।
पहली चीज जो हमने
की थी, नॉनलाइनर समीकरणों
(non-linear equations) 2-x + ln (x)को
हल करने के लिए fzero
का उपयोग करना था,
दूसरी चीज जो हमने
की थी वह थी 2 अलग-अलग
चीजों के साथ हमारे
bisection नियम को बेहतर
बनाना।
एक यह है कि इसे स्क्रिप्ट
फाइल के अंदर ही कोडिंग
के बजाय इसे फंक्शन
fun4Bisec का उपयोग करने
है
और इसके साथ दूसरा
बदलाव यह था कि जब
विशेष सहूलियत मानदंड
(stopping criteria) को पूरा किया
गया तो हम सहनशीलता
मान वांछित सटीकता
से कम था।
उस समय हमने लूप के
निष्पादन को रोक
दिया, बजाय loop को पुनरावृत्तियों
की एक बड़ी संख्या
के जारी रखने के लिए।
तो इसके साथ ही मैं
इस व्याख्यान के
अंत में आता हूं।
तो इस व्याख्यान
को सुनने के लिए धन्यवाद
और अगले व्याख्यान
में हम नॉनलाइन बीजीय
समीकरणों (non-linear algebraic
equations) के लिए संख्यात्मक
तकनीकों के अगले
सेट को कवर करने जा
रहे हैं।
विशेष रूप से, हम निश्चित
बिंदु पुनरावृत्तियों
के साथ शुरू करने
जा रहे हैं जो एक खुली
विधि है और एक ब्रैकेटिंग
विधि नहीं है।
धन्यवाद और आपको
अगले व्याख्यान में
देखूंगा।