Introduction - MATLAB Video Lecture | MATLAB Programming for Numerical Computation - Software Development

नमस्कार और न्यूमेरिकल
कम्प्युटशंस के लिए
MATLAB प्रोग्रामिंग
(MATLAB programming for Numerical Computations
) में आपका स्वागत
है। हम सप्ताह संख्या
6 में हैं, और इस सप्ताह
हम कवर, रिग्रेशन(regression
) और इन्टरपोलेशन(interpolation
) करने जा रहे हैं।
रिग्रेशन(regression) कुछ
ऐसा है जो आपके लिए
परिचित है, शायद कर्व
फिटिंग (curve fitting) के
रूप में। इसलिए, उदाहरण
के लिए, फिटिंग (fitting)
, कई डेटा (data) बिंदुओं
के लिए सीधी रेखा,
इन्टरपोलेशन(interpolation
) शायद आपके लिए परिचित
था, बस डॉट्स में शामिल
हो रहा है। इसलिए,
हम मॉड्यूल 6 ओके में
रिग्रेशन(regression) और
इन्टरपोलेशन(interpolation
) को कवर करने जा रहे
हैं। आइए सबसे पहले
एक उदाहरण लेते हैं।
हम कहते हैं कि हमें
निम्नलिखित डेटा
(data) दिया गया है। X
को यहाँ पर दिया गया
है और y को x के साथ
दिया गया है। और यह,
जब हम x बनाम y कर्व
(curve) में प्लॉट (plot) करते
हैं, तो हम इसे 2-dimensional
स्थान पर इन डेटा
(data) बिंदुओं के रूप
में प्राप्त करने
जा रहे हैं। क्या
रिग्रेशन (regression), हमें
बताता है, हम एक सीधी
रेखा कैसे प्राप्त
करते हैं। उदाहरण
के लिए, यह सबसे अच्छा
डेटा (data) फिट (fit) बैठता
है। तो, यह है, a0 + a1x
= y के रूप की सीधी रेखा।
और हम a0 और a1 के मानों
को खोजना चाहते हैं।
तो, यह विशेष रेखा
है, इन सभी डेटा (data)
बिंदुओं के लिए सबसे
अच्छी फिट लाइन (fit
line)। इस प्रकार, हम
इस लाइन (line) पर डेटा
(data) बिंदुओं के बीच
एरर (error) को कम करने
के लिए और संबंधित
डेटा (data) बिंदु जो
यहां दिखाया गया
है, रिग्रेशन (regression)
में क्या करने जा
रहे हैं। अब इन्टरपोलेशन
(interpolation) क्या है? इंटरपोलेशन
(interpolation), डॉट्स (dots) से
जुड़ने का एक प्रकार
है जिसका मूल रूप
से मतलब है कि हम एक
कर्व (curve) ढूंढना चाहते
हैं जो सभी डेटा (data)
बिंदुओं से गुजरता
है। उदाहरण के लिए
हम इन्टरपोलेशन (interpolation)
का उपयोग क्यों करते
हैं यह मिसिंग डेटा
(missing data) में उदाहरण
के लिए है। तो, हम
कहते हैं कि यह डेटा
(data) का विशेष सेट है,
और हम 2.0 पर कुछ चाहते
हैं।
देखें कि x = 2.0 पर कोई
डेटा (data) उपलब्ध नहीं
है। तो, उस विशेष मामले
में, हम इन्टरपोलेशन
(interpolation) का उपयोग करने
जा रहे हैं। फिर से
इन्टरपोलेशन (interpolation)
के रूप में, जब हम
रिग्रेशन (regression) का
उपयोग करने के लिए
उपयोग कर रहे हैं,
जब हमें y = f (x) के रूप
में किसी प्रकार
के फंक्शनल फॉर्म
(functional form) की आवश्यकता
होती है और हम उस विशेष
फंक्शनल फॉर्म (functional
form) को खोजना चाहते
हैं या विशेष रूप
से हम मापदंडों को
खोजना चाहते हैं,
तो यह सर्वोत्तम
है वह फंक्शनल फॉर्म
(functional form) जो तब होता
है जब हम रिग्रेशन
(regression) का उपयोग करते
हैं। इसलिए, रिग्रेशन
(regression) में, हम डेटा
(data) के लिए एक चुने
हुए फ़ंक्शन (function)
को फिट (fit) करने में
रुचि रखते हैं। उदाहरण
के लिए, इस मामले में,
y = 0.45+ 0.47 x हो सकता है।
इन्टरपोलेशन (interpolation)
के मामले में, डेटा
(data) की एक सीमित मात्रा
को देखते हुए, हम इस
सीमा के भीतर नए डेटा
(data) बिंदुओं को प्राप्त
करने में रुचि रखते
हैं, जो कि 0.8 से 4.9 के
बीच की सीमा के भीतर
नए डेटा (data) बिंदु
हैं। तो, यह इन्टरपोलेशन
(interpolation) और रिग्रेशन
(regression) का इरादा है।
इसलिए, उदाहरण के
लिए यदि आप x = 2.0 पर
क्वेरी (query) करना चाहते
हैं, तो y का मूल्य
क्या है? Y का संभावित
मूल्य क्या है? यदि
यह वह इंटरपोलेंट
(interpolant) है जिसका हम
उपयोग करने जा रहे
हैं, तो y के मूल्य,
1.87 होने जा रहा है।
तो, हम इस मॉड्यूल
में क्या करने जा
रहे हैं? मॉड्यूल
6 में, पहला व्याख्यान,
जो कि यह व्याख्यान
है, मुख्य रूप से एक
प्रदर्शन व्याख्यान
है। मैं लीनियर रिग्रेशन
(linear regression) और न्यूटन
(Newton) के इन्टरपोलेशन
(interpolation) को कवर करने
जा रहा हूं, बस खुद
को कुछ विचार देने
के लिए कि रिग्रेशन
(regression) कैसे काम करने
जा रहा है। हम उपयोग
नहीं करने जा रहे
हैं, यह विशेष उदाहरण
देखने के लिए कि इन्टरपोलेशन
(interpolation) और रिग्रेशन
(regression) कैसे काम करता
है। MATLAB में कुछ कोड
(code) करने के लिए हम
इन उदाहरणों का उपयोग
नहीं करने जा रहे
हैं। मैं जल्दी से
आपको दिखाने के लिए
MATLAB कोड (code)प्रदर्शित
करूंगा कि क्या रिग्रेशन
(regression) का मतलब है, क्या
इन्टरपोलेशन (interpolation)
का अर्थ है और 2 और
मुख्य रूप से पूर्णता
के लिए अंतर ठीक है।
अगले व्याख्यान में,
हम कई मापदंडों के
साथ कर्व फिटिंग
(curve fitting), कवर करने जा
रहे हैं और हम इस समस्या
को हल करने के लिए
lsq कर्व फिट (curve fit) नामक
एक MATLAB फ़ंक्शन (function)लेंगे।
तो हम एक समस्या लेंगे,
और हम इसे 2 तरीकों
से हल करेंगे। एक
ऐसी विधि का उपयोग
कर रहा है जिसे हम
अगले व्याख्यान में
सीखेंगे, साथ ही MATLAB
आधारित एल्गोरिथ्म
(algorithm) का उपयोग करेंगे।
व्याख्यान 6.3 में,
हम पैरामीटर एस्टिमेशन
(parameter estimation) के लिए इन
अवधारणाओं का उपयोग
करने जा रहे हैं।
हम एक प्रतिक्रिया
दर का उदाहरण लेंगे,
कुछ ऐसा जो आपने अपने
रसायन विज्ञान के
पाठ्यक्रम में ग्यारहवीं
और बारहवीं कक्षा
में किया होगा। हम
MATLAB का उपयोग करके
व्याख्यान 6.3 में
आगे ले जा रहे हैं।
तो 6.2 और 6.3 लीनियर रिग्रेशन
(linear regression) में उदाहरणों
को कवर करेगा। 6.4 व्याख्यान
में, हम इन्टरपोलेशन
(interpolation) को कवर करने
जा रहे हैं। इन्टरपोलेशन
(interpolation) के मामले में,
हम इन्टरपोलेशन (interpolation)
करने के लिए अपने
स्वयं के कोड (code) बनाने
नहीं जा रहे हैं।
इसके बजाय हम इन्टरपोलेशन
(interpolation) करने के लिए
MATLAB spline और pchip में दो
शक्तिशाली फंक्शन्स
(functions) का उपयोग करेंगे।
हम लेक्चर 6.4 में spline
और pchip क्या करते है
और साथ ही उन्हें
इस्तेमाल करने के
तरीकों के बारे में
कवर करेंगे। तो, आइए
हम लीनियर रिग्रेशन
(linear regression) के साथ-साथ
न्यूटन (Newton) के इन्टरपोलेशन
(interpolation) के लिए डेमो
(demo) भाग पर जाएं, और
रिग्रेशन (regression) और
इन्टरपोलेशन (interpolation)
को प्रदर्शित करने
के लिए हम डेटा (data)
के इस विशेष सेट को
लेंगे। तो मामले
में, लीनियर लीस्ट
स्क्वायर रिग्रेशन
(linear least square regression) में,
जो सवाल हम पूछना
चाहते हैं, वह यह है
कि दिए गए डेटा (data)
में एक सीधी रेखा
y = a0 + ax कैसे फिट (fit) किया
जाए। कम्प्यूटेशनल
तकनीकों (computational techniques)
के लेक्चर में, मॉड्यूल
5 में, लेक्चर नंबर
1 और लेक्चर नंबर 2
में, हम तरीके cover किये
हैं, लीनियर रिग्रेशन
(linear regression) करने के लिए
और जिसके लिए लिंक
यहां दिया गया है।
तो, यदि आप डेरिवेशन
(derivation) को समझना चाहते
हैं, तो इस विशेष समीकरण
को कैसे प्राप्त
करें। आप इस लिंक
(link) पर जा सकते हैं
और आप इस समीकरण को
प्राप्त करने के
लिएडेरिवेशन (derivation)
को देख सकते हैं।
हमें 2 समीकरण और 2
अज्ञात मिलने वाले
हैं। यह पहला समीकरण
है, यह दूसरा समीकरण
है। हमने इन समीकरणों
को एक साथ रखा। हम
इसे एक phi = b के रूप
में प्राप्त करने
जा रहे हैं। तो, हमारे
phi वेक्टर (vector), जो a0
और a1 है, दो पैरामीटर्स
(parameters) a0 है और a1 b का
इनवर्स (inverse) गुणा
होने जा रहा ठीक है।
न्यूटन के डिवाइडेड
डिफरेंस (divided difference)
सूत्र के मामले में,
जो मॉड्यूल 5 में शामिल
किया गया था, व्याख्यान
4। उस मामले में, हमने
बनाया, जिसे डिवाइडेड
डिफरेंस (divided difference)
तालिकाओं के रूप
में जाना जाता है।
इसलिए, डिवाइडेड
डिफरेंस (divided difference)
तालिका, पहले डिवाइडेड
डिफरेंस (divided difference)
में, x2-X1 द्वारा विभाजित
y2-y1 के बीच अंतर पर
आधारित है, x3-x2 द्वारा
विभाजित y3-y2, x4-x3 द्वारा
विभाजित y4-y3 इत्यादि।
डिवाइडेड डिफरेंस
(divided difference) का अगला सेट
d के आधार पर है। तो,
इसका मतलब है कि d
वर्ग x3-X1 द्वारा विभाजित
d2-d1 और कुछ नहीं है,
d3-d2 को x4-x2 द्वारा विभाजित
किया गया है, इसलिए
आगे और इतने पर हम
d के पावर (power) n तक जाते
हैं। इस प्रकार हमने
समग्र डिवाइडेड डिफरेंस
(divided difference) तालिका का
निर्माण किया। और
डिवाइडेड डिफरेंस
(divided difference) तालिका की
शीर्ष पंक्ति डिवाइडेड
डिफरेंस (divided difference)
गुणांक (coefficients)बनाती
है। फिर, और यह केवल
प्रदर्शन उद्देश्यों
के लिए है, जिन चीजों
को कम्प्यूटेशनल
तकनीकों (computational techniques)
के पाठ्यक्रम में
शामिल किया गया था,
उन्हें दिखाने के
लिए, हम MATLAB का उपयोग
करके समानताएं दिखा
रहे हैं। और यही इस
प्रदर्शन व्याख्यान
का आशय है। तो हमें
MATLAB पर जाएं ठीक है।
और आइए हम उदाहरण
देखें। ठीक है, पिछले
व्याख्यानों के विपरीत,
आज मैं जो करने जा
रहा हूं, मैं आपको
केवल अंतिम कोड दिखाऊंगा,
और मैं कोड के कुछ
दिलचस्प पहलुओं पर
जाऊंगा, मैं कोड के
बारे में विस्तार
से चर्चा नहीं करने
जा रहा हूं , क्योंकि
यह एक डेमो व्याख्यान
है। तो, आइए कोड की
विभिन्न लाइनों को
देखें। यह x और y डेटा
(data) बिंदु है n कुछ
भी नहीं है बल्कि
वेक्टर x की लंबाई
है। यह वह हिस्सा
है, जहाँ हम लीनियर
रिग्रेशन (linear regression)
की गणना करते हैं
और यह वह जगह है जहाँ
हम डिवाइडेड डिफरेंस
(divided difference) का उपयोग
करके इन्टरपोलेशन
(interpolation) की गणना करते
हैं। हमारे मैट्रिक्स
(matrix) का गठन यहाँ पर
दिखाए गए अनुसार
हुआ था। n हमारे पास,
n समन xi, समन xi है। 4 तत्वोँ
के रूप में समन xi।
n sum (x) sum (x) और sum (x). * x जो
समन xi वर्ग है। इसी
तरह, हम b मैट्रिक्स
(matrix) बनाते हैं जो
यहाँ पर दिखाया गया
है। और फिर phi, b द्वारा
a का इनवर्स (inverse) से
गुणा होने जा रहा
है। हम मूल डेटा (data)
बिंदुओं की प्लॉट
(plot) रच रहे हैं और हम
मान a0 + a1x की प्लॉट
(plot) रच रहे हैं।
तो a0, जो कि phi 1+ phi 2 जिसे
x के इस मान के लिए
x से गुणा किया जाता
है जो कि एक लाल सीधी
रेखा ठीक होगी। तो,
यह है कि हम एक लीनियर
रिग्रेशन (linear regression)
भाग में क्या करेंगे।
और डिवाइडेड डिफरेंस
(divided difference) भाग, हमने
न्यूटन के डिवाइडेड
डिफरेंस (divided difference)
का उपयोग करके इंटरपोलेंट(interpolant)
की गणना करने के लिए,
ndd नामक एक और फ़ंक्शन
(function) बनाया है। इसलिए,
हम 0.01 के चरणों में,
पूरे रेंज में 0. 8:
4: 9, इन्टरपोलेशन (interpolation)
मूल्यों की गणना
करेंगे, ताकि हम पूरे
कर्व (curve) को देख सकें
कि इन्टरपोलेशन (interpolation)
कर्व (curve) कैसा दिखता
है। तो चलिए अब मैं
कोड को ओके करता हूँ।
तो, जो ब्लू डॉट्स
(blue dots) आप यहां देखते
हैं, वे मूल डेटा (data)
बिंदु थे, लाल लीनियर
इन्टरपोलेशन (linear
interpolation) रेखा है, जिसे
हमने प्लॉट (plot) किया
है। तो यह इन्टरपोलेशन
(interpolation) रेखा है, जिसे
हमने लाल और खेद है,
यही रिग्रेशन (regression)
रेखा है। बेस्ट फिट
(best fit) कर्व (curve) रेखा
जिसे हमने लाल रंग
में प्लॉट (plot) किया
है। और काले रंग में,
हम इंटरपोलेंट (interpolant)
हो रहे हैं। और हमारे
द्वारा प्राप्त इंटरपोलेंट
न्यूटन के डिवाइडेड
डिफरेंस (divided difference)
सूत्र का उपयोग कर
रहा है। तो यह सीधी
रेखा है, ये डेटा (data)
बिंदु हैं और यह इन्टरपोलेशन
(interpolation) कर्व (curve) ठीक
है। वह चीज़ जो आप
यहाँ देखते हैं, क्योंकि
ये 3 बिंदु एक दूसरे
के काफी करीब स्थित
हैं। इसलिए हम एक
बहुत ही मज़ेदार
तरीका देखते हैं,
जिसमें यह इन्टरपोलेशन
(interpolation) कर्व (curve) जैसा
दिखता है, बजाय इसके
कि इन्टरपोलेशन (interpolation)
कर्व (curve) इस तरह से
सुचारू रूप से ठीक
हो जाए। यह उन चीजों
में से एक है जो इन्टरपोलेशन
(interpolation) में होता है,
हमने यहां एक चरम
उदाहरण लिया है, आपको
इस प्रकार के व्यवहार
को अधिकांश मामलों
में नहीं मिलेगा।
वैसे भी, अब इस व्याख्यान
को समाप्त करने के
लिए, आइए न्यूटन के
डिवाइडेड डिफरेंस
(divided difference) सूत्र को
देखें। न्यूटन के
डिवाइडेड डिफरेंस
(divided difference) , हम एक डिवाइडेड
डिफरेंस (divided difference)
तालिका बनाते हैं,
पहले इसे 0 के रूप
में आरम्भ करके, शून्य
के n सरणी से n का एक
वेक्टर ठीक है। और
प्रत्येक चरण पर,
हम d कॉलम (column) की गणना
करने जा रहे हैं।
और d कॉलम (column), xi-X1, xi
+ 1-x2 और इतने पर विभाजित
पिछले कॉलम (column) के
अंतर के अलावा कुछ
भी नहीं होने जा रहा
है। यदि हम यहाँ पर
जाते हैं और हम डिवाइडेड
डिफरेंस (divided difference)
तालिका को देखते
हैं तो इनमें से प्रत्येक
तत्व को डिवाइडेड
डिफरेंस (divided difference)
तालिका के पिछले
कॉलम से गणना की जाती
है।
और यही MATLAB कोड करता
है। और अंत में, गुणांक
(coefficients) होने जा रहा
है, डिवाइडेड डिफरेंस
(divided difference) तालिका की
पहली पंक्ति के अलावा
कुछ भी नहीं है और
हम उन गुणांक (coefficients)
का उपयोग करेंगे,
जिससे कि इन्टरपोलेशन
(interpolation) हो सके। तो,
यह वह हिस्सा है, जहाँ
हम रिग्रेशन (regression)
कर रहे हैं, यह वह
भाग है, जहाँ हम न्यूटन
के डिवाइडेड डिफरेंस
(divided difference) सूत्र का
उपयोग कर रहे हैं
ताकि इन्टरपोलेशन
(interpolation) हो सके। पुनरावृत्ति
करने के लिए, इस व्याख्यान
में हमने जो बात की,
वह यही थी। हमने लीनियर
रिग्रेशन (linear regression)
के बारे में बात की
जो दिए गए डेटा (data)
सेट में एक सीधी रेखा
या एक कर्व (curve) को
फिट करने के लिए है,
जो हमने लिया था वह
एक सीधी रेखा की फिटिंग
(fitting ) का था। लेकिन
रिग्रेशन (regression), जरूरी
नहीं है, केवल एक सीधी
रेखा फिट करने के
लिए। यह कुछ ऐसा है
जिसे हम अगले व्याख्यान
में देखने जा रहे
हैं। न्यूटन के इन्टरपोलेशन
(interpolation), हम x के मध्यवर्ती
बिंदुओं पर, y का मान
ज्ञात करने के लिए
उपयोग करते हैं।
तो, ये वे चीजें हैं
जो हमने आज के व्याख्यान
में प्रदर्शित कीं।
और अगले 3 व्याख्यानों
में हम रिग्रेशन
(regression) और पैरामीटर
एस्टिमेशन (parameter estimation)
को कवर करते हुए 2
व्याख्यान खर्च करने
जा रहे हैं। और इन्टरपोलेशन
(interpolation) को करते हुए
अंतिम व्याख्यान।
इसलिए, मैं इस व्याख्यान
के अंत में आता हूं
और मैं आपको अगले
व्याख्यान में देखूंगा।
धन्यवाद और अलविदा।