Interpolation Functions in MATLAB Video Lecture | MATLAB Programming for Numerical Computation - Software Development

हम मॉड्यूल 6 में हैं
जहां हम रिग्रेशन
(regression) और इन्टरपोलेशन
(interpolation) को कवर कर रहे
हैं।
व्याख्यान 6.1 में
हमने रिग्रेशन (regression)
और इन्टरपोलेशन (interpolation)
तकनीक का परिचय दिया।
6.2 और 6.3 के व्याख्यान
में हमने MATLAB में लीनियर
(linear) और नॉन-लीनियर
(non-linear) रिग्रेशन (regression)
तकनीकों को कवर किया
है।
इस व्याख्यान में
हम इन्टरपोलेशन (interpolation)
करने के लिए तकनीकों
को शामिल करने जा
रहे हैं।
विशेष रूप से हम MATLAB
में 2 इंटरपोलेशन
(interpolation) तकनीकों के
बारे में बात करने
जा रहे हैं जिन्हें
स्पलाइन (spline) और pchip
इंटरपोलेशन (interpolation)
कहा जाता है।
तो ये 2 इन्टरपोलेशन
(interpolation) तकनीक क्या
हैं?
स्पलाइन (spline) को क्यूबिक
स्पलाइन इंटरपोलेशन
(cubic spline interpolation) के रूप
में जाना जाता है।
तो यह कमांड (command) है
जो क्यूबिक स्पलाइन
इंटरपोलेशन (cubic spline
interpolation) प्राप्त करने
के लिए उपयोग करेगा।
यह एक क्यूबिक पोलीनोमिअल
(cubic polynomial) के साथ डेटा
(data) को फिट (fit) करने
के अलावा कुछ नहीं
है जो कुछ गुणों को
संतुष्ट करता है
ताकि हमें एक समग्र
चिकनी कर्व (curve ) मिल
जाए जो हमारे पास
मौजूद सभी डेटा (data)
को फिट करता है।
MATLAB में दूसरे विकल्प
को पीसवाइज क्यूबिक
हर्माइट पोलीनोमिअल
(Piecewise Cubic Hermite Polynomial) के
रूप में जाना जाता
है।
हम स्पलाइन (spline) और
pchip इंटरपोलेशन (interpolation)
को दिखाने के लिए
2 उदाहरण लेंगे और
हम इस उदाहरण का उपयोग
यह प्रदर्शित करने
के लिए करेंगे कि
कब और कब pchip इंटरपोलेशन
(interpolation) का उपयोग करना
उचित है।
और अन्य सभी स्थितियों
में हम स्पलाइन इंटरपोलेशन
(spline interpolation) का उपयोग
करने जा रहे हैं।
स्पलाइन (spline) और pchip
दोनों के लिए अल्गोरिथम
(algorithm) एक दूसरे के
समान हैं।
मैं यहाँ दे रहा हूँ
स्पलाइन (spline) के लिए
अल्गोरिथम (algorithm)।
Pchip को चलाने के लिए
आपको बस pchip को बदलने
की आवश्यकता है और
आप spline के स्थान पर
pchip का उपयोग कर पाएंगे।
सिंटेक्स (syntax) सरल
है yInterpolated इसका मतलब
है कि फ़ंक्शन (function)
स्पलाइन (spline) का आउटपुट
(output) इंटरपोलेटेड
डिपेंडेंट डेटा (interpolated
dependent data) है जो कि spline
(xData, yData) द्वारा दिया
जाता है।
xData यह है कि इनडिपेंडेंट
डेटा (independent data) , yData डिपेंडेंट
डेटा (dependent data) ठीक है।
और इसलिए यह वह डेटा
(data) है जो हमारे पास
है।
अब हम इन मूल डेटा
(data) बिंदुओं के बीच
कुछ x मानों के बीच
इंटरपोलेट (interpolate)
करना चाहते हैं।
और वह xVal द्वारा दिया
गया है।
हम उस उदाहरण में
थोड़ा देर में आएंगे।
तो स्पलाइन (spline) और
pchip 2 अलग-अलग इन्टरपोलेशन
(interpolation) तकनीक हैं
जिन्हें हम आज के
व्याख्यान में शामिल
करने जा रहे हैं।
आइए एक दिन के तापमान
भिन्नता के उदाहरण
पर विचार करें; यह
डेटा (data) 30 अक्टूबर
को चेन्नई में तापमान
के लिए लिया गया था।
यह 29 अक्टूबर की मध्यरात्रि
से शुरू होता है और
30 अक्टूबर की आधी
रात को समाप्त होता
है और हमारे पास 30
अक्टूबर को दिन के
भीतर विभिन्न तापमान
पर डिग्री सेल्सियस
में तापमान डेटा
(data) होता है।
इसलिए हमारे पास
1 बजे, 2 बजे, 3 बजे और
इतने पर तापमान डेटा
(data) है।
हम कहते हैं कि हम
2:30 am या 6:30 am पर डेटा
चाहते हैं या हमें
10:15 am और इतने पर ठीक
कहते हैं।
उस स्थिति में हमारे
पास यह डेटा (data) सीधे
वेबसाइट (website) से उपलब्ध
नहीं होता है।
तो हम क्या करने जा
रहे हैं, हम उन मध्यवर्ती
बिंदुओं पर डेटा
(data) की गणना करने के
लिए एक इन्टरपोलेशन
(interpolation) फ़ंक्शन (function)
का उपयोग करने जा
रहे हैं।
हमें MATLAB पर जाएं और
देखें कि यह कैसे
ठीक है।
इसलिए मैंने पहले
से ही एक फाइल (file) बनाई
है जिसे interDiurnalT कहा
जाता है ताकि हमारे
पास डेटा (data) तैयार
हो।
तो चलिए हम देखते
हैं कि डेटा(data) कैसा
दिखता है।
तो समय 0 पर, तापमान
25.6, समय पर 1 इसका 25.4
ठीक है और समय 23 पर
26.8 और समय 24 में 26.1 है।
तो, 26.8 और 26.1 ठीक है।
तापमान मानों को
इन्टरपोलेशन (interpolation)
करना।
तो हम कहते हैं कि
हम hI चाहते हैं, हम
कहते हैं कि घंटे
शामिल हैं।
माफ़ कीजियेगा; घंटे,
जिस पर हम चाहते हैं
कि मूल्यों को इन्टरपोलेशन
(interpolation) किया जाए।
तो 2:30 AM 2.5 होने जा रहा
है, 6:30 AM 6.5 होने वाला
है, 10.15 AM 10.25 बजे होने
वाला है, बता दें कि
हम 5 बजे डेटा (data) भी
ठीक चाहते थे।
यह सिर्फ यह जाँचने
के लिए है कि शाम 5
बजे हमारा इन्टरपोलेशन
(interpolation) कैसे काम करता
है, हम उम्मीद करते
हैं कि हमारा डेटा
(data) ठीक वैसा ही होगा
जैसा हमारे यहाँ
है।
तो अंतिम मूल्य 31.8
के बराबर होना चाहिए।
इसलिए हम जाँच करेंगे
कि क्या हम ठीक हैं।
और इन्टरपोलेशन (interpolation)
मानों TI कुछ भी नहीं
होने वाला है, लेकिन
spline हमें syntax spline x data yData
पर जाने देता है हमारा
xData जो कि इनडिपेंडेंट
डेटा (independent data) वेक्टर
(vector) h में है, डिपेंडेंट
डेटा (dependent data) वेक्टर
(vector) t में है।
ध्यान रखें कि वेक्टर
(vector) h और t दोनों का
साइज (size) 25 है।
इसलिए वे लंबाई 25
की पंक्ति वाले वैक्टर
(vector) हैं।
यह महत्वपूर्ण है,
यह महत्वपूर्ण है
कि h और t एक ही साइज
(size) के हैं और hI rr पर
इन्टरपोलेशन (interpolation)
हैं, घंटा मान जिस
पर हम चाहते हैं कि
हमारा इन्टरपोलेशन
(interpolation) किया जाए और
TI उन बिंदुओं पर तापमान
मान हो।
हम इसे run करते हैं।
और आइए हम जांचते
हैं कि hI और TI के मूल्य
क्या हैं।
तो 2.5 घंटे में तापमान
लगभग 25 डिग्री सेल्सियस
है, 2.5 तापमान लगभग
25 है, 6:30 घंटे का तापमान
26.13 है, इस बिंदु पर
तापमान 26, 13 पर 10, 10 घंटे
15 मिनट में तापमान
30.9 और पर है 17 घंटे
जो शाम 5 बजे के तापमान
पर होता है, वही डेटा
31.8 के बराबर होता है।
इस बिंदु पर तापमान
ठीक वैसा ही है जैसा
कि डेटा यहाँ है पर
ठीक है।
तो ये इंटरमीडिएट
डेटा पॉइंट्स (intermediate
data points) पर स्पलाइन
इंटरपोलेशन (spline interpolation)
का इस्तेमाल करके
तापमान की गणना की
जाती है।
हमें एक और उदाहरण
पर चलते हैं और यह
उदाहरण एक व्यस्त
चेन्नई सड़क पर चलती
कार का है।
यह वह कार है जो चेन्नई
के सरकारी अस्पताल
के सामने घूम रही
है।
और सरकारी अस्पताल
के ठीक सामने एक सिग्नल
है।
इसलिए कार को सड़क
के इस छोर से सड़क
के दूसरे छोर तक जाने
में डेढ़ मिनट का
समय लगता है।
वर्तमान में हम जिस
सड़क की निगरानी
कर रहे हैं, वह है।
जब यह इस विशेष सड़क
में प्रवेश करता
है तो कार की गति 45
किलोमीटर प्रति घंटा
होती है।
यह गति के तहत संकेत
पर रुक जाता है शून्य
हो जाता है।
यह 10 से 20 सेकंड के
बीच 0 के बराबर रहता
है।
जिसके बाद कार फिर
से चलने लगती है और
कार 55 किलोमीटर प्रति
घंटे की रफ्तार से
तेजी लाती है।
तो यह डेटा (data) है।
हमें MATLAB पर जाने दें
और हमें वह फ़ाइल
(file) लाएँ, जो मैंने
इस डेटा (data) के साथ
बनाई है।
तो यह समय है और यह
गति ठीक है।
स्पलाइन (spline) का उपयोग
करके इंटरपोलेशन
(interpolation) । , TI, हमें अपनी
बात कहने दें, हम चाहते
हैं कि हमारी गति
5 सेकंड, 15 सेकंड, 25
सेकंड, 35 सेकंड और
इसी तरह आगे बढ़े।
तो आइए हम कहते हैं
5:10:90।
मैं 85 पर भी बना सकता
था।
यह कोई समस्या नहीं
है, इसलिए समय मान
5, 10, 15, 20, मुझे खेद है,
जा रहा है, समय मान
5, 15, 25, 35 हो रहा है, 85
तक ठीक है।
स्‍पलाइन (spline) का उपयोग
करके इन्टरपोलेशन
(interpolation) गति वह कमांड
(command) है जो स्‍पलाइन
इनडिपेंडेंट डेटा
(spline independent data), डिपेंडेंट
डेटा (dependent data) वेक्टर
(vector) से पहले होती
है जिस पर हम इन्टरपोलेशन
(interpolation)मान चाहते हैं।
तो चलिए हम run करते
है।
इसलिए, जब हम run करते
हैं, तो हमारे पास
अब वैक्टर tI और sI में
इन्टरपोलेशन (interpolation)
डेटा (data) होता है।
तो tI, sI, हम इसे टाइप
करते हैं।
तो समय 5 पर गति 45.37
है।
तो गति में 45 से 45.37
की तरह थोड़ी वृद्धि
हुई है।
15 पर इस इन्टरपोलेशन
(interpolation) डेटा (data) में,
गति 13.9 पर गिर गई है,
15 सेकंड की गति 13.9 पर
गिर गई है।
अब कुछ दिलचस्प है
जो 25 पर होता है।
गति का अनुमानित
मूल्य -3 दिखाता है।
2 okay।
इसका क्या मतलब है
कि इन 2 बिंदुओं के
बीच हालांकि हम एक
तथ्य के लिए जानते
हैं कि कार को उस सिग्नल
पर रोका गया है।
इसलिए इन 2 बिंदुओं
के बीच गति 0 होनी
चाहिए।
इन्टरपोलेशन (interpolation)
मान से पता चलता है
कि गति नॉनजरो (non-zero)
है।
इसका कारण यह है क्योंकि
splines इन सभी डेटा बिंदुओं
के लिए एक चिकनी कर्व
(curve ) फिट (fit) करने की
कोशिश करता है।
यह एक चिकनी कर्व
(curve ) फिट (fit) करने की
कोशिश करता है और
जब वह ऐसा करने की
कोशिश करता है, तो
उसे नेगेटिव (negative)
होने के लिए 20 और 30
के बीच का मूल्य मिलता
है।
आइए हम इस कोड (code) को
थोड़ा बदल दें।
इसलिए 5 और 90 के बीच,
हम सभी डेटा बिंदुओं
पर इन्टरपोलेशन (interpolation)
मान चाहते हैं।
और हम उन्हें प्लॉट
(plot) करना भी चाहते
हैं।
तो हम कहते हैं कि
हम अपने मूल डेटा
t, s को प्लॉट (plot) करेंगे।
हम उन्हें नीले घेरे
(circles) के रूप में प्लॉट
(plot) करेंगे।
हम कहते हैं कि hold
on ठीक है और हम प्लॉट
(plot) करेंगे।
आइए हम इसे यहाँ ऊपर
ले जाएँ और हम अपने
इन्टरपोलेशन (interpolation)मूल्यों
tI, sI को काली रेखा के
रूप में प्लॉट (plot)
करेंगे और आइए देखते
हैं कि क्या होता
है।
तो वास्तव में tI 5 से
90 हमें 1 के चरणों में
0 से 90 तक जाने देते
हैं।
इसलिए इन्टरपोलेशन
(interpolation) मान SI 0 सेकंड,
1 सेकंड, 2 सेकंड और
3 सेकंड और इसी तरह
90 सेकंड तक गति करने
वाला है।
ठीक है।
तो चलिए हम इसे run करते
हैं और देखते हैं
कि हमे क्या मिलता
है ठीक हैं।
तो यह नीली रेखाएँ
मूल डेटा (data) हैं और
काली रेखाएँ इन्टरपोलेशन
(interpolation) डेटा (data) हैं।
जैसा कि आप देख सकते
हैं कि स्पलाइन इंटरपॉलटेस
(spline interpolates) एक चिकनी
कर्व (curve ) के रूप में
डेटा (data) है और क्योंकि
यह विशेष गति तेजी
से 0 पर गिरा है और
0 पर थोड़ी देर के
लिए रुकी है।
जब हम इस विशेष डेटा
(data) के लिए एक चिकनी
क्यूबिक स्पलाइन
(cubic spline) को फिट करने
की कोशिश करते हैं,
तो हमें 20 से 30 सेकंड
के बीच नेगेटिव (negative)
मान प्राप्त होता
है।
अब हम एक तथ्य के लिए
जानते हैं कि गति
अब नेगेटिव (negative) नहीं
होने वाली है क्योंकि
कार को रिवर्स (reverse)
दिशा में जाने की
उम्मीद नहीं है।
तो उस तरह का अवरोध
वास्तव में उस डेटा
(data) में है।
तो चलिए अब हम बताते
हैं कि हम चाहते हैं
कि ऐसी स्थितियों
के तहत विशेष रूप
से भौतिक स्थिति
को और अधिक सुंदर
रूप से संभाला जाए।
हम अन्य इन्टरपोलेशन
(interpolation) सूत्र का उपयोग
करेंगे जो pchip इन्टरपोलेशन
(interpolation) सूत्र ठीक
है।
तो आइये देखते हैं
कि हम pchip का उपयोग
कैसे करेंगे।
हमने जो कहा था वह
सिंटेक्स (syntax) ठीक
उसी तरह है जैसे हम
सिर्फ स्पलाइन ( spline)
को pchip के साथ बदलते
हैं।
और ठीक यही हम MATLAB में
करने जा रहे हैं।
तो यह वही है जो हमने
पहले लिखा था।
तो आइए हम स्पलाइन,
pchip ठीक के बजाय pchip
और sI_pc के बराबर इस
इंटरपोलेशन (interpolation)
को कॉपी पेस्ट (copy
paste) करते हैं।
और हम इसे 10 के चरणों
में 5 से 90 तक tI के लिए
करते हैं।
अभी के लिए हमें प्लॉट
(plot) की जरूरत नहीं
है।
तो चलिए हम इस पर comment
out करते हैं।
और हम सभी को clear all,
close all, clear screen करते हैं!
हाँ, हम इसे run करते
हैं।
हाँ, हमें प्लॉट (plot)
की जरूरत नहीं थी।
तो आइये देखते हैं
कि tI sI कहाँ है, यह वही
है जो tI sI है जहाँ और
हमें tI और sI_pc टाइप
(type) करते हैं और देखते
हैं कि वे क्या थे।
तो आइए हम उस बिंदु
पर ध्यान केंद्रित
करें जिस पर हमें
गति के नेगेटिव (negative)
मूल्य मिले।
और वह 25 था।
25 के समय में आप स्‍पलाइन
(spline) इंटरपोलेशन (interpolation)
का उपयोग कर रहे गति
का मूल्य -3.23 था।
जबकि, pchip का उपयोग
का शून्य है।
तो pchip डेटा (data) में
इस तरह की एकरसता
को बनाए रखता है।
इसका क्या मतलब है,
हम एक मिनट में आएंगे,
लेकिन यह विशेष उम्मीद
है कि गति 0 से नीचे
नहीं जा रही है जब
वाहन रुक रहा है और
pchip इंटरपोलेशन (interpolation)
द्वारा बनाए रखा
गया है।
जबकि स्पलाइन इंटरपोलेशन
(spline interpolation) द्वारा
इसका रखरखाव नहीं
किया जाता है।
अन्य डेटा (data) बिंदुओं
पर, हमारे पास अधिक
या कम समान तरीके
से व्यवहार करने
वाला स्पलाइन (spline)
और pchip है।
इन्टरपोलेशन (interpolation)
मूल्यों के बीच कुछ
अंतर है, लेकिन यह
अंतर बहुत महत्वपूर्ण
नहीं है।
सबसे महत्वपूर्ण
अंतर इस विशेष डेटा
(data) बिंदु पर आता है
जहां हम pchip चाहते
हैं या हम आवश्यकता
से मेल खाने के लिए
एक इन्टरपोलेशन (interpolation)
चाहते हैं कि जब वाहन
रुकता है तो इसकी
गति 0 ठीक है।
तो आइए हम इसकी प्लॉट
(plot) करते हैं।
डेटा (data)को प्राप्त
करने के लिए, 0 और 90
के बीच के सभी बिंदुओं
पर इन्टरपोलेशन (interpolation)
डेटा (data) प्राप्त
करने के लिए कंट्रोल
z (control z) का उपयोग करके
इसे वापस बदल दें।
और हमें यह भी बताएं
और sI_pc को प्लॉट (plot)
करें।
और हमें लाल लाइन
का उपयोग करके प्लॉट
(plot) करते हैं।
तो यह नया कमांड (command)
है जो मेरे पास है।
मैं लाल-रेखा के रूप
में tI बनाम sI_pc की प्लॉट
(plot) कर रहा हूं और मैं
इस स्पलाइन (spline) के
साथ तुलना करने के
लिए उपयोग करूंगा।
ठीक है, हम सब कुछ
clear होने दें।
तो यह हमारे पास है
और हमें यह run करने
दें।
तो नीले घेरे (circle)
मूल डेटा बिंदु हैं,
जिस काली रेखा को
आप यहां देखते हैं,
वह स्पलाइन इन्टरपोलेशन
(spline interpolation) है जो हमने
पहले किया है।
और एक लाल डैश लाइन
(dash line) pchip इन्टरपोलेशन
(interpolation), पीसवाइज क्यूबिक
हर्माइट (Piecewise Cubic Hermite
Polynomial) इन्टरपोलेशन
(interpolation) है।
अब आपको spline और pchip के
बीच का अंतर दिखाई
दे रहा है।
उदाहरण के लिए कोई
अंतर नहीं है या इन
2 बिंदुओं के बीच या
इन सभी बिंदुओं के
बीच बहुत कम अंतर
है, लेकिन यहां और
यहां पर महत्वपूर्ण
अंतर है ठीक है।
और अंतर निम्न कारण
से pchip और स्पलाइन
(spline) के बीच उत्पन्न
होता है।
Pchip क्या करता है यह
एकरसता बनाए रखता
है।
जब इन 2 डेटा बिंदुओं
के बीच का अर्थ है
कि जब हम y मान को इन्टरपोलेशन
(interpolation) करने की कोशिश
करते हैं, तो हमेशा
इन दो मानों के बीच
y होता है।
जैसा कि आप देख सकते
हैं कि इस मध्यवर्ती
बिंदु पर मूल्य इस
बिंदु पर मूल्य से
अधिक है।
Pchip यह अनुमति नहीं
देता है कि मध्यवर्ती
बिंदु के सभी मान
इस मूल्य से नीचे
और इस मूल्य से ऊपर
ठीक हैं।
यही कारण है कि जब
यह p 0 और 0 यहाँ है।
हमें यह फ्लैट लाइन
(flat line) pchip इंटरपोलेशन
(interpolation)का उपयोग करके
मिलती है क्योंकि
pchip यह सुनिश्चित करता
है कि एकरूपता बनी
रहे।
तो आइए हम पावर प्वाइंट
(power point) पर जाएं और खत्म
करें, क्या, हमने क्या
शुरू किया।
तो आज के व्याख्यान
में हमने जो किया
है, उसे हम 2 लोकप्रिय
इन्टरपोलेशन (interpolation)
तकनीक माना जाता
है, जिसमें स्पलाइन
इन्टरपोलेशन (spline
interpolation) और pchip इन्टरपोलेशन
(interpolation) हैं और हमने
2 उदाहरणों का उपयोग
करते हुए प्रदर्शन
किया।
पहले एक दिन के दौरान
तापमान में भिन्नता
थी।
इस विशेष उदाहरण
में, हम इस बात से
खुश थे कि स्पलाइन
इन्टरपोलेशन (spline
interpolation) ने हमें क्या
दिया।
इस विशेष उदाहरण
में हमारे पास एक
बाध्यता थी कि गति
0 से नीचे नहीं जा
रही है और pchip इसलिए
अधिक उपयुक्त पाया
गया क्योंकि pchip डेटा
(data) में एकरूपता बनाए
रखता है।
तो यह मुख्य रूप से
है जो हमने इस विशेष
व्याख्यान में कवर
किया है।
यह मॉड्यूल 6 का अंतिम
व्याख्यान है।
बस संक्षेप में संक्षिप्त
वर्णन करने के लिए,
हमने मॉड्यूल 6 में
क्या किया है?
व्याख्यान 6.1 में,
हम रिग्रेशन (regression)
और इन्टरपोलेशन (interpolation)
का परिचय देने के
लिए गए थे, व्याख्यान
6.2 और 6.3 में हमने रिग्रेशन
(regression) तकनीकों के
कई उदाहरणों को कवर
किया, लीनियर (linear)
और साथ ही साथ MATLAB का
उपयोग करके नॉन-लीनियर
(non-linear) रिग्रेशन (regression)
तकनीकें।
आज के व्याख्यान
में हमने 2 विशिष्ट
इन्टरपोलेशन (interpolation)
तकनीकों को शामिल
किया है जो एक स्पलाइन
इन्टरपोलेशन (spline
interpolation) और pchip इन्टरपोलेशन
(interpolation) थे।
इसलिए इसके साथ हम
मॉड्यूल 6 के अंत में
आते हैं।
मैं अगले सप्ताह
आपको अगले सप्ताह
मॉड्यूल 7 में देखूंगा।
हम सामान्य समीकरणों
को कवर करने जा रहे
हैं।
तो अगले हफ्ते में
मिलते हैं।
धन्यवाद।