Introduction and Euler's Method - MATLAB Video Lecture | MATLAB Programming for Numerical Computation - Software Development

नमस्कार और न्यूमेरिकल
कम्प्युटशंस के लिए
MATLAB प्रोग्रामिंग
(MATLAB programming for Numerical Computations
) में आपका स्वागत
है। हम मॉड्यूल 7 में
सप्ताह संख्या 7 में
हैं। इस मॉड्यूल
में, व्याख्यान 7.1
में हम आर्डिनरी
डिफरेंशियल एक्वेशन्स
(ordinary differential equations) के इनिशियल
वैल्यू प्रोब्लेम्स
(intial value problems) को कवर कर
रहे हैं। हम आर्डिनरी
डिफरेंशियल एक्वेशन्स
(ordinary differential equations) को हल
करने के लिए तरीकों
से निपटने जा रहे
हैं।odes के लिए खुद
को परिचय करने के
लिए जाने के लिए और
1 उदाहरण लेने के लिए
और euler विधि का उपयोग
कर इसे हल करने जा
रहे हैं।
euler विधि odes को हल करने
के लिए सबसे सरल तरीकों
में से एक है, तो चलो
ode समस्या को देखते
हैं । तो परिचय एक
ode क्या है? जब हम ode
हल करना चाहते हैं
कुछ समय के लिए इनिशियल
कंडीशंस (initial conditions)
के अधीन f(t,y) के बराबर
dy/dt के रूप में एक समीकरण,
कभी 0 के बराबर t हमें
y0 दिया जाता है।
हम उस इनिशियल कंडीशंस
(initial conditions) के साथ शुरू
करते हैं और प्रत्येक
समय में y के मूल्य
को खोजते हैं। उसी
तत्काल समय (इस तरह
से हमें t के एक फंक्शन
(function)के रूप में समग्र
कर्व (curve) y मिलेगा,
जिसे मैंने यहाँ
पर प्लॉट(plot) किया
है, अब t,y का फ़ंक्शन
(function) f कुछ भी नहीं
है, लेकिन इस डोमेन(domain)में
किसी बिंदु पर y बनाम
t कर्व(curve) की स्लोप
(slope) ठीक है। इसलिए
यदि हम एक y0 t0 के साथ
शुरू करने जा रहे
हैं तो हमें y1 t1 y2 t2
y3 t3 को खोजेंगे और
इसी तरह आगे जो हम
वास्तव में खोजने
जा रहे हैं। अंततः
हम संपूर्ण कर्व
(curve) को विकसित करेंगे
जो t का एक फंक्शन
(function) के रूप में y और
यह वास्तविक समाधान
है कि हम एक संख्यात्मक
योजना का उपयोग करने
के इरादा कर रहे हैं।
जो ode ivp इनिशियल वैल्यू
प्रोब्लेम्स (intial
value problems) को हल करने
के लिए संख्यात्मक
तरीकों के लिए चर्चा
और सिद्धांत कम्प्यूटेशनल
तकनीक पाठ्यक्रम
मॉड्यूल 7 में चर्चा
की गई है, जिसके लिए
लिंक(link) है इस व्याख्यान
में या उस विषय के
लिए इस पाठ्यक्रम
में हम ode ivp के संबंध
में किसी भी सिद्धांत
या चर्चा को कवर नहीं
करने जा रहे हैं, बल्कि
हम इनिशियल वैल्यू
प्रोब्लेम्स (intial
value problems) को हल करने
के लिए matlab का उपयोग
करेंगे।
आइए हम सबसे सरल तरीकों
में से 1 के साथ आरंभ
करें जिसे यूलर्स
मेथड (Euler’s method) के रूप
में जाना जाता है।
इससे पहले कि हम यूलर्स
मेथड्स (Euler’s method) पर
जाएं इस बात पर ध्यान
देता है कि हम इस ode
को कैसे हल करना चाहते
हैं।
हम dy/dt को एक परिमित
अंतर रूप (finite difference
form)में लिख सकते हैं
yi minus yi plus 1 Minus yi h द्वारा
विभाजित है h की स्टेप
साइज (step size) ज्ञात है
। यदि हम limit h 0 को हटा
देते हैं और इसे बहुत
छोटे मान के रूप में
लेते हैं, तो हम इस
समीकरण को फॉर्म
yi plus 1 में फिर से लिख
सकते हैं yi plus h को t,y
पर f द्वारा गुणा किया
गया है । यदि फ़ंक्शन
(function) f की गणना yi और
ti पर की जाती है, हमें
वह मिलता है जिसे
यूलर्स फॉरवर्ड डिफरेंस
(Euler’s forward difference) या माफ़
कीजिये, फिर हमें
वह मिलता है जिसे
ode ivp के लिए सामान्य
संख्यात्मक विधियों
में यूलरस एक्सप्लिसिट
मेथड(Euler’s explicit method) के
रूप में जाना जाता
है।
हम कुछ स्लोप (slope) si
खोजने की कोशिश करते
हैं जो सबसे अच्छा
अनुमान है इस कर्व
(curve) के साथ इस्तेमाल
किया जा सकता है ताकि
si y y s और t s पर निर्भर
होने जा रहा है।और
हम उस विशेष si को खोजने
जा रहे हैं जैसे कि
हम yi प्लस 1 प्राप्त
करते हैं जितना संभव
हो उतना ही सही हल
हमें सबसे आसान केस
हम si के रूप में, कुछ
भी नहीं मान सकते
हैं, लेकिन t,yi पर f की
गणना की जाती है और
कहा जाता है कि यह
यूलरस एक्सप्लिसिट
मेथड(Euler’s explicit method) है
y प्लस 1 yi प्लस h गुणा
f(ti ,y) के बराबर है वह
सूत्र है जो हम शुरुआती
समय में यूलरस एक्सप्लिसिट
मेथड(Euler’s explicit method) के
लिए उपयोग करेंगे।
y0 t0 हम अब y0 की गणना
करने के लिए इसका
उपयोग कर सकते हैं
t0 ज्ञात है और y0 ज्ञात
है इसलिए t0 y0 पर ज्ञात
f है हम इसका उपयोग
y1 को गणना करने के
लिए कर सकते हैं
एक बार y1 ज्ञात हो
जाता है और t1 ज्ञात
होता है कि हम इनका
उपयोग y2 की गणना करने
के लिए कर सकते हैं
जिसका उपयोग हम y2
की गणना करने के लिए
कर सकते हैं। ठीक
है, तो यह बहुत सरल
सीधा तरीका हो जाता
है, ताकि ode इनिशियल
वैल्यू प्रोब्लेम्स
(intial value problems) को हल किया
जा सके।
यूलरस एक्सप्लिसिट
मेथड(Euler’s explicit method) के
साथ समस्या 2 पहली
समस्या यह है कि इस
समस्या से निपटने
के लिए विधि बहुत
सटीक नहीं है, हम रुन्गे-कुट्टा
(Runge-Kutta) के बारे में
बात करने जा रहे हैं
व्याख्यान 7.2 और उसके
बाद दूसरी समस्या
स्टेप साइज (step size) के
बारे में है जिसे
हमें चुनने की आवश्यकता
है ताकि सिस्टम को
संख्यात्मक विधियों
की स्थिर स्थिरता
प्राप्त करने के
लिए कुछ ऐसा हो जो
मैं इस व्याख्यान
में पेश करूंगा लेकिन
यह इसके दायरे से
बाहर है इस पाठ्यक्रम
में मैं स्थिरता
की अवधारणाओं को
मुख्य रूप से पूर्णता
के लिए पेश करूंगा,
हालांकि इसका इस
matlab पाठ्यक्रम का
एक हिस्सा ठीक नहीं
है।
इसलिए इसका उदाहरण
जो हम हल करेंगे, वह
है dy/dt=-2ty इनिशियल कंडीशंस
(initial conditions) के साथ y0 1
के बराबर है यदि हम
इस विश्लेषणात्मक
समाधान को हल करते
हैं जो हम कभी भी y
में प्राप्त करने
जा रहे हैं तो t, exp - t
वर्ग के बराबर है।
जो हम करना चाहते
हैं यूलरस एक्सप्लिसिट
मेथड(Euler’s explicit method) का
उपयोग करके हल को
विश्लेषणात्मक समाधान
की विधि के हल से तुलना
करेंगे जो यहाँ पर
लिखा है।
इस समस्या को हल करने
के लिए MATLAB पर जाने
की अनुमति देता है,
जिससे यूलरस एक्सप्लिसिट
मेथड(Euler’s explicit method) का
उपयोग करके हल किया
जा सकता है, जिससे
यूलरस एक्सप्लिसिट
मेथड(Euler’s explicit method) हल
ode ivp नामक फाइल बनाई
जा सकती है, इसलिए
हमने कुछ मापदंडों
को रखा है t0 y0 क्या
दिया गया था हम कहते
हैं कि हम इसे 5 तक
के बराबर समय तक हल
करना चाहते हैं और
यह कहते हैं कि हम
जिस स्टेप साइज (step
size) का उपयोग करने
जा रहे हैं, वह 0.1 है,
इसलिए इस सब को नीचे
रख दें। मैं यहाँ
ट्रांस्पोस (transpose)
कर रहा हूँ यहाँ क्योंकि
हम चाहते हैं कि t
और y कॉलम वैक्टर होने
के कारण y सॉल्यूशन
वेक्टर (solution vector) है
और हम इसे साइज (size)
zeroes(n+1,y1) के रूप में
इनिशियलाइज़ (initialize)
करेंगे, जिसका पहले
वैल्यू y0 के बराबर
है ।
जिसे ध्यान में रखते
हुए आपको अब तक पता
चल गया होगा उस matlab
के पास अर्रे (array ) location0
अर्रे (array ) इंडेक्स
1 से शुरू होती है
और इसलिए हम इंडेक्स
1 का उपयोग समय t=0 के
बराबर करेंगे। इसके
अलावा हमें n के मान
को भी निर्दिष्ट
करने की आवश्यकता
है ताकि n कुछ भी नहीं
हो, लेकिन tend-t0 t0 से
विभाजित करें h से
ठीक है।
यह देखने के लिए कि
हमें कोई एरर (error ) नहीं
मिलती है, इसे save करें
और run करें , इसलिए
हमें यहाँ पर कोई
एरर (error ) नहीं मिल
रही है, अब हम यूलरस
एक्सप्लिसिट मेथड(Euler’s
explicit method) का उपयोग करना
जारी रखते हैं, fi कुछ
नहीं, लेकिन-2 को ti
द्वारा गुणा करके
yi से गुणा किया जा
रहा है, वह हमारे fi
और yi प्लस 1 है yi प्लस
h fi द्वारा गुणा किया
जाता है ताकि हमारे
यूलरस एक्सप्लिसिट
मेथड(Euler’s explicit method) से
चलें ताकि हम पर नजर
डाल सकें और yi प्लस
yi प्लस h f (ti,yi) द्वारा
गणना की गई है।
हमारे f -2ty था। समय
के साथ i कुछ भी नहीं
होने जा रहा हूँ, लेकिन-2
को ith स्थान वेक्टर
(vector ) t द्वारा गुणा
ith स्थान वेक्टर (vector
) y द्वारा गुणा किया
जाता है, ठीक यही है
कि हमारा fi yi प्लस
1 होने जा रहा है, लेकिन
yi प्लस h गुणा fi ठीक
है और अंत में ऐसा
कुछ नहीं होना चाहिए
ऐसा करते हैं कि हमारे
यूलरस एक्सप्लिसिट
मेथड(Euler’s explicit method) को
पूरा करता है।
इस प्लाट(plot) t,y को प्लाट
करते है। तो आशा है
कि यह बिना किसी एर्रर
(error) के run करता है और
यह यूलरस एक्सप्लिसिट
मेथड(Euler’s explicit method) का
उपयोग करके संख्यात्मक
समाधान है, जिससे
एर्रर्स (errors) की भी
गणना की जा सकती है।
तो प्लॉट(plot) का परिणाम
प्राप्त हो सके और
एर्रर्स (errors) को प्राप्त
किया जा सके, ytrue exp-t
वर्ग के बराबर है
हाँ ytrue exp-t डॉट कैरेट
2। हम डॉट की जरूरत
है क्योंकि तत्व
से तत्व वर्ग और एरर
के बराबर अब्सोल्युट
(absolute) मूल्य ytrue माइनस
y, ठीक है।
इसलिए हमने जो अपनी
स्क्रीन (screen) को क्लियर
(clear) किया है और जो
यूलरस एक्सप्लिसिट
(Euler’s explicit) कहलाता है,
यहां स्पष्ट रूप
से इसे हल करता है
और एरर (error) को err से
देखने देता है। और
अधिकतम err 0.035 है। अगर
h को 0.01 तक घटा दिया
गया तो इस को run कर
देता है और अधिकतम
एरर (error) को देखता है
और अधिकतम एरर (error)
तब होता है जब 0.03 से
0.003 तक होता है इसलिए
h के 1 ऑर्डर (order) द्वारा
h को कम करके अधिकतम
एरर (error) 1 की कमी से
भी परिमाण में कमी
आती है, जिससे h को
कम करके इसे बचाया
जा सकता है और हम अधिकतम
एर्रर (error) पाते हैं
और अधिकतम एर्रर
(error) को परिमाण के एक
और ऑर्डर (order) से घटाकर
3*के पावर(power) -3 की बजाय
अब हम 3*10 के पावर(power)
-4 पर ले जाते हैं।
यहाँ से आप शायद अनुमान
लगा सकते हैं कि ग्लोबल
ट्रंकेशन एर्रर (global
truncation error) के लिए सटीकता
के ऑर्डर (order) को शुरू
करने के बजाय यूलरस
एक्सप्लिसिट मेथड(Euler’s
explicit method) h के पावर (power)
1 ऑर्डर (order) है। यह
कुछ ऐसा है जो कवर
करेगा इस मॉड्यूल
में बाद के व्याख्यानों
में से 1 में थोड़ा
और अधिक विवरण ठीक
है।
ताकि हम अपने h को
अपने पुराने मूल्य
में वापस बदल सकें
और अपनी समस्या को
ठीक कर सकें, तो यह
उदाहरण था कि हमने
यूलरस एक्सप्लिसिट
मेथड(Euler’s explicit method) का
उपयोग करके हल किया
है यूलरस एक्सप्लिसिट
मेथड(Euler’s explicit method) हमारे
f हमने ti,y पर गणना की,
हमें ti,yi के बजाय ti
plus 1 yi plus 1 पर एक बहुत
अच्छी तरह से परिकलित
f मिला, यदि हम यह करना
चाहते थे कि हमें
वह मिल जाएगा जो यूलरस
इमप्लिसिट मेथड(Euler’s
implicit method) के रूप में
जाना जाता है, तो यूलरस
एक्सप्लिसिट मेथड(Euler’s
explicit method) ti और yi पहले
से ही ज्ञात थे और
आप इसे सीधे गणना
कर सकते हैं और इसे
yi plus 1 पर नियत कर सकते
हैं, हालाँकि यह यूलरस
इमप्लिसिट मेथड(Euler’s
implicit method) में संभव नहीं
है क्योंकि हमारा
yi खुद y+1 पर निर्भर
करता है हमारे इस
फ़ंक्शन (function) के माध्यम
से स्वयं पर निर्भर
करता है इसलिए यह
एक तरीका है नॉन -लीनियर
(nonlinear) समीकरण जिसे
हमें हल करने की आवश्यकता
है हम एक नॉन -लीनियर
(nonlinear) हल का उपयोग
करके इसे कर सकते
हैं जैसे fsolve f हल कुछ
ऐसा है जिसे हमने
इस पाठ्यक्रम के
मॉड्यूल 5 में कवर
किया है। इसलिए यदि
हम इसे फिर से लिखना
चाहते हैं तो हम इसे
yi +1 -h ti+1, yi+1 पर f से गुणा
के रूप में फिर से
लिखेंगे और हम इसे
fsolve कर सकते हैं और
हम हल कर सकते हैं।
अब यूलरस इमप्लिसिट
मेथड(Euler’s implicit method) इस
विशेष पाठ्यक्रम
का एक हिस्सा नहीं
है, लेकिन पूर्णता
के लिए मैंने पहले
से ही यूलरस इमप्लिसिट
मेथड(Euler’s implicit method) बना
लिया है और मैं यह
clear all close all clc edit करें
यूलरस इमप्लिसिट
मेथड(Euler’s implicit method) का
अर्थ है ठीक यही वह
कोड है जिसे मैंने
पहले y0 t0 t और h के समान
मानों के लिए बनाया
है बाकी सब कुछ उसी
तरह शेष है। अब f की
गणना ti plus 1 yi plus 1 से की
जाती है, इसलिए पहले
मैं ti+ 1 की गणना करूँगा
yi plus 1 अभी तक अज्ञात
है और इसलिए हमें
इस ठीक को हल करने
के लिए fsolve का उपयोग
करने की आवश्यकता
है।
इसलिए yi plus 1 अज्ञात
मात्रा है इसलिए
यह अज्ञात है इस पर
यहाँ अज्ञात है इसलिए
हमने matlab में अनाम
फंक्शन्स (functions) के
रूप में जाना जाता
है। f(x) का यह विशेष
रूप से देने के लिए
ताकि f कुछ भी न हो,
लेकिन y minus h h से गुणा
h - 2 गुणा, t गुणा y-yi तो
यह वही है जो यहाँ
पर लिखा गया है ठीक
है और प्रारंभिक
अनुमान जो हम देने
जा रहे हैं।
Y एक अनामी फंक्शन
(function) एक और बात है
कि हमने इस में कवर
नहीं किया है इस पाठ्यक्रम
में। हम इस विशेष
पाठ्यक्रम में मतलब
में गुमनाम फ़ंक्शन(function)
को कवर नहीं करने
जा रहे हैं, इसलिए
ये 2 अवधारणाएं हैं
जो वास्तव में पाठ्यक्रम
से परे हैं यदि आप
करेंगे बस इसे पूर्णता
के लिए दिखाया गया
है ताकि आप यह समझ
सकें कि हम यह कैसे
कर सकते हैं कि यह
भी प्लॉट (plot) t,y के बराबर
होने से पहले प्लॉट
(plot) और एर्रर्स (errors)
प्राप्त कर सकता
है। और कैप के बजाय
एक कैप डॉट कैप है।
यह ठीक है कि हमने
मूल रूप से यूलरस
इमप्लिसिट (Euler’s implicit)
के लिए जो किया है
वह निहित है जो इसे
run करताहै और आशा करता
है कि हमें कोई एर्रर
(error) नहीं मिलती है
ठीक है। 1 बात जो आप
देखेंगे कि यूलरस
इमप्लिसिट मेथड(Euler’s
implicit method) यूलरस एक्सप्लिसिट
मेथड(Euler’s explicit method) की
तुलना में थोड़ा
अधिक समय लेता है।
क्योंकि हमें प्रत्येक
लाइन पर fsolve को हल करने
की आवश्यकता है और
यह आंकड़ा लगभग कुछ
वैसा ही दिखता है
जैसा कि हमने पाया
था कि यूलरस एक्सप्लिसिट
मेथड(Euler’s explicit method) बताई
गई है और अधिकतम एर्रर
(error) का पता लगा सकते
हैं। 0.01 यदि आप यूलरस
एक्सप्लिसिट मेथड
(Euler’s explicit method) को याद
करते हैं, तो 0.1 के
बराबर भी एर्रर (error)
है जो हमें मिली थी
0.03 ठीक था।
इसलिए यूलरस इमप्लिसिट
मेथड (Euler’s implicit method) की
सटीकता का ऑर्डर
(order) यूलरस एक्सप्लिसिट
मेथड(Euler’s explicit method) के
समान है, इसलिए अब
सवाल यह है कि क्या
है सटीकता का ऑर्डर
(order) यूलरस इमप्लिसिट
(Euler’s implicit) और एक्सप्लिसिट
(explicit) और यूलरस इमप्लिसिट
(Euler’s implicit) के बीच समान
है, यूलरस एक्सप्लिसिट
मेथड (Euler’s explicit method) की
तुलना में हल करना
अधिक कठिन है, क्यों
हम पहले मामले में
इमप्लिसिट मेथड (implicit
method) में रुचि रखते
हैं यही कारण है कि
इमप्लिसिट मेथड(implicit
method) बहुत उपयोगी हैं
क्योंकि इमप्लिसिट
मेथड(implicit method) विश्व
स्तर पर स्थिर हैं।
यह कम्प्यूटेशनल
तकनीक पाठ्यक्रम
मॉड्यूल 7.5 लिंक (link)
में कवर किया गया
था, जिसके लिए यहाँ
पर मूल रूप से दिया
गया है, इसका मतलब
है कि अगर हम स्टेपसाइज
(step size) में वृद्धि करना
शुरू करते हैं, तो
हमें समग्र गणना
में तेजी लाने के
लिए कभी-कभी स्टेपसाइज
(step size) बढ़ाने की आवश्यकता
होगी। स्टेपसाइज
(step size) को बढ़ाना शुरू
करें, h की थ्रेशोल्ड
वैल्यू (threshold value) आएगी
जिसके आगे यूलरस
एक्सप्लिसिट मेथड
(Euler’s explicit method) अस्थिर
हो जाएगा जिसका मतलब
है कि आपको स्टेबल
(stable) हल नहीं मिलेगा
दूसरी ओर यूलरस इमप्लिसिट
मेथड (Euler’s implicit method) विश्व
स्तर पर स्थिर है,
जिसका अर्थ है कि
आप अपनी पसंद के h
के किसी भी मूल्य
का चयन कर सकते हैं
और यूलरस इमप्लिसिट
मेथड(Euler’s implicit method) स्थिर
बनी रहेगी स्थिरता
यही कारण है कि इमप्लिसिट
मेथड(implicit method) विशेष
रूप से कठिन ode को हल
करने के लिए लोकप्रिय
हैं।
चलो अब दिखाते हैं
कि स्थिरता के नुकसान
का मतलब क्या है, ठीक
है हम इसे स्पष्ट
कर देंगे और हम वापस
यूलरस एक्सप्लिसिट
मेथड (Euler’s explicit method) पर
चले जाएंगे, अब अगर
0.1 के बजाय h यह कहता
है कि क्या हमें 0.25
लेने थे और हम यह पाते
हैं समाधान अब गुणात्मक
रूप से समान दिखता
है, जैसा कि हमने पहले
देखा था कि यह केवल
एक चीज है जो अधिक
उबाऊ और अधिक दिखता
है, क्योंकि एर्रर्स
(errors) 0.25 के स्टेप साइज
(step size) के साथ अधिक
हैं जबकि एर्रर्स
(errors) अधिक हैं समाधान
अभी भी स्थिर है अब
इसे 0.5 तक बढ़ा देता
है।यूलरस एक्सप्लिसिट
(Euler’s explicit) को run करने
की सुविधा मिलती
है और हम देखते हैं
कि यह कुछ मज़ेदार
है। ऐसा कुछ भी नहीं
है जो कि पहले चरण
में पहले 2 चरणों में
हुआ बल्कि तीसरे
चरण में समाधान सीधे
1. 0 से 0 . 0 तक हुआ। ठीक
है और यही कारण है
कि ऐसा होता है कि
0.5 के बराबर h स्थिरता
की सीमा पर होता है
यदि हम अपने h को 0.5
से आगे बढ़ाते हैं
तो हम समग्र समाधान
को अस्थिर कर देंगे।
हम इसे बढ़ा सकें
1 के बराबर h और हम देखेंगे
कि किस अस्थिरता
से यह run करता है क्योंकि
आप देख सकते हैं कि
ti, माफ़ कीजिये, yi का
मान 5 के बराबर t=5 पर
yi का मान 100 से अधिक
है और यह विशेष श्रृंखला
समाधान ठीक है क्योंकि
इसका कारण यूलरस
एक्सप्लिसिट मेथड
(Euler’s explicit method) है इस
विशिष्ट उदाहरण में
स्पष्ट विधि में
0.5 के बराबर h की स्थिरता
की सीमा है। 0.5 से अधिक
h का कोई भी मूल्य
अस्थिर समाधान के
परिणामस्वरूप होगा,
वास्तव में जाने
और h को 2.5 में बदलने
देता है और देखें
कि क्या होता है ठीक
है और हमारा समाधान-12
में चला गया है और
अगर फिर से वही बात
अगर हम 5 को बदलने
के लिए थे, तो हम देखेंगे
कि एक समान व्यवहार
10 में परिवर्तन देखने
देता है कि व्यवहार
क्या है ठीक है और
आप देखते हैं कि हम
चले गए हैं कि समाधान
-1.1 जैसे कुछ 10 की पावर
(power) 4 तक पहुंच गया
है
तो हम बहुत स्पष्ट
रूप से चले गए हैं
किसी अस्थिर श्रेणी
के समाधान को ले जाने
की तुलना करने से
यह पता चलता है कि
यूलरस इमप्लिसिट
(Euler’s implicit) के साथ हम
h का उपयोग 2.5 के बराबर
करेंगे और 10 के बराबर
t end चीजों को समान
रखेंगे, जैसे कि tend
के 10 h बराबर 2.5 के बराबर
होने से यह ठीक रहता
है।
और इसे save करते है
और run करते हैं और देखते
हैं, हालांकि यह समाधान
बहुत अनुमानित है,
हमारे पास ode का उपयोग
करके एक बहुत अच्छा
अनुमान नहीं है, ode
solver eulers विधि का उपयोग
करके हमारे पास अभी
भी समाधान स्थिर
है कारण यह है कि यूलरस
इमप्लिसिट (Euler’s implicit)
विधि विश्व स्तर
पर स्थिर है हम आकार
को स्टेप साइज (step
size) h जितना बड़ा चाहते
हैं, चुन सकते हैं
और समाधान अभी भी
ठीक रहेगा, इसलिए
मैं लेक्चर 7.1 के अंत
तक आऊंगा, जिसे हमने
लेक्चर 7.1 में कवर
किया है, वह खुद को
ode से मिलवाता है इनिशियल
वैल्यू प्रोब्लेम्स
(intial value problems) ने 1 उदाहरण
लिया और इसे हल किया
eulers विधि का उपयोग
करके eulers विधि सबसे
सरल विधि थी जिसे
हम चुन सकते थे और
हम यूलरस इमप्लिसिट
(Euler’s implicit) और एक्सप्लिसिट
(explicit) की तुलना इस मॉड्यूल
के बाकी हिस्सों
में करते हैं जो हम
अधिक एक्सप्लिसिट
(explicit) विधि के साथ काम
करने जा रहे हैं।
अगले व्याख्यान में
इसे रुन्गे-कुट्टा
(Runge-Kutta) परिवार के रूप
में जाना जाता है,
मैं दूसरा ऑर्डर
(order) रुन्गे-कुट्टा
(Runge-Kutta) विधि पेश करने
जा रहा हूँ, इसलिए
इस मॉड्यूल के शेष
भाग के लिए हमारी
योजना अगले व्याख्यान
में आपको देखते हैं।
धन्यवाद