Error Analysis - MATLAB Video Lecture | MATLAB Programming for Numerical Computation - Software Development

नमस्कार और न्यूमेरिकल
कम्प्युटशंस के लिए
MATLAB प्रोग्रामिंग
(MATLAB programming for Numerical Computations
) में आपका स्वागत
है। हम सप्ताह संख्या
7 में हैं। मॉड्यूल
7 में हम आर्डिनरी
डिफरेंशियल एक्वेशन्स
(ordinary differential equations) के इनिशियल
वैल्यू प्रोब्लेम्स
(initial value problems) को कवर
कर रहे हैं। हम 7.5 के
व्याख्यान में हैं।
यह इस मॉड्यूल का
अंतिम व्याख्यान
है। इस व्याख्यान
में हम रनगे-कुट्टा
(Runge-Kutta) विधियों के
कुछ एर्रर (error) विश्लेषण
प्रस्तुत करने जा
रहे हैं।
अब तक हमने यूलर (Euler)
की विधि को कवर किया
है जिसे फर्स्ट आर्डर
(first order) रनगे-कुट्टा
(Runge-Kutta) पद्धति माना
जा सकता है। हमने
कुछ RK -2 विधियों को
कवर किया है। विशेष
रूप से, ह्यून (Heun) की
विधि और मध्य बिंदु
विधि। और पिछले व्याख्यान
में, व्याख्यान 7.4
में हमने RK -4 विधि,
मानक RK-4 विधि को कवर
किया है। आज हम RK विधियों
के एर्रर (error) विश्लेषण
को प्रस्तुत करने
जा रहे हैं। तो पहले
हमें लोकल ट्रंकेशन
एर्रर (local truncation error) के
बारे में बात करते
हैं। हम आज के व्याख्यान
में इसे प्रदर्शित
नहीं करेंगे, जो मैं
आपको दिखाऊंगा, वह
ग्लोबल ट्रंकेशन
एर्रर (global truncation error)
के साथ है।
अब अगर हम लोकल ट्रंकेशन
एर्रर (local truncation error) के
बजाय ग्लोबल ट्रंकेशन
एर्रर (global truncation error)
की तुलना करते हैं,
तो सभी ode सॉल्वर (solver)
की सटीकता 1 के पावर
(power) h के समग्र आर्डर
(order) को घटता हैं। इसका
मतलब यह है कि यूलर
(Euler) की विधि, ग्लोबल
ट्रंकेशन एर्रर (global
truncation error) h के पावर (power)
1 है, ह्यून (Heun) h के
पावर (power) 2, RK-4 h के पावर
(power) 4 है। आज का व्याख्यान,
यह वही है जिसे हम
प्रदर्शित करने और
तुलना करने जा रहे
हैं। हम यह देखने
जा रहे हैं कि यूलर
(Euler) की विधि और RK-4 विधि
की तुलना में यूलर
(Euler) की विधि की एर्रर
(error) कैसे हो सकती है।
विशेष रूप से हम ग्लोबल
ट्रंकेशन एर्रर (global
truncation error) के बारे में
बात कर रहे हैं।
आइए अब हम MATLAB पर जाएं
यह नहीं करते है।
हम क्या करेंगे, हम
उन कोडों (codes) को सामने
लाएंगे जो हमने पहले
लिखे थे। हमने RK-2 Heun
का विधि कोड (code), RK-4
मानक विधि कोड (code)
और Euler एक्सप्लिसिट
(explicit) विधि कोड (code) लिखा
था। तो RK -2 ह्यून (Heun)
की विधि जो myFun का उपयोग
करती है, जिसे हमने
7.4 व्याख्यान में
किया था।
और यह फंक्शन myFun था।और
फिर हमारे पास, हमारे
पास RK -4 मानक विधि
थी। जो myFun का भी उपयोग
करते हैं। मैं भी
क्या करूंगा, यूलर
(Euler) एक्सप्लिसिट
(explicit) तरीका खोलें।
तो यह यूलर (Euler) एक्सप्लिसिट
(explicit) विधि RK-2 और RK-4 विधियाँ
थीं। यूलर (Euler) एक्सप्लिसिट
(explicit) विधि भी हम इसे
बदलने के लिए जा रहे
हैं -2 t * y के बजाय, मैं
myFun (ti, yi) का उपयोग करने
जा रहा हूं।
ठीक उसी तरह, जैसे
हमने पहले किया था,
जैसा हमने यहाँ पर
किया था। यही हमने
अपने यूलर (Euler) की स्पष्ट
पद्धति के साथ फिर
से किया है। इसे save
करो, ठीक है। और हम
क्या करेंगे, हम यूलर
(Euler) की स्पष्ट, RK -2 ह्यून
(Heun) और RK -4 मानक पद्धति
की तुलना करेंगे।
संपादित करें, तुलना
करें। यूलर (Euler), ह्यून
(Heun) और RK -4 विधियों
की ग्लोबल ट्रंकेशन
एर्रर (global truncation error)
की तुलना करें। मैं
क्या करूंगा, मैं
इस भाग की कॉपी (copy
) बनाऊंगा, t0 0 है, y0 1
है।
हमें tEnd=1 लेते हैं।
h हम अलग-अलग रखने
जा रहे हैं इसलिए
h, HALL, मान लें कि हम
0.1, 0.05, 0.01 और 0.005 हैं।
हम कहते हैं कि ये
4 h मान हैं जो हमारे
पास हैं। for i = 1: 4, h = HALL
(i), n के बराबर जो हमने
पहले tEnd - t0 / h किया था।
इसके साथ हम यूलर
(Euler) एक्सप्लिसिट
(explicit), RK -2 ह्यून (Heun) और
RK-4 मानक विधि को करने
जा रहे हैं। इसलिए
हम जो करने जा रहे
हैं, उसे हम आरके यूलर
(Euler) और ह्यून (Heun) की
विधि कहेंगे, लेकिन
हमें हर चीज की आवश्यकता
नहीं है। हमें केवल
tEnd पर Yend की आवश्यकता
है, इसलिए Yend myEuler ठीक
है। और हम इसे अपने
y0, t0, h और N के साथ कॉल
(call) करने जा रहे हैं।
तो Yयूलर (Yeuler) यह Yheun
myHeun(y0, t0, h, N) के बराबर
है और Yrk4 = myRK4 (y0, t0, h, N)
ठीक है।
तो आइए हम यूलर (Euler)
एक्सप्लिसिट (explicit)
के बारे में जाने
और इसे एक फंक्शन
(function) में परिवर्तित
करें। याद रखें कि
हमने मॉड्यूल 1 में
क्या कहा था, जहां
हमने फंक्शन (function)
बनाम स्क्रिप्ट्स
(scripts) पर चर्चा की।
स्क्रिप्ट (Script)कुछ
ऐसा है जिसे हम MATLAB
में किसी विशेष कार्य
को पूरा करने के लिए
उपयोग करने जा रहे
हैं। यदि हम कुछ इनपुट
वेरिएबल्स (input variables)
के फ़ंक्शन (function) के
रूप में कुछ गणना
करना चाहते हैं या
यदि हम किसी विशेष
कार्य को कई बार दोहराना
चाहते हैं, तो हम फ़ंक्शंस
(functions) का उपयोग करने
जा रहेश्यकता नहीं
है, ह हैं।
यही कारण है कि हम
इन 3 ode सॉल्वर (solver) को
बदलने जा रहे हैं।
हमारे Euler की विधि
Heun की विधि और RK-4 मानक
विधि एक संगत फ़ंक्शंस
(functions) में ठीक है।
पहला फंक्शन (function)
MyEuler ठीक है। फंक्शन
(function) yEnd = myEuler क्षमा
करें, odes myEuler (y0, t0, h और
N) की तुलना करें।
तो हमें t0 की आवश्यकता
नहीं है, हमें y0 की
आवश्यकता नहीं है,
tEnd की आवश्यकता नहीं
है, h की आवश्यकता
नहीं है और हमें n
की आवश्यकता नहीं
है। तो सब कुछ जो समस्या
की परिभाषा में था।
हमें जरूरत नहीं
थी। क्यों क्योंकि
समस्या की तुलना
ode स्क्रिप्ट (script) में
दी गई थी। तो वहाँ
सिर्फ 1 स्क्रिप्ट
(script) है जो compare ode स्क्रिप्ट
(script) myEuler, myRK2 और myHeun और
myRK4 3 फंक्शन (function) होने
जा रहे हैं। हमें
tEnd की भी गणना करने
की आवश्यकता होगी।
तो tEnd होने जा रहा
है t0 + N * h । तो यह कुछ
ऐसा है जिसे हमने
संकलित किया है।
हम उस तरह की प्लाट
(plot) या कुछ भी नहीं
चाहते हैं। हम चाहते
हैं कि yEnd और कुछ नहीं
है, लेकिन Yend और केवल
यही एक चीज है जो हमें
करने की आवश्यकता
है ठीक है।
इसी तरह हम RK -2 ह्यून
(Heun) और RKके -4 मानक के
साथ भी ऐसा ही करने
जा रहे हैं। ऐसा करने
से पहले, आइए हम ode
की तुलना करें और
देखें कि यह काम करता
है या नहीं। और ERR (1,
i) = (abs(Yeuler)-Ytrue)। और असली
मूल्य जो मैंने फिर
से यहाँ उद्धृत किया
है, yTrue = exp (-tEnd ^ 2) ठीक
है। तो चलिए हम इसे
run करते हैं और देखते
हैं कि यह काम करता
है या नहीं। हमें
कुछ एर्रर (error) मिलती
है। Ytrue अपरिभाषित
है। आइए हम देखते
हैं कि हमें यह क्यों
Ytrue मिल रहा है।
यह फिर से है, MATLAB मामला
संवेदनशील होने की
बात है और मैं मामलों
के प्रति सावधान
नहीं था। मुझे ERR = zeroes
(3, 4), 3 विधियों को इनिशियलाइज़
(initialize) करने की आवश्यकता
है और हमारी 4 एर्रर्स
(errors) हैं। तो चलिए
हम save करते हैं और
इसको run करते हैं।
इसलिए अब हमारी एर्रर्स
(errors) हैं, पहली पंक्ति
यूलर (Euler) की विधि में
एर्रर्स (errors) हैं।
तो आइए हम ERR को देखें,
हम केवल पंक्ति संख्या
1 पर ध्यान केंद्रित
करते हैं और ये यूलर
(Euler) की विधि में एर्रर्स
(errors) हैं।
तो आइए हम वास्तव
में HALL 0.001 तक है। और
अब हम ह्यून (Heun) और
RK -4 के लिए ऐसा करते
हैं और इसी तरह एर्रर
(error) (2, i) ह्यून (Heun), Yheun
और RK -4 के लिए है। मैं
जल्दी से RK-2Heun में
जाऊंगा और myHeun के रूप
में save करूँगा हम इस
हिस्से को हटाते
हैं और इसे फ़ंक्शन
(function) yEnd = myHeun से बदल
देते हैं और हम बस
copy paste करते हैं। और
RK -4 मानक भी myRK4 के रूप
में save करते है ठीक
है। फंक्शन (function) yEnd
= myRK4 और बस इसे यहाँ
पेस्ट (paste) करें और
इस भाग को हटाते हैं।
MyEuler से, हम इस tEnd को
लेंगे और इसे इन दोनों
फ़ंक्शंस (functions) में
पेस्ट (paste) करेंगे।
याद रखें कि हमने
पहले किया था। अब
अगला फ़ंक्शन (function)
(output) भाग को हटाना
और ठीक करना और इसे
save करना है। और इसी
तरह हम भी यही काम
करेंगे। इसलिए हमने
जो किया है, वह रूपांतरित
हो गया है, मैं ध्यान
से किया हूं कि एक्सप्लिसिट
(explicit) यूलर (Euler) को myEuler
में कैसे बदला जाए।
एक स्क्रिप्ट (script)
जो एक्सप्लिसिट (explicit)
यूलर (Euler) थी, हम एक
फ़ंक्शन (function) में
परिवर्तित हो गए
जो कि myEuler था। फ़ंक्शन
(function) प्रारंभिक स्थितियों
को स्टेपसाइज (step size)
और चरणों की संख्या
लेता है। और अंतिम
बिंदु पर मूल्य लौटाता
है। यही कारण है कि
सभी 3 फ़ंक्शंस (functions)
करने का इरादा कर
रहे हैं। हम अपनी
तुलना ode फ़ाइल (file)
में इन सभी फ़ंक्शंस
(functions) का उपयोग करते
हैं। और इसे h के विभिन्न
मानों के लिए 10 के
पावर (power) -1 से 10 के पावर
(power) -3 तक run करें। l) के
विरुद्ध प्लाट (plot)
करेंगे। और हम इसे
run करते हैं। मुझे
कुछ एर्रर (error) है । यह
plot(HALL) और plot log(HALL) और लॉग
(ERR) होना चाहिए। तो
ये 3 प्लॉट (plot) हैं,
यह 1 RK -1 या यूलर (Euler)
की विधि के लिए है,
यह 1 RK -2 विधि के लिए
है, यह 1 RK -4 विधि के
लिए है।
ये सभी सीधी रेखाएं
हैं हालांकि हम जिस
तरह से हम ढलानों
(slopes) की गणना करने
जा रहे हैं वे LE = log(err)
और LH = log(h) , log(HALL) हैं।
तो हमारे डिनोमिनेटर
(denominator) हमेशा डिनोमिनेटर
(denominator) होने वाले हैं,
LH(end)- LH 1 होने जा रहे
हैं ठीक है। हमारा
नुमेरटर (numerator) सभी
पंक्तियों को LE है,
अंतिम कॉलम-LE सभी
पंक्तियों को पहले
स्तंभ पर ले जा रहा
है। स्लोप(slope ) डिनोमिनेटर
(denominator) द्वारा नुमेरटर
(numerator) को विभाजित होने
जा रहा है।
तो RK-2 विधि के लिए
स्लोप(slope ) खेद है,
Euler की विधि के लिए
स्लोप(slope ) 1.0 है, RK-2 विधि
के लिए स्लोप(slope )लगभग
2.0 है और RK-4 विधि 4.0 के
लिए स्लोप(slope ) है।
तो यह एक ग्लोबल ट्रंकेशन
एर्रर (global truncation error)
परिप्रेक्ष्य से
3 RK तरीकों की सटीकता
के क्रम को प्रदर्शित
करता है। तो हमारे
पास 3 सीधी रेखाएं
है 1 की स्लोप(slope ) के
साथ हैं, 2 की स्लोप(slope
) और 4 की स्लोप(slope ) है।
तो यह ग्लोबल ट्रंकेशन
एर्रर (global truncation error)
के बारे में चर्चा
थी।
ग्लोबल ट्रंकेशन
एर्रर (global truncation error)
ग्लोबल ट्रंकेशन
एर्रर (global truncation error)
की तुलना में 1 ऑर्डर
(order) अधिक सटीक है,
जैसा कि हमने संख्यात्मक
एकीकरण (numerical integration)
में पहले देखा था।
RK-2 विधि की ग्लोबल
ट्रंकेशन एर्रर (global
truncation error) हमें h पॉवर
(power) 2 के रूप में विधि
देती है, RK-4 पॉवर (power)
h2 के पावर (power ) 4 सटीक
है। असाइनमेंट (assignment)
के रूप में आप क्या
कर सकते हैं आप पिछले
उदाहरण को लेते हैं
और इसे मिडपॉइंट
(midpoint) नियम के साथ प्रदर्शित
करते हैं और अपने
लिए देखते हैं कि
ह्यून (Heun) की विधि
मिडपॉइंट (midpoint) भी
हमें x वर्ग सटीक ग्लोबल
ट्रंकेशन एर्रर (global
truncation error) देती है।
इसके साथ मैं इस व्याख्यान
के अंत में और वास्तव
में मॉड्यूल 7 के अंत
में आता हूं। मॉड्यूल
7 हमने ode इनिशियल वैल्यू
प्रोब्लेम्स (initial
value problems) पर विचार किया।
हमने सबसे पहले Euler
की विधि के साथ शुरुआत
की और दोनों एक्सप्लिसिट
(explicit) Euler और अंतर्निहित
विधि पर विचार किया।
बाद में हमने कहा
कि इस मॉड्यूल में
हम एक्सप्लिसिट (explicit)
तरीकों पर ध्यान
केंद्रित करने जा
रहे हैं। केवल व्याख्यान
7.2 में हमने खुद को
रनगे-कुट्टा (Runge-Kutta)
दूसरी आर्डर (order) विधि
से परिचित कराया
और इसे व्याख्यान
7.4 में रनगे-कुट्टा
(Runge-Kutta) 4 आर्डर (order) विधि
में विस्तारित किया।
आज के व्याख्यान,
व्याख्यान 7.5 में
हमने सभी 3 विधियों
का एक एर्रर (error) विश्लेषण
किया। व्याख्यान
7.4 में हमने ode45 को कवर
किया जो सबसे लोकप्रिय
एल्गोरिथ्म (algorithm)
है जो ode समस्या को
हल करने के लिए MATLAB
द्वारा प्रदान किया
गया है। इसके साथ
ही मैं इस मॉड्यूल
के अंत में आता हूं।
मैं मॉड्यूल 8 में
देखूंगा। धन्यवाद
और अलविदा।