Multivariable ODE - MATLAB Video Lecture | MATLAB Programming for Numerical Computation - Software Development

नमस्कार और न्यूमेरिकल
कम्प्युटशंस के लिए
MATLAB प्रोग्रामिंग
(MATLAB programming for Numerical Computations
) में आपका स्वागत
है। हम इस विशेष पाठ्यआर्डर
(order)के अंतिम सप्ताह
में हैं। इस सप्ताह
में हम आर्डिनरी
डिफरेंशियल एक्वेशन्स
(ordinary differential equations) को हल
करने के 8 व्यावहारिक
पहलुओं को कवर कर
रहे हैं। इसलिए हमने
मॉड्यूल 7 में जो कवर
किया है वह यहां सूचीबद्ध
है। हमने यूलर की
विधि (Euler’s method) इम्प्लीसिट
(implicit) और एक्सप्लिसिट
(explicit) विधि दोनों के
साथ शुरू की। हमने
दिखाया कि यूलर एक्सप्लिसिट
मेथड (Euler’s explicit method) केवल
छोटी श्रेणी के स्टेप
साइज (step size) के लिए
स्थिर होने जा रही
है। इसके बाद हमने
रुन्गे -कुट्टा (Runge-Kutta)
विधियों के बारे
में बात की। फिर हमने
MATLAB सॉल्वर (solver) ODE45 के
बारे में बात की।
हालाँकि हमने केवल
एकल वेरिएबल (variable)
में समस्याओं पर
विचार किया।
अंत में उस मॉड्यूल
के अंतिम 2 व्याख्यानों
में हमने उच्च आर्डर
(order)रुन्गे -कुट्टा
(Runge-Kutta) विधियों और
एरर (error) विश्लेषण
को कवर किया। उच्च
आर्डर (order) रुन्गे
-कुट्टा (Runge-Kutta) पद्धति
के साथ हमने विशेष
रूप से RK -4 पद्धति
को कवर किया। इस मॉड्यूल
में हम मल्टीवेरिएबल
(multivariable) केस (case) के विस्तार
को कवर करने जा रहे
हैं। हम मुश्किल
कड़ी ODEs को हल करने
के लिए जा रहे हैं
इससे पहले कि हम कैसे
स्टिफ (stiff) ODEs को हल
करने पर जाएं हम कवर
करेंगे कि वास्तव
में ODE का क्या मतलब
है। और अंत में हम
इस मॉड्यूल के अंतिम
2 व्याख्यानों में
कुछ व्यावहारिक उदाहरणों
के साथ समाप्त करेंगे।
तो चलिए एक उदाहरण
के साथ शुरुआत करते
हैं। यह एक उदाहरण
है, संख्यात्मक तरीकों
के पाठ्यक्रमों के
लिए एक पाठ्यपुस्तक
उदाहरण है। जैसा
कि आप जानते हैं कि
समग्र समीकरण इसके
द्वारा दिया गया
है। यह एक द्रव्यमान
है और हम एक निश्चित
राशि से इस द्रव्यमान
को विस्थापित करते
हैं और एक स्प्रिंग
(spring ) होता है और एक
डैम्पर (damper ) होता
है और इस विस्थापन
के कारण यह विशेष
द्रव्यमान दोलन करने
वाला होता है। हम
जिस पर विचार करने
जा रहे हैं वह यह विशेष
मॉडल है, जो प्रारंभिक
स्थिति की आवश्यकता
है जैसा कि यहां बताया
गया है। समय t = 0 पर,
हम इस द्रव्यमान
को 1 की दूरी से विस्थापित
करते हैं, वेग 0 है
और हम द्रव्यमान
को छोड़ते हैं। तो
जैसा कि आप देख रहे
हैं कि यह एक दूसरा
आर्डर (order) आर्डिनरी
डिफरेंशियल एक्वेशन्स
(ordinary differential equations) है।
हमें जो करने की आवश्यकता
है, उसे पहले आर्डर
(order) के आर्डिनरी डिफरेंशियल
एक्वेशन्स (ordinary differential
equations) की प्रणाली में
बदलना है। जिस तरह
से हम ऐसा करते हैं,
हम महसूस करते हैं
कि dx / dt को दूसरे वेरिएबल
(variable) v द्वारा दर्शाया
जा सकता है और हम इसे
m dv/dt + cv + kx = 0 के रूप में
लिख सकते हैं, इसलिए
जब हम लिखते हैं कि
हमें 2 पहले आर्डर
(order) ODE मिलने वाले हैं
। इसके बजाय पहला
समीकरण dx / dt = v है। प्रारंभिक
स्थिति t = 0 x पर है।
t = 0, v = 0 पर। हम इसे मैट्रिक्स
डिफरेंशियल समीकरण
(matrix differential equation) में बदलने
जा रहे हैं और जो यहाँ
पर दिया गया है।
हम अपने वेक्टर y को
x v के रूप में परिभाषित
करने जा रहे हैं।
जैसा कि इस पूरे कोर्स
के दौरान कर रहे हैं,
हम अपने सभी वैक्टरों
को कॉलम वैक्टर के
रूप में परिभाषित
करने जा रहे हैं।
इसका मतलब है कि हमारे
पास n पंक्तियां और
एक एकल स्तंभ होने
जा रहा है। इस मामले
में 2 वेरिएबल (variable)
हैं और इसलिए हमारे
पास 2 पंक्तियाँ और
एक एकल स्तंभ है और
हमारे पास y को x और
v के रूप में परिभाषित
किया गया है और dy/ dt
पहला टर्म (term) है v
है। दूसरा टर्म (term)
–cv + kx पूरी चीज़ m से
विभाजित है। तो चलिए
MATLAB पर चलते हैं और
इस समस्या को हल करने
का प्रयास करते हैं।
ठीक है, इसलिए पहली
बात जो हम करने जा
रहे हैं वह एक ऐसा
फ़ंक्शन (function) बनाना
है जो y और t के दिए
गए मूल्यों के लिए
dy की गणना करेगा।
SpringFun ठीक है और जैसा
कि हम अब तक कर रहे
हैं। function fval = massSpringFun
(t, y) ठीक है। यदि आप
याद करते हैं, तो यह
रेखा ठीक वैसी ही
रहती है। ODE45 का उपयोग
करके मास स्प्रिंग
सिस्टम (mass spring system) के
लिए फ़ंक्शन (function)
है। तो पहली चीज जो
हम करने जा रहे हैं
वह यह है कि हम अपना
x और v निकालने जा रहे
हैं।
इसलिए हमारा x = y1, v
= y2। हमारे fval की गणना।
fval1 = v। और fval2, fval2 नेगेटिव
(negative) (cv + kx) / m के होने
जा रहा है। यह नेगेटिव
(negative) c * v + k * x / m ठीक है।
दूसरी चीज जो हम करने
जा रहे हैं, वह यह
है कि हमें अपने fval
को कॉलम वेक्टर के
रूप में परिभाषित
करना होगा। इसलिए
f1 = v और f 2 = यह दाहिना
हाथ अंदर लिखने के
बजाय, हम लिखने जा
रहे हैं (f2, 1) यह है
और (f1, 1) यह है। हमने
अभी तक अपने कांस्टेंट
(constant) c, k और m ठीक को
परिभाषित नहीं किया
है। तो चलिए हम करते
हैं और करते हैं।
कंस्टंट्स (constants) c
= k = m = परिभाषित करें।
dy/dt को परिभाषित करें।
तो आइए हम MATLAB पर जाएं
और क्षमा करें, हमें
पावर प्वाइंट (power
point) पर जाएं और देखें
कि हमारे पास क्या
मूल्य हैं। तो यह
वही है जो हम इसे m
= 10, c = 5, k = 15 के लिए हल
करने जा रहे हैं।
तो m = 10, k = 15, c = 5। k = 15 और
c = 5। तो हम इस को save
कर लेंगे। तो अब हम
एक ड्राइवर फंक्शन
(driver function) बनाते हैं
जो इस मास स्प्रिंग
डैमपर सिस्टम (mass spring
damper system) को run करते है।
तो चलिए इसे कॉल (call)
करते हैं, SolveMassSpring को
एडिट (edit) करें और यह
एक नई स्क्रिप्ट
(script) बनाएगा। मास स्प्रिंग
सिस्टम (mass spring system) को
run करने के लिए।
और हमारे पास यहां
क्या है हमारे पास
प्रारंभिक शर्तें
(initial conditions) देने की आवश्यकता
है। प्रारंभिक शर्तें
y0 = 1,0 है। y 0 = 1; 0 क्योंकि
वह हमारा कॉलम वेक्टर
है। और हम इसे t = 0 से
t = 10 तक run करना चाहते
हैं। तो जैसा कि हमने
पिछले t = (0 10) में किया
है ठीक है। और फिर
हमें जो करने की आवश्यकता
है वह हमें ODE45 का उपयोग
करने की आवश्यकता
है। तो हम ODE45 tSolution, ySolution
= ODE45 @ (t, y) का उपयोग करके
कैसे हल करते हैं।
याद रखें यह सिंटेक्स
(syntax) होने वाला है
जिसे हम हमेशा ODE45
के लिए उपयोग करने
जा रहे हैं। उस फ़ाइल
का नाम रखें जो massSpringFun
(t, y) है। MassSpringFun (t, y) ठीक
है। हम इसे run करना
चाहते हैं। इसे हम
t के बजाय tSpan कहते हैं।
यह स्पष्ट करने के
लिए कि यह समय की अवधि
है। (tSpan, y0) ठीक है।
और अंत में हमें प्लॉट
(plot) चाहिए। तो प्लॉट
(tSol, ySol)। हमें वास्तव
में, क्षमा कीजिये,
प्लॉट (plot) करने की
आवश्यकता है, हमें
वास्तव में स्थानों
बनाम समय की प्लॉट
(plot) करने की आवश्यकता
है। इसलिए स्थान
सभी पंक्तियों में
है और यह पहले कॉलम
में ठीक होने जा रहा
है।
और मुझे ODE45 का उपयोग
करके टिप्पणी हल
करने दें। परिणाम
का प्लॉट (plot) कीजिये।
चलिए हम इसे run करते
हैं इसलिए हमने इसे
run किया है और यह एक
मास स्प्रिंग डैमपर
सिस्टम (mass spring damper system)
है। हम 1 स्थान पर
शुरू करते हैं और
यह अंत में स्थिर
स्थिति में जाने
से पहले दोलन करता
है। 5 के बजाय, हम इसे
50 तक बढ़ाते हैं और
हमें सिस्टम (system) run
करते हैं और देखते
हैं कि हम क्या मिलने
जा रहे हैं। जैसा
कि आप कर सकते हैं
हमने डंपिंग कोएफ़िशिएंट
(damping coefficient) में वृद्धि
की है हमें ऑसिलेटरी
(oscillatory) प्रतिक्रिया
नहीं मिलती है लेकिन
हमें इस तरह की प्रतिक्रिया
मिलती है। हम आगे
क्या करेंगे हम 5 या
50 के बजाय c घटाते हैं।
हम इसे घटाकर 1 करेंगे
और देखेंगे कि प्रतिक्रिया
कैसी होने वाली है।
जैसा कि आप सभी अपने
भौतिकी वर्गों से
याद कर सकते हैं।
प्रतिक्रिया अधिक
ऑसिलेटरी (oscillatory) बनने
जा रही है। तो चलिए
हम इसे run करते हैं
और देखते हैं। जैसा
कि आप यह देख सकते
हैं कि हमें c = 50 में
जो मिला है, वह काफी
अधिक ऑसिलेटरी (oscillatory)
है।
इसलिए हमने जो किया
है वह समग्र ODE45 है
जो एक एकल वेरिएबल
(variable) और कई वेरिएबल्स
(variables) के लिए लगभग
समान काम करता है।
आपको फ़ंक्शन (function)
को उसी तरह परिभाषित
करने की आवश्यकता
है जैसे हमने एकल
वेरिएबल (variable) मामले
में किया था। फ़ंक्शन
(function) का नाम (t,y)। t जैसा
पहले था वैसा स्केलर
(scalar) होने जा रहा है।
हालाँकि y एक वेक्टर
(Vector) है। ध्यान रखें
कि y एक कॉलम (column) वेक्टर
होने जा रहा है। हम
चाहते हैं कि यह कॉलम
वेक्टर सिर्फ एकरूपता
के लिए हो।
और इसे वापस fval लौटना
चाहिए। पिछले मॉड्यूल
में हम एकल मान के
रूप में fval लौटा हैं।
इस विशेष मल्टीवेरिएबल
(multivariable) मामले में
हम 2/1 वेक्टर (vector) के
रूप में लिखने की
कोशिश कर रहे हैं।
fval का आकार हमारे वेक्टर
y के आकार के समान
होना चाहिए। क्यों
कि fval dy/ dt देता है।
आगे हम जो करने जा
रहे हैं, वह है कि
हम क्या करें, अगर
हमारे पास RK-4 विधि
है, तो एक वेरिएबल
(variable) RK-4 नहीं, लेकिन
अगर हमें एक मल्टीवेरिएट
(multivariate) RK-4 करना है।
इस बिंदु तक, मैंने
जो कुछ भी कवर किया
है वह कुछ ऐसा है जो
मैं चाहता हूं कि
आप ध्यान दें। क्योंकि
यह एक ऐसी चीज है जिसे
आप कई वास्तविक परिदृश्यों
में उपयोग करने जा
रहे हैं। RK-4 विधि जो
मैं अगले कुछ मिनटों
में दिखाने जा रहा
हूं वह सिर्फ प्रदर्शन
के उद्देश्य से है।
यह सिर्फ आपके लिए
है कि रुन्गे -कुट्टा
(Runge-Kutta) पद्धति में
या अधिकांश संख्यात्मक
तकनीकों में सब कुछ
कैसे मल्टीवेरिएबल
(multivariable) मामले के लिए
समान नियमों का पालन
करता है, जिस तरह से
हमारे पास एक एकल
वेरिएबल (variable) मामले
के लिए था।
एकमात्र अंतर अब
एक एकल वेरिएबल (variable)
के बजाय है, आपको एक
मल्टीवेरिएट (multivariate)
मामले को ठीक से ट्रैक
(track) करने में बस थोड़ा
सावधान रहना होगा।
और मेरा RK-4 को संपादित
करें। तो यह वह सॉल्वर
(solver) था जिसे हमने
अपने पिछले मॉड्यूल
में बनाया था। तो
आइए हम आगे बढ़ते
हैं और इस पावर (power)
y0 को (1; 0) बदलते हैं।
तो आइए हम परिवर्तन
करते हैं कि y0 (1; 0) है।
हमारा t0 0 था और tEnd 10
है। तो tEnd, हम 5 को 10
में बदलते हैं
तो यह हमारा t0 है, यह
हमारा tEnd है, यह हमारा
y0 है। आइए हम अपने
h = 0.1 को पहले की तरह
रखें और हमारा n पहले
जैसा है। अब जब हम
समाधानों को इनिशियलाइज़
(initialize) करने के लिए
हैं, तो हमारा समय
वेक्टर सिर्फ एक
वेक्टर होने जा रहा
है जैसे हमारे यहाँ
है। हम y के साथ जो
करने जा रहे हैं, वह
y है, हम इसे 2 by n + 1 वेक्टर
के रूप में निरूपित
करने जा रहे हैं।
बल्कि y कई बार 0 पहले
कॉलम में होगा, y कई
बार 0.1 दूसरे कॉलम
y में होगा, 0.2 बजे तीसरे
कॉलम में होगा। तो
यही कारण है कि हम
इस तरीके से y को इनिशियलाइज़
(initialize) कर रहे हैं।
अगली चीज़ जो हम करने
जा रहे हैं, वह y के
इनिशियल (initial) मूल्य
को (y :, 1) आबाद करने
वाली है और हम ऐसा
करने जा रहे हैं ।
इसका मतलब यह है कि
पहले कॉलम की सभी
पंक्तियाँ हमारी
इनिशियल (initial) स्थिति
(1, 0) से आबाद होने वाली
हैं। अब RK-4 विधि का
उपयोग करके हल करना
है लेकिन हमें yi की
आवश्यकता है। तो
yi हम कहेंगे yi के बराबर
है। तो k1 myFun के बराबर
होने जा रहा है अब
फ़ंक्शन (function) का नाम
बदलकर massSpringFun हो गया
है। तो मुझे बस यह
हर जगह कॉपी (copy) और
पेस्ट (paste) करें। तो
मैंने यहाँ पर जो
किया है, मैंने अभी
Yi = yi कहा है और फिर
Yi के सभी को yi से बदल
दिया है। इसके साथ
एक एरर (error) होने जा
रही है और मैं एक मिनट
में उस पर आ जाऊंगा
लेकिन हमें यह जैसा
है वैसे ही लिखना
होगा ठीक है। और हमारा
y i + 1 हम बस इसे इस रूप
में छोड़ देंगे।
इसलिए हम इसे बनाए
रखें और हमें run करने
दें और यह देखने की
कोशिश करें कि क्या
होने जा रहा है। यह
हमें एक एरर (error) देने
जा रहा है और ऐसा इसलिए
है क्योंकि मैंने
इस तथ्य पर नज़र नहीं
रखी है कि yi अब वैक्टर
हैं। तो run करते है
हम क्या प्राप्त
करते हैं। कि मैट्रिक्स
डाइमेंशन्स (matrix dimensions)
आयाम से अधिक है और
वह यहां पर है।
हमने अपनी yi को स्केलर
(scalar) के रूप में लिया
है। अगर हम yi टाइप
(type) करते हैं, तो yi 1
है, मुझे जो करना चाहिए
था वह है Y का पहला
कॉलमY वेक्टर, माफ़
कीजिये, Y मैट्रिक्स।
तो पहला कॉलम होने
जा रहा है : ,i जब i = 1
ठीक है। तो जैसा कि
आप चीज़ को देख सकते
हैं RK-2 से बदल गई , माफ़
कीजिये, RK-4 सिंगल वैरिएबल
(single variable) से RK-4मल्टीवेरिएबल
(multivariable) होने के कारण
यह है कि स्केलर वैल्यू
(scalar value) लेने के बजाय,
अब मुझे वह पूरा कॉलम
लेना है। यह 1 चीज़
है जिसने कुछ भी नहीं
बदला है वास्तव में
यहाँ पर काफी बदल
गया है।
दूसरी चीज जो मैं
बदलूंगा वह यह है,
मैं इसे yNew के रूप
में लिखूंगा। मैं
इसे yNew = Y (i) + h / 6 गुणा
भारित योग के रूप
में लिखूंगा। और
फिर मैं सभी पंक्तियों
i + 1th कॉलम में y लिखूंगा
जो yNew के बराबर होगा।
और वही होने वाला
है जो मैं करने जा
रहा हूं और अंतिम
बिंदु पर y yend है जो
अंतिम स्तंभ है।
end कॉलम अंतिम कॉलम
की सभी पंक्तियाँ
हैं और यह होने जा
रहा है :,end जो हमारा
yend और plot(t, y) ठीक है।
तो चलिये इसे save करते
हैं और इसे run करते
हैं और उम्मीद है
कि यह बिना किसी एरर
(error) के run करेगा। और
यह हमारा समाधान
RK -4 पद्धति के साथ
कैसा दिखता है। मैंने
x के साथ-साथ वेग को
भी प्लॉट(plot) किया
है।
पहली पंक्ति में
स्थान है; दूसरी पंक्ति
में वेग है। इसलिए
अगर मुझे केवल स्थान
का प्लॉट (plot) करना
है, तो मुझे खेद है,
अगर मुझे केवल स्थानों
को प्लॉट (plot) करना
है तो मुझे यह कमांड
(command) देनी होगी। और
मुझे इसे run करने दो
और यह परिणाम है कि
हम RK -4 का उपयोग करते
हैं। मुझे यहां क्लिक
(click) करें और कहें कि
holdकरें। ताकि यह प्लॉट
(plot) हो। और मैं इसे
ODE45 का उपयोग करके
हल करूँगा और परिणाम
की तुलना प्लॉट डैशेड
रेड कलर लाइन (dashed red
colour line) से करूँगा।
तो आइए हम इसे save करते
हैं और हमें इसे run
करने देते हैं आइए
प्लॉट (plot) पर नजर डालते
हैं। जैसा कि आप देख
सकते हैं कि ODE45 का
उपयोग करके समाधान
RK-4 के उपयोग से ठीक
ऊपर गिरता है।
और इसका कारण यह है
कि RK -4 एक उच्च आर्डर
(order) विधि है और इसकी
सटीकता ode 45 में आपको
दिखाई देगी। ठीक
है कि मैं इस विशेष
व्याख्यान के अंत
में आता हूं। इस व्याख्यान
में मैंने मुख्य
रूप से जो कवर किया
है, वह यह है कि आप
किस तरह से ODEs को एकल
वेरिएबल (variable) से ODEs
में कई वेरिएबल्स
(variables) में ODE45 से हल
करेंगे। इसके बाद
मैंने कुछ ऐसा कवर
किया जो इस विशेष
पाठ्यक्रम के दायरे
से बाहर है।
मैंने जो कवर किया
है वह यह है कि आप
एकल वेरिएबल (variable)
RK-4 विधि को एक से अधिक
वेरिएबल (variable) RK-4 विधि
में कैसे विस्तारित
कर सकते हैं। लेक्चर
8.1 से होम मेसेज (home
message) प्राइमरी मैसेज
(primary message) है, अगर आप
मल्टीवेरिएबल (multivariable)
केस (case) के लिए MATLAB सॉल्वर
(solver) ODE45 का इस्तेमाल
करना चाहते हैं, तो
एक से मल्टीवेरिएबल
(multivariable) केस (case) में
जाना काफी सीधा है।
इसके साथ मैं इस व्याख्यान
को समाप्त करने के
लिए आता हूं और मैं
आपको अगले व्याख्यान
में देखूंगा धन्यवाद
और अलविदा ।