परीक्षा: द्विघात समीकरण - 1 - UPSC MCQ

x² + 5x - 3x - 15 = 0
⇒ x(x + 5) - 3(x + 5) = 0
⇒ (x - 3)(x + 5) = 0
⇒ x = 3 या x = -5।

(a² + b²)x² − 2b(a + c)x + (b²+c²) = 0
जड़ें वास्तविक और समान हैं ∴ D = 0
D = b² − 4ac = 0

⇒ [−2b(a+c)]² − 4(a² + b²)(b² + c²) = 0
⇒ b²(a² + c² + 2ac) −(a²b² + a²c² + b⁴ + c²c²) = 0
⇒ b²a² + b²c² + 2acb² − a²b² − a²c² − b⁴ − b²c² = 0
⇒ 2acb² − a²c² − 2acb²= 0
⇒ (b² − ac)² = 0
⇒ b² = ac

क्वाड्रेटिक समीकरण का अवकलज (-12)² - 4(3)(10) अर्थात्, 24 है।
क्योंकि यह सकारात्मक है लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए जड़ें अयुक्त और असमान हैं।

किसी भी द्विघात समीकरण का रूप है: x² - (जड़ों का योग)x + (जड़ों का गुणनफल) = 0
जहां x एक वास्तविक चर है।

चूंकि जड़ों का योग 13 है और जड़ों का गुणनफल -140 है।
20 और -7 के रूप में जड़ों वाला द्विघात समीकरण है: x² - 13x - 140 = 0।

जड़ों का योग और जड़ों का गुणनफल क्रमशः -20 और 3 है।

सही विकल्प A है: 3

मान लीजिए कि समीकरण के मूल क्रमशः 2a और 3a हैं।
मूलों का योग: 2a + 3a = 5a = -(-5/2) = 5/2 
⇒ a = 1/2
मूलों का गुणनफल: 6a² = b/2 
⇒ b = 12a² = 3
अतः मान हैं: a = 1/2, b = 3.

मान लेते हैं कि दो लगातार सकारात्मक पूर्णांक x और x + 1 हैं।

⇒ x² + (x + 1)² - x(x + 1) = 91
⇒ x² + x - 90 = 0
⇒ (x + 10)(x - 9) = 0
⇒ x = -10 या 9.
x = 9 [∵ x सकारात्मक है]

इसलिए दो लगातार सकारात्मक पूर्णांक 9 और 10 हैं।

मान लीजिए कि द्विघात समीकरण के मूल x और 3x हैं।
मूलों का योग = -(-12) = 12

⇒ x + 3x = 4x = 12
⇒ x = 3

मूलों का गुणनफल: 3x² = 3(3)² = 27।

तीन लगातार सम प्राकृतिक संख्याएँ 2x - 2, 2x और 2x + 2 मान लें।

⇒ (2x - 2)² + (2x)² + (2x + 2)² = 1460
⇒ 4x² - 8x + 4 + 4x² + 8x + 4 = 1460
⇒ 12x² = 1452
⇒ x² = 121
⇒ x = ± 11
⇒ x = 11 [∵ संख्याएँ सकारात्मक हैं, यानी 2x > 0 ⇒ x > 0]

इस प्रकार, आवश्यक संख्याएँ 20, 22, 24 हैं।

जब f(x) = ax² + bx + c
जब a > 0 और D < 0
तो f(x) हमेशा सकारात्मक है।
x² + 2ax + 10 − 3a > 0, ∀x ∈ R

⇒ D < 0
⇒ 4a² − 4(10 − 3a) < 0
⇒ a² + 3a − 10 < 0
⇒ (a+5)(a−2) < 0
⇒ a ∈ (−5,2)