All India SSC JE Group

दिया गया है:
रेखाएँ हैं 2x + 5y = 12    ----(i)
x + y = 3     ----(ii)
और x अक्ष अर्थात् y = 0
गणना:
हम समीकरण (i) और (ii) का प्रतिच्छेदन बिंदु प्राप्त करते हैं
(2x + 5y) - (2x + 2y) = 12 - 2 × 3
⇒ 3y = 6
⇒ y = 2 
(ii) से, हम प्राप्त करते हैं
⇒ x = 1
समीकरण (i) और (ii) का प्रतिच्छेदन बिंदु (1, 2) है
समीकरण (i) और x-अक्ष का प्रतिच्छेदन बिंदु (6, 0) है
समीकरण (ii) और x अक्ष का प्रतिच्छेदन बिंदु (3, 0) है

आलेख से हमें त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना है
आधार (AB) = 6 - 3 = 3 इकाई
ऊँचाई (CM) = Y-निर्देशांक = 2 इकाई
∴ अभीष्ट क्षेत्रफल = (1/2) × 3 × 2 = 3 वर्ग इकाई

नौ बिंदु वाला वृत्त प्रमेय कहता है कि मान लीजिए कि ABC एक त्रिभुज है, मान लीजिए M_A, BC का मध्य बिंदु है, M_B AC का मध्य बिंदु है और M_C AB का मध्य बिंदु है, P_A BC पर लंबवत है, P_B AC पर लंबवत है और P_C AB पर लंबवत हो। D तीन ऊँचाई का प्रतिच्छेदन बिंदु हो। Q_A  AD का मध्य बिंदु हो, Q_B BD का मध्य बिंदु हो और Q_C CD का मध्य बिंदु हो तो ये नौ बिंदु M_A, M_B, M_C, P_A, P_B, P_C, Q_A, Q_B, Q_C सभी वृत्त पर स्थित होते हैं और वृत्त का केंद्र (A + B + C + D)/4 होता है।
∴  विकल्प 3 सही है।

दिया हुआ:
x² - x - 1 = 0
उपयोग किया गया सूत्र:
यदि दिए गए समीकरण ax² + bx + c = 0 है
फिर मूलों का योग = -b/a
मूलों का गुणनफल = c/a

गणना:
चूंकि समीकरण x² – x – 1 = 0 के मूल α और β हैं, तब
⇒ α + β = -(-1) = 1
⇒ αβ = -1
अब, यदि (α/β) और (β/α) मूल हैं तब,
⇒ मूलों का योग = (α/β) + (β/α)
⇒ मूलों का योग = (α² + β²)/αβ
⇒ मूलों का योग = {(α + β)² – 2αβ}/αβ
⇒ मूलों का योग = {(1)² – 2(-1)}/(-1) = -3
⇒ मूलों का गुणनफल = (α/β) × (β/α) = 1
अब, समीकरण है,
⇒ x² – (मूलों का योग)x + मूलों का गुणनफल = 0
⇒ x² – (-3)x + (1) = 0
⇒ x² + 3x + 1 = 0