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Definite Integration Solved Examples | Mathematics (Maths) for JEE Main & Advanced PDF Download
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Solved Examples on Definite Integrals
JEE Mains
Q1. If ?? ( ?? ) = ?? ( ?? ) , then ?
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[?? ( ?? ) ]?? '
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(d) 8
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2
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(a) ??
(b) 1
(c) 0
(d) None of these
Ans: (c)
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Solved Examples on Definite Integrals
JEE Mains
Q1. If ?? ( ?? ) = ?? ( ?? ) , then ?
?? ?? ?[?? ( ?? [?? ( ?? ) ]) ]
-?? ?? '
( ?? [?? ( ?? ) ]) ?? '
[?? ( ?? ) ]?? '
( ?? ) ???? is equal to
(a) 0
(b) ?? ( ?? )- ?? ( ?? )
(c) ?? [?? ( ?? ) ] - ?? [?? ( ?? ) ]
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= 0 [? h( ?? ) = h( ?? ) ]
Q2. ?? ?
-?? ?? ?|?? - ?? ?? |???? is equal to
(a) 2
(b) 4
(c) 6
(d) 8
Ans: (b)
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Q3. The integral ?
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(a)
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(c) 1
(d) ?????? (
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2
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Q4. If ?? is any integer, then ?
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(b) 1
(c) 0
(d) None of these
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(a) ?????? ??
(b) ???????? ??
(c) ???????? ??
(d) ???????? ??
Ans: (b)
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Solved Examples on Definite Integrals
JEE Mains
Q1. If ?? ( ?? ) = ?? ( ?? ) , then ?
?? ?? ?[?? ( ?? [?? ( ?? ) ]) ]
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( ?? [?? ( ?? ) ]) ?? '
[?? ( ?? ) ]?? '
( ?? ) ???? is equal to
(a) 0
(b) ?? ( ?? )- ?? ( ?? )
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Q2. ?? ?
-?? ?? ?|?? - ?? ?? |???? is equal to
(a) 2
(b) 4
(c) 6
(d) 8
Ans: (b)
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2
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Q3. The integral ?
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1/2
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Q4. If ?? is any integer, then ?
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(b)
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(c)
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(d)
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7-1
7
·
7-3
7-2
·
7-5
7-4
=
6.4.2
7.5.3
=
16
35
Q10. Let ?? : ( ?? , 8) ? ?? and ?? ( ?? ) = ?
?? ?? ??? ( ?? ) ???? . If ?? ( ?? ?? ) = ?? ?? ( ?? + ?? ) , then ?? ( ?? ) equals
(a) ?? /??
(b) 7
(c) 4
(d) 2
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0
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(given)
Differentiate both sides, ?? ( ?? 2
)· 2?? + 0 = 2?? + 3?? 2
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Q11. The improper integral ?
?? 8
??? -?? ???? is ...... and the value is....
(a) Convergent, 1
(b) Divergent, 1
(c) Convergent, 0
(d) Divergent, 0
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Solved Examples on Definite Integrals
JEE Mains
Q1. If ?? ( ?? ) = ?? ( ?? ) , then ?
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[?? ( ?? ) ]?? '
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/( ?? [h( ?? ) ])
( ?? |h( ?? ) ]
= 0 [? h( ?? ) = h( ?? ) ]
Q2. ?? ?
-?? ?? ?|?? - ?? ?? |???? is equal to
(a) 2
(b) 4
(c) 6
(d) 8
Ans: (b)
?? = ? ?
2
-2
?|1 - ?? 2
|???? = ? ?
-1
-2
?|1 - ?? 2
|???? + ? ?
1
-1
?|1 - ?? 2
|???? + ? ?
2
1
?|1 - ?? 2
|????
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-1
-2
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1
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2
1
?( 1 - ?? 2
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4
3
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4
3
+
4
3
= 4.
Q3. The integral ?
-?? /?? ?? /?? ?([?? ] + ???? (
?? +?? ?? -?? ))???? equal to
(a)
-?? ??
(b) 0
(c) 1
(d) ?????? (
?? ?? )
Ans: (a) log (
1+?? 1-?? ) is an odd function of ?? as ?? ( -?? ) = -?? ( ?? )
?? = ? ?
1/2
-1/2
[?? ]???? + 0 ? ?? = ? ?
0
-1/2
[?? ]???? + ? ?
1/2
0
[?? ]???? ? ?? = ? ?
0
-1/2
- 1???? + 0 ? -[?? ]
-1/2
0
=
-1
2
.
Q4. If ?? is any integer, then ?
?? ?? ??? ?????? ?? ?? ?????? ?? ( ?? ?? + ?? ) ?????? is equal to
(a) ??
(b) 1
(c) 0
(d) None of these
Ans: (c)
?? = ? ?
?? 0
??? cos
2
( ?? -?? )
· cos
3
( 2?? + 1) ( ?? - ?? ) ????
? ?? = - ? ?
?? 0
??? cos
2
?? · cos
3
( 2?? + 1) ?????? ? ?? = -?? ? 2?? = 0 ? ?? = 0.
Q5. If ?? ( ?? + ?? - ?? ) = ?? ( ?? ) then ?
?? ?? ????? ( ?? ) ???? is equal to
(a)
?? +?? ?? ?
?? ?? ??? ( ?? - ?? ) ????
(b)
?? +?? ?? ?
?? ?? ??? ( ?? ) ????
(c)
?? -?? ?? ?
?? ?? ??? ( ?? ) ????
(d) None of these
Ans: (b) ?? = ?
?? ?? ????? ( ?? ) ???? and ?? = ?
?? ?? ?( ?? + ?? - ?? ) ?? ( ?? + ?? - ?? ) ????
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1
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0
?? ??? ( ?? ) ???? if ?? ( ?? - ?? ) = ?? ( ?? )
Q6. For ?? > ?? , ?
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(a) ?? ??
(b) ?? ?? ??
(c) ?? ?? ??
(d) ?? ?? ??
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?? = ? ?
2?? 0
?
?? sin
2?? ?????? sin
2?? ?? + cos
2?? ?? and ?? = ? ?
2?? 0
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( 2?? - ?? ) sin
2?? ( 2?? - ?? ) ????
sin
2?? ( 2?? - ?? )+ cos
2?? ( 2?? - ?? )
? 2?? = 2?? ? ?
2?? 0
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sin
2?? ?? sin
2?? ?? + cos
2?? ?? ???? ? ?? = ?? ? ?
2?? 0
?
sin
2?? ?? sin
2?? ?? + cos
2?? ?? ????
using ? ?
????
0
??? ( ?? ) = ?? ? ?
?? 0
??? ( ?? ) ????
? ?? = 4?? ? ?
?? /2
0
?
sin
2?? ?? sin
2?? ?? + cos
2?? ?? ???? ? ?? = 4?? ( ?? /4) = ?? 2
.
Q7. If ?? ?? =
?? ?? +v ?? +
?? ?? +v ?? ?? + ? … . . +
?? ?? + v ?? ?? then ?????? ?? ?8
??? ?? is equal to
(a) ?????? ??
(b) ???????? ??
(c) ???????? ??
(d) ???????? ??
Ans: (b)
? ?
?? ?8
?
1
?? + v ????
= ? lim
?? ?8
?
1
?? [
?? ?? + v
?? ?? ]
? lim
?? ?8
??? ?? = ? ?
1
0
?
1
v ?? ( 1 + v ?? )
????
= 2[log ( 1 + v ?? ) ]
0
1
= 2log 2
Q8. If ?? ?? = ?
?? 8
??? -?? ?? ?? -?? ???? , then ?
?? 8
??? -????
?? ?? -?? ???? is equal to
(a) ?? ?? ??
(b)
?? ?? ?? ??
(c)
?? ?? ?? ??
(d) ?? ?? ?? ??
Ans: (c) Put, ???? = ?? , ?????? = ???? , we get,
? ?
8
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?? ?? -1
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1
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8
0
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???? =
1
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8
0
?? -?? ?? ?? -1
???? =
?? ?? ?? ??
Q?? . ?
?? ?? /?? ??????? ?? ?????? has value
(a)
????
??????
(b)
????
????
(c)
????
????
(d)
????
????
Ans: (c) Using Walli's formula, ? ?? =
7-1
7
·
7-3
7-2
·
7-5
7-4
=
6.4.2
7.5.3
=
16
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Q10. Let ?? : ( ?? , 8) ? ?? and ?? ( ?? ) = ?
?? ?? ??? ( ?? ) ???? . If ?? ( ?? ?? ) = ?? ?? ( ?? + ?? ) , then ?? ( ?? ) equals
(a) ?? /??
(b) 7
(c) 4
(d) 2
Ans: (c) By definition of ?? ( ?? ) we have ?? ( ?? 2
) = ?
0
?? 2
??? ( ?? ) ???? = ?? 2
+ ?? 3
(given)
Differentiate both sides, ?? ( ?? 2
)· 2?? + 0 = 2?? + 3?? 2
Put, ?? = 2 ? 4?? ( 4) = 16 ? ?? ( 4) = 4
Q11. The improper integral ?
?? 8
??? -?? ???? is ...... and the value is....
(a) Convergent, 1
(b) Divergent, 1
(c) Convergent, 0
(d) Divergent, 0
Ans: (a) ?? = ?
0
8
??? -?? ???? = lim
?? ?8
??
0
?? ??? -?? ???? ? ?? = lim
?? ?8
?[-?? -?? ]
0
?? = lim
?? ?8
?[-?? -?? + ?? 0
] ?
?? = lim
?? ?8
?( 1 - ?? -?? ) = 1 - 0 = 1 [? lim
?? ?8
??? -?? = ?? -8
= 0]
Thus, lim
?? ?8
??
0
?? ??? -?? ???? exists and is finite. Hence the given integral is convergent.
Q12. The integral ?
-8
8
?
?? ?? -?? +?? ?? ???? is
(a) Convergent and equal to ?? /??
(b) Convergent and equal to ?? /??
(c) Convergent and equal to ?? /??
(d) Convergent and equal to ?? /??
Ans : (d)
?? = ? ?
8
-8
1
?? -?? + ?? ?? ???? = ? ?
8
-8
?? ?? 1 + ?? 2?? ????
Put ?? ?? = ?? ? ?? ?? ???? = ????
? ?? = ?
0
8
?
1
1+?? 2
???? ? ?? = [tan
-1
?? ]
0
8
= [tan
-1
8 - tan
-1
0] ? ?? = ?? /2, which is finite so
convergent.
Q13. ?
-????
????
?[?????? -?? ?? ]???? , where [.] denotes greatest integer function
(a) ???? + ?????? ?? + ?????? ??
(b) ???? + ?????? ?? + ?????? ?? + ?????? ??
(c) ?????? + ?????? ?? + ?????? ??
(d) None of these
Ans: (b) Let ?? = ?
-10
20
?[cot
-1
?? ]???? ,
we know cot
-1
?? ? ( 0, ?? ) ??? ? ??
thus, [cot
-1
?? ] = {
3, ?? ? ( -8, cot 3)
2, ?? ? ( cot 3, cot 2)
1 ?? ? ( cot 2, cot 1)
0 ?? ? ( cot 1, 8)
Hence, ?? = ?
-10
cot 3
?3???? + ?
cot 3
cot 2
?2???? + ?
cot 2
cot 1
?1???? + ?
cot 1
20
?0???? = 30 + cot 1 + cot 2 + cot 3
Q14. ?
?? ?? ?[?? ?? - ?? + ?? ]???? , where [.] denotes greatest integer function
(a)
?? -v ?? ??
(b)
?? +v ?? ??
(c)
v ?? -?? ??
(d) None of these
Ans: (a)
Let ?? = ?
0
2
?[?? 2
- ?? + 1]???? = ?
0
1+v 5
2
?[?? 2
- ?? + 1]???? + ?
1+v 5
2
2
?[?? 2
- ?? + 1]???? = ?
0
1+v 5
2
?1???? +
?
1+v 5
2
2
?2???? =
7-v 5
2
Page 5
Solved Examples on Definite Integrals
JEE Mains
Q1. If ?? ( ?? ) = ?? ( ?? ) , then ?
?? ?? ?[?? ( ?? [?? ( ?? ) ]) ]
-?? ?? '
( ?? [?? ( ?? ) ]) ?? '
[?? ( ?? ) ]?? '
( ?? ) ???? is equal to
(a) 0
(b) ?? ( ?? )- ?? ( ?? )
(c) ?? [?? ( ?? ) ] - ?? [?? ( ?? ) ]
(d) None of these
Ans: (a) Put ?? ( ?? [h( ?? ) ]) = ?? ? ?? '
( ?? [h( ?? ) ]) ?? '
[h( ?? ) ]h
'
( ?? ) ???? = ????
? ? ?
/( ?? [h( ?? ) ])
?? ( ?? [h( ?? ) ])
?? -1
???? = [log ( ?? ) ]
/( ?? [h( ?? ) ])
( ?? |h( ?? ) ]
= 0 [? h( ?? ) = h( ?? ) ]
Q2. ?? ?
-?? ?? ?|?? - ?? ?? |???? is equal to
(a) 2
(b) 4
(c) 6
(d) 8
Ans: (b)
?? = ? ?
2
-2
?|1 - ?? 2
|???? = ? ?
-1
-2
?|1 - ?? 2
|???? + ? ?
1
-1
?|1 - ?? 2
|???? + ? ?
2
1
?|1 - ?? 2
|????
? ?? = - ? ?
-1
-2
?( 1 - ?? 2
) ???? + ? ?
1
-1
?( 1 - ?? 2
) ???? - ? ?
2
1
?( 1 - ?? 2
) ???? ? ?? =
4
3
+
4
3
+
4
3
= 4.
Q3. The integral ?
-?? /?? ?? /?? ?([?? ] + ???? (
?? +?? ?? -?? ))???? equal to
(a)
-?? ??
(b) 0
(c) 1
(d) ?????? (
?? ?? )
Ans: (a) log (
1+?? 1-?? ) is an odd function of ?? as ?? ( -?? ) = -?? ( ?? )
?? = ? ?
1/2
-1/2
[?? ]???? + 0 ? ?? = ? ?
0
-1/2
[?? ]???? + ? ?
1/2
0
[?? ]???? ? ?? = ? ?
0
-1/2
- 1???? + 0 ? -[?? ]
-1/2
0
=
-1
2
.
Q4. If ?? is any integer, then ?
?? ?? ??? ?????? ?? ?? ?????? ?? ( ?? ?? + ?? ) ?????? is equal to
(a) ??
(b) 1
(c) 0
(d) None of these
Ans: (c)
?? = ? ?
?? 0
??? cos
2
( ?? -?? )
· cos
3
( 2?? + 1) ( ?? - ?? ) ????
? ?? = - ? ?
?? 0
??? cos
2
?? · cos
3
( 2?? + 1) ?????? ? ?? = -?? ? 2?? = 0 ? ?? = 0.
Q5. If ?? ( ?? + ?? - ?? ) = ?? ( ?? ) then ?
?? ?? ????? ( ?? ) ???? is equal to
(a)
?? +?? ?? ?
?? ?? ??? ( ?? - ?? ) ????
(b)
?? +?? ?? ?
?? ?? ??? ( ?? ) ????
(c)
?? -?? ?? ?
?? ?? ??? ( ?? ) ????
(d) None of these
Ans: (b) ?? = ?
?? ?? ????? ( ?? ) ???? and ?? = ?
?? ?? ?( ?? + ?? - ?? ) ?? ( ?? + ?? - ?? ) ????
? ?? = ?
?? ?? ?( ?? + ?? - ?? ) ?? ( ?? ) ???? ? ?? = ?
?? ?? ?( ?? + ?? ) ?? ( ?? ) ???? - ?
?? ?? ????? ( ?? ) ???? ? 2?? = [?
?? ?? ??? ( ?? ) ???? ] ( ?? + ?? ) ? ?? =
?? + ?? 2
?
?? ?? ??? ( ?? ) ????
(8) ?
0
?? ????? ( ?? ) ???? =
1
2
?? ?
0
?? ??? ( ?? ) ???? if ?? ( ?? - ?? ) = ?? ( ?? )
Q6. For ?? > ?? , ?
?? ?? ?? ?
?? ?????? ?? ?? ?? ?????? ?? ?? ?? +?????? ?? ?? ?? ???? is equal to
(a) ?? ??
(b) ?? ?? ??
(c) ?? ?? ??
(d) ?? ?? ??
Ans: (a)
?? = ? ?
2?? 0
?
?? sin
2?? ?????? sin
2?? ?? + cos
2?? ?? and ?? = ? ?
2?? 0
?
( 2?? - ?? ) sin
2?? ( 2?? - ?? ) ????
sin
2?? ( 2?? - ?? )+ cos
2?? ( 2?? - ?? )
? 2?? = 2?? ? ?
2?? 0
?
sin
2?? ?? sin
2?? ?? + cos
2?? ?? ???? ? ?? = ?? ? ?
2?? 0
?
sin
2?? ?? sin
2?? ?? + cos
2?? ?? ????
using ? ?
????
0
??? ( ?? ) = ?? ? ?
?? 0
??? ( ?? ) ????
? ?? = 4?? ? ?
?? /2
0
?
sin
2?? ?? sin
2?? ?? + cos
2?? ?? ???? ? ?? = 4?? ( ?? /4) = ?? 2
.
Q7. If ?? ?? =
?? ?? +v ?? +
?? ?? +v ?? ?? + ? … . . +
?? ?? + v ?? ?? then ?????? ?? ?8
??? ?? is equal to
(a) ?????? ??
(b) ???????? ??
(c) ???????? ??
(d) ???????? ??
Ans: (b)
? ?
?? ?8
?
1
?? + v ????
= ? lim
?? ?8
?
1
?? [
?? ?? + v
?? ?? ]
? lim
?? ?8
??? ?? = ? ?
1
0
?
1
v ?? ( 1 + v ?? )
????
= 2[log ( 1 + v ?? ) ]
0
1
= 2log 2
Q8. If ?? ?? = ?
?? 8
??? -?? ?? ?? -?? ???? , then ?
?? 8
??? -????
?? ?? -?? ???? is equal to
(a) ?? ?? ??
(b)
?? ?? ?? ??
(c)
?? ?? ?? ??
(d) ?? ?? ?? ??
Ans: (c) Put, ???? = ?? , ?????? = ???? , we get,
? ?
8
0
?? -????
?? ?? -1
???? =
1
?? ?? ? ?
8
0
?? -?? ?? ?? -1
???? =
1
?? ?? ? ?
8
0
?? -?? ?? ?? -1
???? =
?? ?? ?? ??
Q?? . ?
?? ?? /?? ??????? ?? ?????? has value
(a)
????
??????
(b)
????
????
(c)
????
????
(d)
????
????
Ans: (c) Using Walli's formula, ? ?? =
7-1
7
·
7-3
7-2
·
7-5
7-4
=
6.4.2
7.5.3
=
16
35
Q10. Let ?? : ( ?? , 8) ? ?? and ?? ( ?? ) = ?
?? ?? ??? ( ?? ) ???? . If ?? ( ?? ?? ) = ?? ?? ( ?? + ?? ) , then ?? ( ?? ) equals
(a) ?? /??
(b) 7
(c) 4
(d) 2
Ans: (c) By definition of ?? ( ?? ) we have ?? ( ?? 2
) = ?
0
?? 2
??? ( ?? ) ???? = ?? 2
+ ?? 3
(given)
Differentiate both sides, ?? ( ?? 2
)· 2?? + 0 = 2?? + 3?? 2
Put, ?? = 2 ? 4?? ( 4) = 16 ? ?? ( 4) = 4
Q11. The improper integral ?
?? 8
??? -?? ???? is ...... and the value is....
(a) Convergent, 1
(b) Divergent, 1
(c) Convergent, 0
(d) Divergent, 0
Ans: (a) ?? = ?
0
8
??? -?? ???? = lim
?? ?8
??
0
?? ??? -?? ???? ? ?? = lim
?? ?8
?[-?? -?? ]
0
?? = lim
?? ?8
?[-?? -?? + ?? 0
] ?
?? = lim
?? ?8
?( 1 - ?? -?? ) = 1 - 0 = 1 [? lim
?? ?8
??? -?? = ?? -8
= 0]
Thus, lim
?? ?8
??
0
?? ??? -?? ???? exists and is finite. Hence the given integral is convergent.
Q12. The integral ?
-8
8
?
?? ?? -?? +?? ?? ???? is
(a) Convergent and equal to ?? /??
(b) Convergent and equal to ?? /??
(c) Convergent and equal to ?? /??
(d) Convergent and equal to ?? /??
Ans : (d)
?? = ? ?
8
-8
1
?? -?? + ?? ?? ???? = ? ?
8
-8
?? ?? 1 + ?? 2?? ????
Put ?? ?? = ?? ? ?? ?? ???? = ????
? ?? = ?
0
8
?
1
1+?? 2
???? ? ?? = [tan
-1
?? ]
0
8
= [tan
-1
8 - tan
-1
0] ? ?? = ?? /2, which is finite so
convergent.
Q13. ?
-????
????
?[?????? -?? ?? ]???? , where [.] denotes greatest integer function
(a) ???? + ?????? ?? + ?????? ??
(b) ???? + ?????? ?? + ?????? ?? + ?????? ??
(c) ?????? + ?????? ?? + ?????? ??
(d) None of these
Ans: (b) Let ?? = ?
-10
20
?[cot
-1
?? ]???? ,
we know cot
-1
?? ? ( 0, ?? ) ??? ? ??
thus, [cot
-1
?? ] = {
3, ?? ? ( -8, cot 3)
2, ?? ? ( cot 3, cot 2)
1 ?? ? ( cot 2, cot 1)
0 ?? ? ( cot 1, 8)
Hence, ?? = ?
-10
cot 3
?3???? + ?
cot 3
cot 2
?2???? + ?
cot 2
cot 1
?1???? + ?
cot 1
20
?0???? = 30 + cot 1 + cot 2 + cot 3
Q14. ?
?? ?? ?[?? ?? - ?? + ?? ]???? , where [.] denotes greatest integer function
(a)
?? -v ?? ??
(b)
?? +v ?? ??
(c)
v ?? -?? ??
(d) None of these
Ans: (a)
Let ?? = ?
0
2
?[?? 2
- ?? + 1]???? = ?
0
1+v 5
2
?[?? 2
- ?? + 1]???? + ?
1+v 5
2
2
?[?? 2
- ?? + 1]???? = ?
0
1+v 5
2
?1???? +
?
1+v 5
2
2
?2???? =
7-v 5
2
Q15. If ?
?????? ?? ?? ?????? ?? ?? ???? = ?? ?????? ?? ?? + ?? ?????? ?? ?? + ?? , then ?? + ?? equals
(A)
?? ????
(B) -
?? ????
(C)
????
??
(D) -
????
??
Ans: (B)
?
cos
2
?? sin
6
?? = ? cot
2
?? cosec ?????? = ? cot
2
?? ( 1 + cot
2
?? ) cosec ?????? Put ?? = cot ?? ? ?? = ? t
2
( 1 + ?? 2
) ( -1) ???? = - [
?? 5
5
+
?? 3
3
] + ?? ? ?? = -
1
5
, ?? = -
1
3
? ?? + ?? = -
8
15
Q16. If ?
?????? ?? ?? -????????
?????? ????????
?? ???? =
?? ( ?? )
?????? ????????
?? + ?? , then value of ?? (
?? ?? ) is
(A) 0
(B)
?? v ??
(C) v ??
(D) None of these
Ans: (C)
?
sec
2
?? - 2010
sin
2010
?? ????
= ? sec
2
?? ( sin ?? )
-2010
- 2010?
1
( sin ?? )
2010
???? = ?? 1
- ?? 2
Applying by parts on I
1
, we get
?? 1
=
tan ?? ( sin ?? )
2010
+ 2010?
tan ?? cos ?? ( sin ?? )
2011
???? =
tan ?? ( sin ?? )
2010
+ 2010?
????
( sin ?? )
2010
? I = I
1
- I
2
=
tan x
( sin x )
2010
=
P( x )
( sin x)
2010
P (
?? 3
) = tan
?? 3
= v 3
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FAQs on Definite Integration Solved Examples - Mathematics (Maths) for JEE Main & Advanced
| 1. What is definite integration? |  |
Ans. Definite integration is a way to find the exact area under a curve between two specific points on the x-axis.
| 2. How is definite integration different from indefinite integration? | |
Ans. Definite integration involves finding the numerical value of the area under a curve between two limits, while indefinite integration involves finding a general antiderivative of a function.
| 3. Can you explain the concept of limits of integration in definite integration? | |
Ans. The limits of integration in definite integration specify the range over which the area under the curve is to be calculated. These limits are denoted by the symbols a and b in the integral notation.
| 4. How can definite integration be used to find the total distance traveled by an object? | |
Ans. By integrating the velocity function of the object over a specific time interval, one can find the total distance traveled by the object during that time.
| 5. What are some common applications of definite integration in real-life scenarios? | |
Ans. Definite integration is used in various fields such as physics, engineering, economics, and biology to calculate quantities like work, volume, area, and probability.
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Dec 26, 2024 Last updated |
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