NCERT Textbook: उत्पादन तथा लागत | NCERT Textbooks in Hindi (Class 6 to Class 12) - UPSC PDF Download

 Page 1


iQeZ iz;kl
vè;k; 3
mRiknu rFkk ykxr
iwoZ vè;k; esa geus miHkksDrk osQ O;ogkj osQ lacaèk esa ppkZ dh gSA bl vè;k;
rFkk vxys vè;k; esa ge mRiknd osQ O;ogkj dh tk¡p djsaxsA ,d mRiknd
vFkok iQeZ fofHkUu vkxrksa tSls& Je] e'khu] Hkwfe] dPpk eky vkfn dks izkIr
djrk gSA bu vkxrksa osQ esy ls og fuxZr dk mRiknu djrk gSA bls mRiknu
dh izfØ;k dgrs gSaA vkxrksa dks izkIr djus osQ Øe esa og mlosQ fy, Hkqxrku
djrk gSA ;g mRiknu dh ykxr dgykrk gSA ,d ckj fuxZr dk mRiknu dj
ysus osQ ckn iQeZ mls ck”kkj esa cspdj laizkfIr izkIr djrh gSA tks laizkfIr og
fuoy ykxr osQ :i esa vftZr djrh gS] og iQeZ dk ykHk dgk tkrk gSA ;gk¡
ge ;g eku dj pyrs gSa fd ,d iQeZ dk mís'; vfèkdre ykHk izkIr djuk
gSA ,d iQeZ viuh ykxr lajpuk rFkk fuxZr osQ ck”kkj dher dks è;ku esa j[krs
gq, mldh ,slh ek=kk osQ mRiknu dk fu.kZ; djrh gS] ftlls fd bldk ykHk
vfèkdre gksA
bl vè;k; esa ge ,d iQeZ osQ mRiknu iQyu osQ fofHkUu igyqvksa dk
vè;;u djsaxsA ge ;gk¡ vkxrksa rFkk fuxZrksa osQ chp lacaèk] mRiknu izfØ;k esa
,d ifjorhZ vkxr dk ;ksxnku rFkk mRiknu iQyu osQ fofHkUu xq.kksa osQ lacaèk
esa ppkZ djsaxsA blosQ i'pkr~ ge iQeZ dh ykxr lajpuk dks ns[ksaxsA ge ykxr
iQyu rFkk blosQ fofHkUu igyqvksa ij ppkZ djsaxsA ge vYidkyhu rFkk
nh?kZdkyhu ykxr oØksa osQ xq.kksa osQ fo"k; esa tkusaxsA
3-1 mRiknu iQyu
,d iQeZ dk mRiknu iQyu mi;ksx esa yk, x, vkxrksa rFkk
iQeZ }kjk mRikfnr fuxZrksa osQ eè; dk lacaèk gSA mi;ksx essa
yk, x, vkxrksa dh fofHkUu ek=kkvksa osQ fy, ;g fuxZr dh
vfèkdre ek=kk iznku dj ldrk gS] ftldk mRiknu fd;k
tk ldrk gSA
,d fofuekZrk dks yhft,] tks twrksa dk mRiknu djrk gSA og
nks Jfedksa] Jfed 1 rFkk Jfed 2] nks e'khusa µ e'khu 1 rFkk
e'khu 2 rFkk 10 fdyksxzke dPps eky dk iz;ksx djrk gSA Jfed 1
e'khu 1 dks pykus esa fuiq.k gS rFkk Jfed 2 e'khu 2 dks pykus esa
fuiq.k gSA ;fn Jfed 1] e'khu 1 dk rFkk Jfed 2] e'khu 2 dk mi;ksx
djrk gS] rks 10 fdyksxzke dPps eky dk mi;ksx 10 tksM+h twrksa osQ mRiknu osQ fy,
dj ldrk gSA rFkkfi] ;fn Jfed 1 e'khu 2 rFkk Jfed 2 e'khu 1 mi;ksx esa
Page 2


iQeZ iz;kl
vè;k; 3
mRiknu rFkk ykxr
iwoZ vè;k; esa geus miHkksDrk osQ O;ogkj osQ lacaèk esa ppkZ dh gSA bl vè;k;
rFkk vxys vè;k; esa ge mRiknd osQ O;ogkj dh tk¡p djsaxsA ,d mRiknd
vFkok iQeZ fofHkUu vkxrksa tSls& Je] e'khu] Hkwfe] dPpk eky vkfn dks izkIr
djrk gSA bu vkxrksa osQ esy ls og fuxZr dk mRiknu djrk gSA bls mRiknu
dh izfØ;k dgrs gSaA vkxrksa dks izkIr djus osQ Øe esa og mlosQ fy, Hkqxrku
djrk gSA ;g mRiknu dh ykxr dgykrk gSA ,d ckj fuxZr dk mRiknu dj
ysus osQ ckn iQeZ mls ck”kkj esa cspdj laizkfIr izkIr djrh gSA tks laizkfIr og
fuoy ykxr osQ :i esa vftZr djrh gS] og iQeZ dk ykHk dgk tkrk gSA ;gk¡
ge ;g eku dj pyrs gSa fd ,d iQeZ dk mís'; vfèkdre ykHk izkIr djuk
gSA ,d iQeZ viuh ykxr lajpuk rFkk fuxZr osQ ck”kkj dher dks è;ku esa j[krs
gq, mldh ,slh ek=kk osQ mRiknu dk fu.kZ; djrh gS] ftlls fd bldk ykHk
vfèkdre gksA
bl vè;k; esa ge ,d iQeZ osQ mRiknu iQyu osQ fofHkUu igyqvksa dk
vè;;u djsaxsA ge ;gk¡ vkxrksa rFkk fuxZrksa osQ chp lacaèk] mRiknu izfØ;k esa
,d ifjorhZ vkxr dk ;ksxnku rFkk mRiknu iQyu osQ fofHkUu xq.kksa osQ lacaèk
esa ppkZ djsaxsA blosQ i'pkr~ ge iQeZ dh ykxr lajpuk dks ns[ksaxsA ge ykxr
iQyu rFkk blosQ fofHkUu igyqvksa ij ppkZ djsaxsA ge vYidkyhu rFkk
nh?kZdkyhu ykxr oØksa osQ xq.kksa osQ fo"k; esa tkusaxsA
3-1 mRiknu iQyu
,d iQeZ dk mRiknu iQyu mi;ksx esa yk, x, vkxrksa rFkk
iQeZ }kjk mRikfnr fuxZrksa osQ eè; dk lacaèk gSA mi;ksx essa
yk, x, vkxrksa dh fofHkUu ek=kkvksa osQ fy, ;g fuxZr dh
vfèkdre ek=kk iznku dj ldrk gS] ftldk mRiknu fd;k
tk ldrk gSA
,d fofuekZrk dks yhft,] tks twrksa dk mRiknu djrk gSA og
nks Jfedksa] Jfed 1 rFkk Jfed 2] nks e'khusa µ e'khu 1 rFkk
e'khu 2 rFkk 10 fdyksxzke dPps eky dk iz;ksx djrk gSA Jfed 1
e'khu 1 dks pykus esa fuiq.k gS rFkk Jfed 2 e'khu 2 dks pykus esa
fuiq.k gSA ;fn Jfed 1] e'khu 1 dk rFkk Jfed 2] e'khu 2 dk mi;ksx
djrk gS] rks 10 fdyksxzke dPps eky dk mi;ksx 10 tksM+h twrksa osQ mRiknu osQ fy,
dj ldrk gSA rFkkfi] ;fn Jfed 1 e'khu 2 rFkk Jfed 2 e'khu 1 mi;ksx esa
42
ifjp;kRed
O;f"V vFkZ'kkL=k
ykrk gS] ftlosQ iz;ksx esa os fuiq.k ugha gSa] rc mlh 10 fdyksxzke dPPks eky ls os osQoy 8 tksM+h
twrs gh cuk ik,¡xsA vr% vkxrksa osQ oqQ'ky mi;ksx ls twrksa dh 10 tksfM+;ksa dk mRiknu gks ldrk gS]
tcfd voqQ'ky mi;ksx osQ dkj.k osQoy 8 tksM+h twrksa dk gh mRiknu gks ikrk gSA mRiknu iQyu
vkxrksa osQ osQoy oqQ'ky mi;ksx ij gh fopkj djrk gSA bldk rkRi;Z ;g gS fd Jfed 1] Jfed 2]
e'khu 1] e'khu 2 rFkk 10 fdyksxzke dPpk eky lfEefyr :i ls 10 tksM+h twrksa dk mRiknu dj
ldrs gSa] tks fd bl vkxr la;ksx osQ fy, vfèkdre laHkkfor fuxZr gSA
,d mRiknu iQyu] ,d nh gqbZ izkS|ksfxdksa osQ fy, ifjHkkf"kr fd;k tkrk gSA ;g izkS|ksfxdh;
Kku gS tks fuxZr osQ vfèkdre Lrjksa dks fuèkkZfjr djrk gS] ftldk mRiknu vkxrksa osQ fofHkUu
la;ksxksa dks mi;ksx esa ykdj fd;k tk ldrk gSA ;fn izkS|ksfxdh esa lqèkkj gksrk gS] rks fofHkUu
vkxr la;ksxksa esa o`f¼ ls izkIr gksus okys fuxZr osQ vfèkdre Lrjksa dks izkIr dh tk ldrh gSA
rc gesa ,d uohu mRiknu iQyu izkIr gksrk gSA
mRiknu izfØ;k esa iQeZ ftu vkxrksa dk mi;ksx djrh gS] os mRiknu dk dkjd dgykrs
gSaA vius vius fuxZr osQ mRiknu osQ Øe esa ,d iQeZ fdrus gh fofHkUu vkxrksa dk iz;ksx dj
ldrh gSA bl le; ge ,d ,slh iQeZ ij fopkj djsaxs] tks osQoy mRiknu osQ 2 dkjdksaµ
dkjd 1 rFkk dkjd 2 dk iz;ksx dj fuxZr dk mRiknu djrh gSA vr% gekjk mRiknu iQyu
bl ckr dks bafxr djrk gS fd bu nks dkjdksa osQ fofHkUu la;ksx ls fuxZr dh fdruh vfèkdre
ek=kk dk mRiknu fd;k tk ldrk gSA
ge mRiknu iQyu dks bl izdkj fy[k ldrs gSa%
q = f (x
1
, x
2
) (3-1)
;g crkrk gS fd ge dkjd 1 dh x
1
 ek=kk rFkk dkjd 2 dh x
2
 ek=kk dk iz;ksx dj oLrq
dh vfèkdre ek=kk q dk mRiknu dj ldrs gSaA
rkfydk 3-1% mRiknu iQyu
dkjd x
2
01 2 3 4 5 6
00 0 0 00 00
1 013 7 10 12 13
2 0 3 10 1824 2933
x
1
3 0 7 18 3040 4650
4 0 10 24 40 50 56 57
5 0 12 29 46 56 58 59
6 0 13 33 50 57 59 60
rkfydk 3-1 esa mRiknu iQyu dk ,d la[;kRed mnkgj.k fn;k x;k gSA ck;¡k dkWye
dkjd 1 dh ek=kk n'kkZrk gS rFkk Åij dh iafDr dkjd 2 dh ek=kk n'kkZrh gSA tSls&tSls ge
fdlh Hkh iafDr esa nk;ha rjiQ tkrs gSa] dkjd 2 esa o`f¼ gksrh gS rFkk tSls&tSls ge fdlh Hkh
dkWye esa uhps dh rjiQ tkrs gSa rks dkjd 1 esa o`f¼ gksrh gSA nksuksa dkjdksa osQ fofHkUu ekuksa
osQ fy,] rkfydk rn~uq:i fuxZr Lrj n'kkZrh gSA mnkgj.k osQ rkSj ij] dkjd 1 dh 1 bdkbZ rFkk
dkjd 2 dh 1 bdkbZ osQ lkFk iQeZ vfèkd ls vfèkd fuxZr dh 1 bdkbZ] dkjd 1 dh 2 bdkbZ
rFkk dkjd 2 dh 2 bdkbZ osQ lkFk ;g fuxZr dh 10 bdkbZ dk] dkjd 1 dh 3 bdkbZ rFkk
dkjd 2 dh 2 bdkbZ osQ lkFk vfèkd ls vfèkd fuxZr dh 18 bdkbZ rFkk blh rjg ls vkxs
Hkh mRiknu fd;k tkrk gSA
Page 3


iQeZ iz;kl
vè;k; 3
mRiknu rFkk ykxr
iwoZ vè;k; esa geus miHkksDrk osQ O;ogkj osQ lacaèk esa ppkZ dh gSA bl vè;k;
rFkk vxys vè;k; esa ge mRiknd osQ O;ogkj dh tk¡p djsaxsA ,d mRiknd
vFkok iQeZ fofHkUu vkxrksa tSls& Je] e'khu] Hkwfe] dPpk eky vkfn dks izkIr
djrk gSA bu vkxrksa osQ esy ls og fuxZr dk mRiknu djrk gSA bls mRiknu
dh izfØ;k dgrs gSaA vkxrksa dks izkIr djus osQ Øe esa og mlosQ fy, Hkqxrku
djrk gSA ;g mRiknu dh ykxr dgykrk gSA ,d ckj fuxZr dk mRiknu dj
ysus osQ ckn iQeZ mls ck”kkj esa cspdj laizkfIr izkIr djrh gSA tks laizkfIr og
fuoy ykxr osQ :i esa vftZr djrh gS] og iQeZ dk ykHk dgk tkrk gSA ;gk¡
ge ;g eku dj pyrs gSa fd ,d iQeZ dk mís'; vfèkdre ykHk izkIr djuk
gSA ,d iQeZ viuh ykxr lajpuk rFkk fuxZr osQ ck”kkj dher dks è;ku esa j[krs
gq, mldh ,slh ek=kk osQ mRiknu dk fu.kZ; djrh gS] ftlls fd bldk ykHk
vfèkdre gksA
bl vè;k; esa ge ,d iQeZ osQ mRiknu iQyu osQ fofHkUu igyqvksa dk
vè;;u djsaxsA ge ;gk¡ vkxrksa rFkk fuxZrksa osQ chp lacaèk] mRiknu izfØ;k esa
,d ifjorhZ vkxr dk ;ksxnku rFkk mRiknu iQyu osQ fofHkUu xq.kksa osQ lacaèk
esa ppkZ djsaxsA blosQ i'pkr~ ge iQeZ dh ykxr lajpuk dks ns[ksaxsA ge ykxr
iQyu rFkk blosQ fofHkUu igyqvksa ij ppkZ djsaxsA ge vYidkyhu rFkk
nh?kZdkyhu ykxr oØksa osQ xq.kksa osQ fo"k; esa tkusaxsA
3-1 mRiknu iQyu
,d iQeZ dk mRiknu iQyu mi;ksx esa yk, x, vkxrksa rFkk
iQeZ }kjk mRikfnr fuxZrksa osQ eè; dk lacaèk gSA mi;ksx essa
yk, x, vkxrksa dh fofHkUu ek=kkvksa osQ fy, ;g fuxZr dh
vfèkdre ek=kk iznku dj ldrk gS] ftldk mRiknu fd;k
tk ldrk gSA
,d fofuekZrk dks yhft,] tks twrksa dk mRiknu djrk gSA og
nks Jfedksa] Jfed 1 rFkk Jfed 2] nks e'khusa µ e'khu 1 rFkk
e'khu 2 rFkk 10 fdyksxzke dPps eky dk iz;ksx djrk gSA Jfed 1
e'khu 1 dks pykus esa fuiq.k gS rFkk Jfed 2 e'khu 2 dks pykus esa
fuiq.k gSA ;fn Jfed 1] e'khu 1 dk rFkk Jfed 2] e'khu 2 dk mi;ksx
djrk gS] rks 10 fdyksxzke dPps eky dk mi;ksx 10 tksM+h twrksa osQ mRiknu osQ fy,
dj ldrk gSA rFkkfi] ;fn Jfed 1 e'khu 2 rFkk Jfed 2 e'khu 1 mi;ksx esa
42
ifjp;kRed
O;f"V vFkZ'kkL=k
ykrk gS] ftlosQ iz;ksx esa os fuiq.k ugha gSa] rc mlh 10 fdyksxzke dPPks eky ls os osQoy 8 tksM+h
twrs gh cuk ik,¡xsA vr% vkxrksa osQ oqQ'ky mi;ksx ls twrksa dh 10 tksfM+;ksa dk mRiknu gks ldrk gS]
tcfd voqQ'ky mi;ksx osQ dkj.k osQoy 8 tksM+h twrksa dk gh mRiknu gks ikrk gSA mRiknu iQyu
vkxrksa osQ osQoy oqQ'ky mi;ksx ij gh fopkj djrk gSA bldk rkRi;Z ;g gS fd Jfed 1] Jfed 2]
e'khu 1] e'khu 2 rFkk 10 fdyksxzke dPpk eky lfEefyr :i ls 10 tksM+h twrksa dk mRiknu dj
ldrs gSa] tks fd bl vkxr la;ksx osQ fy, vfèkdre laHkkfor fuxZr gSA
,d mRiknu iQyu] ,d nh gqbZ izkS|ksfxdksa osQ fy, ifjHkkf"kr fd;k tkrk gSA ;g izkS|ksfxdh;
Kku gS tks fuxZr osQ vfèkdre Lrjksa dks fuèkkZfjr djrk gS] ftldk mRiknu vkxrksa osQ fofHkUu
la;ksxksa dks mi;ksx esa ykdj fd;k tk ldrk gSA ;fn izkS|ksfxdh esa lqèkkj gksrk gS] rks fofHkUu
vkxr la;ksxksa esa o`f¼ ls izkIr gksus okys fuxZr osQ vfèkdre Lrjksa dks izkIr dh tk ldrh gSA
rc gesa ,d uohu mRiknu iQyu izkIr gksrk gSA
mRiknu izfØ;k esa iQeZ ftu vkxrksa dk mi;ksx djrh gS] os mRiknu dk dkjd dgykrs
gSaA vius vius fuxZr osQ mRiknu osQ Øe esa ,d iQeZ fdrus gh fofHkUu vkxrksa dk iz;ksx dj
ldrh gSA bl le; ge ,d ,slh iQeZ ij fopkj djsaxs] tks osQoy mRiknu osQ 2 dkjdksaµ
dkjd 1 rFkk dkjd 2 dk iz;ksx dj fuxZr dk mRiknu djrh gSA vr% gekjk mRiknu iQyu
bl ckr dks bafxr djrk gS fd bu nks dkjdksa osQ fofHkUu la;ksx ls fuxZr dh fdruh vfèkdre
ek=kk dk mRiknu fd;k tk ldrk gSA
ge mRiknu iQyu dks bl izdkj fy[k ldrs gSa%
q = f (x
1
, x
2
) (3-1)
;g crkrk gS fd ge dkjd 1 dh x
1
 ek=kk rFkk dkjd 2 dh x
2
 ek=kk dk iz;ksx dj oLrq
dh vfèkdre ek=kk q dk mRiknu dj ldrs gSaA
rkfydk 3-1% mRiknu iQyu
dkjd x
2
01 2 3 4 5 6
00 0 0 00 00
1 013 7 10 12 13
2 0 3 10 1824 2933
x
1
3 0 7 18 3040 4650
4 0 10 24 40 50 56 57
5 0 12 29 46 56 58 59
6 0 13 33 50 57 59 60
rkfydk 3-1 esa mRiknu iQyu dk ,d la[;kRed mnkgj.k fn;k x;k gSA ck;¡k dkWye
dkjd 1 dh ek=kk n'kkZrk gS rFkk Åij dh iafDr dkjd 2 dh ek=kk n'kkZrh gSA tSls&tSls ge
fdlh Hkh iafDr esa nk;ha rjiQ tkrs gSa] dkjd 2 esa o`f¼ gksrh gS rFkk tSls&tSls ge fdlh Hkh
dkWye esa uhps dh rjiQ tkrs gSa rks dkjd 1 esa o`f¼ gksrh gSA nksuksa dkjdksa osQ fofHkUu ekuksa
osQ fy,] rkfydk rn~uq:i fuxZr Lrj n'kkZrh gSA mnkgj.k osQ rkSj ij] dkjd 1 dh 1 bdkbZ rFkk
dkjd 2 dh 1 bdkbZ osQ lkFk iQeZ vfèkd ls vfèkd fuxZr dh 1 bdkbZ] dkjd 1 dh 2 bdkbZ
rFkk dkjd 2 dh 2 bdkbZ osQ lkFk ;g fuxZr dh 10 bdkbZ dk] dkjd 1 dh 3 bdkbZ rFkk
dkjd 2 dh 2 bdkbZ osQ lkFk vfèkd ls vfèkd fuxZr dh 18 bdkbZ rFkk blh rjg ls vkxs
Hkh mRiknu fd;k tkrk gSA
43
mRiknu rFkk ykxr
gekjs mnkgj.k esa mRiknu osQ fy, nksuksa vkxr vko';d gSA ;fn dksbZ Hkh vkxr 'kwU; gks
tkrk gS] rks dksbZ Hkh mRiknu ugha gksxkA nksuksa ldkjkRed vkxrksa osQ lkFk] fuxZr ldkjkRed gksxkA
tSls&tSls ge fdlh vkxr dh ek=kk esa o`f¼ djrs tkrs gSa] fuxZr esa o`f¼ gksrh tkrh gSA
3-2 vYidky rFkk nh?kZdky
blls iwoZ fd ge dksbZ vU; fo'ys"k.k vkjaHk djsa] nks ladYiuk,¡% vYidky rFkk nh?kZdky
dk ;gk¡ ppkZ djuk egÙoiw.kZ gSA
vYidky esa ,d iQeZ lHkh vkxrksa esa ifjorZu ugha dj ldrk gSA dkjdksa esa ls ,dµ
dkjd 1 vFkok dkjd 2 esa ifjorZu ugha gks ldrk] vr,o os vYidky esa fLFkj jgrs gSaA
fuxZr Lrj esa ifjorZu ykus osQ fy, iQeZ osQoy nwljs dkjd esa gh ifjorZu yk ldrh gSA tks
dkjd fLFkj jgrk gS fLFkj vkxr dgykrk gS] tcfd nwljs dkjd ftlesa iQeZ ifjorZu yk
ldrk gS] ifjorhZ vkxr dgykrk gSA
rkfydk 3-1 esa n'kkZ, x, mnkgj.k ij xkSj dhft,A eku yhft, fd vYidky esa 5 bdkb;ksa
ij dkjd 2 fLFkj jgrk gSA rc rn~uq:i dkWye fuxZr osQ fofHkUu Lrj n'kkZrk gS] ftudk iQeZ
mRiknu vYidky esa dkjd 1 dh fofHkUu ek=kk,¡ mi;ksx esa ykdj dj ldrh gSaA
leku ek=kk
vè;k; 2 esa geus vufèkeku oØ osQ fo"k; esa tkukA ;gk¡ geus blh izdkj dh ,d
ladYiuk ftls leku ek=kk dgk tkrk gS] dk ifjp; djk;k gSA ;g osQoy mRiknu iQyu
dk izfrfufèkRo djus dk ,d oSdfYid mik; gSA nks vkxrksaµ dkjd 1 rFkk dkjd 2
okys ,d mRiknu iQyu ij fopkj dhft,A ,d leku ek=kk mu nks vkxrksa osQ laekd
la;ksxksa dk lsV gksrk gS] tksfd leku vfèkdre laHkkfor Lrj dk fuxZr izkIr djrk gSA
izR;sd leku ek=kk fuxZr osQ ,d fo'ks"k Lrj dk izfrfufèkRo djrh gS rFkk fuxZr dh ek=kk
dks Lrj iznku djrh gSA
vkjs[k esa gekjs ikl vkxr
lery esa rhu fuxZr Lrjksa osQ fy,
rhu leku ek=kk gSaµ q=q
1
,
q=q
2
, rFkk q=q
3
A nks vkxr
la;ksx (x'
1
,x''
2
) rFkk (x''
1
,x'
2
) gesa
fuxZr q
1
 dk leku Lrj nsrs gSaA
;fn ge dkjd 2 dks x'
2
 ij fLFkj
djsa rFkk dkjd 1 dks x'''
1
 rd
c<+k nsa] rks fuxZr esa o`f¼ gksrh gS
rFkk ge ,d vkSj Å¡ps leku ek=kk
q = q
2
 ij igq¡p tkrs gSaA tc
lhekar mRikn ,d vkxr dh vfèkd ek=kk ls ldkjkRed gksrs gSa] leku Lrj osQ fuxZr
dk mRiknu vU; vkxr dh de ek=kk mi;ksx esa ykdj gks ldrh gSA vr% leku ek=kk
udkjkRed izo.krk okys gksrs gSaA
dkjd 2
dkjd 1
qq =
1
qq =
2
qq =
3
x''
2
x'
2
x'
1 x''
1
x'''
1
O
Page 4


iQeZ iz;kl
vè;k; 3
mRiknu rFkk ykxr
iwoZ vè;k; esa geus miHkksDrk osQ O;ogkj osQ lacaèk esa ppkZ dh gSA bl vè;k;
rFkk vxys vè;k; esa ge mRiknd osQ O;ogkj dh tk¡p djsaxsA ,d mRiknd
vFkok iQeZ fofHkUu vkxrksa tSls& Je] e'khu] Hkwfe] dPpk eky vkfn dks izkIr
djrk gSA bu vkxrksa osQ esy ls og fuxZr dk mRiknu djrk gSA bls mRiknu
dh izfØ;k dgrs gSaA vkxrksa dks izkIr djus osQ Øe esa og mlosQ fy, Hkqxrku
djrk gSA ;g mRiknu dh ykxr dgykrk gSA ,d ckj fuxZr dk mRiknu dj
ysus osQ ckn iQeZ mls ck”kkj esa cspdj laizkfIr izkIr djrh gSA tks laizkfIr og
fuoy ykxr osQ :i esa vftZr djrh gS] og iQeZ dk ykHk dgk tkrk gSA ;gk¡
ge ;g eku dj pyrs gSa fd ,d iQeZ dk mís'; vfèkdre ykHk izkIr djuk
gSA ,d iQeZ viuh ykxr lajpuk rFkk fuxZr osQ ck”kkj dher dks è;ku esa j[krs
gq, mldh ,slh ek=kk osQ mRiknu dk fu.kZ; djrh gS] ftlls fd bldk ykHk
vfèkdre gksA
bl vè;k; esa ge ,d iQeZ osQ mRiknu iQyu osQ fofHkUu igyqvksa dk
vè;;u djsaxsA ge ;gk¡ vkxrksa rFkk fuxZrksa osQ chp lacaèk] mRiknu izfØ;k esa
,d ifjorhZ vkxr dk ;ksxnku rFkk mRiknu iQyu osQ fofHkUu xq.kksa osQ lacaèk
esa ppkZ djsaxsA blosQ i'pkr~ ge iQeZ dh ykxr lajpuk dks ns[ksaxsA ge ykxr
iQyu rFkk blosQ fofHkUu igyqvksa ij ppkZ djsaxsA ge vYidkyhu rFkk
nh?kZdkyhu ykxr oØksa osQ xq.kksa osQ fo"k; esa tkusaxsA
3-1 mRiknu iQyu
,d iQeZ dk mRiknu iQyu mi;ksx esa yk, x, vkxrksa rFkk
iQeZ }kjk mRikfnr fuxZrksa osQ eè; dk lacaèk gSA mi;ksx essa
yk, x, vkxrksa dh fofHkUu ek=kkvksa osQ fy, ;g fuxZr dh
vfèkdre ek=kk iznku dj ldrk gS] ftldk mRiknu fd;k
tk ldrk gSA
,d fofuekZrk dks yhft,] tks twrksa dk mRiknu djrk gSA og
nks Jfedksa] Jfed 1 rFkk Jfed 2] nks e'khusa µ e'khu 1 rFkk
e'khu 2 rFkk 10 fdyksxzke dPps eky dk iz;ksx djrk gSA Jfed 1
e'khu 1 dks pykus esa fuiq.k gS rFkk Jfed 2 e'khu 2 dks pykus esa
fuiq.k gSA ;fn Jfed 1] e'khu 1 dk rFkk Jfed 2] e'khu 2 dk mi;ksx
djrk gS] rks 10 fdyksxzke dPps eky dk mi;ksx 10 tksM+h twrksa osQ mRiknu osQ fy,
dj ldrk gSA rFkkfi] ;fn Jfed 1 e'khu 2 rFkk Jfed 2 e'khu 1 mi;ksx esa
42
ifjp;kRed
O;f"V vFkZ'kkL=k
ykrk gS] ftlosQ iz;ksx esa os fuiq.k ugha gSa] rc mlh 10 fdyksxzke dPPks eky ls os osQoy 8 tksM+h
twrs gh cuk ik,¡xsA vr% vkxrksa osQ oqQ'ky mi;ksx ls twrksa dh 10 tksfM+;ksa dk mRiknu gks ldrk gS]
tcfd voqQ'ky mi;ksx osQ dkj.k osQoy 8 tksM+h twrksa dk gh mRiknu gks ikrk gSA mRiknu iQyu
vkxrksa osQ osQoy oqQ'ky mi;ksx ij gh fopkj djrk gSA bldk rkRi;Z ;g gS fd Jfed 1] Jfed 2]
e'khu 1] e'khu 2 rFkk 10 fdyksxzke dPpk eky lfEefyr :i ls 10 tksM+h twrksa dk mRiknu dj
ldrs gSa] tks fd bl vkxr la;ksx osQ fy, vfèkdre laHkkfor fuxZr gSA
,d mRiknu iQyu] ,d nh gqbZ izkS|ksfxdksa osQ fy, ifjHkkf"kr fd;k tkrk gSA ;g izkS|ksfxdh;
Kku gS tks fuxZr osQ vfèkdre Lrjksa dks fuèkkZfjr djrk gS] ftldk mRiknu vkxrksa osQ fofHkUu
la;ksxksa dks mi;ksx esa ykdj fd;k tk ldrk gSA ;fn izkS|ksfxdh esa lqèkkj gksrk gS] rks fofHkUu
vkxr la;ksxksa esa o`f¼ ls izkIr gksus okys fuxZr osQ vfèkdre Lrjksa dks izkIr dh tk ldrh gSA
rc gesa ,d uohu mRiknu iQyu izkIr gksrk gSA
mRiknu izfØ;k esa iQeZ ftu vkxrksa dk mi;ksx djrh gS] os mRiknu dk dkjd dgykrs
gSaA vius vius fuxZr osQ mRiknu osQ Øe esa ,d iQeZ fdrus gh fofHkUu vkxrksa dk iz;ksx dj
ldrh gSA bl le; ge ,d ,slh iQeZ ij fopkj djsaxs] tks osQoy mRiknu osQ 2 dkjdksaµ
dkjd 1 rFkk dkjd 2 dk iz;ksx dj fuxZr dk mRiknu djrh gSA vr% gekjk mRiknu iQyu
bl ckr dks bafxr djrk gS fd bu nks dkjdksa osQ fofHkUu la;ksx ls fuxZr dh fdruh vfèkdre
ek=kk dk mRiknu fd;k tk ldrk gSA
ge mRiknu iQyu dks bl izdkj fy[k ldrs gSa%
q = f (x
1
, x
2
) (3-1)
;g crkrk gS fd ge dkjd 1 dh x
1
 ek=kk rFkk dkjd 2 dh x
2
 ek=kk dk iz;ksx dj oLrq
dh vfèkdre ek=kk q dk mRiknu dj ldrs gSaA
rkfydk 3-1% mRiknu iQyu
dkjd x
2
01 2 3 4 5 6
00 0 0 00 00
1 013 7 10 12 13
2 0 3 10 1824 2933
x
1
3 0 7 18 3040 4650
4 0 10 24 40 50 56 57
5 0 12 29 46 56 58 59
6 0 13 33 50 57 59 60
rkfydk 3-1 esa mRiknu iQyu dk ,d la[;kRed mnkgj.k fn;k x;k gSA ck;¡k dkWye
dkjd 1 dh ek=kk n'kkZrk gS rFkk Åij dh iafDr dkjd 2 dh ek=kk n'kkZrh gSA tSls&tSls ge
fdlh Hkh iafDr esa nk;ha rjiQ tkrs gSa] dkjd 2 esa o`f¼ gksrh gS rFkk tSls&tSls ge fdlh Hkh
dkWye esa uhps dh rjiQ tkrs gSa rks dkjd 1 esa o`f¼ gksrh gSA nksuksa dkjdksa osQ fofHkUu ekuksa
osQ fy,] rkfydk rn~uq:i fuxZr Lrj n'kkZrh gSA mnkgj.k osQ rkSj ij] dkjd 1 dh 1 bdkbZ rFkk
dkjd 2 dh 1 bdkbZ osQ lkFk iQeZ vfèkd ls vfèkd fuxZr dh 1 bdkbZ] dkjd 1 dh 2 bdkbZ
rFkk dkjd 2 dh 2 bdkbZ osQ lkFk ;g fuxZr dh 10 bdkbZ dk] dkjd 1 dh 3 bdkbZ rFkk
dkjd 2 dh 2 bdkbZ osQ lkFk vfèkd ls vfèkd fuxZr dh 18 bdkbZ rFkk blh rjg ls vkxs
Hkh mRiknu fd;k tkrk gSA
43
mRiknu rFkk ykxr
gekjs mnkgj.k esa mRiknu osQ fy, nksuksa vkxr vko';d gSA ;fn dksbZ Hkh vkxr 'kwU; gks
tkrk gS] rks dksbZ Hkh mRiknu ugha gksxkA nksuksa ldkjkRed vkxrksa osQ lkFk] fuxZr ldkjkRed gksxkA
tSls&tSls ge fdlh vkxr dh ek=kk esa o`f¼ djrs tkrs gSa] fuxZr esa o`f¼ gksrh tkrh gSA
3-2 vYidky rFkk nh?kZdky
blls iwoZ fd ge dksbZ vU; fo'ys"k.k vkjaHk djsa] nks ladYiuk,¡% vYidky rFkk nh?kZdky
dk ;gk¡ ppkZ djuk egÙoiw.kZ gSA
vYidky esa ,d iQeZ lHkh vkxrksa esa ifjorZu ugha dj ldrk gSA dkjdksa esa ls ,dµ
dkjd 1 vFkok dkjd 2 esa ifjorZu ugha gks ldrk] vr,o os vYidky esa fLFkj jgrs gSaA
fuxZr Lrj esa ifjorZu ykus osQ fy, iQeZ osQoy nwljs dkjd esa gh ifjorZu yk ldrh gSA tks
dkjd fLFkj jgrk gS fLFkj vkxr dgykrk gS] tcfd nwljs dkjd ftlesa iQeZ ifjorZu yk
ldrk gS] ifjorhZ vkxr dgykrk gSA
rkfydk 3-1 esa n'kkZ, x, mnkgj.k ij xkSj dhft,A eku yhft, fd vYidky esa 5 bdkb;ksa
ij dkjd 2 fLFkj jgrk gSA rc rn~uq:i dkWye fuxZr osQ fofHkUu Lrj n'kkZrk gS] ftudk iQeZ
mRiknu vYidky esa dkjd 1 dh fofHkUu ek=kk,¡ mi;ksx esa ykdj dj ldrh gSaA
leku ek=kk
vè;k; 2 esa geus vufèkeku oØ osQ fo"k; esa tkukA ;gk¡ geus blh izdkj dh ,d
ladYiuk ftls leku ek=kk dgk tkrk gS] dk ifjp; djk;k gSA ;g osQoy mRiknu iQyu
dk izfrfufèkRo djus dk ,d oSdfYid mik; gSA nks vkxrksaµ dkjd 1 rFkk dkjd 2
okys ,d mRiknu iQyu ij fopkj dhft,A ,d leku ek=kk mu nks vkxrksa osQ laekd
la;ksxksa dk lsV gksrk gS] tksfd leku vfèkdre laHkkfor Lrj dk fuxZr izkIr djrk gSA
izR;sd leku ek=kk fuxZr osQ ,d fo'ks"k Lrj dk izfrfufèkRo djrh gS rFkk fuxZr dh ek=kk
dks Lrj iznku djrh gSA
vkjs[k esa gekjs ikl vkxr
lery esa rhu fuxZr Lrjksa osQ fy,
rhu leku ek=kk gSaµ q=q
1
,
q=q
2
, rFkk q=q
3
A nks vkxr
la;ksx (x'
1
,x''
2
) rFkk (x''
1
,x'
2
) gesa
fuxZr q
1
 dk leku Lrj nsrs gSaA
;fn ge dkjd 2 dks x'
2
 ij fLFkj
djsa rFkk dkjd 1 dks x'''
1
 rd
c<+k nsa] rks fuxZr esa o`f¼ gksrh gS
rFkk ge ,d vkSj Å¡ps leku ek=kk
q = q
2
 ij igq¡p tkrs gSaA tc
lhekar mRikn ,d vkxr dh vfèkd ek=kk ls ldkjkRed gksrs gSa] leku Lrj osQ fuxZr
dk mRiknu vU; vkxr dh de ek=kk mi;ksx esa ykdj gks ldrh gSA vr% leku ek=kk
udkjkRed izo.krk okys gksrs gSaA
dkjd 2
dkjd 1
qq =
1
qq =
2
qq =
3
x''
2
x'
2
x'
1 x''
1
x'''
1
O
44
ifjp;kRed
O;f"V vFkZ'kkL=k
nh?kZdky esa mRiknu osQ lHkh dkjdksa esa ifjorZu yk;k tk ldrk gSA ,d iQeZ fuxZr osQ
fofHkUu Lrjksa dk mRiknu djus osQ fy,] nh?kZdky esa nksuksa dkjdksa esa lkFk&lkFk ifjorZu yk
ldrh gSA vr% nh?kZdky esa dksbZ Hkh fLFkj vkxr ugha gSA
fdlh Hkh fo'ks"k mRiknu izØe esa nh?kZdky lkèkkj.kr% vYidky dh rqyuk esa ,d nh?kZ
le; varjky dks izdV djrk gSA fofHkUu mRiknu izØeksa osQ fy, nh?kZdky dkykofèk fHkUu
gks ldrh gSA vYidky rFkk nh?kZdky dks fnuksa] eghuksa vFkok o"kk±s osQ :i esa ifjHkkf"kr djuk
mfpr ugha gSA ge nh?kkZofèk rFkk vYikofèk dks lkekU;r% bl n`f"V dks è;ku esa j[kdj
ifjHkkf"kr djrs gSa fd lHkh vkxr ifjorhZ gSa vFkok ughaA
3-3 oqQy mRikn] vkSlr mRikn rFkk lhekar mRikn
3-3-1 oqQy mRikn
eku yhft,] ge ,d vkxr esa ifjorZu ykrs gSa rFkk vU; lHkh vkxrksa dks fLFkj j[krs gSaA rc
ml vkxr osQ fofHkUu Lrjksa ij mi;ksx ls ge fuxZr osQ fofHkUu Lrj] mRiknu iQyu }kjk izkIr
djrs gSaA ifjorhZ vkxr rFkk fuxZr osQ eè; lacaèk] vU; lHkh vkxrksa dks fLFkj j[krs gq,] vDlj
ifjorhZ vkxr osQ oqQy mRikn (TP ) osQ :i esa tkuk tkrk gSA
gekjs mRiknu iQyu esa] ;fn ge dkjd 2 dks fLFkj j[krs gSa ewY; 
2
x ij rFkk x
1
 osQ
gj ewY; osQ fy, dkjd 1 ifjofrZr gksrk gS] rks ge q dk ewY; izkIr djrs gSa] fo'ks"kr% 
x
2
osQ fy,A bls ge fuEu rjhosQ ls Hkh fy[k ldrs gSa%
q = f (x
1
; 
2
x ) (3-2)
;g dkjd 1 dk oqQy mRiknu iQyu gSA
iqu% rkfydk 3-1 dks ns[ksaA eku yhft,] dkjd 2] 4 bdkbZ ij fuf'pr gSA vc
rkfydk 3-1 dks ns[ksa tgk¡ dkjd 2] 4 ewY; ysrs gSA tc ge dkWye osQ uhps tkrs gSa]
rks ge dkjd 1 osQ fofHkUu ewY;ksa osQ fy, fuxZr ewY; izkIr djrs gSaA
;g dkjd 1 dk oqQy mRikn gS] ftldk eku gSµ x
2 
= 4A x
1 
= 0, oqQy mRikn = 0] x
1
 = 1
oqQy mRikn fuxZr dh 10 bdkbZ gS] x
1
 = 2] oqQy mRikn fuxZr dh 24 bdkbZ gS vkSj ekaxs Hkh blh izdkj
gSA bls dHkh&dHkh oqQy izfriQy vFkok ifjorhZ vkxrksa dks oqQy HkkSfrd mRikn Hkh dgk tkrk gSA
,d ckj tc geus oqQy mRikn dks ifjHkkf"kr dj fn;k] rks vkSlr mRikn rFkk lhekar
mRikn dh ladYiuk dks ifjHkkf"kr djuk mi;ksxh gksxkA mRiknu izfØ;k esa ifjorhZ vkxrksa osQ
;ksxnku dh O;k[;k djus osQ fy, ;s mi;ksxh gSaA
3-3-2 vkSlr mRikn
vkSlr mRikn fuxZr dh izfr bdkbZ ifjorhZ vkxr osQ :i esa ifjHkkf"kr fd;k tkrk gSA ge
bldh x.kuk bl izdkj djrs gSa%
vkSlr mRikn
1
oqQy mRikn
12
11
(: ) fxx
xx
==       (3-3)
rkfydk 3-2 gesa ,d dkjd 1 osQ vkSlr mRikn dk ,d la[;kRed mnkgj.k iznku djrh
gSA rkfydk 3-1 esa ge x
2
 = 4 osQ fy, dkjd 1 dk oqQy mRikn igys gh ns[k pqosQ gSaA
Page 5


iQeZ iz;kl
vè;k; 3
mRiknu rFkk ykxr
iwoZ vè;k; esa geus miHkksDrk osQ O;ogkj osQ lacaèk esa ppkZ dh gSA bl vè;k;
rFkk vxys vè;k; esa ge mRiknd osQ O;ogkj dh tk¡p djsaxsA ,d mRiknd
vFkok iQeZ fofHkUu vkxrksa tSls& Je] e'khu] Hkwfe] dPpk eky vkfn dks izkIr
djrk gSA bu vkxrksa osQ esy ls og fuxZr dk mRiknu djrk gSA bls mRiknu
dh izfØ;k dgrs gSaA vkxrksa dks izkIr djus osQ Øe esa og mlosQ fy, Hkqxrku
djrk gSA ;g mRiknu dh ykxr dgykrk gSA ,d ckj fuxZr dk mRiknu dj
ysus osQ ckn iQeZ mls ck”kkj esa cspdj laizkfIr izkIr djrh gSA tks laizkfIr og
fuoy ykxr osQ :i esa vftZr djrh gS] og iQeZ dk ykHk dgk tkrk gSA ;gk¡
ge ;g eku dj pyrs gSa fd ,d iQeZ dk mís'; vfèkdre ykHk izkIr djuk
gSA ,d iQeZ viuh ykxr lajpuk rFkk fuxZr osQ ck”kkj dher dks è;ku esa j[krs
gq, mldh ,slh ek=kk osQ mRiknu dk fu.kZ; djrh gS] ftlls fd bldk ykHk
vfèkdre gksA
bl vè;k; esa ge ,d iQeZ osQ mRiknu iQyu osQ fofHkUu igyqvksa dk
vè;;u djsaxsA ge ;gk¡ vkxrksa rFkk fuxZrksa osQ chp lacaèk] mRiknu izfØ;k esa
,d ifjorhZ vkxr dk ;ksxnku rFkk mRiknu iQyu osQ fofHkUu xq.kksa osQ lacaèk
esa ppkZ djsaxsA blosQ i'pkr~ ge iQeZ dh ykxr lajpuk dks ns[ksaxsA ge ykxr
iQyu rFkk blosQ fofHkUu igyqvksa ij ppkZ djsaxsA ge vYidkyhu rFkk
nh?kZdkyhu ykxr oØksa osQ xq.kksa osQ fo"k; esa tkusaxsA
3-1 mRiknu iQyu
,d iQeZ dk mRiknu iQyu mi;ksx esa yk, x, vkxrksa rFkk
iQeZ }kjk mRikfnr fuxZrksa osQ eè; dk lacaèk gSA mi;ksx essa
yk, x, vkxrksa dh fofHkUu ek=kkvksa osQ fy, ;g fuxZr dh
vfèkdre ek=kk iznku dj ldrk gS] ftldk mRiknu fd;k
tk ldrk gSA
,d fofuekZrk dks yhft,] tks twrksa dk mRiknu djrk gSA og
nks Jfedksa] Jfed 1 rFkk Jfed 2] nks e'khusa µ e'khu 1 rFkk
e'khu 2 rFkk 10 fdyksxzke dPps eky dk iz;ksx djrk gSA Jfed 1
e'khu 1 dks pykus esa fuiq.k gS rFkk Jfed 2 e'khu 2 dks pykus esa
fuiq.k gSA ;fn Jfed 1] e'khu 1 dk rFkk Jfed 2] e'khu 2 dk mi;ksx
djrk gS] rks 10 fdyksxzke dPps eky dk mi;ksx 10 tksM+h twrksa osQ mRiknu osQ fy,
dj ldrk gSA rFkkfi] ;fn Jfed 1 e'khu 2 rFkk Jfed 2 e'khu 1 mi;ksx esa
42
ifjp;kRed
O;f"V vFkZ'kkL=k
ykrk gS] ftlosQ iz;ksx esa os fuiq.k ugha gSa] rc mlh 10 fdyksxzke dPPks eky ls os osQoy 8 tksM+h
twrs gh cuk ik,¡xsA vr% vkxrksa osQ oqQ'ky mi;ksx ls twrksa dh 10 tksfM+;ksa dk mRiknu gks ldrk gS]
tcfd voqQ'ky mi;ksx osQ dkj.k osQoy 8 tksM+h twrksa dk gh mRiknu gks ikrk gSA mRiknu iQyu
vkxrksa osQ osQoy oqQ'ky mi;ksx ij gh fopkj djrk gSA bldk rkRi;Z ;g gS fd Jfed 1] Jfed 2]
e'khu 1] e'khu 2 rFkk 10 fdyksxzke dPpk eky lfEefyr :i ls 10 tksM+h twrksa dk mRiknu dj
ldrs gSa] tks fd bl vkxr la;ksx osQ fy, vfèkdre laHkkfor fuxZr gSA
,d mRiknu iQyu] ,d nh gqbZ izkS|ksfxdksa osQ fy, ifjHkkf"kr fd;k tkrk gSA ;g izkS|ksfxdh;
Kku gS tks fuxZr osQ vfèkdre Lrjksa dks fuèkkZfjr djrk gS] ftldk mRiknu vkxrksa osQ fofHkUu
la;ksxksa dks mi;ksx esa ykdj fd;k tk ldrk gSA ;fn izkS|ksfxdh esa lqèkkj gksrk gS] rks fofHkUu
vkxr la;ksxksa esa o`f¼ ls izkIr gksus okys fuxZr osQ vfèkdre Lrjksa dks izkIr dh tk ldrh gSA
rc gesa ,d uohu mRiknu iQyu izkIr gksrk gSA
mRiknu izfØ;k esa iQeZ ftu vkxrksa dk mi;ksx djrh gS] os mRiknu dk dkjd dgykrs
gSaA vius vius fuxZr osQ mRiknu osQ Øe esa ,d iQeZ fdrus gh fofHkUu vkxrksa dk iz;ksx dj
ldrh gSA bl le; ge ,d ,slh iQeZ ij fopkj djsaxs] tks osQoy mRiknu osQ 2 dkjdksaµ
dkjd 1 rFkk dkjd 2 dk iz;ksx dj fuxZr dk mRiknu djrh gSA vr% gekjk mRiknu iQyu
bl ckr dks bafxr djrk gS fd bu nks dkjdksa osQ fofHkUu la;ksx ls fuxZr dh fdruh vfèkdre
ek=kk dk mRiknu fd;k tk ldrk gSA
ge mRiknu iQyu dks bl izdkj fy[k ldrs gSa%
q = f (x
1
, x
2
) (3-1)
;g crkrk gS fd ge dkjd 1 dh x
1
 ek=kk rFkk dkjd 2 dh x
2
 ek=kk dk iz;ksx dj oLrq
dh vfèkdre ek=kk q dk mRiknu dj ldrs gSaA
rkfydk 3-1% mRiknu iQyu
dkjd x
2
01 2 3 4 5 6
00 0 0 00 00
1 013 7 10 12 13
2 0 3 10 1824 2933
x
1
3 0 7 18 3040 4650
4 0 10 24 40 50 56 57
5 0 12 29 46 56 58 59
6 0 13 33 50 57 59 60
rkfydk 3-1 esa mRiknu iQyu dk ,d la[;kRed mnkgj.k fn;k x;k gSA ck;¡k dkWye
dkjd 1 dh ek=kk n'kkZrk gS rFkk Åij dh iafDr dkjd 2 dh ek=kk n'kkZrh gSA tSls&tSls ge
fdlh Hkh iafDr esa nk;ha rjiQ tkrs gSa] dkjd 2 esa o`f¼ gksrh gS rFkk tSls&tSls ge fdlh Hkh
dkWye esa uhps dh rjiQ tkrs gSa rks dkjd 1 esa o`f¼ gksrh gSA nksuksa dkjdksa osQ fofHkUu ekuksa
osQ fy,] rkfydk rn~uq:i fuxZr Lrj n'kkZrh gSA mnkgj.k osQ rkSj ij] dkjd 1 dh 1 bdkbZ rFkk
dkjd 2 dh 1 bdkbZ osQ lkFk iQeZ vfèkd ls vfèkd fuxZr dh 1 bdkbZ] dkjd 1 dh 2 bdkbZ
rFkk dkjd 2 dh 2 bdkbZ osQ lkFk ;g fuxZr dh 10 bdkbZ dk] dkjd 1 dh 3 bdkbZ rFkk
dkjd 2 dh 2 bdkbZ osQ lkFk vfèkd ls vfèkd fuxZr dh 18 bdkbZ rFkk blh rjg ls vkxs
Hkh mRiknu fd;k tkrk gSA
43
mRiknu rFkk ykxr
gekjs mnkgj.k esa mRiknu osQ fy, nksuksa vkxr vko';d gSA ;fn dksbZ Hkh vkxr 'kwU; gks
tkrk gS] rks dksbZ Hkh mRiknu ugha gksxkA nksuksa ldkjkRed vkxrksa osQ lkFk] fuxZr ldkjkRed gksxkA
tSls&tSls ge fdlh vkxr dh ek=kk esa o`f¼ djrs tkrs gSa] fuxZr esa o`f¼ gksrh tkrh gSA
3-2 vYidky rFkk nh?kZdky
blls iwoZ fd ge dksbZ vU; fo'ys"k.k vkjaHk djsa] nks ladYiuk,¡% vYidky rFkk nh?kZdky
dk ;gk¡ ppkZ djuk egÙoiw.kZ gSA
vYidky esa ,d iQeZ lHkh vkxrksa esa ifjorZu ugha dj ldrk gSA dkjdksa esa ls ,dµ
dkjd 1 vFkok dkjd 2 esa ifjorZu ugha gks ldrk] vr,o os vYidky esa fLFkj jgrs gSaA
fuxZr Lrj esa ifjorZu ykus osQ fy, iQeZ osQoy nwljs dkjd esa gh ifjorZu yk ldrh gSA tks
dkjd fLFkj jgrk gS fLFkj vkxr dgykrk gS] tcfd nwljs dkjd ftlesa iQeZ ifjorZu yk
ldrk gS] ifjorhZ vkxr dgykrk gSA
rkfydk 3-1 esa n'kkZ, x, mnkgj.k ij xkSj dhft,A eku yhft, fd vYidky esa 5 bdkb;ksa
ij dkjd 2 fLFkj jgrk gSA rc rn~uq:i dkWye fuxZr osQ fofHkUu Lrj n'kkZrk gS] ftudk iQeZ
mRiknu vYidky esa dkjd 1 dh fofHkUu ek=kk,¡ mi;ksx esa ykdj dj ldrh gSaA
leku ek=kk
vè;k; 2 esa geus vufèkeku oØ osQ fo"k; esa tkukA ;gk¡ geus blh izdkj dh ,d
ladYiuk ftls leku ek=kk dgk tkrk gS] dk ifjp; djk;k gSA ;g osQoy mRiknu iQyu
dk izfrfufèkRo djus dk ,d oSdfYid mik; gSA nks vkxrksaµ dkjd 1 rFkk dkjd 2
okys ,d mRiknu iQyu ij fopkj dhft,A ,d leku ek=kk mu nks vkxrksa osQ laekd
la;ksxksa dk lsV gksrk gS] tksfd leku vfèkdre laHkkfor Lrj dk fuxZr izkIr djrk gSA
izR;sd leku ek=kk fuxZr osQ ,d fo'ks"k Lrj dk izfrfufèkRo djrh gS rFkk fuxZr dh ek=kk
dks Lrj iznku djrh gSA
vkjs[k esa gekjs ikl vkxr
lery esa rhu fuxZr Lrjksa osQ fy,
rhu leku ek=kk gSaµ q=q
1
,
q=q
2
, rFkk q=q
3
A nks vkxr
la;ksx (x'
1
,x''
2
) rFkk (x''
1
,x'
2
) gesa
fuxZr q
1
 dk leku Lrj nsrs gSaA
;fn ge dkjd 2 dks x'
2
 ij fLFkj
djsa rFkk dkjd 1 dks x'''
1
 rd
c<+k nsa] rks fuxZr esa o`f¼ gksrh gS
rFkk ge ,d vkSj Å¡ps leku ek=kk
q = q
2
 ij igq¡p tkrs gSaA tc
lhekar mRikn ,d vkxr dh vfèkd ek=kk ls ldkjkRed gksrs gSa] leku Lrj osQ fuxZr
dk mRiknu vU; vkxr dh de ek=kk mi;ksx esa ykdj gks ldrh gSA vr% leku ek=kk
udkjkRed izo.krk okys gksrs gSaA
dkjd 2
dkjd 1
qq =
1
qq =
2
qq =
3
x''
2
x'
2
x'
1 x''
1
x'''
1
O
44
ifjp;kRed
O;f"V vFkZ'kkL=k
nh?kZdky esa mRiknu osQ lHkh dkjdksa esa ifjorZu yk;k tk ldrk gSA ,d iQeZ fuxZr osQ
fofHkUu Lrjksa dk mRiknu djus osQ fy,] nh?kZdky esa nksuksa dkjdksa esa lkFk&lkFk ifjorZu yk
ldrh gSA vr% nh?kZdky esa dksbZ Hkh fLFkj vkxr ugha gSA
fdlh Hkh fo'ks"k mRiknu izØe esa nh?kZdky lkèkkj.kr% vYidky dh rqyuk esa ,d nh?kZ
le; varjky dks izdV djrk gSA fofHkUu mRiknu izØeksa osQ fy, nh?kZdky dkykofèk fHkUu
gks ldrh gSA vYidky rFkk nh?kZdky dks fnuksa] eghuksa vFkok o"kk±s osQ :i esa ifjHkkf"kr djuk
mfpr ugha gSA ge nh?kkZofèk rFkk vYikofèk dks lkekU;r% bl n`f"V dks è;ku esa j[kdj
ifjHkkf"kr djrs gSa fd lHkh vkxr ifjorhZ gSa vFkok ughaA
3-3 oqQy mRikn] vkSlr mRikn rFkk lhekar mRikn
3-3-1 oqQy mRikn
eku yhft,] ge ,d vkxr esa ifjorZu ykrs gSa rFkk vU; lHkh vkxrksa dks fLFkj j[krs gSaA rc
ml vkxr osQ fofHkUu Lrjksa ij mi;ksx ls ge fuxZr osQ fofHkUu Lrj] mRiknu iQyu }kjk izkIr
djrs gSaA ifjorhZ vkxr rFkk fuxZr osQ eè; lacaèk] vU; lHkh vkxrksa dks fLFkj j[krs gq,] vDlj
ifjorhZ vkxr osQ oqQy mRikn (TP ) osQ :i esa tkuk tkrk gSA
gekjs mRiknu iQyu esa] ;fn ge dkjd 2 dks fLFkj j[krs gSa ewY; 
2
x ij rFkk x
1
 osQ
gj ewY; osQ fy, dkjd 1 ifjofrZr gksrk gS] rks ge q dk ewY; izkIr djrs gSa] fo'ks"kr% 
x
2
osQ fy,A bls ge fuEu rjhosQ ls Hkh fy[k ldrs gSa%
q = f (x
1
; 
2
x ) (3-2)
;g dkjd 1 dk oqQy mRiknu iQyu gSA
iqu% rkfydk 3-1 dks ns[ksaA eku yhft,] dkjd 2] 4 bdkbZ ij fuf'pr gSA vc
rkfydk 3-1 dks ns[ksa tgk¡ dkjd 2] 4 ewY; ysrs gSA tc ge dkWye osQ uhps tkrs gSa]
rks ge dkjd 1 osQ fofHkUu ewY;ksa osQ fy, fuxZr ewY; izkIr djrs gSaA
;g dkjd 1 dk oqQy mRikn gS] ftldk eku gSµ x
2 
= 4A x
1 
= 0, oqQy mRikn = 0] x
1
 = 1
oqQy mRikn fuxZr dh 10 bdkbZ gS] x
1
 = 2] oqQy mRikn fuxZr dh 24 bdkbZ gS vkSj ekaxs Hkh blh izdkj
gSA bls dHkh&dHkh oqQy izfriQy vFkok ifjorhZ vkxrksa dks oqQy HkkSfrd mRikn Hkh dgk tkrk gSA
,d ckj tc geus oqQy mRikn dks ifjHkkf"kr dj fn;k] rks vkSlr mRikn rFkk lhekar
mRikn dh ladYiuk dks ifjHkkf"kr djuk mi;ksxh gksxkA mRiknu izfØ;k esa ifjorhZ vkxrksa osQ
;ksxnku dh O;k[;k djus osQ fy, ;s mi;ksxh gSaA
3-3-2 vkSlr mRikn
vkSlr mRikn fuxZr dh izfr bdkbZ ifjorhZ vkxr osQ :i esa ifjHkkf"kr fd;k tkrk gSA ge
bldh x.kuk bl izdkj djrs gSa%
vkSlr mRikn
1
oqQy mRikn
12
11
(: ) fxx
xx
==       (3-3)
rkfydk 3-2 gesa ,d dkjd 1 osQ vkSlr mRikn dk ,d la[;kRed mnkgj.k iznku djrh
gSA rkfydk 3-1 esa ge x
2
 = 4 osQ fy, dkjd 1 dk oqQy mRikn igys gh ns[k pqosQ gSaA
45
mRiknu rFkk ykxr
rkfydk 3-2 esa ge oqQy mRikn vuqlwph dk izfrÑfr djrs gSa rFkk vkSlr mRikn ls lacafèkr
ewY; rFkk lhekar mRikn dks n'kkZus osQ fy, rkfydk dks c<+krs gSaA izFke dkWye dkjd 1 dh
ek=kk n'kkZrk gS rFkk prqFkZ dkWye esa ge lacafèkr vkSlr mRikn ewY; izkIr djrs gSaA ;g n'kkZrk
gS fd dkjd 1 dh 1 bdkbZ ij vkSlr mRikn
1
 fuxZr  dh 10bdkbZ gS] dkjd 1 dh 2 bdkbZ
ij vkSlr mRikn
1
 fuxZr dh 12 bdkb;k¡ gSa rFkk blh izdkj vkxs HkhA
3-3-3 lhekar mRikn
,d vkxr dk lhekar mRikn] izfr bdkbZ vkxr esa ifjorZu osQ dkj.k tks fuxZr esa ifjorZu
gksrk gS] tc lHkh vU; vkxr fLFkj j[ks x;s gksa] dgk tkrk gSA
tc dkjd 2 dks fLFkj j[kk tkrk gS] rks dkjd 1 dk lhekar mRikn gksrk gSµ
lhekar mRikn
fuxZr eas ifjorZu
vkxr esa ifjorZu
1
q
x
?
=
?
= (3-4)
tgk¡ ? ifjorZ esa ifjorZu dk lwpd gSA ;fn vkxr esa ifjorZu fofHkUu bdkb;ksa ls
vkrk gS] rc lhekar mRikn fuEufyf[kr :i esa ifjHkkf"kr gks ldrk gSA eku yhft,] dkjd 2
2
x ij fLFkj gSA dkjd 2 dh 
2
x ek=kk osQ lkFk] eku yhft,] oqQy mRikn oØ osQ vuqlkj
dkjd 1 dh x
1
 bdkb;k¡ fuxZr dh 20 bdkb;ksa dk mRiknu djrh gSa] rFkk x
1
-1 bdkb;k¡
dkjd 1 fuxZr dh 15 bdkb;ksa dk mRiknu djrh gSaA ge dgrs gSa fd lhekar mRiknu
dkjd 1 dh x
1
oha bdkbZ dk gS%
lhekar mRikn
1
 = f (x
1
; 
2
x ) – f (x
1
 – 1; 
2
x ) (3-5)
    = (oqQy mRikn x
1
 bdkb;ksa ij) – (oqQy mRikn x–1 bdkbZ ij)
 = (20&15) fuxZr dh bdkb;k¡
 = 5 bdkb;k¡ fuxZr dh
D;ksafd vkxr udkjkRed ewY; ugha ys ldrs] lhekar mRikn vkxr iz;ksx osQ 'kwU; Lrj ij
vifjHkkf"kr jgrk gSA lhekar mRikn oqQy mRikn osQ tksM+ gksrs gSaA ,d vkxr osQ iz;ksx osQ fdlh
Hkh Lrj osQ fy,] ml Lrj rd ml vkxr dh izR;sd bdkbZ osQ lhekar mRiknksa dk oqQy tksM+]
ml iz;ksx osQ Lrj ij ml vkxr osQ fy, oqQy mRikn iznku djrk gSA vr% oqQy mRikn lhekar
mRiknksa dk tksM+ gSA
iz;ksx osQ fdlh Hkh Lrj ij ,d vkxr dk vkSlr mRikn ml Lrj rd lHkh lhekar mRiknksa
dk vkSlr gksrk gSA vkSlr rFkk lhekar mRikn vDlj vkSlr rFkk lhekar izfriQy osQ :i esa
Øe'k% ifjorhZ vkxrksa osQ fy, tkus tkrs gSaA
rkfydk 3-1 }kjk n'kkZ, x, mnkgj.k esa] ;fn ge dkjd 2 dks fLFkj j[ksa] rks 4 bdkb;ksa
ij ge oqQy mRikn vuqlwph izkIr djrs gSaA rc ge oqQy mRikn ls dkjd 1 dk lhekar
mRikn vkSj vkSlr mRikn dh O;qRifÙk djrs gSaA rkfydk 3-2 dk r`rh; dkWye n'kkZrk gS fd
dkjd 1 dh 'kwU; bdkbZ ij lhekar mRikn
1
 vifjHkkf"kr gSA x
1
=1 ij fuxZr gS lhekar
mRikn
1
 dh 10 bdkb;k¡] x
2
=2 ij fuxZr gSa lhekar mRikn
1
 dh 14 bdkb;k¡ rFkk blh rjg
;g Øe pyrk jgrk gSA