दो चर के रेखीय समीकरणों का ग्राफ | Quantitative Aptitude/संख्यात्मक योग्यता - Bank Exams PDF Download

Clear all your Bank Exams doubts with EduRev Join for Free

Join for Free

रेखीय समीकरणसीधी रेखा को परिभाषित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं, रेखीय होते हैं, इन्हें इस प्रकार दर्शाया जाता है, x k = 0; इन समीकरणों का एक अद्वितीय समाधान होता है और इन्हें संख्या रेखाओं पर बहुत आसानी से दर्शाया जा सकता है। आइए हम दो चर के रेखीय समीकरणों को देखते हैं, कि इन्हें कैसे प्रदर्शित किया जाता है, इनके ग्राफ और इनके समाधानों को। दो चर का रेखीय समीकरण इस प्रकार दर्शाया जाता है, ax by = c, जहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं।

उदाहरण के लिए: 3x 5y = 6 दो चर के रेखीय समीकरण का एक उदाहरण है।

रेखीय समीकरण का समाधान रेखीय समीकरणों के समाधान वे बिंदु (x, y) होते हैं जो दिए गए समीकरण को संतुष्ट करते हैं। आइए इसे एक उदाहरण के साथ देखें: x y = 4। हम इस समीकरण के समाधानों का अध्ययन करेंगे। x = 2 और y = 2 इस समीकरण का एक समाधान है, इसी प्रकार x = 0 और y = 4 और (4, 0) भी समाधान हैं। हमें तीन बिंदु मिले हैं जो इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं। लेकिन तीन से अधिक बिंदु भी हो सकते हैं। x के हर मान के लिए या y के मान के लिए, हम दूसरे चर का मान प्राप्त कर सकते हैं। यह दर्शाता है कि इस समीकरण के लिए अनंत संभावित समाधान हैं। इसलिए, दो चर का रेखीय समीकरण अनंत समाधान रखता है। यदि हम इन समाधानों का ग्राफ पर चित्रण करें, तो ये कैसे दिखते हैं? आइए रेखीय समीकरणों के ग्राफ को देखते हैं। परिचय में प्रस्तुत समीकरण, अर्थात्, एक चर के रेखीय समीकरण को भी इस रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है।

आइए इसे एक उदाहरण के माध्यम से देखें।

प्रश्न 1: निम्नलिखित एक चर के रेखीय समीकरण को मानक दो चर के रेखीय समीकरण के रूप में प्रदर्शित करें। x 6 = 0 उत्तर: हमें इसे मानक दो चर के रेखीय समीकरण के रूप में लाना है, ax by c = 0। x 6 = 0 को फिर से लिखा जा सकता है, 1.x 0.y 6 = 0। अब हमें देखना है कि इन समीकरणों को वास्तविक जीवन में कैसे तैयार किया जाए।

प्रश्न 2: एरिक और काइल एक हैलोवीन कैंडी की दुकान में "ट्रिक या ट्रीट" के लिए कुछ कैंडी खरीदने जाते हैं। एरिक 6 कोला कैंडी खरीदता है और काइल 10 खट्टा-मीठा टॉफी खरीदता है। दुकानदार सभी कैंडी के लिए 150 रुपये मांगता है। इस स्थिति के लिए एक समीकरण तैयार करें ताकि कोला और खट्टा-मीठा कैंडी की कीमत का पता लगाया जा सके। उत्तर: मान लीजिए कोला कैंडी की लागत “x” है और “खट्टा-मीठा” कैंडी की लागत “y” है। ध्यान दें कि समस्या में दो चर हैं, इसलिए हमें इस समीकरण का प्रतिनिधित्व करने के लिए दो चर के रेखीय समीकरण को तैयार करना होगा। 6 कोला कैंडी की लागत = 6x, 10 खट्टा-मीठा कैंडी की लागत = 10y कुल लागत = 6 कोला कैंडी की लागत + 10 खट्टा-मीठा कैंडी की लागत। 150 = 6x + 10y। इस प्रकार, यह हमारा आवश्यक समीकरण है।

रेखीय समीकरणों के ग्राफ

रेखीय समीकरणों के ग्राफ ऐसे सीधे रेखाएँ प्राप्त करने के लिए बनाए जाते हैं। इन्हें दोनों ध्रुवों के समन्वय की मदद से खींचा जाता है। ग्राफ पर ऐसे युग्म प्राप्त करना और इससे एक पैटर्न बनाने की कोशिश करना हमें सीधे रेखाएँ देता है। दिए गए रेखीय समीकरण में, विभिन्न मानों को x में डालकर y के विभिन्न मान प्राप्त करें, जैसे कि प्राप्त युग्म (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)… और इसी तरह। अब इन बिंदुओं को ग्राफ पर अंकित करें ताकि सीधे रेखा प्राप्त हो सके।

बिंदुओं को अंकित करना

• चरण 1: x के विभिन्न मान चुनें
• चरण 2: दिए गए समीकरण में उन मानों को प्रतिस्थापित करें ताकि y के मान प्राप्त कर सकें
• चरण 3: प्राप्त युग्मों को ग्राफ पर अंकित करें
• चरण 4: इस प्रकार के युग्म (कम से कम दो या दो से अधिक) प्राप्त करना हमें यह पहचानने में मदद करेगा कि सीधे रेखा कैसे जाती है।

X और Y इंटरसेप्ट्स खोजने के चरण

• चरण 1: y-intercept खोजने के लिए, x = 0 रखें और y का मान प्राप्त करें
• चरण 2: x-intercept खोजने के लिए, y = 0 रखें और x का मान प्राप्त करें
• चरण 3: दोनों बिंदुओं को ग्राफ पर अंकित करें और उन्हें सीधे रेखा से जोड़ें।

नमूना समस्याएँ

प्रश्न 1: समीकरण x y = 4 का ग्राफ बनाएँ

हल: चलिए इस समीकरण के समाधानों को सूचीबद्ध करते हैं।

• x: 0, 1, 2, 3, 4, 5 …
• y: 4, 3, 2, 1, 0, -1 …

यदि हम इन समाधानों को सूचीबद्ध करते रहें, तो हम देखेंगे कि ये एक सीधे रेखा का निर्माण करते हैं। चलिए इस रेखा को ग्राफ पर अंकित करते हैं।

प्रश्न 2: समीकरण 2x – 4y = 12 का ग्राफ बनाएँ

हल: चलिए इस समीकरण के समाधानों को सूचीबद्ध करते हैं।

• x: 0, 1, 2, 3, 4
• y: -3, -2.5, -2, -1.5, -1

हम इन दो बिंदुओं में से किसी एक को जोड़कर रेखा प्राप्त कर सकते हैं।

आइए कुछ उदाहरण देखते हैं रेखीय समीकरणों के जो x-अक्ष और y-अक्ष के समानांतर हैं।

प्रश्न 3: निम्नलिखित समीकरण का ग्राफ बनाएं। y = 6

हल: इस समीकरण को दो चर वाले रेखीय समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है। 0.x + 1.y = 6 हम देख सकते हैं कि "x" का कौन सा मान डालने से कोई फर्क नहीं पड़ता, यह समीकरण को प्रभावित नहीं करेगा। इसलिए, समीकरण को संतुष्ट करने के लिए "y" का मान 6 होना चाहिए। इस प्रकार, हमारा समाधान y = 6 होना चाहिए और "x" का कोई भी अन्य मान काम करेगा। इसलिए, ग्राफ ऐसा दिखेगा,

ध्यान दें कि यह ग्राफ x-अक्ष के समानांतर है।

प्रश्न 4: निम्नलिखित समीकरण का ग्राफ बनाएं। x = 7

हल: ऊपर के प्रश्न के समान, इस समीकरण को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है। 1.x + 0.y = 7 यहां, "y" का मान कोई फर्क नहीं डालता और "x" का मान 7 होना चाहिए। इसलिए, इसे ग्राफ पर चित्रित करते हैं।

इस प्रकार, यह x = 7 के लिए ग्राफ है।

नोट: सामान्यतः किसी भी समीकरण के लिए x = k, ग्राफ हमेशा y-अक्ष के समानांतर होगा। इसी प्रकार, y = k के लिए समीकरण, ग्राफ हमेशा x-अक्ष के समानांतर होगा।