समतल में गति का परिचय | विज्ञान और प्रौद्योगिकी (Science & Technology) for UPSC CSE PDF Download

परिचय

गति के एक रोचक संसार में आपका स्वागत है!

• गति का वर्णन करने के लिए, जो एक से अधिक आयामों में है, हमें साधारण संकेतों (स्केलर्स) से अधिक शक्तिशाली चीज़ों की आवश्यकता है।
• यहां वेक्टर का उपयोग होता है—ऐसे तीर जो भौतिक मात्राओं जैसे गति और त्वरण की मात्रा और दिशा दोनों का प्रतिनिधित्व करते हैं।
• लेकिन गहरे में जाने से पहले, हमें कुछ महत्वपूर्ण प्रश्नों के उत्तर देने की आवश्यकता है: (i) वेक्टर क्या है? (ii) हम वेक्टर को कैसे जोड़ते, घटाते या गुणा करते हैं? (iii) जब हम एक वेक्टर को एक वास्तविक संख्या से गुणा करते हैं, तो क्या होता है?
• एक बार जब हम वेक्टर की भाषा में महारत हासिल कर लेंगे, तो हम एक Plane में गति का वर्णन करने में सक्षम होंगे।

• हम कुछ रुचिकर परिदृश्यों का अन्वेषण करेंगे: (i) स्थिर त्वरण के साथ गति (जैसे, प्रक्षिप्त गति) (ii) समान वृत्ताकार गति (जैसे, फेरी के पहिये का चक्कर लगाना)

स्केलर और वेक्टर

वेक्टर के प्रकार

वेक्टर के प्रकार

वेक्टर के जोड़ने के तरीके

• वेक्टर जोड़ने के लिए तीन मुख्य सिद्धांतों का उपयोग किया जा सकता है:
• 1. त्रिकोणीय वेक्टर जोड़ने का नियम
• 2. समांतर चतुर्भुज वेक्टर जोड़ने का नियम
• 3. बहुभुज वेक्टर जोड़ने का नियम

लामी का प्रमेय

यह कहता है कि यदि एक बिंदु पर तीन बल संतुलन में हैं, तो प्रत्येक बल का परिमाण अन्य दो बलों के बीच के कोण के साइन के अनुपात में होता है। गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

इसका अर्थ है कि प्रत्येक बल का दूसरे दो बलों के बीच के कोण के साइन के अनुपात में स्थिर रहता है।

सापेक्ष वेग

दो-आयामी गति में, जब दो वस्तुएँ A और B एक सामान्य संदर्भ ढांचे के सापेक्ष VA और VB की वेग के साथ चल रही होती हैं, तो हम उनके सापेक्ष वेग को निम्नलिखित रूप में परिभाषित कर सकते हैं:

• A का B के सापेक्ष सापेक्ष वेग:
• यह संकेत करता है कि वस्तु A वस्तु B के सापेक्ष चल रही है।
• B का A के सापेक्ष सापेक्ष वेग: इसे देखा जा सकता है कि इन सापेक्ष वेगों का परिमाण समान है, अर्थात:

इस प्रकार, दो वस्तुओं के बीच सापेक्ष वेग का परिमाण समान होता है लेकिन दिशाएँ विपरीत होती हैं।

समतल में गति या दो आयाम में गति

जिसमें किसी वस्तु की गति एक समतल में सीमित होती है, उसे समतलीय गति कहा जाता है।

यदि किसी वस्तु की स्थिति को परिभाषित करने के लिए आवश्यक तीन में से दो समन्वय समय के साथ बदलते हैं, तो उस वस्तु की गति को दो-आयामी के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। इस प्रकार की गति में, वस्तु एक समतल में चलती है। उदाहरणों में बॉलिंग की गेंद का टेबल पर लुढ़कना, फर्श पर crawling करने वाला कीट, और पृथ्वी का सूर्य के चारों ओर घूमना शामिल हैं।

• दो-आयामी गति के दो विशेष प्रकार हैं:
• 1. प्रक्षिप्ति गति
• 2. वृत्तीय गति

1. प्रक्षिप्ति गति

प्रक्षिप्ति उस वस्तु को कहा जाता है जिसे किसी प्रारंभिक वेग के साथ किसी दिशा में लॉन्च किया जाता है और फिर केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में गति करता है।

उदाहरण: एक खिलाड़ी द्वारा किक की गई फुटबॉल, एक इमारत से फेंका गया पत्थर, और एक विमान से गिराया गया बम।

प्रक्षिप्ति द्वारा लिया गया मार्ग उसके प्रक्षिप्त पथ के रूप में जाना जाता है।

प्रक्षिप्ति दो प्रकार की गति अनुभव करता है: (i) एक स्थिर क्षैतिज वेग जो अपरिवर्तित रहता है (यदि वायु प्रतिरोध नहीं हो) और (ii) एक ऊर्ध्वाधर वेग जो गुरुत्वाकर्षण के कारण समान रूप से बदलता है।

क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर गति एक-दूसरे से स्वतंत्र होती हैं।

प्रक्षिप्ति गति के अनुमान:

• (i) वायु के कारण कोई प्रतिरोध नहीं है।
• (ii) पृथ्वी की वक्रता का प्रभाव नगण्य है।
• (iii) पृथ्वी की घूर्णन के कारण प्रभाव नगण्य है।
• (iv) प्रक्षिप्ति के सभी बिंदुओं के लिए, गुरुत्वाकर्षण 'g' का त्वरण परिमाण और दिशा में स्थिर है।

2. वृत्तीय गति

वृत्तीय गति वह गति है जो दो आयामों में होती है। किसी वस्तु को वृत्ताकार पथ में चलने के लिए, इसे एक तंग वेग दिया जाना चाहिए, और इसके ऊपर एक बल कार्य करना चाहिए। यह बल हमेशा किसी दिए गए क्षण में वस्तु की वेग के लंबवत दिशा में होता है।

चूंकि बल वस्तु के विस्थापन के प्रति लंबवत कार्य करता है, इसलिए बल द्वारा कोई कार्य नहीं किया जाता है, जिसका अर्थ है कि वस्तु की गतिज ऊर्जा और वेग अपरिवर्तित रहते हैं। हालाँकि, केंद्रीय बल और वस्तु के वेग का संयुक्त प्रभाव इसे वृत्ताकार पथ का पालन करने के लिए मजबूर करता है।

वृत्तीय गति को दो श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है:

• (i) समान वृत्तीय गति (जहाँ गति स्थिर रहती है)
• (ii) असमान वृत्तीय गति (जहाँ गति समय के साथ बदलती है)

आपके लिए हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1: यह बताएं और कारण बताएं कि क्या निम्नलिखित बीजगणितीय संचालन स्केलर और वेक्टर भौतिक मात्राओं के साथ अर्थपूर्ण हैं:

• किसी भी दो स्केलर को जोड़ना,
• एक स्केलर को समान आयाम के वेक्टर में जोड़ना,
• किसी वेक्टर को किसी स्केलर से गुणा करना,
• किसी भी दो स्केलर को गुणा करना,
• किसी भी दो वेक्टर को जोड़ना,
• एक वेक्टर के घटक को उसी वेक्टर में जोड़ना।

उत्तर:

प्रश्न 2: नीचे दिए गए प्रत्येक कथन को ध्यान से पढ़ें और बताएं कि क्या यह सत्य है या असत्य है:

• (a) एक वेक्टर का परिमाण हमेशा एक स्केलर होता है,
• (b) एक वेक्टर का प्रत्येक घटक हमेशा एक स्केलर होता है।

उत्तर:

(a) सत्य। एक वेक्टर का परिमाण एक संख्या है। इसलिए, यह एक स्केलर है। (b) असत्य। एक वेक्टर का प्रत्येक घटक भी एक वेक्टर है।

प्रश्न 3: प्रक्षिप्ति क्या है? साबित करें कि प्रक्षिप्ति का मार्ग पराबोलिक है।

उत्तर:

प्रक्षिप्ति किसी भी वस्तु को कहा जाता है जो केवल गुरुत्वाकर्षण बल से प्रभावित होती है।

हमें पता है कि प्रक्षिप्ति का समीकरण है, y = x tan θ – (gx²)/(2u²cos²θ )

समीकरण की तुलना मानक रूप y = ax + bx² से करने पर, हमें मिलता है:

a = tanθ, b = – g/2u²cos²θ

उपरोक्त प्रक्षिप्ति का समीकरण पराबोला के समीकरण के समान है। इसलिए, प्रक्षिप्ति का मार्ग पराबोलिक है।

एक वस्तु का गति को दो-आयामी तब वर्गीकृत किया जाता है जब इसके स्थान को परिभाषित करने के लिए आवश्यक तीन संन्यासों में से दो समय के साथ बदलते हैं। इस प्रकार की गति में, वस्तु एक विमान के भीतर चलती है। उदाहरण में शामिल हैं:

• बिलियर्ड गेंद जो तालिका पर घूमती है,
• एक कीड़ा जो फर्श पर रेंगता है, और
• पृथ्वी जो सूरज के चारों ओर परिक्रमा करती है।

उदाहरण: एक खिलाड़ी द्वारा किक की गई फुटबॉल, एक भवन से फेंका गया पत्थर, और एक विमान से गिराया गया बम।

परियोजना द्वारा लिए गए पथ को इसकी पथरेखा कहा जाता है। परियोजना दो प्रकार की गति का अनुभव करती है:

• (i) एक स्थिर क्षैतिज वेग जो अपरिवर्तित रहता है (मान लेते हैं कि कोई वायुगतिकीय प्रतिरोध नहीं है) और
• (ii) एक ऊर्ध्वाधर वेग जो गुरुत्वाकर्षण के कारण समान रूप से बदलता है।

क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर गति एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से होती हैं। परियोजना गति के अनुमानों में शामिल हैं:

• (i) वायु के कारण कोई प्रतिरोध नहीं है।
• (ii) पृथ्वी की वक्रता का प्रभाव नगण्य है।
• (iii) पृथ्वी की घूर्णन के कारण प्रभाव नगण्य है।
• (iv) पथरेखा के सभी बिंदुओं के लिए, गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरितता 'g' का परिमाण और दिशा स्थिर है।

वृत्ताकार गति एक प्रकार की गति है जो दो आयामों में होती है। किसी वस्तु को वृत्ताकार पथ में चलने के लिए, इसे टैन्जेंटियल वेग दिया जाना चाहिए, और एक बल उस पर कार्य करना चाहिए। यह बल हमेशा किसी भी दिए गए क्षण में वस्तु की गति के प्रति समकोण पर निर्देशित होता है। चूंकि बल वस्तु के विस्थापन के प्रति लंबवत कार्य करता है, इसलिए बल द्वारा कोई कार्य नहीं किया जाता, जिसका अर्थ है कि वस्तु की गतिज ऊर्जा और गति अपरिवर्तित रहती है। हालांकि, केंद्रापृष्ठ बल और वस्तु की गति का संयुक्त प्रभाव इसे वृत्ताकार पथ का अनुसरण करने के लिए मजबूर करता है।

प्रश्न 2: नीचे दिए गए प्रत्येक कथन को ध्यान से पढ़ें और बताएं कि यह सत्य है या असत्य, साथ ही कारण भी बताएं: (क) एक वेक्टर का परिमाण हमेशा एक स्केलर होता है, (ख) एक वेक्टर के प्रत्येक घटक हमेशा एक स्केलर होते हैं। उत्तर: (क) सत्य। एक वेक्टर का परिमाण एक संख्या है। इसलिए, यह एक स्केलर है। (ख) असत्य। एक वेक्टर का प्रत्येक घटक भी एक वेक्टर होता है।

उत्तर: एक प्रक्षिप्त (Projectile) कोई भी वस्तु है जिसे अंतरिक्ष में फेंका जाता है और जो केवल गुरुत्वाकर्षण (gravity) के बल से प्रभावित होती है। इसे प्रक्षिप्त कहा जाता है।

y = x tan θ – (gx²)/(2u²cos²θ)

इस समीकरण की तुलना मानक रूप y = ax + bx² से करने पर, हम पाते हैं कि

उपरोक्त प्रक्षिप्ति की समीकरण एक पराबोला (parabola) की समीकरण के समान है।