परिचय: संख्या प्रणाली | CSAT की तैयारी (हिंदी) - UPSC PDF Download

संख्याएँ हमारे जीवन का एक अभिन्न हिस्सा हैं। इस अध्याय में, हम संख्याओं के विभिन्न प्रकारों और उनके अंतर्गत आने वाली श्रेणियों के बारे में जानेंगे। यहाँ चर्चा किए गए सिद्धांत आपके लिए MBA प्रवेश परीक्षाओं को पास करने के लिए गणित की आवश्यकताओं को समझने की दिशा में पहला कदम होंगे। जब हम इस अध्याय के साथ आगे बढ़ेंगे, तो आपको यह महसूस होगा कि आपने पहले से ही कई सिद्धांत स्कूल में सीखे हैं। इससे आपकी आत्मविश्वास और बढ़ेगा।

संख्या क्या है?

संख्या एक गणितीय अवधारणा है जिसका उपयोग गिनने, मापने या चीजों को लेबल करने के लिए किया जाता है। संख्याएँ अंकगणितीय गणनाओं में एक प्रमुख भूमिका निभाती हैं।

• संख्याएँ विभिन्न प्रकारों में आती हैं, जैसे प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्ण संख्याएँ, रेशीय (रैशनल) और अवेशीय (इरेशनल) संख्याएँ। यहाँ तक कि 0 भी एक संख्या है, जो शून्य मान का प्रतिनिधित्व करती है।
• संख्याओं को 2 द्वारा विभाज्यता के आधार पर सम (even) या विषम (odd) के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है, और उनके गुणांक (फैक्टर्स) की संख्या के आधार पर मुख्य (prime) या यौगिक (composite) के रूप में। सम और विषम 2 द्वारा विभाज्यता को संदर्भित करते हैं, जबकि मुख्य संख्याएँ केवल दो गुणांक रखती हैं, और यौगिक संख्याएँ दो से अधिक गुणांक रखती हैं।
• संख्या प्रणालियों में, ये संख्याएँ अंकों के रूप में कार्य करती हैं। बाइनरी प्रणाली 0 और 1 को सामान्य अंक के रूप में उपयोग करती है, जबकि अन्य प्रणालियाँ 0 से 9 तक के अंकों का उपयोग करती हैं। विभिन्न प्रकार की संख्याओं और उनके प्रणालियों को समझना गणित में आवश्यक है।

संख्याओं का वर्गीकरण

1. वास्तविक संख्याएँ और काल्पनिक संख्याएँ

वास्तविक संख्याएँ रेशीय और अवेशीय संख्याओं के सेट को शामिल करती हैं।

• रेशीय संख्याएँ अंशों के रूप में व्यक्त की जा सकती हैं, जैसे -3/4 या 5/2, जबकि अवेशीय संख्याएँ, जैसे π (पाई) या √2 (2 का वर्गमूल), अंशों के रूप में व्यक्त नहीं की जा सकती हैं और इनकी दशमलव प्रवृत्तियाँ अव्यवस्थित, अनंत होती हैं।
• वास्तविक संख्याएँ सकारात्मक या नकारात्मक, पूर्ण या भिन्न हो सकती हैं, और इन्हें संख्या रेखा पर स्थित किया जा सकता है। दूसरी ओर, काल्पनिक संख्याएँ काल्पनिक इकाई "i" से संबंधित होती हैं, जहाँ i² = -1।
• जटिल संख्याएँ वास्तविक और काल्पनिक घटकों को मिलाकर बनती हैं, जिन्हें a + bi के रूप में लिखा जाता है, जहाँ 'a' और 'b' वास्तविक संख्याएँ होती हैं। काल्पनिक संख्याओं के उदाहरणों में 2i, -3i, और (1 + 4i) शामिल हैं। वास्तविक और काल्पनिक संख्याओं के बीच का अंतर्संबंध गणित में जटिल विश्लेषण के लिए आधार बनाता है।

2. रेशीय और अवेशीय संख्याएँ

परिमेय संख्याएँ

• परिमेय संख्या
एक प्रकार की वास्तविक संख्या है, जो रूप में होती है p/q जहाँ q शून्य के बराबर नहीं होता। किसी भी भिन्न के लिए, जिसका हर (denominator) शून्य नहीं है, उसे परिमेय संख्या कहा जाता है।
• परिमेय संख्याओं के कुछ उदाहरण हैं 1/2, 1/5, 3/4, आदि।

एक संख्या जिसे किसी अन्य संख्या के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, उसे अपरिमेय संख्याएँ कहा जाता है और इसे प्रतीक “P” द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण: π (पाई), √2। सभी प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग और घन मूल जो पूर्ण वर्ग या पूर्ण घन नहीं हैं, वे अपरिमेय होते हैं। सभी गणनाएँ जैसे जोड़, घटाव, गुणा, और विभाजन जो परिमेय संख्याओं पर लागू होती हैं, वे अपरिमेय संख्याओं पर भी लागू होती हैं। जब एक अभिव्यक्ति में एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या दोनों शामिल होती हैं, तो उन्हें समाधान के दौरान एक साथ रहना चाहिए। दूसरे शब्दों में, एक बार जब अपरिमेय संख्या प्रकट होती है, तो इसे केवल उसी अपरिमेय संख्या से गुणा या भाग देकर समाप्त किया जा सकता है।

3. पूर्ण संख्याएँ (Z)

पूर्ण संख्याओं और उनके नकारात्मकों का सेट पूर्ण संख्याएँ कहलाता है। इसे Z द्वारा दर्शाया जाता है, और Z = {- ∞, … - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ……. ∞}।

• इन्हें नकारात्मक पूर्ण संख्याएँ, तटस्थ पूर्ण संख्याएँ और सकारात्मक पूर्ण संख्याओं में वर्गीकृत किया जाता है।
  • (a) नकारात्मक पूर्ण संख्याएँ (Z-) – सभी पूर्ण संख्याएँ जो शून्य से कम हैं, उन्हें नकारात्मक पूर्ण संख्याएँ कहा जाता है। Z− = {- 1, - 2, - 3…- ∞ }
  • (b) तटस्थ पूर्ण संख्या (Z0) – शून्य एकमात्र पूर्ण संख्या है जो न तो नकारात्मक है और न ही सकारात्मक, इसे तटस्थ पूर्ण संख्या कहा जाता है।
  • (c) सकारात्मक पूर्ण संख्याएँ (Z) – सभी पूर्ण संख्याएँ जो शून्य से अधिक हैं, उन्हें सकारात्मक पूर्ण संख्याएँ कहा जाता है। Z = {1, 2, 3, …….., ∞ }।

4. सम संख्याएँ

संख्याओं का वह समूह जिसमें सभी प्राकृतिक संख्याएँ और शून्य शामिल हैं, उसे पूर्ण संख्याएँ कहा जाता है।

पूर्ण संख्याओं को गैर-नकारात्मक पूर्णांक भी कहा जाता है।

5. प्राकृतिक संख्याएँ (N)

संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 5… को प्राकृतिक संख्याएँ कहा जाता है। प्राकृतिक संख्याओं का समूह N द्वारा दर्शाया जाता है।

• सभी सकारात्मक पूर्णांक प्राकृतिक संख्याएँ हैं, और इसलिए, प्राकृतिक संख्याएँ अनंत होती हैं। अतः, N = {1, 2, 3, 4…}। प्राकृतिक संख्याएँ आगे सम, विषम, प्राइम आदि में विभाजित की जाती हैं।
• पूर्ण संख्याएँ (W): सभी प्राकृतिक संख्याएँ और ‘0’ मिलकर पूर्ण संख्याएँ कहलाती हैं। पूर्ण संख्याओं का समूह W द्वारा दर्शाया जाता है, और W = {0, 1, 2, 3, ……}

6. सम और विषम संख्याएँ

सभी संख्याएँ जो 2 से विभाजित होती हैं, उन्हें सम संख्याएँ कहा जाता है।

उदाहरण: 2, 4, 6, 8, 10.… सम संख्याओं को 2n के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ n एक पूर्णांक है। इस प्रकार 0, -2, -6 आदि भी सम संख्याएँ हैं।

सभी संख्याएँ जो 2 से विभाजित नहीं होती हैं, उन्हें विषम संख्याएँ कहा जाता है।

विषम संख्याओं को (2n + 1) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ n एक पूर्णांक है। उदाहरण: -1, -3, -5… 1, 3, 5, 7, 9…

7. प्राइम संख्याएँ

एक प्राकृतिक संख्या जो अपने और एक के अलावा कोई अन्य गुणांक नहीं रखती, उसे प्राइम संख्या कहा जाता है।

उदाहरण: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 …

इसके विपरीत, एक संख्या जिसमें दो से अधिक गुणांक होते हैं, उसे संयुक्त संख्या कहा जाता है।

प्राइम संख्याओं के बारे में महत्वपूर्ण अवलोकन

• एक प्राइम संख्या जो 3 से बड़ी है, जब 6 से विभाजित की जाती है, तो शेष 1 या 5 होता है। इस प्रकार, एक प्राइम संख्या को 6K ± 1 या 6K ± 5 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। लेकिन इस अवलोकन का विपरीत सच नहीं है, कि 6 से विभाजित होने पर 1 या 5 का शेष छोड़ने वाली संख्या हमेशा प्राइम संख्या नहीं होती। उदाहरण: 25, 35 आदि

प्राइम संख्याओं की कुछ विशेषताएँ

• सबसे छोटा प्राइम संख्या 2 है।
• संख्या 2 एकमात्र सम प्राइम संख्या भी है।
• सबसे छोटा असाम प्राइम संख्या 3 है।
• जब एक प्राइम संख्या p ≥ 5 को 6 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 1 या 5 होता है।
• जब एक प्राइम संख्या p ≥ 5 के वर्ग को 24 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 1 होता है।
• प्राइम संख्याओं के लिए, p > 3, p² - 1 24 से विभाज्य होता है।
• जब एक प्राइम संख्या p ≥ 5 के वर्ग को 12 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 1 होता है।
• यदि a और b दो असाम प्राइम संख्याएँ हैं, तो a² - b² तथा a²b² दोनों संयोजित संख्याएँ होती हैं।

संख्या की प्राइम स्थिति की जांच कैसे करें

यह जांचने के लिए कि संख्या N प्राइम है या नहीं, निम्नलिखित प्रक्रिया अपनाएँ:

• संख्या का वर्गमूल लें।
• वर्गमूल को तुरंत उच्चतम पूर्णांक में गोल करें। इस संख्या को z कहें।
• N को z से नीचे की सभी प्राइम संख्याओं द्वारा विभाज्यता के लिए जांचें। यदि z के मान से नीचे कोई प्राइम संख्या N को विभाजित नहीं करती है, तो संख्या N प्राइम होगी।
• यदि किसी संख्या में उसके वर्गमूल के बराबर या उससे कम कोई प्राइम गुणांक नहीं है, तो वह संख्या प्राइम है।

उदाहरण के लिए: √239 का मान 15 से 16 के बीच है। इसलिए, z का मान 16 लें। 16 से कम प्राइम संख्याएँ हैं 2, 3, 5, 7, 11 और 13। 239 इनमें से किसी से भी विभाज्य नहीं है। इसलिए, आप निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि 239 एक प्राइम संख्या है।

प्राइम संख्याएँ खोजने का शॉर्टकट तरीका

• अधिकांश प्रतियोगी परीक्षाओं में, यह जांचना कि कोई संख्या प्राइम है या नहीं, आमतौर पर 100 से 200 के बीच के 2-डिजिट या 3-डिजिट संख्याओं पर केंद्रित होता है।
• 5 से विभाज्यता की जाँच करने की आवश्यकता नहीं है क्योंकि इसे पहचानना आसान है; 5 से विभाजित संख्याएँ 0 या 5 पर समाप्त होती हैं।
• इसलिए, 45 जैसी संख्या को प्राइम के रूप में गलत पहचानने का कोई जोखिम नहीं है।
• इसलिए, जब संख्या के वर्गमूल से नीचे प्राइम संख्याओं की जांच की जाती है, तो 5 को परीक्षण से बाहर रखा जाता है।
• यह समान अपवाद सभी सम संख्याओं पर लागू होता है (सिवाय 2 के, जो एक प्राइम संख्या है)।

संख्या की प्राइम स्थिति की जांच (49 से नीचे की संख्याओं के लिए)

• 49 से कम संख्याओं के लिए, आपको केवल यह जांचना है कि संख्या 3 से विभाज्य है या नहीं। चूंकि 47 3 से विभाज्य नहीं है, यह एक प्राइम संख्या है। हम 2, 5 या 7 (7 का वर्ग 49 से बड़ा है) से विभाज्यता की जांच नहीं कर रहे हैं।

एक संख्या प्राइम है या नहीं यह जांचना (49 से ऊपर और 121 से नीचे की संख्याओं के लिए)

• यह 3 और 7 से विभाज्यता की जांच करके किया जा सकता है। हालाँकि, अगर आप याद रखें कि 77, 91, और 119 प्राइम नहीं हैं, तो आप केवल 3 से विभाज्यता की जांच करके 121 से नीचे की प्राइम संख्याएँ पहचान सकते हैं। इसका कारण यह है कि 49 और 121 के बीच की विषम संख्याएँ जो 7 से विभाज्य हैं, वे हैं 63, 77, 91, 105, और 119। इनमें से केवल 91 और 119 को गलती से प्राइम समझा जा सकता है। लेकिन 77 और 105 स्पष्ट रूप से प्राइम नहीं हैं। इसलिए, 49 और 121 के बीच की संख्याओं के लिए, केवल यह जांचें कि क्या वे 3 से विभाज्य हैं। यदि वे 3 से विभाज्य नहीं हैं और 91 या 119 नहीं हैं, तो वे प्राइम संख्याएँ हैं। उदाहरण के लिए, 61 प्राइम है क्योंकि यह 3 से विभाज्य नहीं है और न ही यह 91 या 119 है।

एक संख्या प्राइम है या नहीं यह जांचना (121 से ऊपर और 169 से नीचे की संख्याओं के लिए)

• यह 3, 7 और 11 से विभाज्यता की जांच करके किया जा सकता है। हालाँकि, अगर आप याद रखें कि 133, 143, और 161 प्राइम नहीं हैं, तो आप 121 और 169 के बीच की प्राइम संख्याएँ केवल 3 से विभाज्यता की जांच करके पहचान सकते हैं। इसका कारण यह है: 121 और 169 के बीच की विषम संख्याएँ जो 7 या 11 से विभाज्य हैं, वे हैं 133, 143, 147, 161, और 165। इनमें से 133, 143, और 161 को गलती से प्राइम समझा जा सकता है अगर आप 7 या 11 से विभाज्यता की जांच नहीं करते हैं। संख्या 147 जब आप 3 से विभाज्यता की जांच करते हैं तो यह प्राइम नहीं दिखेगी, और आप आसानी से देख सकते हैं कि 165 प्राइम नहीं है। इसलिए, 121 और 169 के बीच की संख्याओं के लिए, आप केवल 3 से विभाज्यता की जांच करके पता कर सकते हैं कि संख्या प्राइम है या नहीं। उदाहरण के लिए, 149 प्राइम है क्योंकि यह 3 से विभाज्य नहीं है और 133, 143, या 161 में से कोई नहीं है।

जानना आवश्यक 1 से 25 ⇒ 9 प्राइम संख्याएँ 1 से 50 ⇒ 15 प्राइम संख्याएँ 1 से 100 ⇒ 25 प्राइम संख्याएँ 1 से 200 ⇒ 45 प्राइम संख्याएँ

8. समाकलन संख्याएँ

एक समाकलन संख्या में इसके अलावा और भी गुणांक होते हैं।

• हर समाकलन संख्या n को इसके प्राइम गुणांकों में विभाजित किया जा सकता है। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: n = p₁^m . p₂ⁿ ... p_k^s, जहाँ p₁, p₂, ... p_k प्राइम गुणांक हैं और m, n, ... k प्राकृतिक संख्याएँ हैं। उदाहरण के लिए, 24 = 2³ . 3, और 84 = 7 . 3 . 2²। यह समाकलन संख्या का प्रतिनिधित्व मानक रूप कहलाता है।

उदाहरण: 8, 72, 39, आदि।

• एक संख्या जिसमें दो से अधिक गुणांक होते हैं वह समाकलन होती है। 1 से 50 के बीच केवल 34 समाकलन संख्याएँ हैं और 51 से 100 के बीच 40 समाकलन संख्याएँ हैं।

नोट: 1 न तो एक प्राइम संख्या है और न ही एक समाकलन संख्या है।

9. पूर्ण संख्याएँ

एक संख्या को पूर्ण संख्या कहा जाता है यदि इसकी सभी गुणांकों का योग (स्वयं को छोड़कर, लेकिन 1 को शामिल करते हुए) स्वयं संख्या के बराबर होता है या संख्या के सभी संभव गुणांकों का योग संख्या के दुगने के बराबर होता है।

• यदि किसी पूर्ण संख्या के गुणांक 1 को छोड़कर लिखे जाएँ और उनके व्युत्क्रम को एक साथ जोड़ा जाए, तो परिणाम हमेशा एक होता है। उदाहरण: 6 एक पूर्ण संख्या है क्योंकि 6 के गुणांक, अर्थात् 1, 2 और 3, का योग संख्या 6 के बराबर है। इसके अलावा, 1/6 + 1/3 + 1/2 = (1 + 2 + 3)/6 = 6/6 = 1 (एकता)। अन्य पूर्ण संख्याओं के उदाहरण 28, 496, 8128, आदि हैं। अब तक 27 पूर्ण संख्याएँ खोजी जा चुकी हैं।

10. भिन्न

एक भिन्न एक इकाई के भाग या हिस्से को दर्शाता है।

भिन्नों के कई प्रकार हैं:

• सामान्य भिन्न: भिन्न जिनका हर (denominator) 10 या इसके गुणांक नहीं होते। उदाहरण: 2/3, 17/18
• दशमलव भिन्न: भिन्न जिनका हर 10 या 10 के गुणांक होते हैं।
• सही भिन्न: इसमें अंश (numerator) < हर="" होता="" है।="" उदाहरण:="" 2/10,="" 6/7,="" 8/9="" आदि।="" इसलिए="" इसका="" मान="" />< />
• असही भिन्न: इनमें अंश > हर होता है। उदाहरण: 10/2, 7/6, 8/7 आदि। इसलिए इसका मान > 1।
• मिक्स्ड भिन्न: जब एक असही भिन्न को एक पूर्णांक और एक सही भिन्न के रूप में लिखा जाता है, तो इसे मिक्स्ड भिन्न कहा जाता है। उदाहरण: 7/3 को 2 1/3 = 2(1/3) के रूप में लिखा जा सकता है।

11. दशमलव संख्याएँ

एक दशमलव संख्या वह संख्या होती है जिसमें एक दशमलव बिंदु होता है। उदाहरण: 1.5, 3.22, 829.234

• जब हम किसी संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित करते हैं, तो हमें या तो एक समाप्ति दशमलव भिन्न मिलती है या एक गैर-समाप्ति दशमलव भिन्न।
• समाप्ति दशमलव भिन्न वे संख्याएँ होती हैं जिनमें दशमलव बिंदु के बाद निश्चित या सीमित संख्या में अंक होते हैं।
• गैर-समाप्ति दशमलव भिन्न के आधार पर दशमलव के बाद अंकों की उपस्थिति को निम्नलिखित प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है:
• शुद्ध आवर्ती दशमलव: एक दशमलव जिसमें दशमलव बिंदु के बाद सभी अंक दोहराते हैं, उसे शुद्ध आवर्ती दशमलव कहा जाता है। उदाहरण: 0.333...।
• मिक्स्ड आवर्ती दशमलव: एक दशमलव जिसमें कुछ अंक नहीं दोहराते और कुछ अंक दोहराते हैं, उसे मिक्स्ड आवर्ती दशमलव कहा जाता है। उदाहरण: 0.1666...।
• गैर-आवर्ती दशमलव: एक दशमलव संख्या जिसमें कोई अंक किसी पैटर्न में नहीं दोहराता है, उसे गैर-समाप्ति गैर-आवर्ती दशमलव कहा जाता है और इसे असंगत संख्याएँ कहा जाता है।

आवर्ती भिन्न को दशमलव में परिवर्तित करना:

सभी पुनरावर्ती दशमलवों को भिन्नों में परिवर्तित किया जा सकता है। कुछ सामान्य प्रकार हैं 0.33….., 0.1232323…, 5.33…., 14.23636363…. आदि।

(a) शुद्ध पुनरावर्ती को भिन्नों में

फंडा 1: यदि एक संख्या 0. ababab……. के रूप में है, तो पुनरावर्ती अंकों को उतने ही 9 से विभाजित करें जितने अंकों की पुनरावृत्ति हुई है। उदाहरण: 0.363636... = 36/99 = 4/11

(b) मिश्रित पुनरावर्ती को भिन्नों में

फंडा 2: यदि N = 0. abcbcbc…. तब N = abc - a/990 = पुनरावर्ती और गैर-पुनरावर्ती अंक - गैर-पुनरावर्ती अंक / जितने 9 पुनरावर्ती अंकों के हैं, उसके बाद उतने ही शून्य हैं जितने गैर-पुनरावर्ती अंकों के हैं। उदाहरण: 0.25757... = 257 - 2/990 = 255/990 = 17/66

फंडा 3: यदि N = a. bcbc…. तब लिखें N = a 0. bcbc…. फंडा 1 के अनुसार आगे बढ़ें। उदाहरण: 5.3636… = 5 0.3636… = 5 36/99 = 59/11

12. संख्या रेखा का सिद्धांत

संख्या रेखा एक सीधी रेखा है जो दोनों दिशाओं में अनंत तक फैलती है, बाईं ओर नकारात्मक अनंतता और दाईं ओर सकारात्मक अनंतता है।

• संख्या रेखा पर किसी भी दो बिंदुओं के बीच की दूरी को उच्चतम मान से निम्नतम मान को घटाकर प्राप्त किया जाता है।
• एक अन्य तरीका यह है कि छोटे संख्या से शुरू करें और देखें कि बड़े संख्या तक पहुँचने के लिए कितना जोड़ना है। उदाहरण: 7 और –4 के बीच की दूरी 7 – (–4) = 11 है।

भाग्यता

• जैसा कि नाम से स्पष्ट है, भाग्यता परीक्षण या गणित में विभाजन नियम किसी संख्या को बिना वास्तविक विभाजन के द्वारा यह जांचने में मदद करते हैं कि क्या एक संख्या दूसरी संख्या से विभाज्य है।
• एक संख्या x को दूसरी संख्या y द्वारा विभाज्य माना जाता है यदि x को y से बिना कोई शेष छोड़कर विभाजित किया जा सके।
• सामान्यतः, जब एक पूर्णांक 𝐼 को एक प्राकृतिक संख्या 𝑁 से विभाजित किया जाता है, तो एक अद्वितीय संख्या जोड़ी 𝑄 (उपादान) और 𝑅 (शेष) होती है। इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: 𝐼 = 𝑄𝑁 + 𝑅
• किसी भी पूर्णांक 𝐼 और किसी भी प्राकृतिक संख्या 𝑁 के लिए, एक अद्वितीय संख्या जोड़ी 𝑄 और 𝑅 होती है, जिससे 𝐼 = 𝑄𝑁 + 𝑅, जहाँ 𝑄 एक पूर्णांक है, 𝑁 एक प्राकृतिक संख्या (या शून्य) है, और 0 ≤ 𝑅 < 𝑁="" (अर्थात="" शेष="" हमेशा="" 𝑁="" से="" कम="" होना="" चाहिए)।="" यदि="" शेष="" 𝑅="" शून्य="" है,="" तो="" हम="" कहते="" हैं="" कि="" 𝐼,="" 𝑁="" द्वारा="" विभाज्य="" />

नोट: यहां तक कि जब हम एक नकारात्मक संख्या को प्राकृतिक संख्या N से विभाजित करते हैं, तो शेष नकारात्मक नहीं होता है। उदाहरण के लिए, जब हम –32 को 7 से विभाजित करते हैं, तो शेष वास्तव में 3 होता है, न कि –4, जो आश्चर्यजनक हो सकता है। इसका कारण यह है कि शेष हमेशा नकारात्मक नहीं होता। इसलिए, जब हम –32 को 7 से विभाजित करते हैं, तो उपादान –5 होता है और शेष 3 होता है।

भाग्यता के प्रमेय

भाग्यता के नियम

1. 1 का भाग्यता नियम

• हर संख्या 1 से भाग्य होती है। 1 के लिए भाग्यता का नियम किसी भी शर्त के बिना होता है। किसी भी संख्या को 1 से भाग देने पर वही संख्या प्राप्त होती है, चाहे संख्या कितनी भी बड़ी हो। उदाहरण: 3 को 1 से भाग देने पर 3 ही मिलेगा और 3000 भी 1 से पूरी तरह भाग्य है।

2. 2 का भाग्यता नियम

• यदि कोई संख्या सम है या जिस संख्या का अंतिम अंक सम संख्या है, जैसे 2, 4, 6, 8 और 0, तो वह हमेशा 2 से पूरी तरह भाग्य होती है। उदाहरण: 508 एक सम संख्या है और यह 2 से भाग्य है, लेकिन 509 नहीं है। 508 की भाग्यता 2 से जांचने की प्रक्रिया इस प्रकार है: ⇒ संख्या 508 पर विचार करें ⇒ केवल अंतिम अंक 8 को लें और उसे 2 से भाग दें ⇒ यदि अंतिम अंक 8, 2 से भाग्य है, तो संख्या 508 भी 2 से भाग्य है।

3. 3 के लिए भाग्यता नियम

• 3 के लिए भाग्यता का नियम कहता है कि कोई संख्या पूरी तरह 3 से भाग्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 से भाग्य होता है। उदाहरण: एक संख्या लें, 308। यह जांचने के लिए कि क्या 308 3 से भाग्य है या नहीं, अंकों का योग लें (यानी 3 + 0 + 8 = 11)। अब जांचें कि क्या योग 3 से भाग्य है। यदि योग 3 का गुणांक है, तो मूल संख्या भी 3 से भाग्य है। यहाँ, चूंकि 11 3 से भाग्य नहीं है, 308 भी 3 से भाग्य नहीं है। इसी तरह, 516 पूरी तरह 3 से भाग्य है क्योंकि इसके अंकों का योग, यानी 5 + 1 + 6 = 12, 3 का गुणांक है।

4. 4 का भाग्यता नियम

4. 4 का विभाजन नियम

• यदि किसी संख्या के अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य हैं, तो वह संख्या 4 का गुणांक है और पूरी तरह से 4 से विभाज्य है।
• उदाहरण: संख्या 2308 लें। अंतिम दो अंकों पर विचार करें, यानी 08। चूंकि 08, 4 से विभाज्य है, इसलिए मूल संख्या 2308 भी 4 से विभाज्य है।

5. 5 का विभाजन नियम

• जिन संख्याओं के अंतिम अंक 0 या 5 होते हैं, वे हमेशा 5 से विभाज्य होती हैं।
• उदाहरण: 10, 10000, 10000005, 595, 396524850, आदि।

6. 6 का विभाजन नियम

• जिन संख्याओं को 2 और 3 दोनों से विभाजित किया जा सकता है, वे 6 से भी विभाजित होती हैं। अर्थात्, यदि दी गई संख्या का अंतिम अंक सम है और इसके अंकों का योग 3 का गुणांक है, तो दी गई संख्या 6 का गुणांक भी है।
• उदाहरण: 630, यह संख्या 2 से विभाज्य है क्योंकि अंतिम अंक 0 है। अंकों का योग 6 + 3 + 0 = 9 है, जो 3 से भी विभाज्य है। इसलिए, 630 6 से विभाज्य है।

7. 7 के लिए विभाजन नियम

7 से विभाजन का नियम थोड़ा जटिल है, जिसे नीचे दिए गए चरणों द्वारा समझा जा सकता है:

उदाहरण: क्या 1073, 7 से विभाज्य है?

• उपरोक्त नियम के अनुसार, संख्या से 3 को हटा दें और उसे दोगुना करें, जो 6 हो जाता है। बचे हुए अंक 107 हो जाते हैं, इसलिए 107 - 6 = 101।
• एक बार और प्रक्रिया को दोहराते हुए, हमें 1 × 2 = 2 मिलता है। बचे हुए अंक 10 - 2 = 8।
• चूंकि 8, 7 से विभाज्य नहीं है, इसलिए संख्या 1073, 7 से विभाज्य नहीं है।

8. 8 का विभाजन नियम

• यदि किसी संख्या के अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य हैं, तो वह संख्या पूरी तरह से 8 से विभाज्य है।
• उदाहरण: संख्या 24344 लें। अंतिम तीन अंकों पर विचार करें, यानी 344। चूंकि 344, 8 से विभाज्य है, इसलिए मूल संख्या 24344 भी 8 से विभाज्य है।

9. 9 का विभाजन नियम

9 का भाग जाने का नियम

• 9 का भाग जाने का नियम 3 के भाग जाने के नियम के समान है।
• यदि किसी संख्या के अंकों का योग 9 से भाग देने योग्य है, तो वह संख्या स्वयं भी 9 से भाग देने योग्य है।
• उदाहरण: 78532 पर विचार करें, क्योंकि इसके अंकों का योग (7 + 8 + 5 + 3 + 2) 25 है, जो 9 से भाग नहीं देता, इसलिए 78532 भी 9 से भाग नहीं देता।

10 का भाग जाने का नियम

• 10 का भाग जाने का नियम यह बताता है कि कोई भी संख्या जिसकी अंतिम अंक 0 हो, वह 10 से भाग देने योग्य होती है।
• उदाहरण: 10, 20, 30, 1000, 5000, 60000, आदि।

11 का भाग जाने के नियम

यदि किसी संख्या के वैकल्पिक अंकों के योग के अंतर को 11 से भाग दिया जा सके, तो वह संख्या पूरी तरह से 11 से भाग देने योग्य होती है।

जैसे कि 2143 संख्या की जाँच करने के लिए, निम्नलिखित प्रक्रिया है:

• वैकल्पिक अंकों को समूह में बाँटें, अर्थात्, विषम स्थानों के अंकों को एक साथ और सम स्थानों के अंकों को एक साथ। यहाँ 24 और 13 दो समूह हैं।
• प्रत्येक समूह के अंकों का योग लें, अर्थात् 2 + 4 = 6 और 1 + 3 = 4।
• अब योग का अंतर निकालें; 6 - 4 = 2।
• यदि अंतर 11 से भाग देने योग्य है, तो मूल संख्या भी 11 से भाग देने योग्य होती है। यहाँ 2 ऐसा अंतर है जो 11 से भाग नहीं देता।
• इसलिए, 2143 11 से भाग नहीं देता।

12 का भाग जाने का नियम

• यदि संख्या 3 और 4 दोनों से भाग देने योग्य है, तो वह संख्या ठीक 12 से भाग देने योग्य होती है।
• उदाहरण: 5864 ⇒ अंकों का योग = 5 + 8 + 6 + 4 = 23 (3 का गुणांक नहीं है) ⇒ अंतिम दो अंक = 64 (4 से भाग देने योग्य) ⇒ दी गई संख्या 5846 4 से भाग देने योग्य है लेकिन 3 से नहीं; इसलिए, यह 12 से भाग नहीं देती।

13 का भाग जाने के नियम

किसी भी दिए गए संख्या के लिए, यह जांचने के लिए कि क्या यह 13 से विभाज्य है, हमें संख्या के अंतिम अंक को चार गुना बढ़ाकर शेष संख्या में जोड़ना होगा और इस प्रक्रिया को तब तक दोहराना होगा जब तक हमें एक दो अंकों की संख्या न मिल जाए। अब जांचें कि क्या वह दो अंकों की संख्या 13 से विभाज्य है या नहीं। यदि यह विभाज्य है, तो दी गई संख्या 13 से विभाज्य है।

• उदाहरण: 2795 ⇒ 279 (5 x 4) ⇒ 279 (20) ⇒ 299 ⇒ 29 (9 x 4) = 29 + 36 = 65 संख्या 65 13 से विभाज्य है, 13 x 5 = 65।

संख्याओं के गुण

• हर संख्या का पांचवे घात की इकाई का अंक उसी तरह होता है जैसे कि उसकी पहले घात की इकाई का अंक। इस प्रकार, जो मानक विधि अपनाई जा सकती है, वह है दिए गए घात को 4 से विभाजित करना, शेष घात को खोजना और उस संख्या में इकाई का अंक देखना। यह शॉर्टकट लागू किया जा सकता है क्योंकि आप हमेशा वही इकाई का अंक पाएंगे।
• किसी संख्या के फैक्टोरियल के अंत में शून्य की संख्या की गणना करने के लिए, आपको संख्या को 5 से विभाजित करना चाहिए, प्राप्त भाग को फिर से 5 से विभाजित करना चाहिए और तब तक जारी रखना चाहिए जब तक अंतिम भाग 5 से छोटा न हो जाए। सभी भागों का योग 5 की संख्या है, जो फिर दी गई संख्या में शून्य की संख्या बन जाती है।
• किसी संख्या की डिजिटल रूट वह होती है जो अंकों का योग है, बार-बार, जब तक यह एक अंकीय संख्या नहीं बन जाती। उदाहरण के लिए, 87984 की डिजिटल रूट होगी: 8 + 7 + 9 + 8 + 4 ⇒ 36 = 3 + 6 ⇒ 9।
• जब यूलेर संख्या का अवधारणा उपयोग किया जाता है और भाज्य और भाजक सह-प्राइम होते हैं, तो शेष प्रश्न बहुत आसान हो जाते हैं।
• तीन लगातार प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल 6 से विभाज्य होता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए n, n+1 और n+2 तीन लगातार प्राकृतिक संख्याएँ हैं और P(n) उनका गुणनफल है। तब, P(n)=n(n+1)(n+2)। हम पाते हैं, P(1)=1×2×3=6, जो 3 और 6 से विभाज्य है। P(2)=2×3×4=24, जो 3, 8 और 6 से विभाज्य है। P(3)=3×4×5=60, जो 3 और 6 से विभाज्य है। P(4)=4×5×6=120, जो 3, 8 और 6 से विभाज्य है। इसलिए, P(n) सभी n∈ N के लिए 3 और 6 से विभाज्य है।
• तीन लगातार प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल, जिसमें से पहला एक सम संख्या है, 24 से विभाज्य होता है।
• दो अंकों की संख्या और उसकी अंकों को पलटकर बनाई गई संख्या का योग 11 से विभाज्य होता है।
• xn - yn = (x y) (xn-1 - xn-2.y ... yn-1) जब n सम होता है। इसलिए, जब n सम होता है, xn - yn x y से विभाज्य होता है। उदाहरण: 72 - 32 = 40, जो 10 से विभाज्य है, जो (7 - 3) है।
• xn - yn = (x - y) (xn-1 xn-2.y ... yn-1) दोनों विषम और सम n के लिए। इसलिए, xn - yn x - y से विभाज्य होता है। उदाहरण: 94 - 24 = 70, जो 7 से विभाज्य है, जो (9 - 2) है।

संख्या का पूर्णांक मान

• संख्याओं का गुणांक एक संख्या का पूर्ण मान होता है या हम कह सकते हैं कि यह संख्या की मूल से दूरी है। एक संख्या का पूर्ण मान इस प्रकार परिभाषित किया गया है: |a| = a, यदि a ≥ 0 = - a, यदि a ≤ 0 |a| को गुणांक कहा जाता है।
• उदाहरण: |79| = 79 & | - 45| = - (- 45) = 45
• इसके अलावा, | x - 3 | = x - 3, यदि x ≥ 3 = 3 - x, यदि x < />

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1. N = (18n² + 9n + 8)/n; जहाँ N पूर्णांक है। N के कितने पूर्णांक समाधान संभव हैं?

दी गई अभिव्यक्ति को इस प्रकार तोड़ा जा सकता है: 18n²/n + 9n/n + 8/n। इससे हमें मिलता है: 18n + 9 + 8/n।

• अब हम देख सकते हैं कि चाहे ‘n’ का मान कोई भी हो, 18n + 9 हमेशा एक पूर्णांक मान देगा। इसलिए, अब यह 8/n पर निर्भर करता है ⇒ n किसी भी पूर्णांक मान को ले सकता है, जो 8 का गुणांक हो। जो पूर्णांक इस शर्त को पूरा करेंगे वे हैं ±1, ±2, ±4, ±8। इस प्रकार, कुल मिलाकर, n 8 मान ले सकता है।

उदाहरण 2. N = 960। N के गुणांक की कुल संख्या ज्ञात करें।

• संयोजित संख्या के गुणांक की संख्या: यदि D एक संयोजित संख्या है जो इस रूप में है D = a^p × b^q × c^r, जहाँ a, b, c प्रमुख संख्याएँ हैं, तो D के गुणांक की संख्या, जिसे n द्वारा दर्शाया जाता है, निम्नलिखित दिया गया है: n = (p + 1)(q + 1)(r + 1)।
• इसी प्रकार, 960 को प्रमुख गुणकों में विभाजित करने के बाद: 2⁶ × 3¹ × 5¹ के लिए हम गुणांकों की कुल संख्या की गणना कर सकते हैं: (6 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 28।

उदाहरण 3. निम्नलिखित अभिव्यक्ति का इकाई अंक ज्ञात करें: (123)³⁴ × (876)⁴⁵⁶ × (45)⁸⁶।

जब भी एक सम इकाई अंक संख्या और एक संख्या जिसमें अंतिम अंक 5 है, उपस्थित होती हैं, तो वे हमेशा अंतिम अंक 0 देंगी, चाहे कोई और संख्या उपस्थित हो या न हो।

• जब भी एक सम इकाई अंक संख्या और एक संख्या जिसमें अंतिम अंक 5 है, उपस्थित होती हैं, तो वे हमेशा अंतिम अंक 0 देंगी, चाहे कोई और संख्या उपस्थित हो या न हो।

उदाहरण 4. पहले 100 प्राकृतिक संख्याओं के गुणनफल के अंत में शून्य की संख्या कितनी होगी?

उदाहरण 5. संख्या 2347$98 में $ को किस अक्षर से बदला जाए, ताकि यह 9 का गुणज बन जाए?

• जैसा कि आप जानते हैं कि यदि सभी अंकों का योग 9 से विभाज्य है, तो संख्या 9 से विभाज्य होती है। अब दिए गए अंकों का योग है 2 + 3 + 4 + 7 + 9 + 8 = 33 + $। अब 33 के बाद का अगला गुणज 9 है, यानी 36। इसका मतलब है कि आपको इसमें 3 जोड़ना है। $ का मान 3 है।

उदाहरण 6. एक पार्टी में 20 लोग उपस्थित हैं। यदि उनमें से प्रत्येक अन्य सभी व्यक्तियों से हाथ मिलाता है, तो कुल कितने हाथ मिलेंगे?

• 20 व्यक्तियों में, पहला व्यक्ति 19 व्यक्तियों से हाथ मिलाएगा। दूसरा व्यक्ति 18 व्यक्तियों से हाथ मिलाएगा (क्योंकि उसने पहले व्यक्ति से पहले ही हाथ मिलाया है)। तीसरा व्यक्ति 17 व्यक्तियों से हाथ मिलाएगा और इसी तरह। दूसरा अंतिम व्यक्ति केवल एक व्यक्ति से हाथ मिलाएगा। और अंतिम व्यक्ति किसी से हाथ नहीं मिलाएगा (क्योंकि उसने पहले ही सभी व्यक्तियों से हाथ मिलाया है)। कुल हाथ मिलाने की संख्या जानने के लिए, आपको 1 से 19 तक सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग जोड़ना होगा, यानी ∑ 19। ∑19 = 19 x 20/2 = 190 हाथ मिलाना।

उदाहरण 7. 2354789341 को 11 से विभाजित करने पर शेषफल क्या होगा?

अजीब स्थान के अंकों का योग (O) = 1 3 8 4 3 = 19।

सम स्थान के अंकों का योग (E) = 4 9 7 5 2 = 27।

अंतर (D) = 19 - 27 = - 8

शेषफल = 11 - 8 = 3।

• अजीब स्थान के अंकों का योग (O) = 1 3 8 4 3 = 19।
• सम स्थान के अंकों का योग (E) = 4 9 7 5 2 = 27।

संकेत: जब किसी संख्या के सम अंकों को उसके उल्टे से जोड़ा जाता है, तो योग हमेशा 11 से विभाज्य होता है। उदाहरण: 2341 + 1432 = 3773, जो 11 से विभाज्य है।

⇒ कोई भी संख्या जो लगातार 6 बार लिखी जाए, 7 और 13 से विभाज्य होगी।

उदाहरण 8: यदि 567P55Q 88 से विभाज्य है; P और Q का मान ज्ञात करें। (a) 11 (b) 12 (c) 5 (d) 6 (e) 10

सही उत्तर है विकल्प (e)

• संख्या 8 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है; अंतिम 3 अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य होनी चाहिए, जो 55 Q है। केवल Q = 2 इस को संतुष्ट करता है।
• 11 के विभाजन नियम से, (2 5 7 5) - (5 P 6) 11 से विभाज्य है। तो 8 - P 11 से विभाज्य है।
• यदि P = 8, तो ही यह संभव है। तो P = 8 और Q = 2। इस प्रकार, P Q = 10।

उदाहरण 9: यदि पहले 100 प्राकृतिक संख्याओं को एक साथ लिखा जाए ताकि एक बड़ी संख्या बने और इसे 8 से विभाजित किया जाए। शेषफल क्या होगा?

(a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) 7 (e) ज्ञात नहीं किया जा सकता

सही उत्तर है विकल्प (c)

• संख्या है 1234…..9899100।
• 8 के विभाजन नियम के अनुसार, हम केवल अंतिम 3 अंकों की जांच करेंगे। यदि 100 को 8 से विभाजित किया जाए, तो शेषफल 4 है।

उदाहरण 10: जब 4444……..44 बार को 7 से विभाजित किया जाएगा, तो शेषफल क्या होगा? (a) 1 (b) 2 (c) 5 (d) 6 (e) 0

सही उत्तर विकल्प (b) है।

• यदि 4 को 7 से विभाजित किया जाए, तो शेषफल 4 है।
• यदि 44 को 7 से विभाजित किया जाए, तो शेषफल 2 है।
• यदि 444 को 7 से विभाजित किया जाए, तो शेषफल 3 है।
• इस तरह जांच करने पर, हमें पता चलता है कि 444444 को 7 से सही तरीके से विभाजित किया जा सकता है।
• तो यदि हम छह 4 लें, तो यह 7 से सही तरीके से विभाजित होता है।
• इसी तरह, बारह 4 भी 7 से सही तरीके से विभाजित होता है और 42 4 भी 7 से सही तरीके से विभाजित होगा।
• तो 44 में, बचे हुए दो 4, शेषफल 2 देंगे।

सह-प्रधान या सापेक्ष प्रधान संख्याएँ

दो या अधिक संख्याएँ जो कोई सामान्य गुणांक नहीं साझा करती हैं, उन्हें सह-प्रधान या सापेक्ष प्रधान कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, उनका सबसे बड़ा सामान्य गुणांक 1 होता है।

यदि दो संख्याएँ m और n सापेक्ष प्रधान हैं, और एक प्राकृतिक संख्या x m और n दोनों से व्यक्तिगत रूप से विभाजित होती है, तो x भी mn से विभाजित होती है।

मुख्य अवधारणा 1: दो संख्याओं को सह-प्रधान के रूप में पहचानना महत्वपूर्ण है जब वे भिन्नों के हर में दिखाई देती हैं।

• यह अवधारणा एक उदाहरण के साथ सबसे अच्छी तरह समझाई जाती है: मान लें M/8 और N/9, जहाँ M 8 से विभाजित नहीं है और N 9 से विभाजित नहीं है। ये संख्याएँ सह-प्रधान हैं, जिसका मतलब है कि इनके पास 1 के अलावा कोई सामान्य गुणांक नहीं है। जब दो संख्याएँ सह-प्रधान होती हैं, तो परिणाम दशमलव भिन्न होता है, न कि पूर्णांक। इसका कारण यह है कि 8 और 9 सह-प्रधान हैं, और सह-प्रधान संख्याओं से विभाजित करने से जो दशमलव परिणाम मिलते हैं, वे एक-दूसरे से मेल नहीं खाते। यह अवधारणा समस्याओं को हल करते समय बहुत महत्वपूर्ण है, खासकर जब शब्द समस्याओं में रैखिक समीकरणों का सामना करना हो।

उदाहरण: 36 से विभाजित होने वाले 25x7y के रूप में सभी चार अंकों की संख्याएँ खोजें।

हल: चूंकि 36 दो सह-गुणांक संख्या, 4 और 9 का गुणनफल है, संख्या 25x7y को 36 से विभाजित होने के लिए 4 और 9 दोनों से विभाजित होना चाहिए।

• 4 से विभाजन: 4 से विभाजित होने के लिए, संख्या के अंतिम दो अंक (7y) को 4 से विभाजित होना चाहिए। 7y को 4 से विभाजित करने के लिए संभावित मान y = 2 और 6 हैं। इसलिए, y का मान 2 या 6 हो सकता है।

9 से विभाजन: 9 से विभाजित होने के लिए, संख्या के अंकों का योग 9 से विभाजित होना चाहिए। अंकों का योग है 2 5 x 7 y। यदि y = 2 है, तो योग है 2 5 x 7 2 = 16 x। इसके 9 से विभाजित होने के लिए, 16 x को 9 का गुणनखंड होना चाहिए। x के लिए संभावित मान 2 है (क्योंकि 16 × 2 = 18, जो 9 से विभाजित है)। यदि y = 6 है, तो योग है 2 5 x 7 6 = 20 x। इसके 9 से विभाजित होने के लिए, 20 x को 9 का गुणनखंड होना चाहिए। x के लिए संभावित मान 7 है (क्योंकि 27, 9 से विभाजित है)।

इस प्रकार, संख्याएँ 25272 और 25776, 36 से विभाजित हैं।

मुख्य अवधारणा 2: यह निर्धारित करने का एक और तरीका कि क्या दो संख्याएँ सह-गुणांक हैं, उनके प्रमुख गुणकों की जांच करना है। दो या अधिक संख्याएँ सह-गुणांक होने के लिए, उनके प्रमुख गुणकों में कोई सामान्य तत्व नहीं होना चाहिए।

उदाहरण के लिए, यदि A और B सह-प्राथमिक हैं, और A = 2ⁿ 3^m है, तो B के प्राथमिक गुणांक में 2 या 3 शामिल नहीं होने चाहिए। इसके बजाय, यह अन्य प्राथमिक संख्याओं जैसे 5, 7, 11 आदि से बना होगा, लेकिन इसमें 2 या 3 गुणांक के रूप में नहीं हो सकते।

सदैव ध्यान में रखें

• संख्या 1 न तो प्राथमिक है और न ही समुच्चय।
• 2 एकमात्र सम संख्या है जो प्राथमिक है।
• (xⁿ yⁿ) (x y) द्वारा विभाज्य है, जब n एक विषम संख्या है।
• (xⁿ - yⁿ) (x y) द्वारा विभाज्य है, जब n एक सम संख्या है।
• (xⁿ - yⁿ) (x - y) द्वारा विभाज्य है, जब n एक विषम या सम संख्या है।
• 5 लगातार पूर्ण संख्याओं का योग हमेशा 5 द्वारा विभाज्य होगा।
• 2 संख्याओं के बीच का अंतर (xy) - (yx) हमेशा 9 द्वारा विभाज्य होगा।
• एक विषम संख्या का वर्ग जब 8 से विभाजित किया जाता है, तो हमेशा 1 शेषफल देता है।
• हर वर्ग संख्या 3 का गुणज होती है या 3 के गुणज से एक अधिक होती है।
• हर वर्ग संख्या 4 का गुणज होती है या 4 के गुणज से एक अधिक होती है।
• यदि एक वर्ग संख्या 9 पर समाप्त होती है, तो उससे पहले का अंक सम होता है।
• यदि m और n दो पूर्णांक हैं, तो (m n)! m! n! द्वारा विभाज्य होता है।
• (a)ⁿ / (a - 1) एक शेषफल छोड़ता है।
• n लगातार संख्याओं का गुणनफल हमेशा n! द्वारा विभाज्य होता है।

उदाहरण 1: यदि ‘X’ एक सम संख्या है और Y एक विषम संख्या है, तो निम्नलिखित में से कौन सी सम है? (a) X² + Y (b) X + Y² (c) X² + Y² (d) X²Y² (e) इनमें से कोई नहीं

सही उत्तर विकल्प (d) है।

• चूंकि X सम है, X² भी सम है। Y विषम है, Y² भी विषम है।
• इसलिए विकल्प (1), (2), (3) सम विषम = विषम हैं। विकल्प (4) सम × विषम = सम है।

उदाहरण 2: 0.343434.... और 0.2343434…… के बीच का अंतर भिन्न रूप में क्या है? (a) 6/55 (b) 6/11 (c) 9/55 (d) 9/13 (e) 5/11

सही उत्तर विकल्प (a) है: 0.343434.....= 34/99 और 0.23434.... = 234 - 2/990 = 232/990 ∴ अंतर = 34/99 - 232/990 = 108/990 = 6/55

उदाहरण 3: निम्नलिखित संख्याओं में से कितनी कम से कम 3 विभिन्न अभाज्य संख्याओं द्वारा विभाज्य हैं: 231, 750, 288 और 1372? (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4

• 231 = 3 × 7 × 11 (3 अभाज्य गुणांक)
• 750 = 2 × 3 × 5³ (3 अभाज्य गुणांक)
• 288 = 2⁵ × 3² (केवल 2 अभाज्य गुणांक)
• 1372 = 2² × 7³ (केवल 2 अभाज्य गुणांक)
• इसलिए, केवल 231 और 750 में 3 अभाज्य गुणांक हैं।

उदाहरण 4: n³ - 6n² + 11n - 6 (जहाँ n एक पूर्णांक है) हमेशा किससे विभाज्य है? (a) 4 (b) 5 (c) 6 (d) 8 (e) 12

• n³ - 6n² + 11n - 6 = (n - 1)(n - 2)(n - 3) है।
• तीन लगातार संख्याओं का गुणनफल हमेशा 3! = 6 द्वारा विभाज्य होता है। (या) n = 0, 1, 2, 3 लेकर जांचें, यह हमेशा 6 द्वारा विभाज्य होता है।

उदाहरण 5: यदि 351 × 352 × 353 × ... × 356 को 360 से विभाजित किया जाए तो शेषफल क्या होगा? (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 359

• चूंकि दिए गए संख्या का गुणनफल 6 लगातार संख्याओं का है, यह हमेशा 6! = 720 द्वारा विभाज्य होता है।
• यह 360 द्वारा भी विभाज्य है। इसलिए, शेषफल 0 होगा।

HCF और LCM के सिद्धांत

सर्वोच्च समान भाजक (HCF)

एचसीएफ और एलसीएम के सिद्धांत

• सामान्य गुणांक: यदि दो संख्याएँ A और B एक संख्या X से ठीक से विभाजित होती हैं, तो X A और B का एक सामान्य भाजक या गुणांक है।
• उच्चतम सामान्य गुणांक (HCF): यह दो या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा गुणांक है, जो विचाराधीन हैं। इसे GCF या GCD (Greatest Common Factor या Greatest Common Divisor) भी कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 4 और 8 का HCF = 4, 125 और 200 का HCF = 25।

HCF निकालने की प्रक्रिया जानने के लिए हम कुछ उदाहरणों की मदद से समझेंगे।

प्रश्न: 96, 36 और 18 का HCF निकालें।

हल: पहले प्रत्येक संख्या को उनके प्रधान गुणांकों में विभाजित करें। 96 = 2 x 3 x 2 x 2 x 2 × 2 36 = 2 x 3 x 2 x 3 18 = 2 x 3 x 3 इन संख्याओं के सभी सामान्य गुणांकों को लें और उन्हें गुणा करें। इसलिए, 96, 36 और 18 का HCF उन संख्याओं में सामान्य गुणांकों की उच्चतम संख्या का गुणनफल है, अर्थात्, 2 x 3 = 6। दूसरे शब्दों में, 6 सबसे बड़ा पूर्णांक है, जो 96, 36 और 18 को बिना कोई शेष छोड़कर विभाजित कर सकता है।

प्रश्न: 42 और 70 का HCF निकालें।

हल: 42 = 3 x 2 x 7 70 = 5 x 2 x 7 इस प्रकार, HCF = 7 = 14।

प्रश्न: संख्याओं 144, 630 और 756 का HCF निकालें।

हल: 144 = 24 x 32 630 = 2 × 32 x 5 x 7 756 = 22 x 33 x 7 इसलिए, 144, 630 और 756 का HCF = 2 x 32 = 18।

महत्वपूर्ण:

• दो अभाज्य संख्याओं का HCF हमेशा 1 होता है।
• सह-प्राइम संख्याओं का HCF हमेशा 1 होता है।

HCF खोजने के लिए शॉर्टकट विधि

आइए उदाहरणों के माध्यम से संख्याओं के एक सेट का HCF (उच्चतम सामान्य गुणांक) खोजने का एक तेज़ तरीका सीखते हैं।

उदाहरण 1: 39, 78, और 195 का HCF खोजें।

समाधान: चरण-दर-चरण विधि देखें:

• संख्याओं के बीच के अंतर पर ध्यान दें। किसी भी दो संख्याओं के बीच का अंतर लें। HCF को इन अंतर का गुणांक होना चाहिए। अंतर हैं:
  • 78−39=39
  • 195−39=156
  • 195−78=117
  तो, HCF को 39, 156, और 117 को विभाजित करना चाहिए।
• सबसे छोटे अंतर (39) से शुरू करें। HCF को 39 का गुणांक होना चाहिए। 39 के गुणांक हैं: 1, 3, 13, और 39।
• जांचें कि सबसे बड़ा गुणांक (39) सभी संख्याओं को विभाजित करता है या नहीं। क्या 39, 78 को विभाजित करता है? हाँ। क्या 39, 195 को विभाजित करता है? हाँ। इसलिए, 39, 78, और 195 का HCF 39 है।

उदाहरण 2: 39, 78, और 182 का HCF खोजें।

• संख्याओं के बीच के अंतर खोजें।
  • 78−39=39
  • 182−39=143
  • 182−78=104
• 39 के गुणांक (1, 3, 13, 39) की जांच करें। क्या 39, 182 को विभाजित करता है? नहीं।
• अगले सबसे बड़े गुणांक, 13 को आज़माएँ। क्या 13, 39 को विभाजित करता है? हाँ। क्या 13, 182 को विभाजित करता है? हाँ। इसलिए, 39, 78, और 182 का HCF 13 है।

यह विधि क्यों काम करती है?

• जब हम दो संख्याओं के बीच का अंतर निकालते हैं, तो उन संख्याओं का HCF उस अंतर का गुणांक होना चाहिए। इसका कारण यह है कि केवल वे संख्याएँ जो दोनों संख्याओं को विभाजित करती हैं, वे उनके अंतर को भी विभाजित करेंगी।
• सबसे छोटे अंतर से शुरू करके और उसके गुणांकों की जांच करके, हम बिना हर संख्या के लिए लंबे विभाजन का उपयोग किए बिना जल्दी से HCF खोज सकते हैं।
• यह विधि समय बचाती है और HCF खोजना सरल बनाती है!

दो या दो से अधिक संख्याओं का Least Common Multiple (LCM) सबसे छोटा संख्या है जो सभी से ठीक से विभाजित होती है। दूसरे शब्दों में, यह दिए गए संख्याओं के सभी अभाज्य गुणांकों की उच्चतम शक्तियों का गुणनफल है।

दिए गए अंकों का LCM (Least Common Multiple) खोजने के लिए:

• LCM उन सभी गुणकों की उच्चतम शक्ति का गुणनफल होगा जो दिए गए अंकों में आते हैं।

आइए कुछ हल किए गए उदाहरण लेते हैं।

प्रश्न: 96, 36 और 18 का LCM खोजें।

समाधान:

सबसे पहले, प्रत्येक संख्या को उनके प्राइम फैक्टर्स में तोड़ें:

• 96 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁵ × 3¹
• 36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²
• 18 = 2 × 3 × 3 = 2¹ × 3²

इसलिए, 96, 36 और 18 का LCM सभी प्राइम फैक्टर्स की उच्चतम शक्तियों का गुणनफल है, अर्थात् 2⁵ × 3² = 32 × 9 = 288। अर्थात्, 288 सबसे छोटा पूर्णांक है, जो 96, 36 और 18 से बिना किसी शेष के विभाजित होता है।

प्रश्न: 42 और 70 का LCM खोजें।

समाधान:

• 42 = 3 × 2 × 7
• 70 = 5 × 2 × 7

इसलिए, LCM = 2 × 3 × 5 × 7 = 210।

प्राइम फैक्टराइजेशन के अलावा, दिए गए अंकों का LCM खोजने का एक अन्य तरीका है, जिसे लंबी भाग विधि कहा जाता है। यह विधि तीन या अधिक अंकों के लिए LCM जल्दी प्राप्त करने में बहुत सहायक होती है।

भाग विधि द्वारा LCM

संख्याओं को कॉमा से अलग करके लिखें। फिर उन्हें प्राइम फैक्टर्स द्वारा ऊर्ध्वाधर क्रम में विभाजित करें (जैसे, 2, 3, 5, 7, आदि) एक समय में। फिर, प्रत्येक भाग के बाद, 'प्रत्येक संख्या का भागफल जो पूर्णतः भाग दिया जाता है (प्राइम नंबर) उसे नीचे लिखें। अविभाजित संख्याओं को वैसा ही छोड़ दें। ऐसा करते रहें जब तक कि प्रत्येक कॉलम में प्राइम फैक्टर्स भागफल के रूप में न आ जाएं। सभी प्राइम फैक्टर्स (भागकर्ता और भागफल) का गुणनफल LCM होगा।

प्रश्न: 8, 12, 15 और 21 का LCM ज्ञात करें।

अतः, LCM है 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 7 = 840।

1. A, B और C का HCF वह सबसे बड़ा भाजक है जो A, B और C को सटीक रूप से विभाजित कर सकता है।

2. A, B और C का LCM वह सबसे छोटा गुणनखंड है जो A, B और C द्वारा सटीक रूप से विभाजित किया जा सकता है।

दो संख्याओं और उनके HCF एवं LCM के बीच एक बहुत महत्वपूर्ण संबंध है, जो नीचे दिया गया है। कई समस्याएँ इस संबंध पर आधारित विभिन्न प्रतियोगी परीक्षाओं में आई हैं।

उदाहरण: दो संख्याओं का LCM और HCF क्रमशः 2079 और 27 है। यदि इनमें से एक संख्या 189 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात करें।

समाधान: दूसरी संख्या होगी =

अतः, आवश्यक संख्या =

उदाहरण: दो संख्याएँ 3: 5 के अनुपात में हैं और उनका LCM 1500 है। संख्याओं का HCF ज्ञात करें।

समाधान: मान लीजिए दो संख्याएँ 3X और 5X हैं। इसलिए उनका HCF = X है। उपरोक्त दिए गए सूत्र का उपयोग करते हुए, हमें LCM = 3 × 5 × X = 15X मिलता है। या, 15X = 1500 => X = 100। इसलिए, संख्याओं का HCF 100 है।

भिन्नों का HCF और LCM

हम निम्नलिखित प्रत्यक्ष सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

भिन्नों का HCF =

इसी प्रकार, भिन्नों का LCM =

उदाहरण: 6/9, 12/15 के दो भिन्नों का HCF और LCM ज्ञात करें।

समाधान: अंश 6 और 12 हैं, उनका HCF = 6 और LCM = 12 है। हर 9 और 15 का LCM = 45 और HCF = 3 है। इसलिए, आवश्यक HCF = और LCM = 12/3 = 4।

उदाहरण: एक व्यक्ति 51 किमी और 85 किमी को एक निश्चित संख्या में मिनटों में चलने की अधिकतम संभव गति क्या है?

समाधान: व्यक्ति की 51 किमी और 85 किमी को एक निश्चित संख्या में मिनटों में चलने की अधिकतम संभव गति ज्ञात करने के लिए, हमें 51 और 85 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करना होगा। यह समस्या 51 किमी और 85 किमी की दूरी का HCF (Highest Common Factor) पूछ रही है।

चरण-दर-चरण प्रक्रिया:

1. 51 और 85 का HCF खोजें:

• 51 के अभाज्य गुणांक हैं: 51 = 3 × 17
• 85 के अभाज्य गुणांक हैं: 85 = 5 × 17

51 और 85 के बीच का सामान्य गुणांक 17 है।

2. परिणाम: वह अधिकतम गति जिस पर व्यक्ति एक निश्चित संख्या में मिनटों में चल सकता है, वह 17 किमी प्रति मिनट है, क्योंकि 17 वह सबसे बड़ा संख्या है जो 51 और 85 दोनों को पूरी तरह से विभाजित करता है।

इस प्रकार, अधिकतम संभव गति 17 किलोमीटर प्रति मिनट है।

शेषफल

• हमें पता है कि जब एक संख्या M को दूसरी संख्या N से विभाजित किया जाता है, और यदि M > N है, तो शेषफल की गणना N के अधिकतम संभावित गुणांक को M से घटाकर की जाती है।
• इस प्रक्रिया में घटाने के बाद बचा हुआ हिस्सा शेषफल कहलाता है, N का अधिकतम गुणांक को भागफल कहा जाता है, और M और N को क्रमशः भाग और भाजक कहा जाता है।
• हमारे पास इनके बीच निम्नलिखित संबंध है: भाग = भागफल × भाजक + शेषफल

शेषफल के बारे में महत्वपूर्ण बिंदु

• शेषफल हमेशा भाजक से कम होता है।
• यदि शेषफल 0 है, तो भाजक को भाग का गुणक कहा जाता है।
• यदि भाग खुद भाजक से कम है, तो शेषफल खुद भाग होता है।

उदाहरण: 5 को 6 से विभाजित करने पर, शेषफल केवल 5 है।

• शेषफल हमेशा इसके वास्तविक रूप में गणना की जानी चाहिए। अर्थात्, इसे सरलतम रूप में नहीं घटाया जाना चाहिए।

उदाहरण: जब 4 को 6 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 4 है और NOT 2।

शेषफल प्रमेय

शेष प्रमेय हमें यह पता लगाने में मदद करता है कि किसी संख्या द्वारा विभाजित करने पर उत्पाद का शेष क्या होगा, बिना पूरे उत्पाद की गणना किए। आइए इसे 17 x 23 को 12 से विभाजित करने के उदाहरण के साथ समझते हैं।

चरण-दर-चरण व्याख्या:

• संख्याओं को फिर से लिखें: हम संख्याओं 17 और 23 को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं कि 12 शामिल हो:
  • 17 = 12 x 1 + 5
  • 23 = 12 x 1 + 11
  इसलिए, हम अभिव्यक्ति को फिर से लिख सकते हैं: 17 x 23 = (12 x 1 + 5) x (12 x 1 + 11)
• अभिव्यक्ति का विस्तार करें: वितरण गुण का उपयोग करते हुए, अभिव्यक्ति का विस्तार करें:
  • (12 x 1 + 5)(12 x 1 + 11) = 12 x 12 + 12 x 11 + 5 x 12 + 5 x 11
• शर्तों की पहचान करें:
  • 12 x 12 (12 से विभाज्य है, इसलिए शेष 0 है)
  • 12 x 11 (12 से विभाज्य)
  • 5 x 12 (12 से विभाज्य)
  • अंतिम शर्त: 5 x 11
• अंतिम शर्त पर ध्यान दें: 12 से विभाजित करते समय शेष पर प्रभाव डालने वाली केवल शर्त 5 x 11 है।
  • 5 x 11 = 55
• शेष खोजें: अब, हमें यह पता लगाना है कि 55 को 12 से विभाजित करने पर शेष क्या है:
  • 55 / 12 = 4 शेष 7 के साथ

इस प्रकार, जब 17 x 23 को 12 से विभाजित किया जाता है, तो शेष 7 है।

शेष प्रमेय शेष खोजने की प्रक्रिया को सरल बनाता है क्योंकि यह विभाजक के संबंध में संख्याओं को फिर से लिखने के बाद केवल प्रासंगिक शर्तों पर ध्यान केंद्रित करता है। हमारे उदाहरण में, हमें केवल अंतिम शर्त 5 x 11 पर विचार करना था ताकि शेष मिल सके।

नकारात्मक शेष का अवधारणा

गणित में, शेष हमेशा गैर-नकारात्मक पूर्णांक होते हैं। हालाँकि, हम कई प्रश्नों को आसानी से और कम गणना के साथ हल करने के लिए नकारात्मक पूर्णांकों के अवधारणा का उपयोग कर सकते हैं।

इसे समझने के लिए एक उदाहरण लेते हैं:

हमें पता है कि 15 को 4 से विभाजित करने पर जो शेष प्राप्त होता है, वह 3 है, क्योंकि 15, 4 के निकटतम गुणांक (जो कि 12 है) से 3 अधिक है। यहाँ हम 15 की तुलना 12 से कर रहे हैं (जो 15 से कम या उसके बराबर 4 का सबसे बड़ा गुणांक है) और पाया कि 15, 12 से 3 अधिक है, इसलिए अतिरिक्त भाग 3 है, जो शेष है। यदि हम 12 की तुलना में 15 की तुलना 16 (15 के निकट एक और 4 का गुणांक) से करें, तो हम कह सकते हैं कि 15, 16 से 1 कम है। या 15 को 4 से विभाजित करने के लिए इसे पूर्णांक में विभाजित करने के लिए 1 की कमी है। इस कमी को नकारात्मक शेष कहा जाता है। अर्थात्, हम कह सकते हैं कि 15 को 4 से विभाजित करने पर शेष -1 है।

नकारात्मक शेष से संबंधित सकारात्मक शेष में परिवर्तन और इसके विपरीत

• यदि N को 5 से विभाजित करने पर प्राप्त शेष -2 है, तो सकारात्मक शेष 5 - 2 = 3 है।
• इसी प्रकार, यदि 7 से विभाजित करने पर किसी संख्या का सकारात्मक शेष 4 है, तो नकारात्मक शेष 4 - 7 = -3 है।

हम इस अवधारणा का उपयोग कुछ उदाहरणों को हल करने में करेंगे ताकि नकारात्मक शेष के अनुप्रयोग को समझा जा सके।

नोट: किसी भी दो या अधिक संख्याओं के गुणन, योग और घटाव का शेष, जब किसी भी प्राकृतिक संख्या से विभाजित किया जाता है, तो उनके शेष के गुणन, योग और घटाव के समान होता है।

आइए इसे एक उदाहरण के साथ समझते हैं: एक संख्या N = लें। अब हम N को 5 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करते हैं। एक तरीका यह है कि हम पहले N = का मान ज्ञात करें, अर्थात् जो 197 के बराबर है। और फिर इस संख्या को 5 से विभाजित करके शेषफल प्राप्त करें = 2।

दूसरा तरीका यह है कि हम N में दिए गए प्रत्येक संख्या के शेषफल को 5 से विभाजित करके ज्ञात करें और फिर इन शेषफल के साथ संबंधित गणितीय ऑपरेटरों का उपयोग करें।

• जब 24 को 5 से विभाजित किया गया तो प्राप्त शेषफल = 4
• जब 8 को 5 से विभाजित किया गया तो प्राप्त शेषफल = 3
• जब 12 को 5 से विभाजित किया गया तो प्राप्त शेषफल = 2
• जब 7 को 5 से विभाजित किया गया तो प्राप्त शेषफल = 2

संख्याओं को उनके संबंधित शेषफल के साथ प्रतिस्थापित करते हैं। चूंकि 12 5 से बड़ा है, हमने 12 को फिर से 5 से विभाजित किया ताकि अंतिम शेषफल = 2 प्राप्त हो सके।

नोट: दूसरा तरीका दिए गए उदाहरण के लिए कठिन या अनावश्यक लग सकता है। लेकिन समझने के उद्देश्य से विस्तृत व्याख्याएँ दी गई हैं, हम देखेंगे कि इस दूसरे तरीके को लागू करके हम कैसे उन्नत समस्याओं को हल कर सकते हैं।

उपरोक्त समस्या में सकारात्मक शेषफल और नकारात्मक शेषफल के सिद्धांत को एक साथ लागू करना: जब 24 को 5 से विभाजित किया गया तो प्राप्त शेषफल = -1, जब 8 को 5 से विभाजित किया गया तो प्राप्त शेषफल = -2, जब 12 को 5 से विभाजित किया गया तो प्राप्त शेषफल = 2, जब 7 को 5 से विभाजित किया गया तो प्राप्त शेषफल = 2। संख्याओं को उनके संबंधित शेषफल के साथ प्रतिस्थापित करते हैं, इसलिए अंतिम शेषफल = 2 है।

प्रश्न: 123 × 124 × 125 को 9 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल क्या है?

हल: 123 को 9 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल = -3
124 को 9 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल = -2
123 को 9 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल = -1
अंतिम शेषफल = (-3)(-2)(-1) = -6। आवश्यक सकारात्मक शेषफल = 9 - 6 = 3।

प्रश्न: 1! 2! 3! …. 100! को 5 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल क्या है।

हल: ध्यान दें कि श्रृंखला 5! से आगे हर संख्या 5 से विभाज्य है, अर्थात् प्रत्येक मामले में शेषफल 0 है। इसलिए आवश्यक शेषफल केवल पहले 4 संख्याओं को विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।

चक्रवातिता

1. अंक 0, 1, 5 और 6:

जब हम इन अंकों के व्यवहार का अवलोकन करते हैं, तो ये सभी किसी भी शक्ति पर उठाने पर संख्या के समान इकाई अंक रखते हैं, अर्थात् 0ⁿ = 0, 1ⁿ = 1, 5ⁿ = 5, 6ⁿ = 6।

• 5² = 25: इकाई अंक 5, संख्या स्वयं।
• 16¹ = 1: इकाई अंक 1, संख्या स्वयं।
• 04⁰ = 0: इकाई अंक 0, संख्या स्वयं।
• 63³ = 216: इकाई अंक 6, संख्या स्वयं।

आइए इस अवधारणा को निम्नलिखित उदाहरण पर लागू करें। उदाहरण: निम्नलिखित संख्याओं का इकाई अंक खोजें:

• 185563
• उत्तर = 5
• 2716987
• उत्तर = 1
• 15625369
• उत्तर = 9
• 6190654789321
• उत्तर = 1
• उत्तर = 0

2. अंक 4 और 9:

इन दोनों अंकों का केवल दो विभिन्न अंकों के रूप में चक्रवातिता होती है।

• 4² = 16: इकाई अंक 6।
• 4³ = 64: इकाई अंक 4।
• 4⁴ = 256: इकाई अंक 6।
• 4⁵ = 1024: इकाई अंक 4।
• 9² = 81: इकाई अंक 1।
• 9³ = 729: इकाई अंक 9।

यह देखा जा सकता है कि इकाई अंक 6 और 4 विषम-सम क्रम में दोहराते हैं। इसलिए, 4 की चक्रवातिता 2 है। 9 के लिए भी यही स्थिति है। इसे इस प्रकार सामान्यीकृत किया जा सकता है:

संख्याएँ 2, 3, 7 और 8:

इन संख्याओं का पावर चक्र 4 विभिन्न संख्याओं का होता है। 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8 और 24 = 16, और इसके बाद यह दोहराने लगता है। इसलिए, 2 का चक्र 4 विभिन्न संख्याएँ 2, 4, 8, 6 हैं। 31 = 3, 32 = 9, 33 = 27 और 34 = 81 और इसके बाद यह दोहराने लगता है। इसलिए, 3 का चक्र 4 विभिन्न संख्याएँ 3, 9, 7, 1 हैं। 7 और 8 इसी तर्क का अनुसरण करते हैं। इसलिए ये चार अंक अर्थात् 2, 3, 7 और 8 के पास एकांक चक्र चार चरणों का है।

चक्रता तालिका

उपरोक्त चर्चा किए गए सिद्धांतों का सारांश निम्नलिखित तालिका में प्रस्तुत किया गया है।

पावर सिद्धांत या किसी संख्या की चक्रता हमें बिना पूरे गणना किए, किसी बड़ी शक्ति में उठाई गई संख्या के अंतिम अंक का पता लगाने में मदद करती है। यह उस संख्या के अंतिम अंक पर निर्भर एक दोहराने वाले पैटर्न पर आधारित है। एक तालिका हमें इस अंतिम अंक की भविष्यवाणी करने में मदद करती है। इसके अलावा, जो अंक एक या दो बार प्रकट होते हैं, वे प्रत्येक चार बार दोहराए जाते हैं। इसलिए, प्रत्येक अंक चार बार दोहराता है।

शून्य की संख्या

1. एक अभिव्यक्ति में शून्य की संख्या

चरण 1

• मान लीजिए आपको उत्पाद में शून्य की संख्या पता करनी है: 24 × 32 × 17 × 23 × 19। हम सबसे पहले इसकी प्राइम फैक्टर में श्रृंखला प्राप्त करते हैं अर्थात् 23∗31∗25∗171∗19∗23। जैसा कि आप देख सकते हैं, इस उत्पाद में कोई शून्य नहीं होगा क्योंकि इसमें कोई 5 नहीं है।
• हालांकि, यदि आपके पास एक अभिव्यक्ति है जैसे 8 × 15 × 23 × 17 × 25 × 22, तो उपरोक्त अभिव्यक्ति को मानक रूप में पुनः लिखा जा सकता है: 23∗31∗51∗23∗17∗52∗21∗111।

चरण 2

शून्य 2 × 5 के संयोजन से बनते हैं। इसलिए, शून्यों की संख्या उस संख्या पर निर्भर करेगी जिसमें 2 और 5 के जोड़े बनाए जा सकते हैं। उपरोक्त उत्पाद में, चार दो और तीन पांच हैं। इसलिए, हम केवल तीन जोड़े (2 × 5) बना सकेंगे। इस प्रकार, उत्पाद में 3 शून्य होंगे।

• इसलिए, शून्यों की संख्या उस संख्या पर निर्भर करेगी जिसमें 2 और 5 के जोड़े बनाए जा सकते हैं।
• उपरोक्त उत्पाद में, चार दो और तीन पांच हैं। इसलिए, हम केवल तीन जोड़े (2 × 5) बना सकेंगे।

2. फैक्‍टो‍रियल मान में शून्य की संख्या ज्ञात करना

• विधि 1: मान लीजिए कि आपको 6! में शून्यों की संख्या ज्ञात करनी है। 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = (3 × 2) × (5) × (2 × 2) × (3) × (2) × (1)। 5 की संख्या गिनने से उत्तर मिल जाएगा।
• विधि 2: 6! में शून्य ज्ञात करने के लिए हम विभाजन का उपयोग करते हैं। हमें उत्तर 1 मिलता है क्योंकि श्रृंखला में पहले पद के बाद सभी विभाजन दशमलव में होते हैं, जिन्हें हम नजरअंदाज करते हैं।

प्रश्न: 12 × 15 × 5 × 24 × 13 × 17 (क) 0 (ख) 1 (ग) 2 (घ) 3 उत्तर: (ग)

हल: 22∗3∗3∗5∗5∗23∗3∗13∗17 = (5*2) के जोड़े 2 हैं, इसलिए हमारे पास 2 शून्य हैं।

3. एक विशेष संकेत

• जब 45!, 46!, 47!, 48!, 49! को हल करते हैं, तो ध्यान दें कि प्रत्येक मामले में शून्य की संख्या 10 के बराबर होगी। यह समझना मुश्किल नहीं है कि इन फैक्‍टो‍रियल में 5 की संख्या 10 के बराबर है। शून्यों की संख्या केवल 50! पर बदलती है (यह 12 हो जाएगी)।
• वास्तव में, यह सभी फैक्‍टो‍रियल मानों के लिए सही होगा जो 5 के दो लगातार उत्पादों के बीच हैं। इस प्रकार, 50!, 51!, 52!, 53! और 54! में 12 शून्य होंगे (क्योंकि इन सभी में 12 पांच हैं)।
• इसी तरह, 55!, 56!, 57!, 58! और 59! में प्रत्येक में 13 शून्य होंगे। जबकि 49! में 10 शून्य हैं, 50! में सीधे 12 शून्य हैं। इसका मतलब है कि कोई फैक्‍टो‍रियल मान नहीं है जो 11 शून्य दे। यह इसलिए होता है क्योंकि 50! प्राप्त करने के लिए हम 49! के मान को 50 से गुणा करते हैं। जब आप ऐसा करते हैं, तो परिणाम यह होता है कि हम उत्पाद में दो 5 जोड़ते हैं। इसलिए, शून्यों की संख्या दो से बढ़ जाती है।
• नोट: 124! पर आपको 24 शून्य मिलेंगे। 125! पर आपको 25 शून्य मिलेंगे = 31 शून्य। (3 शून्य का कूदना।)

उदाहरण: n! में 13 शून्य हैं। n के सर्वोच्च और न्यूनतम मान क्या हैं? (क) 57 और 58 (ख) 59 और 55 (ग) 59 और 6 (घ) 79 और 55 उत्तर: (ख)

हल: 55 पर हमें 13 शून्य मिलते हैं, क्योंकि हम जानते हैं कि 50! में 12 शून्य होते हैं, इसलिए 54! तक हमारे पास 12 शून्य होंगे। इसलिए 55 से 59! में 13 शून्य होंगे।

आधार प्रणाली

• 1. दशमलव संख्या प्रणाली (Base- 10)
• 2. द्विआधारी संख्या प्रणाली (Base- 2)
• 3. अष्टाधारी संख्या प्रणाली (Base- 8)
• 4. हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली (Base- 16)

1. दशमलव संख्या प्रणाली (Base- 10) दशमलव संख्या प्रणाली, जिसका आधार 10 है, अंकों 0 से 9 का उपयोग करती है। दशमलव बिंदु के बाईं ओर की स्थितियाँ 10 की शक्तियों का प्रतिनिधित्व करती हैं, जो इकाइयाँ, दस, सैकड़ों आदि को दर्शाती हैं। उदाहरण: 3567.89 इस उदाहरण में, अंक 3 हजारों की जगह पर है (10³), अंक 5 सैकड़ों की जगह पर है (10²), अंक 6 दस की जगह पर है (10¹), अंक 7 इकाइयों की जगह पर है (10⁰ या 1), अंक 8 दशमलव स्थान पर है और अंक 9 शतांश स्थान पर है।

2. द्विआधारी संख्या प्रणाली (Base- 2) द्विआधारी, या बेस-2, में केवल दो अंके होते हैं, 0 और 1। द्विआधारी संख्याएँ, जैसे 110101, इन दो अंकों के संयोजनों से बनती हैं। उदाहरण: 110101 सबसे दाहिना अंक 2⁰ है, अगला 2¹, फिर 2², और इसी तरह। द्विआधारी संख्या 110101 दशमलव प्रणाली में (1 * 2⁵) (1 * 2⁴) (0 * 2³) (1 * 2²) (0 * 2¹) (1 * 2⁰) = 53 के बराबर है।

3. अष्टाधारी संख्या प्रणाली (Base- 8) अष्टाधारी, जिसका आधार 8 और अंक 0 से 7 होते हैं, कंप्यूटिंग में उपयोग किया जाता है। अष्टाधारी को दशमलव में परिवर्तित करना मानक दशमलव रूपांतरण की प्रक्रिया का पालन करता है। उदाहरण: 745 उदाहरण 745 में, सबसे दाहिना अंक 8⁰ है, अगला 8¹ है, और सबसे बायाँ अंक 8² है। इसे दशमलव में परिवर्तित करते हुए, अष्टाधारी संख्या 745 दशमलव प्रणाली में (7 * 8²) (4 * 8¹) (5 * 8⁰) = 485 के बराबर है।

हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली का उपयोग आधार 16 में होता है और यह 0 से 9 तक के संख्याओं का प्रतिनिधित्व करता है, फिर 10 से 15 के लिए A से F का उपयोग करता है। यह एक प्रणाली है जो सामान्यतः कंप्यूटिंग में उपयोग की जाती है। उदाहरण: 1A3F इस उदाहरण में 1A3F का मान (1 * 16³) (10 * 16²) (3 * 16¹) (15 * 16⁰) = 6719 दशमलव प्रणाली में है।

Q1: 55552345 66665678 का अंतिम अंक क्या है? (a) 1 (b) 3 (c) 5 (d) 7 उत्तर: (a)

चूंकि अंतिम अंक केवल अंतिम अंकों पर निर्भर करता है, केवल अंतिम अंकों के लिए शक्तियों पर विचार करें, अर्थात् 52345 65678। जैसा कि हम जानते हैं, 5 की कोई भी शक्ति केवल 5 के साथ समाप्त होती है और 6 की कोई भी शक्ति केवल 6 के साथ। 52345 65678 का अंतिम अंक = 5⁶ = 11 = 1 इसलिए, विकल्प (A) सही उत्तर है।

Q2: यदि एक दो अंकों की संख्या में, इकाई स्थान पर अंक z है और दस स्थान पर अंक 8 है, तो संख्या क्या है? (a) 80z z (b) 80 z (c) 8z 8 (d) 80z 1 उत्तर: (b)

इकाई स्थान पर अंक = z दस स्थान पर अंक = 8 = 2-अंक संख्या = (10×8) (1×z) = 80 z

Q3: 60! में कितने ट्रेलिंग ज़ीरो (संख्या के अंत में ज़ीरो) हैं? (a) 14 (b) 12 (c) 10 (d) 8 उत्तर: (a)

• शुरू करने के लिए, किसी संख्या के दशमलव प्रतिनिधित्व में ट्रेलिंग ज़ीरो की संख्या = वह सबसे उच्च शक्ति जो 10 संख्या को विभाजित कर सकती है। उदाहरण के लिए, 3600 = 36 * 10² और 45000 = 45 * 10³
• इस प्रश्न को हल करने के लिए, आइए पहले देखते हैं कि सबसे छोटा फैक्टोरियल जो एक ज़ीरो के साथ समाप्त होता है। 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120 अब, 5! एक ज़ीरो के साथ समाप्त होता है क्योंकि जब हम 1 * 2 * 3 * 4 * 5 की गणना करते हैं, तो हमें 10 का गुणनफल मिलता है। 10 = 2 * 5 है, इसलिए हमें हर बार जब हम फैक्टोरियल में 2 और 5 प्राप्त करते हैं, तो 10 का एक गुणक प्राप्त होता है। इसलिए, 5! में 1 ज़ीरो है।
• जो फैक्टोरियल 2 ज़ीरो के साथ समाप्त होता है वह 10! है, 15! में 3 ज़ीरो हैं। 20! में 4 ज़ीरो हैं और इसी तरह। जब भी 2 और 5 मिलते हैं तो एक अतिरिक्त ज़ीरो उत्पन्न होता है। हर सम संख्या एक 2 देती है, जबकि हर पांचवी संख्या हमें एक 5 देती है।
• यहाँ एक महत्वपूर्ण बिंदु है कि चूंकि हर सम संख्या फैक्टोरियल में कम से कम एक 2 योगदान करती है, 2 की संख्या 5 से कहीं अधिक बार होती है। इसलिए, किसी संख्या को विभाजित करने वाले 10 की सबसे उच्च शक्ति को खोजने के लिए, हमें उस संख्या को विभाजित करने वाले 5 की सबसे उच्च शक्ति की गणना करनी होगी। हमें प्रणाली में 2 की संख्या की गणना करने की आवश्यकता नहीं है क्योंकि किसी भी फैक्टोरियल में 5 की तुलना में 2 की संख्या अधिक होगी।
• अब, 5 के प्रत्येक गुणांक फैक्टरियल में एक ज़ीरो जोड़ देंगे। 1 * 2 * 3 *.......59 * 60 में 5 के बारह गुणांक हैं। इसलिए, ऐसा लगता है कि 60! 12 ज़ीरो के साथ समाप्त होगा। लेकिन हमें यहाँ एक और समायोजन करने की आवश्यकता है। 25 = 5² है, इसलिए 25 अकेले दो 5 का योगदान करेगा, और इसलिए प्रणाली में दो ज़ीरो जोड़ देगा। इसी तरह, 25 के प्रत्येक गुणांक एक अतिरिक्त ज़ीरो योगदान देंगे।
• इसलिए, 20! में 4 ज़ीरो हैं, 25! में 6 ज़ीरो हैं। 60! में [60/5] ज़ीरो होंगे जो 5 के गुणांक के कारण हैं और 25 और 50 की उपस्थिति के कारण एक अतिरिक्त [60/25] होंगे। {हम [60/25] के केवल पूर्णांक घटक को बनाए रखते हैं क्योंकि दशमलव भाग का कोई मूल्य नहीं है} इसलिए, 60! 12 + 2 ज़ीरो के साथ समाप्त होगा = 14 ज़ीरो।
• सामान्यीकृत करते हुए, यदि हम n! में 3 की सबसे उच्च शक्ति को खोजने की कोशिश कर रहे हैं, तो यह कुछ नहीं है बल्कि n! में 15 की सबसे उच्च शक्ति जो n! को विभाजित करती है। इसी तरह, यदि हम एक यौगिक संख्या के मामले में हैं, तो हमें इसे उसके घटक अभाज्य संख्याओं में तोड़ना होगा और यह निर्धारित करना होगा कि कौन सी सबसे उच्च शक्ति उस संख्या को विभाजित करती है।

Q4: (a) 42 (b) 53 (c) 1055 (d) इनमें से कोई नहीं के गुणनफल के अंत में ज़ीरो की संख्या कितनी है? उत्तर: (a)

222111 × 35 53 के अंत में शून्य की संख्या 53 है। (7!)6!×(10!)5! के अंत में शून्य की संख्या 960 है। 4242×2525 के अंत में शून्य की संख्या 42 है। इस प्रकार पूरे समीकरण के अंत में शून्य की संख्या 42 है।

प्रश्न 5: 100 ≤ n ≤ 200 में कितने सम पूर्णांक n हैं, जो न तो सात से विभाजित हैं और न ही नौ से?

• (क) 40
• (ख) 37
• (ग) 39
• (घ) 38

उत्तर: (ग)

100 और 200 के बीच दोनों शामिल हैं, वहां 51 सम संख्याएँ हैं। 7 से विभाजित 7 सम संख्याएँ हैं और 9 से विभाजित 6 संख्याएँ हैं और 1 संख्या दोनों से विभाजित है। इसलिए कुल मिलाकर 51 - (7 + 6 - 1) = 39 है। एक और तरीका है जिससे हम उत्तर खोज सकते हैं। चूंकि हमें सम संख्याएँ खोजनी हैं, इसलिए 100 और 200 के बीच 14, 18 और 126 से विभाजित संख्याओं पर विचार करें। ये क्रमशः 7, 6 और 1 हैं।

प्रश्न 6: सकारात्मक पूर्णांकों के कितने जोड़े (a, b) हैं, जहाँ a ≤ b और ab = 42017?

• (क) 2018
• (ख) 2019
• (ग) 2017
• (घ) 2020

उत्तर: (ग)

ab = 42017 = 24034। संख्याओं की कुल संख्या = 4035। इनमें से 4035 संख्याओं में से, हम दो संख्याएँ a, b चुन सकते हैं ऐसे कि a < b,="" जो="" [4035/2]="2017" में="" आती="" हैं।="" और="" चूंकि="" दिया="" गया="" संख्या="" एक="" पूर्ण="" वर्ग="" है,="" हमारे="" पास="" समान="" संख्याओं="" का="" एक="" सेट="" है।="" इस="" प्रकार,="" सकारात्मक="" पूर्णांकों="" के="" कितने="" जोड़े="" (a,="" b)="" हैं,="" जहाँ="" a="" ≤="" b="" और="" ab="42017" =="" />