समीक्षा: समय और कार्य | CSAT की तैयारी (हिंदी) - UPSC PDF Download

समय और कार्य एक महत्वपूर्ण विषय है जो प्रतियोगी परीक्षाओं में महत्वपूर्ण होता है। समय और कार्य से संबंधित प्रश्नों का विभिन्न अनुप्रयोगों के कारण महत्वपूर्ण महत्व होता है।

समय और कार्य एक व्यक्ति या व्यक्तियों के समूह द्वारा किसी कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय और उनके द्वारा किए गए कार्य की दक्षता से संबंधित है।

समय और कार्य की समस्याएँ दो श्रेणियों में आती हैं:

• सौंपे गए कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक समय ज्ञात करना।
• एक निश्चित समय अवधि में किए गए कार्य का पता लगाना।

समय और कार्य क्या है?

• कार्य को किसी प्रभाव या परिणाम के रूप में परिभाषित किया गया है; अक्सर वह जो वांछित या अपेक्षित होता है।
• समय और कार्य का मूल सिद्धांत सभी अंकगणितीय विषयों में समान है, अर्थात् अनुपात का सिद्धांत।
• जब कार्य की मात्रा स्थिर होती है, तो दक्षता समय के लिए व्युत्क्राम अनुपाती होती है। अर्थात्, दक्षता ∝ 1/समय।

दक्षता समय के लिए व्युत्क्राम अनुपाती होती है जब कार्य की मात्रा स्थिर होती है। अर्थात्, दक्षता ∝ 1/समय।

समय और कार्य का सिद्धांत

यदि एक व्यक्ति 'n' दिनों में कार्य पूरा कर सकता है, तो 1 दिन में किया गया कार्य = 1/n, और इस एक दिन के कार्य को प्रतिशत के रूप में क्षमता कहा जाता है।

• यदि एक व्यक्ति एक दिन में 1/n कार्य पूरा कर सकता है, तो वह पूरे कार्य को n दिनों में पूरा कर सकता है। यहाँ, हम मानते हैं कि कुल कार्य एक (एकक) है; दिए गए कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या दिन के कार्य के व्युत्क्रम के बराबर होगी।

यदि A अपने कार्य को 'a' दिनों में पूरा कर सकता है, तो A का एक दिन का कार्य = 1/a है।

यदि B अपना कार्य b दिनों में पूरा कर सकता है, तो B का एक दिन का कार्य = 1/b। यदि A और B एक साथ एक दिन काम करते हैं, तो उनका संयुक्त कार्य 1/a + 1/b या (a*b)/(a+b) है।

इस प्रकार की समस्याओं को तीन तरीकों से हल किया जा सकता है:

• यूनिटरी विधि
• प्रतिशत क्षमता
• LCM दृष्टिकोण (सर्वश्रेष्ठ दृष्टिकोण)

यूनिटरी विधि अब पुरानी हो चुकी है क्योंकि इसकी गणनाएँ कठिन होती हैं।

नोट:

• ज्यादा लोग, कम दिन और विपरीत, कम लोग, ज्यादा दिन।
• ज्यादा लोग, ज्यादा कार्य और विपरीत, ज्यादा कार्य, ज्यादा लोग।
• ज्यादा दिन, ज्यादा कार्य और विपरीत, ज्यादा कार्य, ज्यादा दिन।

दृष्टिकोण

1. प्रतिशत दृष्टिकोण

कुल कार्य का मान 1 कार्य के रूप में लेने के बजाय, हम कुल कार्य को 100 प्रतिशत कार्य के रूप में देख सकते हैं। ऐसी स्थिति में निम्नलिखित नियम लागू होते हैं:

• यदि A एक कार्य a दिनों में करता है, तो एक दिन में A कार्य का 100/a % करता है।
• यदि B एक कार्य b दिनों में करता है, तो एक दिन में B कार्य का 100/b % करता है।
• फिर, यदि A और B एक दिन में एक साथ काम करते हैं, तो उनका संयुक्त कार्य 100/a + 100/b होगा।

उदाहरण: यदि A एक कार्य 10 दिनों में कर सकता है और B वही कार्य 12 दिनों में कर सकता है, तो कार्य कितने दिनों में पूरा होगा?

समाधान: A का एक दिन का कार्य = 100/10 % = 10%, B का एक दिन का कार्य = 100/12% = 8.33%। एक दिन में कुल कार्य = 10% + 8.33% = 18.33%। कुल दिनों की आवश्यकता = 100/18.33 = 5.45 दिन।

2. LCM विधि (सर्वश्रेष्ठ दृष्टिकोण) LCM विधि को एक उदाहरण के माध्यम से सबसे अच्छे तरीके से समझाया जा सकता है। आइए पहले दिए गए उदाहरण का उपयोग करें।

2. LCM विधि (सर्वश्रेष्ठ दृष्टिकोण)

उदाहरण: यदि A एक कार्य को 10 दिनों में कर सकता है और B उसी कार्य को 12 दिनों में कर सकता है, तो कार्य कितने दिनों में पूरा होगा?

समाधान: 10 और 12 का LCM लें, अर्थात् 60। इसे कुल कार्य मान लें। A 10 दिनों में कार्य कर सकता है; इसलिए, वह प्रति दिन 6 इकाइयाँ कार्य करेगा (60/10)। B 12 दिनों में कार्य कर सकता है; इसलिए, वह प्रति दिन 5 इकाइयाँ कार्य करेगा (60/12)। प्रति दिन संयुक्त कार्य की इकाइयाँ = 6 + 5 = 11। कुल दिनों की आवश्यकता = कुल कार्य / प्रति दिन संयुक्त कार्य = 60/11 = 5.45।

निगेटिव कार्य का सिद्धांत

• मान लीजिए कि X और Y एक दीवार बनाने के लिए मिलकर काम कर रहे हैं, लेकिन Z दीवार को तोड़ने का काम कर रहा है। इस मामले में दीवार X और Y द्वारा बनाई जा रही है, लेकिन Z द्वारा तोड़ी जा रही है।
• यदि हम दीवार बनाने के काम को सकारात्मक मानते हैं, तो हम कह सकते हैं कि Z नकारात्मक कार्य कर रहा है।
• गणितीय रूप से, यदि 1 व्यक्ति किसी चीज़ को A दिनों में बनाता है और दूसरा उसे B दिनों में तोड़ता है, तो कार्य प्रति दिन = 1/A - 1/B = (B-A)/AB और दिनों की संख्या = AB/(B-A) है।

उदाहरण: अमित एक दीवार को 6 घंटों में बना सकता है, लेकिन रोहित उसी को 10 घंटों में तोड़ सकता है। यदि दोनों एक साथ काम करते हैं, तो वास्तव में दीवार बनाने के लिए कितने घंटे लगेंगे?

समाधान: अमित दीवार को 6 घंटे में बनाता है (सकारात्मक कार्य) रोहित दीवार को 10 घंटे में नष्ट करता है (नकारात्मक कार्य) अमित द्वारा 1 घंटे में किया गया कार्य = 1/6 रोहित द्वारा 1 घंटे में किया गया कार्य = 1/10 प्रति घंटे किया गया कार्य = 1/6 - 1/10 = 2/30 = 1/15 दीवार को पूरा करने के लिए आवश्यक घंटे की संख्या = 15 घंटे

उत्पाद स्थिरता तालिका का अनुप्रयोग

समय और कार्य के लिए लागू मूल समीकरण है: कार्य किया गया = कार्य दर x समय

• यह समीकरण दिखाता है कि जब किया गया कार्य समान होता है, तो कार्य दर का उलटा समय taken के साथ बदलता है। नतीजतन, उत्पाद स्थिरता तालिका का सीधे समय और कार्य के प्रश्नों के साथ उपयोग किया जाएगा। समय आमतौर पर दिनों या घंटों में होता है। किसी प्रश्न में उपयोग किया गया समय की इकाई आमतौर पर कार्य दर की इकाई के हर में होने वाली संख्या द्वारा तय की जाती है।
• इसलिए, कार्य दर को परिभाषित करने के दो तरीके हैं:
• व्यक्तिगत कार्य दक्षताएँ: उन प्रश्नों में जहाँ व्यक्तिगत कार्य दक्षताएँ या व्यक्तिगत कार्य समय दिया गया है, कार्य दर को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है: कार्य किया गया/समय। इस मामले में, कुल कार्य को 1 (यदि हम भिन्नों के माध्यम से हल करते हैं) और 100% (यदि हम प्रतिशत के माध्यम से हल करते हैं) माना जाता है।

उदाहरण: यदि A एक कार्य को 10 दिनों में पूरा कर सकता है और B उसी कार्य को 12 दिनों में पूरा कर सकता है। तो A और B मिलकर कितने दिनों में कार्य पूरा करेंगे?

समाधान: हम इस प्रश्न को प्रतिशत विधि के माध्यम से हल करेंगे। एक दिन का कार्य = 10% + 8.33% = 18.33%। इसलिए, A और B मिलकर एक दिन में 18.33% कार्य करते हैं। इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि 18.33% कार्य x आवश्यक दिन = 100% कार्य। आवश्यक दिन = 100/18.33 = 5.45। इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि जब व्यक्तिगत कार्य किया गया हो, तो हम कार्य की दर को कार्य किया गया/समय के रूप में परिभाषित करते हैं और कुल कार्य = 100% या 1 लेते हैं।

• कार्य एक निश्चित श्रेणी के श्रमिकों द्वारा पूर्ण किया जाता है। इस प्रकार में, जहाँ एक निश्चित श्रेणी के श्रमिक किसी कार्य या परियोजना पर काम कर रहे हैं, कार्य की दर को उस श्रेणी के श्रमिकों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाएगा जो एक परियोजना पर काम कर रहे हैं। ऐसे मामलों में, कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक घंटे की संख्या के रूप में लिया जाता है।

कार्य समकक्ष विधि

• कार्य समकक्ष विधि दरअसल समय और कार्य समस्याओं का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है। हम पहले से ही जानते हैं कि सूत्र है, यानी कार्य दर x समय = कार्य किया गया। अब, कार्य समकक्ष विधि कहती है कि यदि हम कार्य किया गया को दोगुना करते हैं, तो (कार्य दर x समय) को भी दोगुना होना चाहिए। इसी तरह, यदि कार्य में 20% की वृद्धि की जानी है, तो उत्पाद (कार्य दर x समय) को भी 20% से बढ़ाना चाहिए और इसी तरह आगे बढ़ाना चाहिए।

उदाहरण: एक बढ़ई यह अनुमान लगाता है कि वह 50 लोगों को नियुक्त करके अपने प्रोजेक्ट को 100 दिनों में पूरा कर लेगा। हालाँकि, 50वें दिन के अंत में, जब उसके अनुमान के अनुसार आधा कार्य पूरा होना चाहिए था, वह पाता है कि केवल 40% कार्य पूरा हुआ है।

• क. कार्य पूरा करने के लिए और कितने दिन की आवश्यकता होगी?
• ख. समय पर अपना कार्य पूरा करने के लिए उसे और कितने पुरुषों की आवश्यकता होगी?

समाधान: a) बढ़ई ने 50 दिनों में अपने काम का 40% पूरा कर लिया है। यदि पुरुषों की संख्या समान रहती है, तो जिस दर पर काम चल रहा है, वह भी समान रहेगा। इसलिए, शेष काम अर्थात् काम का 60% 75 दिनों में पूरा होगा (इसे युनिटरी विधि का उपयोग करके हल किया गया)। इसलिए, पूरे प्रोजेक्ट को पूरा करने के लिए 75 और दिन की आवश्यकता होगी। b) अब, यदि वह समय पर काम पूरा करना चाहता है, तो उसे प्रोजेक्ट पर अधिक पुरुषों को नियुक्त करना होगा। 50 पुरुष 50 दिनों के लिए काम कर रहे हैं = 2500 मानव दिन => 2500 मानव दिन 40% कार्य पूरा करने के लिए आवश्यक हैं। शेष कार्य = 60%। शेष कार्य को पूरा करने में = 2500 x 60/40 = 2500 x 1.5 = 3750 मानव दिन। इसे 50 दिनों में पूरा करना है, इसलिए, पुरुषों की संख्या = 3750 / 50 = 75 पुरुष।

चूंकि 50 पुरुष पहले से काम कर रहे हैं, आवश्यक अतिरिक्त पुरुष हैं:

75 - 50 = 25 पुरुष

पाइप और जलाशय

• हम पाइप और जलाशयों पर आधारित प्रश्नों को हल करने के लिए 'समय और कार्य' के समान मूलभूत सिद्धांतों का उपयोग करते हैं। हालांकि, कुछ मामलों में, इनलेट पाइप के अलावा, प्रश्न में आउटलेट पाइप का भी उल्लेख किया गया है।
• जलाशय से जुड़े पाइप को इनलेट पाइप कहा जाता है या आउटलेट पाइप, इसके अनुसार जो इसे भरता है या इसे खाली करता है।
• यहां कार्य और समय के सिद्धांत को लागू करने के लिए, हम मानते हैं कि इनलेट पाइप सकारात्मक कार्य कर रहे हैं और आउटलेट पाइप नकारात्मक कार्य कर रहे हैं, और इन प्रश्नों को हल करने के पीछे का सिद्धांत समान रहता है।

उदाहरण: दो पाइप A और B क्रमशः 20 और 30 मिनट में एक टैंक भर सकते हैं, और एक तीसरा पाइप C इसे 40 मिनट में खाली कर सकता है। यदि तीनों पाइप एक साथ खोले जाएं, तो टैंक भरने में कितना समय लगेगा?

समाधान: 20, 30 और 40 का LCM = 120। मान लेते हैं कि टैंक की क्षमता 120 लीटर है। इसलिए, पाइप A की दर = 120/20 = 6 लीटर/मिनट। इसी प्रकार, पाइप B की दर = 120/30 = 4 लीटर/मिनट। और पाइप C की दर = 120/40 = 3 लीटर/मिनट। जब तीनों पाइप एक साथ खुलते हैं, तो एक मिनट में टैंक में पानी की मात्रा होगी = 6 + 4 - 3 = 7 लीटर। चूंकि पाइप C एक आउटलेट पाइप है, हम इसके कार्य को नकारात्मक मानते हैं। इसलिए, जलाशय को भरने में लगने वाला समय = 120/7 मिनट। इसलिए, उपरोक्त व्याख्या से यह स्पष्ट है कि पाइप और जलाशयों से संबंधित समस्याएँ कार्य और समय का विस्तार हैं।

पाइप और जलाशय पर महत्वपूर्ण अवधारणाएँ

1. लीक पाइप को अकेले टैंक को खाली करने में लगने वाला समय

• यदि एक इनलेट पाइप को एक जलाशय को भरने में 'x' मिनट लगते हैं,
• लेकिन लीक के कारण, इसे जलाशय को भरने में अतिरिक्त 'y' मिनट लगते हैं,
• तो, लीक के लिए पूरी जलाशय को खाली करने में लगने वाला समय, जब इनलेट पाइप काम नहीं कर रहा है, वह मिनट हैं।

उदाहरण: यदि एक टैंक को सामान्यतः एक पाइप द्वारा भरने में 20 मिनट लगते हैं, लेकिन लीक के कारण, इसे भरने में 10 अतिरिक्त मिनट लगते हैं, तो लीक को पूरी टंकी को खाली करने में लगने वाला समय कितना होगा?

समाधान: तुलना करने पर, हमें x=20 और y=10 मिलता है। इसलिए, लीक को मिनट लगेंगे। x और y के मान डालने पर, हमें मिलता है (20 × 20)/(10) = 60 मिनट।

2. टैंक की क्षमता ज्ञात करना

एक जलाशय में एक रिसाव है जो इसे 'a' घंटों में खाली कर सकता है। एक पाइप जो प्रति घंटे 'b' लीटर पानी जलाशय में भरता है, चालू किया जाता है, और अब जलाशय 'c' घंटों में खाली हो जाता है। तब जलाशय की क्षमता लीटर में (a x b x c)/(c-a) है।

उदाहरण : एक टैंक में रिसाव है जो इसे 4 घंटों में खाली कर सकता है। एक पाइप जो प्रति घंटे 20 लीटर पानी टैंक में भरता है, चालू किया जाता है, और अब टैंक 6 घंटों में खाली हो जाता है। टैंक की क्षमता क्या है?

हल: शॉर्टकट सूत्र के साथ तुलना करते हुए, a=4, b=20, और c=6। इसलिए, टैंक की क्षमता = (a x b x c)/(c-a) में a, b और c के मान डालने पर हमें मिलता है (4x20x6)/(6-4) = 240 लीटर।

3. विभिन्न अवधि के लिए पाइप खोले गए: यदि दो पाइप A और B को विभिन्न समय अवधि के लिए खोला जाता है, तो प्रश्न को हल करने के लिए हम A के कार्य की मात्रा और B के कार्य की मात्रा का उपयोग करते हैं = 1। (A का खुला समय / अकेले भरने का समय A का) (B का खुला समय / अकेले भरने का समय B का) = 1

उदाहरण : दो पाइप A और B क्रमशः 12 और 16 मिनट में एक जलाशय को भर सकते हैं। दोनों पाइप एक साथ खोले जाते हैं, लेकिन जलाशय भरने से 4 मिनट पहले, एक पाइप A बंद कर दिया जाता है। जलाशय भरने के लिए आवश्यक समय ज्ञात करें।

हल: मान लेते हैं कि पाइप A और B को जलाशय भरने में x मिनट लगते हैं। इसलिए, पाइप A के संचालन की अवधि = (x-4) मिनट। और पाइप B का संचालन x मिनट के लिए हुआ। अब, ऊपर दिए गए सूत्र में डालते हैं: (x-4)/12 x/16 = 1 (4x-16 3x)/48 = 1 x = 64/7 मिनट। इसलिए, जलाशय को भरने में 64/7 मिनट लगते हैं।

4. पाइप का प्रवाह दर व्यास के समानुपाती है। उदाहरण: तीन इनलेट पाइप हैं जिनका व्यास क्रमशः 1 सेमी, 2 सेमी, और 4 सेमी है। पानी का प्रवाह दर व्यास के वर्ग के सीधे अनुपाती है। सबसे बड़े व्यास वाली पाइप एक टंकी को भरने में 16 मिनट लेती है। यदि तीनों पाइप एक साथ काम करती हैं, तो टंकी को भरने में कितना समय लगेगा।

हल: मान लीजिए कि तीन पाइप A, B, और C हैं। इसलिए, पाइप A के लिए, प्रति मिनट प्रवाह दर = k(1)² = k। इसी प्रकार, पाइप B की प्रति मिनट प्रवाह दर = k(2)² = 4k और, पाइप C की प्रति मिनट प्रवाह दर = k(4)² = 16k, जहां k एक समानुपातिकता स्थिरांक है। यह दिया गया है कि पाइप C अकेले टंकी को 16 मिनट में भर सकती है। इसलिए, टंकी की क्षमता = पाइप C का प्रवाह दर × पाइप C द्वारा लिया गया समय = 16k × 16 = 256k लीटर। अब, जब सभी तीन पाइप एक साथ काम करती हैं, तो प्रति मिनट संयुक्त प्रवाह दर = k + 4k + 16k = 21k। इसलिए, टंकी को भरने के लिए आवश्यक समय = 256k / 21k = 256 / 21 मिनट।

महत्वपूर्ण सूत्र

प्रकार - 1: मूल सूत्र

• यदि M₁ पुरुष W₁ कार्य को D₁ दिनों में कर सकते हैं और M₂ पुरुष W₂ कार्य को D₂ दिनों में कर सकते हैं, तो:
• यदि हम दो समूहों के लिए कार्य घंटे T₁ और T₂ शामिल करते हैं, तो:
• यदि M₁ पुरुष E₁ दक्षता के साथ W₁ कार्य को D₁ दिनों में T₁ कार्य घंटे/दिन में कर सकते हैं और M₂ पुरुष E₂ दक्षता के साथ W₂ कार्य को D₂ दिनों में T₂ कार्य घंटे/दिन में कर सकते हैं, तो:

आइए कुछ उदाहरणों पर नज़र डालें।

उदाहरण 1: एक ठेकेदार ने 100 दिनों में कार्य पूरा करने का निर्णय लिया। उसने 100 श्रमिकों को काम पर रखा। लेकिन 50 दिनों के बाद यह पाया गया कि केवल 1/3 कार्य पूरा हुआ है। उसे समय पर कार्य पूरा करने के लिए कितने और श्रमिकों की आवश्यकता होगी? (क) 100 (ख) 125 (ग) 150 (घ) 175

उदाहरण 1: यदि 25 पुरुष 10 घंटे काम करके 36 दिनों में एक कार्य पूरा कर सकते हैं, तो 20 दिनों में 6 घंटे काम करके कार्य को पूरा करने के लिए कितने पुरुषों की आवश्यकता होगी? (क) 65 (ख) 75 (ग) 84 (घ) 92

उत्तर: विकल्प (ख) सही है।

उदाहरण 2: एक ठेकेदार ने एक निर्धारित समय में सड़क निर्माण पूरा करने के लिए एक निश्चित संख्या में श्रमिकों को नियुक्त किया। कुछ समय बाद, जब कार्य का एक भाग पूरा हो गया, तो उसने महसूस किया कि कार्य निर्धारित समय के तीन-चौथाई समय तक विलंबित होगा, इसलिए उसने तुरंत श्रमिकों की संख्या को दोगुना कर दिया और इस प्रकार वह निर्धारित समय पर सड़क को पूरा करने में सफल रहा। श्रमिकों की संख्या बढ़ाने से पहले कितने प्रतिशत कार्य पूरा हुआ था?

• (क) 10%
• (ख) 12%
• (ग) 15%

उदाहरण 3: जब 2 व्यक्ति काम कर रहे हैं

यदि A एक कार्य को x दिनों में पूरा कर सकता है और B उसे y दिनों में पूरा कर सकता है, तो A और B मिलकर उसी कार्य को (x*y)/(x+y) दिनों में पूरा करेंगे। आइए इसके संबंध में कुछ उदाहरण देखते हैं।

उदाहरण 4: A और B एक कार्य को 12 दिनों में, B और C 15 दिनों में, और C और A 20 दिनों में पूरा कर सकते हैं। यदि प्रत्येक को अलग से वही कार्य करने में कितना समय लगेगा? (क) A = 20 दिन, B = 30 दिन, C = 50 दिन (ख) A = 30 दिन, B = 20 दिन, C = 60 दिन (ग) A = 20 दिन, B = 20 दिन, C = 50 दिन (घ) A = 30 दिन, B = 40 दिन, C = 30 दिन

उदाहरण 5: जब 3 व्यक्ति काम कर रहे हैं

यदि A, B, और C क्रमशः x, y, और z दिनों में कार्य करते हैं, तो तीनों मिलकर कार्य को x*y*z/(xy + xz + yz) दिनों में पूरा कर सकते हैं।

आइए एक उदाहरण देखते हैं।

उदाहरण 6: A एक कार्य को 10 दिनों में, B 20 दिनों में, और C 25 दिनों में पूरा कर सकता है। यदि वे सभी मिलकर काम करते हैं तो वे कितने दिनों में कार्य पूरा कर सकते हैं?

प्रकार - 4: अकेले काम करने के लिए कितने दिन?

यदि A और B मिलकर कोई कार्य x दिन में पूरा कर सकते हैं और A अकेले इसे y दिन में पूरा कर सकता है, तो B अकेले इसे xy/(y-x) दिन में पूरा कर सकता है। आइए एक उदाहरण हल करते हैं।

उदाहरण 6: टेप M द्वारा टैंक भरने की दर टेप N की दर से 60% अधिक है। यदि दोनों टेप एक साथ खोले जाते हैं, तो टैंक भरने में 50 घंटे लगते हैं। N द्वारा अकेले टैंक भरने का समय (घंटों में): (क) 90 घंटे (ख) 110 घंटे (ग) 130 घंटे (घ) 150 घंटे

उत्तर: विकल्प 'ग' सही है।

हल: चूंकि टेप M द्वारा टैंक भरने की दर टेप N की दर से 60% अधिक है, इसलिए टेप M द्वारा टैंक भरने की दर 1.6 गुना है। तो, टेप M की दर 1.6x यूनिट प्रति घंटे है। जब दोनों टेप एक साथ खोले जाते हैं, तो वे 50 घंटे में टैंक भर सकते हैं। इसलिए, दोनों टेपों की संयुक्त दर 1 टैंक प्रति 50 घंटे है, या 1/50 टैंक प्रति घंटे। संयुक्त दर व्यक्तिगत दरों का योग है: x (N की दर) + 1.6x (M की दर) = 1/50

अब, x के लिए हल करें:

x = (1/50) / 2.6

x = 1/50 * 1/2.6

x = 1/130

इसलिए, टेप N प्रति घंटे 1/130 टैंक भरता है।

अब, N द्वारा अकेले टैंक भरने में लगने वाला समय ज्ञात करने के लिए, उसकी दर का व्युत्क्रम लें:

N द्वारा अकेले समय = 1 / (1/130)

N द्वारा अकेले समय = 130 घंटे

इसलिए, टेप N को अकेले टैंक भरने में 130 घंटे लगते हैं।

प्रकार - 5: समय और कार्य के बीच परिवर्तन

• जब एक मात्रा का मूल्य दूसरी मात्रा के घटने के संबंध में बढ़ता है या इसके विपरीत, तो कहा जाता है कि वे विपरीत अनुपात में हैं। इसका मतलब है कि दो मात्राएँ स्वभाव में विपरीत व्यवहार करती हैं।
• क्षमता पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों (D) की संख्या के विपरीत अनुपात में है। इसका मतलब है, E ∝ 1/D या E = K/D जहां K स्थिरांक है ∴ ED = स्थिरांक। इसी तरह, E1D1 = E2D2।
• ये उत्पाद विधियाँ स्थिर कार्य तक सीमित हैं, यदि कार्य की मात्रा बदलती है, तो यह काम नहीं करती, तब हमें यूनिटरी विधि से मदद लेनी होती है।
• यूनिटरी विधि में, एक मात्रा की इकाई के मूल्य की गणना पहले की जाती है ताकि अन्य इकाइयों के मूल्य की गणना की जा सके। इसमें दो प्रकार के परिवर्तन होते हैं:
  • प्रत्यक्ष परिवर्तन: प्रत्यक्ष परिवर्तन में, एक मात्रा में वृद्धि या कमी दूसरी मात्रा में वृद्धि या कमी का कारण बनती है। उदाहरण के लिए, वस्तुओं की संख्या में वृद्धि होने पर अधिक मूल्य आएगा।
  • विपरीत परिवर्तन: यह प्रत्यक्ष परिवर्तन का विपरीत है। यदि हम एक मात्रा को बढ़ाते हैं, तो दूसरी मात्रा का मूल्य कम हो जाता है।

उदाहरण 7: A अकेले एक कार्य पूरा करने में 16 दिन लेता है, जबकि B उसी कार्य को पूरा करने में 8 दिन लेता है। उनकी दक्षता का अनुपात क्या है और कौन कम दक्ष है? (क) 1 : 2 (ख) 1 : 3 (ग) 2 : 3 (घ) 3 : 4

यदि आपको "समय और कार्य" विषय पर अभ्यास प्रश्नों को समझने के लिए शिक्षक की मदद की आवश्यकता है, तो नीचे दिया गया वीडियो देखें:

आइए समय और कार्य पर कुछ प्रश्नों का अभ्यास करते हैं।

अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1: A एक कार्य को 10 दिनों में पूरा कर सकता है, B 12 दिनों में और C 15 दिनों में। वे सभी मिलकर कार्य शुरू करते हैं, लेकिन A को प्रारंभ के 2 दिनों बाद कार्य छोड़ना पड़ा और B को कार्य के पूरा होने से 3 दिन पहले छोड़ना पड़ा। कार्य कितना समय चला?

• (a) 5
• (b) 6
• (c) 7
• (d) 8

उत्तर: विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 2: अरुण और सत्याम एक कार्य को व्यक्तिगत रूप से क्रमशः 12 दिन और 15 दिन में पूरा कर सकते हैं। अरुण केवल सोमवार, बुधवार और शुक्रवार को काम करता है जबकि सत्याम मंगलवार, गुरुवार और शनिवार को काम करता है। रविवार हमेशा छुट्टी होती है। लेकिन अरुण और सत्याम दोनों शुक्रवार और शनिवार को क्रमशः आधी क्षमता से काम करते हैं। यदि अरुण ने 1 जनवरी को काम शुरू किया जो सोमवार है और उसके बाद सत्याम अगले दिन काम करता है और इसी तरह (अर्थात वे वैकल्पिक दिनों में मिलकर काम करते हैं), तो कार्य किस दिन पूरा होगा?

• (a) मंगलवार
• (b) गुरुवार
• (c) शुक्रवार
• (d) शनिवार

हल: यह पैटर्न कुल 2 सप्ताह तक जारी रहा जब 75% कार्य पूरा हो गया।

इसलिए 2 सप्ताह में वे 75% कार्य पूरा करेंगे।

अब शेष 25% में से 15% कार्य तीसरे सप्ताह के सोमवार और मंगलवार को किया जाएगा। फिर भी 10% कार्य अधूरा रह जाएगा। इसमें से 8.33% कार्य अरुण बुधवार को करेगा और शेष 1.66% कार्य गुरुवार को सत्याम द्वारा पूरा किया जाएगा।

इसलिए कार्य गुरुवार को पूरा होगा।

प्रश्न 3: प्राचीन शहर पोर्थियस में, सम्राट ने एक ओवरहेड टैंक स्थापित किया है जिसे दो पंप X और Y द्वारा भरा जाता है। X टैंक को 12 घंटे में भर सकता है जबकि Y टैंक को 15 घंटे में भर सकता है। एक पाइप Z है जो टैंक को 10 घंटे में खाली कर सकता है। दोनों पंप एक साथ खोले जाते हैं। टैंक के पर्यवेक्षक, जब काम पर जाने से पहले, अपने सहायक से कहते हैं कि Z तब खोला जाए जब टैंक ठीक 40% भरा हो ताकि वह लौटने पर टैंक ठीक से भरा हुआ पाए। यदि वह X और Y को ठीक 11:00 बजे चालू करता है और वह A : B पर लौटता है। तो A और B का मान ज्ञात कीजिए।

(क) 40 (ख) 41 (ग) 42 (घ) 43

उत्तर: विकल्प (ख) सही है।

प्रश्न 4: तीन पाइप, A, B और C, क्रमशः 12, 18 और 24 मिनट में एक जलाशय को भर सकते हैं। यदि सभी पाइप एक साथ 7 मिनट के लिए खोले जाते हैं, तो जलाशय से बहने वाले पानी की मात्रा कुल जलाशय की मात्रा के प्रतिशत के रूप में क्या होगी? (क) (ख) (ग) (घ)

कुल कार्य = 72

पाइप A, B और C द्वारा 7 मिनट में किया गया कार्य = (6 4 3) × 7 = 91

बहे हुए पानी की मात्रा = 91 – 72 = 19

आवश्यक प्रतिशत = (19/72) × 100 =

प्रश्न 5: एक अनुबंध पूरा करने में 72 दिन लगते हैं और 104 पुरुषों को काम पर रखा गया है, प्रत्येक 8 घंटे प्रतिदिन काम करते हैं। 30 दिनों के बाद, केवल 1/5 कार्य पूरा हुआ है। समय पर कार्य पूरा करने के लिए कितने अतिरिक्त पुरुषों की आवश्यकता है। (यदि अब प्रत्येक पुरुष 9 घंटे प्रतिदिन काम कर रहा है)?

(क) 153 पुरुष (ख) 155 पुरुष (ग) 158 पुरुष (घ) 161 पुरुष

उत्तर: विकल्प (घ) सही है।

हल: कार्य समकक्षता विधि का उपयोग करते हुए, हमें पता है कि 1/5 कार्य = 104 x 30 x 8 पुरुष-घंटे।

इस प्रकार, शेष कार्य = 4 x 104 x 30 x 8। चूंकि यह कार्य शेष 42 दिनों में 9 घंटे प्रति दिन काम करके किया जाना है, आवश्यक पुरुषों की संख्या होगी: (4 x 104 x 30 x 8) ÷ (42 x 9) = 264.12 = 265 पुरुष। इसका मतलब है कि हमें 161 अतिरिक्त पुरुषों की भर्ती करनी होगी।

प्रश्न 6: दो पाइप एक टैंक को क्रमशः 14 और 16 घंटे में भर सकती हैं। पाइप को एक साथ खोला जाता है और यह पाया जाता है कि टैंक को भरने में 32 मिनट अतिरिक्त लगते हैं। जब टैंक भर जाता है, तो लीक इसे कितने समय में खाली करेगा?

हल: 32 मिनट अतिरिक्त वह अतिरिक्त समय है जो पाइपों ने लीक के कारण लिया।

पाइपों का सामान्य समय → n * (1/14 + 1/16) = 1 → n = 112 / 15 = 7 घंटे 28 मिनट।

इस प्रकार, 32 मिनट अतिरिक्त के साथ, पाइपों को टैंक भरने में 8 घंटे लगेंगे।

इस प्रकार, 8(1/14 + 1/16) - 8 * (1/L) = 1 → 8 / L

= 8(15 / 112) - 1

1/L = 15 / 112 - 1/8

= 1/112।

इस प्रकार, L = 112 घंटे।