सारांश: औसत | CSAT की तैयारी (हिंदी) - UPSC PDF Download

CSAT में महत्व

यह अध्याय CSAT परीक्षाओं के लिए बेसिक न्यूमेरसी का सबसे महत्वपूर्ण अध्यायों में से एक है। पिछले वर्षों के प्रश्न पत्रों के विश्लेषण से स्पष्ट है कि इस अध्याय से सीधे प्रश्न नहीं पूछे जाते हैं, लेकिन इसके मूलभूत सिद्धांत डेटा इंटरप्रिटेशन के लिए आवश्यक होते हैं। वर्ष 2024 में 2 प्रश्न पूछे गए थे और वर्ष 2023 में 1 प्रश्न पूछा गया था, और वर्षों 2015-2022 में औसत के सीधे आवेदन पर लगभग 1-2 प्रश्न पूछे गए थे।

औसत क्या है?

औसत को डेटा के एक सेट में केंद्रीय मान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

• औसत को एक सेट में सभी मानों के योग को मानों की कुल संख्या से विभाजित करके सरलता से निकाला जा सकता है। दूसरे शब्दों में, एक औसत मान डेटा सेट का मध्य मान दर्शाता है। डेटा सेट किसी भी चीज़ का हो सकता है जैसे आयु, धन, रन, आदि।

उदाहरण: पहले पांच लगातार विषम संख्याओं का औसत क्या है?

हल:

पहले पांच लगातार विषम संख्याएँ हैं: 1, 3, 5, 7, 9।

यहाँ, डेटा या अवलोकनों की संख्या 5 है और इन 5 संख्याओं का योग 25 है।

तो, औसत = 25 / 5 = 5।

औसत का अनुप्रयोग

प्रकार I: औसत आयु

जब कोई व्यक्ति एक समूह को छोड़ता है और उस स्थान पर कोई अन्य व्यक्ति समूह में शामिल होता है, तो:

(i) औसत आयु में वृद्धि होने की स्थिति में,

नए व्यक्ति की आयु = छोड़े गए व्यक्ति की आयु (समूह में व्यक्तियों की संख्या × औसत आयु में वृद्धि)

(ii) यदि औसत आयु में कमी आती है,

नए व्यक्ति की आयु = समूह में छोड़ने वाले व्यक्ति की आयु - (समूह में व्यक्तियों की संख्या × औसत आयु में कमी)

उदाहरण: 10 दोस्तों के समूह की औसत आयु 10 वर्ष है। यदि उनमें से एक दोस्त समूह छोड़ देता है, लेकिन उसकी जगह एक और दोस्त जिसकी आयु 22 वर्ष है, समूह में शामिल होता है, तो औसत आयु 8 वर्ष हो जाती है। उस दोस्त की आयु ज्ञात करें जिसने समूह छोड़ा।

• (क) 40 वर्ष
• (ख) 42 वर्ष
• (ग) 44 वर्ष
• (घ) 46 वर्ष

समाधान: (ख)

व्याख्या:

नए दोस्त की आयु = छोड़ने वाले दोस्त की आयु - [समूह में व्यक्तियों की संख्या × औसत आयु में कमी]

⇒ 22 = छोड़ने वाले दोस्त की आयु - (10 × (10 - 8))

∴ छोड़ने वाले दोस्त की आयु = 22 + (10 × 2)

= 22 + 20

= 42 वर्ष

प्रकार II: संख्याओं का औसत

1. प्राकृतिक संख्याओं से संबंधित औसत

(i) n तक के निरंतर प्राकृतिक संख्याओं का औसत

= (n + 1) / 2

(ii) n तक के निरंतर प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का औसत

(iii) n तक के निरंतर प्राकृतिक संख्याओं के घनों का औसत

उदाहरण: पहले पांच प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का औसत ज्ञात करें।

• (क) 10
• (ख) 11
• (ग) 3
• (घ) 5

समाधान: (ख)

पहले पांच प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का औसत

2. सम संख्याओं से संबंधित औसत

(i) n निरंतर सम संख्याओं का औसत = (n + 1)

(ii) n निरंतर सम संख्याओं के वर्गों का औसत =

(iii) n तक के निरंतर सम संख्याओं के वर्गों का औसत =

उदाहरण: 10 तक के निरंतर सम संख्याओं के वर्गों का औसत ज्ञात करें।

हल: (b)

10 तक के लगातार सम संख्याओं का वर्ग का औसत

3. विषम संख्याओं से संबंधित औसत

(i) n लगातार विषम संख्याओं का औसत = n

(ii) n तक के लगातार विषम संख्याओं का औसत = (n + 1) / 2

उदाहरण: 9 तक के लगातार विषम संख्याओं का औसत ज्ञात करें।

• (a) 4
• (b) 5
• (c) 7
• (d) 9

हल: (b)

व्याख्या: 9 तक के लगातार विषम संख्याओं का औसत = (n + 1) / 2 = (9 + 1) / 2 = 10 / 2 = 5

प्रकार III औसत गति

1. यदि एक निश्चित दूरी को x km/h की गति से और वही दूरी y km/h की गति से कवर किया जाता है, तो पूरे यात्रा का औसत गति है

उदाहरण: यदि यात्रा का आधा भाग 15 km/h की गति से और अगला आधा भाग 12 km/h की गति से तय किया जाता है, तो पूरे यात्रा का औसत गति ज्ञात करें।

हल:

औसत गति =

यहाँ, x = 15 और y = 12

2. यदि एक व्यक्ति या मोटर कार तीन समान दूरी को x km/h, y km/h, और z km/h की गति से तय करती है, तो पूरे यात्रा के लिए औसत गति है

उदाहरण: एक ट्रेन पहले 160 किमी को 120 km/h की गति से, अगले 160 किमी को 140 km/h की गति से, और अंतिम 160 किमी को 80 km/h की गति से तय करती है। पूरे यात्रा के लिए ट्रेन की औसत गति ज्ञात करें।

हल:

यहाँ, x = 120, y = 140 और z = 80

3. यदि एक व्यक्ति A किमी को x km/h की गति से, B किमी को y km/h की गति से, और C किमी को z km/h की गति से तय करता है, तो पूरे यात्रा का औसत गति है

उदाहरण: एक व्यक्ति 9 किमी को 3 km/h की गति से, 25 किमी को 5 km/h की गति से, और 30 किमी को 10 km/h की गति से तय करता है। पूरे यात्रा का औसत गति ज्ञात करें।

समाधान:

यहाँ, A= 9, B= 25, C=30, x= 3, y=5, z=10

4. यदि कोई व्यक्ति दूरी के A^th भाग को x किमी/घंटा की गति से, B^th भाग को y किमी/घंटा की गति से, और शेष C^th भाग को z किमी/घंटा की गति से कवर करता है, तो पूरे यात्रा के दौरान औसत गति है

उदाहरण: एक ट्रेन यात्रा के 50% को 30 किमी/घंटा की गति से, 25% को 25 किमी/घंटा की गति से, और शेष को 20 किमी/घंटा की गति से कवर करती है। पूरी यात्रा के दौरान ट्रेन की औसत गति ज्ञात करें।

औसत गति =

यहाँ, A=50, B=25, C=25, x=30, y=25 और z= 20

माध्यिका और मोड

• माध्यिका एक सीमित संख्या की सूची का मान है जिसे सभी अवलोकनों को सबसे कम से लेकर सबसे अधिक मूल्य तक व्यवस्थित करके और बीच का मान निकालकर पाया जा सकता है।
• मोड वह मान है जो सबसे अधिक बार आता है: मोड = 3*माध्यिका - 2*औसत

नोट:

पहले n निरंतर प्राकृतिक संख्याओं का योग = [n(n + 1)]/2

पहले n निरंतर प्राकृतिक संख्याओं का औसत = (n + 1)/2

शॉर्टकट तकनीकें: औसत पर आधारित प्रश्नों को शॉर्टकट का उपयोग करके आसानी से हल किया जा सकता है। शॉर्टकट का उपयोग करके, किसी भी प्रश्न को तेजी से और कुशलता से हल किया जा सकता है, जिससे समय की काफी बचत हो सकती है।

शॉर्टकट तकनीकें

औसत पर आधारित प्रश्नों को शॉर्टकट का उपयोग करके आसानी से हल किया जा सकता है। शॉर्टकट का उपयोग करके, किसी भी प्रश्न को तेजी से और प्रभावी ढंग से हल किया जा सकता है, जिससे समय की बचत होती है।

1. औसत या औसत में परिवर्तन ज्ञात करने के लिए

उदाहरण 1:

एक बल्लेबाज का 16 पारियों में औसत 36 है। अगली पारी में, वह 70 रन बनाता है। उसका नया औसत क्या होगा?

• a) 44
• b) 38
• c) 40
• d) 48

पारंपरिक विधि से समाधान:

नया औसत = (पुराना योग + नया स्कोर)/(कुल पारियों की संख्या) = ((16 × 36) + 70)/((16 + 1)) = 38

शॉर्टकट तकनीक:

• चरण 1) नए स्कोर और पुराने औसत के बीच का अंतर लें = 70 – 36 = 34
• चरण 2) यह 34 अतिरिक्त रन हैं जो 17 पारियों में फैले हुए हैं। इसलिए, पारी का औसत 34/17 = 2 से बढ़ेगा।
• चरण 3) इस प्रकार, औसत में वृद्धि होगी => 36 + 2 = 38।

यहाँ कुछ और औसत प्रश्न और उनके समाधान इसी तकनीक का उपयोग करके हैं।

उदाहरण 2:

एक विशेष स्कूल में 19 बच्चों का औसत अंक 50 है। जब एक नए छात्र का अंक 75 आता है, तो कक्षा का नया औसत क्या होगा?

चरण 1) पुराने औसत और नए अंकों के बीच का अंतर लें = 75 - 50 = 25

चरण 2) यह 25 का स्कोर 20 छात्रों में वितरित किया जाएगा => 25/20 = 1.25

चरण 3) इस प्रकार, औसत में वृद्धि होगी 1.25 => 50 + 1.25 = 51.25।

2. एक और उदाहरण जहाँ औसत घटता है:

उदाहरण 3:

श्री मार्क के 3 बच्चों की औसत उम्र 8 वर्ष है। एक नया बच्चा पैदा होता है। उनके सभी बच्चों की औसत उम्र ज्ञात करें?

नई उम्र 0 वर्ष होगी। पुराने औसत और नई उम्र के बीच का अंतर = 0 - 8 = -8

यह उम्र 8 वर्ष 4 बच्चों में वितरित होती है => (-8/4 = -2) इस प्रकार, औसत घटकर 8 - 2 = 6 वर्ष हो जाती है।

3. जब औसत दिया गया हो, नया मान खोजने के लिए:

29 छात्रों की औसत आयु 18 वर्ष है। यदि शिक्षक की आयु भी शामिल की जाए तो कक्षा की औसत आयु 18.2 वर्ष हो जाती है। शिक्षक की आयु ज्ञात करें?

• a) 28
• b) 32
• c) 22
• d) 24

समाधान: पारंपरिक समाधान:

मान लें कि शिक्षक की औसत आयु = x (29 × 18 + x × 1)/30। x के लिए हल करने पर, हमें x = 24 मिलता है।

शॉर्टकट तकनीक:

पहले उपयोग की गई विधि के आधार पर शॉर्टकट का उपयोग करते हुए:

चरण 1: औसत में परिवर्तन की गणना करें = 18.2 – 18 = 0.2। यह 0.2 का परिवर्तन 30 के नमूने में दर्शाया गया है।

नया मान औसत से 30 × 0.2 = 6 वर्ष बढ़ गया है, अर्थात् 18 + 6 = 24; जो कि शिक्षक की आयु है।

औसत ज्ञात करने के लिए विचलन की विधि

मानित औसत का सिद्धांत नया नहीं है। इसका उपयोग बड़े डेटा में औसत खोजने के लिए गणना को कम करने के लिए व्यापक रूप से किया जाता है।

यहाँ, हम औसत और भारित औसत आधारित कुछ योग्यता प्रश्नों को हल करने के लिए मानित औसत के उपयोग का प्रदर्शन करेंगे।

हम इस सिद्धांत को समझने के लिए एक उदाहरण लेते हैं:

उदाहरण: 30 छात्रों की कक्षा में, औसत आयु 12 वर्ष है। यदि कक्षा शिक्षक की आयु शामिल की जाए, तो कक्षा की नई औसत आयु 13 वर्ष हो जाती है। कक्षा शिक्षक की आयु ज्ञात करें।

मानक दृष्टिकोण

मानक दृष्टिकोण लागू करते हुए, 30 छात्रों की कुल आयु = वर्ष। जब कक्षा शिक्षक शामिल किए जाते हैं, तो कक्षा की नई कुल आयु = वर्ष। ध्यान दें कि कुल आयु में बढ़ोतरी केवल कक्षा शिक्षक के कारण है। इसलिए कक्षा शिक्षक की आयु = 403 – 360 = 43 वर्ष है।

विपथन विधि

विपथन विधि को समझने के लिए, हम समस्या का अनुकरण करते हैं। औसत आयु के मामले में, मान लीजिए कि प्रत्येक छात्र के पास 12 चॉकलेट हैं।

• कक्षा के शिक्षक कुछ चॉकलेट लेकर आए और कक्षा में चॉकलेट का पुनर्वितरण इस प्रकार किया गया कि प्रत्येक व्यक्ति, जिसमें कक्षा का शिक्षक भी शामिल है, के पास समान संख्या में चॉकलेट हों; जिसका परिणाम 13 चॉकलेट प्रति व्यक्ति (नया औसत) है।
• अब, यह स्पष्ट है कि यदि कक्षा का शिक्षक केवल 12 चॉकलेट लाता है, तो औसत वही रहेगा यानी 12 (क्योंकि वह उस समूह की औसत चॉकलेट संख्या के बराबर चॉकलेट लेकर आया है)।
• लेकिन यहाँ कक्षा के शिक्षकों के समावेश के साथ, औसत 1 से बढ़ जाता है। इसका मतलब है कि वह चॉकलेट की संख्या लेकर आया जिससे उसने प्रत्येक छात्र को 1 चॉकलेट दी ताकि अब प्रत्येक 30 छात्रों के पास 13 चॉकलेट हों।
• अंत में, उसके पास 13 चॉकलेट अपने लिए बचती हैं ताकि उसे शामिल करते हुए, कक्षा के प्रत्येक सदस्य के पास अब 13 चॉकलेट हों।

इसलिए, वह 30 × 13 = 390 चॉकलेट लेकर आया। या कक्षा के शिक्षक की आयु 43 वर्ष है।

औसत के बारे में महत्वपूर्ण तथ्य

• यदि प्रत्येक संख्या को एक निश्चित मात्रा n से बढ़ाया/घटाया जाता है, तो औसत भी उसी मात्रा से बढ़ता या घटता है।
• यदि प्रत्येक संख्या को एक निश्चित मात्रा n से गुणा/भाग किया जाता है, तो औसत भी उसी मात्रा से गुणा या भाग होता है।
• यदि आधी संख्याओं में एक ही मान जोड़ा जाता है और दूसरी आधी संख्याओं से वही मान घटाया जाता है, तो औसत के अंतिम मान में कोई परिवर्तन नहीं होगा।

भारित औसत

भारित अंकगणितीय माध्य, जिसे आमतौर पर WAM (Weighted Arithmetic Mean) के रूप में दर्शाया जाता है, निम्नलिखित रूप में अभिव्यक्त किया जाता है:

जहाँ x1, x2, x3, …, xn औसत हैं और w1, w2, w3, .., wn उनके संबंधित भार हैं।

उदाहरण: 25 लड़कों और 15 लड़कियों की एक कक्षा में, लड़कों और लड़कियों के दो समूहों की औसत ऊँचाई क्रमशः 150 सेमी और 140 सेमी है। कक्षा की औसत ऊँचाई ज्ञात करें।

मानक दृष्टिकोण:

लड़कों के समूह का कुल भार = 25 और लड़कियों के समूह के लिए, कुल भार = 15। इसलिए, कक्षा की औसत ऊँचाई =

अवकलन दृष्टिकोण:

मान लीजिए कि प्रत्येक लड़का और प्रत्येक लड़की क्रमशः 150 और 140 चॉकलेट ले जा रहे हैं।

• हमें कुल चॉकलेट का वितरण इस प्रकार करना है कि प्रत्येक लड़का और लड़की समान संख्या में चॉकलेट ले जाएं। चूंकि प्रत्येक लड़का प्रत्येक लड़की से 10 चॉकलेट अधिक ले जा रहा है, इसलिए हम प्रत्येक लड़के से 10 चॉकलेट ले लेते हैं ताकि अब प्रत्येक लड़का और लड़की 140 चॉकलेट ले जा सके। हमारे पास अतिरिक्त चॉकलेट हैं।
• ये अतिरिक्त चॉकलेट लड़कों और लड़कियों में समान रूप से वितरित की जाएंगी। इसलिए, सभी को = 6.25 अधिक चॉकलेट मिलेगा। इसलिए कक्षा की औसत = 140 + 6.25 = 146.25 सेमी।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1: 15 चयनित खिलाड़ियों द्वारा EPL में औसत गोल 16 है। एक खिलाड़ी द्वारा बनाए गए अधिकतम गोल 20 हैं और न्यूनतम 12 हैं। खिलाड़ियों द्वारा बनाए गए गोल 12 और 20 के बीच हैं। ऐसे में अधिकतम कितने खिलाड़ियों ने कम से कम 18 गोल किए हो सकते हैं?

• c) 9
• d) 6
• e) इनमें से कोई नहीं

समाधान: विकल्प (c)

18 और उससे अधिक गोल करने वाले खिलाड़ियों की संख्या को अधिकतम करने के लिए, यह मान लेना चाहिए कि केवल एक व्यक्ति ने 20 गोल किए हैं। इसके खिलाफ, एक व्यक्ति ने 12 गोल किए होंगे।

यानी, 15 – 2 = 13 खिलाड़ी बचे हैं।

अब, 18 और उससे अधिक गोल करने वालों की संख्या को अधिकतम करने के लिए, हर दो खिलाड़ियों के लिए जो 18 गोल कर रहे हैं, एक खिलाड़ी 12 गोल करेगा। यह एक औसत 16 तक पहुंचने के लिए किया गया है। हमारे पास 8 खिलाड़ी हैं जो 18 गोल कर चुके हैं और 4 खिलाड़ी हैं जो 12 गोल कर चुके हैं। अंतिम खिलाड़ी का स्कोर 16 होगा। इस प्रकार, 18 और उससे अधिक गोल करने वालों की अधिकतम संख्या = 9।

प्रश्न 2: 8 लड़कियों के समूह का औसत वजन 50 किलोग्राम है। यदि 2 लड़कियां R और S, P और Q की जगह लेती हैं, तो नया औसत वजन 48 किलोग्राम हो जाता है। P का वजन = Q का वजन और R का वजन = अन्य लड़की T का वजन समूह में शामिल होने पर नया औसत वजन 48 किलोग्राम हो जाता है। T का वजन = R का वजन। P का वजन क्या है?

• a) 48 किलोग्राम
• b) 52 किलोग्राम
• c) 46 किलोग्राम
• d) 56 किलोग्राम

समाधान: विकल्प (d)

8 x 50 - R - S - P - Q = 48 × 8

R + S - P - Q = -16

P + Q - R - S = 16

R = S और P = Q

P - R = 8

एक और व्यक्ति शामिल किया जाता है और वजन = 48 किलोग्राम

मान लीजिए वजन a = (48 × 8) + a = 9/9 = 48

A = 48 किलोग्राम = R का वजन

=> P का वजन = 48 + 8 = 56 किलोग्राम।

प्रश्न 3: EPL में 15 चयनित खिलाड़ियों द्वारा किए गए लक्ष्यों की औसत संख्या 16 है। किसी खिलाड़ी द्वारा किए गए लक्ष्यों की अधिकतम संख्या 20 है और न्यूनतम 12 है। खिलाड़ियों द्वारा किए गए लक्ष्य 12 और 20 के बीच हैं। कम से कम 18 गोल करने वाले खिलाड़ियों की अधिकतम संख्या क्या हो सकती है? क) 10 ख) 5 ग) 9 घ) 6

समाधान: विकल्प (ग) अधिकतम 18 गोल या उससे अधिक करने वाले खिलाड़ियों की संख्या को अधिकतम करने के लिए, यह मान लेना चाहिए कि केवल एक व्यक्ति ने 20 गोल किए। इसके खिलाफ, एक व्यक्ति 12 गोल करेगा। यानी, 15 - 2 = 13 खिलाड़ी बचे।