महत्वपूर्ण सूत्र: घड़ियाँ | CSAT की तैयारी (हिंदी) - UPSC PDF Download

घड़ी के बारे में तथ्य

एक घड़ी एक गोल उपकरण है जिसमें तीन सुइयां होती हैं: घंटे की सुई, मिनट की सुई और सेकंड की सुई। सभी सुइयां गोल डायल के चारों ओर घूमती हैं। घंटे की सुई, मिनट की सुई से छोटी होती है और घंटे की सुई, मिनट की सुई से धीमी गति से चलती है। घंटे की सुई समय को घंटों में और मिनट की सुई समय को मिनटों में दिखाती है।

घड़ी को 1 से 12 तक के नंबरों के साथ 12 समान भागों में विभाजित किया गया है। प्रत्येक खंड के लिए 360/12 = 30° होता है। एक घंटा तब होता है जब मिनट की सुई एक पूर्ण चक्कर पूरा करती है, अर्थात् 360° को कवर करती है।

घड़ी की संरचना

• डायल: एक घड़ी का डायल गोल होता है। डायल के परिधि पर 1 से 12 तक के नंबर होते हैं, जो 12-घंटे के चक्र में घंटों को दर्शाते हैं। डायल का व्यास 60 समान मिनट के स्थानों या 12 समान घंटे के स्थानों में विभाजित होता है।
• मिनट के स्थान: घड़ी का चेहरा या डायल गोल होता है, जिसे 60 समान टुकड़ों में विभाजित किया गया है, जिन्हें मिनट के स्थान कहा जाता है।
• घंटे की सुई और मिनट की सुई: घड़ियों में दो सुइयां होती हैं, जिनमें से छोटी को घंटे की सुई या शॉर्टहैंड कहा जाता है, और बड़ी को मिनट की सुई कहा जाता है।
• सेकंड की सुई: गोल डायल पर, सेकंड की सुई सेकंड का प्रतिनिधित्व करती है। यह एक मिनट में एक बार घूमती है।
• ओवरलैप: हर घंटे में, दोनों सुइयां एक दूसरे के साथ मेल खाती हैं।
• स्ट्रेट लाइन: जब सुइयां समानांतर या एक-दूसरे के सामने होती हैं, तो वे एक सीधी रेखा बनाती हैं।

घड़ी के 12 समान विभाजन

किसी भी दो लगातार विभाजनों के बीच का कोण = (360°)/12 = 30°

घड़ी के कोण विभाजन

घड़ियाँ महत्वपूर्ण रूपांतरण

घड़ियों से संबंधित प्रश्नों को हल करने के लिए आपको निम्नलिखित सूत्र पता होने चाहिए:

• 60-मिनट का स्थान = 360° = 1 घंटा
• 1-मिनट का स्थान = 6°
  2-मिनट का स्थान = 6° × 2 = 12°
  3-मिनट का स्थान = 6° × 3 = 18°
• दाएँ कोण या समकोण = 15-मिनट के स्थान अलग-अलग
  12 घंटे में 22 बार दाएँ कोण होते हैं या 24 घंटे (1 दिन) में 44 बार होते हैं
• मिनट की सुई की गति = 6 dpm (डिग्री प्रति मिनट)
• सीधा कोण या सीधी रेखा या 180° = 30-मिनट के स्थान अलग-अलग
  सीधा कोण 12 घंटे में 11 बार या 24 घंटे (1 दिन) में 22 बार होता है
• घंटे की सुई द्वारा 12 घंटों में बनाया गया कोण = मिनट की सुई द्वारा 60 मिनट में बनाया गया कोण = 360°।
• घंटे की सुई की गति = 0.5 dpm (डिग्री प्रति मिनट)
• N बजे घड़ी की सुई का ऊर्ध्वाधर से कोण = 30N

सुइयों की गति की तुलना

गति में अंतर = 6°– (1/2°) = 5.5° प्रति मिनट

मिनट की सुई और घंटे की सुई की गति की तुलना करते समय, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि मिनट की सुई हमेशा घंटे की सुई से 5.5° तेज होती है या घंटे की सुई हमेशा मिनट की सुई से 5.5° धीमी होती है।

नोट: सेकंड की सुई की गति का मूल्यांकन आवश्यक नहीं है क्योंकि यह एक सेकंड में एक सेकंड की दूरी तय करती है।

घड़ी की सुइयों की संयोग और टकराव की आवृत्ति:

जैसा कि हम जानते हैं, घड़ी की सुइयाँ विभिन्न गति से चलती हैं, वे संयोग और टकराव करती हैं और दिन में विभिन्न समय पर एक-दूसरे के बीच विभिन्न कोण बनाती हैं।

प्रश्न: एक दिन में घड़ी की मिनट और घंटे की सुई कितनी बार एक-दूसरे के साथ मेल खाती हैं (उनके बीच का कोण शून्य है)?

• एक दिन की शुरुआत मध्यरात्रि में होती है, और इस प्रकार, सुइयों का पहला मेल मध्यरात्रि में होता है। अब घड़ी को देखते हुए, अगला मेल लगभग 1:05 बजे होगा। इसलिए, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि हर घंटे में एक सुईयों का मेल होता है। इसलिए, उत्तर 24 बार होना चाहिए 24 घंटों के लिए। लेकिन यह सही उत्तर और तर्क नहीं है।
• अब 11 बजे से 12 बजे के बीच का समय देखें, चाहे वह A.M हो या P.M, सुइयाँ 11 बजे और 12 बजे के बीच मेल नहीं खाती हैं। 12 बजे सुईयों का मेल 12 और 1 के बीच और 11 और 12 के बीच होता है। इसलिए, 12 घंटों में केवल 11 मेल होंगे, और 24 घंटे के लिए तर्क को बढ़ाते हुए, 22 मेल होंगे।
• यदि 12:00:00 A.M दिन में सुईयों का पहला मेल है, तो अगला मेल 1:05 बजे होगा, लेकिन सेकंड का मूल्यांकन करना कठिन है, लेकिन असंभव नहीं है।
• हमें पता है कि 12 घंटे में 11 मेल होंगे। इसलिए, एक टकराव होगा:

एक टकराव की आवृत्ति = (12 घंटे)/11

एक टकराव की आवृत्ति = (12*60 मिनट)/11

एक टकराव की आवृत्ति = (720 मिनट)/11

एक टकराव की आवृत्ति = 65(5/11)

मान 65(5/11) दर्शाता है कि घड़ी की सुइयाँ हर 65 मिनट 5/11 मिनट के बाद मेल खाती हैं। अर्थात, यदि 12:00:00 पहले टकराव है, तो अगला टकराव प्राप्त करने के लिए 65(5/11) को 12 बजे जोड़ना होगा।

प्रश्न: एक दिन में घड़ी की मिनट और घंटे की सुई कितनी बार 180° सीधी रेखा बनाती हैं?

• घड़ी की सुइयाँ हर घंटे में एक 180° का सीधा रेखा बनाती हैं, सिवाय 5 बजे से 6 बजे के बीच। घड़ी का सटीक अवलोकन और विश्लेषण यह दर्शाता है कि 5 बजे और 6 बजे के बीच, सुइयाँ ठीक 6 बजे 180° का सीधा रेखा बनाती हैं, और इसलिए, यह 5 बजे से 6 बजे के बीच नहीं हो सकता। इसके बजाय, इसे 6 बजे और 7 बजे के बीच बने सीधी रेखा के रूप में माना जाता है। इसलिए, घड़ी की सुइयाँ 12 घंटों में 11 बार 180° का सीधा रेखा बनाती हैं, और 24 घंटों के लिए सामान्यीकृत करते हुए, सुइयाँ 24 घंटों में 22 लगातार 180° की रेखाएँ बनाती हैं।

कोण ज्ञात होने पर समय ज्ञात करना

जब सुइयों के बीच का कोण 180°, 90° या 270° जैसे सही कोण नहीं होते हैं, तो प्रश्नों को हल करना कठिन और समय-खपाऊ हो जाता है। नीचे दिया गया तर्क अन्य मानक पहलुओं के लिए सुइयों के कोणों से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए एक तरकीब प्रदान करता है।

T = 2/11 [H*30±A]

जहाँ:

• T उस समय का प्रतिनिधित्व करता है जब कोण बनता है।
• H उस घंटे का प्रतिनिधित्व करता है, जो चल रहा है।
  (यदि प्रश्न 4 बजे और 5 बजे के बीच का है, तो यह 4वां घंटा चल रहा है, इसलिए H का मान ‘4’ होगा।)
• A उस कोण का प्रतिनिधित्व करता है जिस पर सुइयाँ वर्तमान में हैं।
  (A का मान सामान्यतः प्रश्न में दिया जाता है।)

घड़ी को दो भागों में बाँटा गया है: 1st और 2nd आधा जैसा कि ऊपर दिखाया गया है।

यदि प्रश्न में दी गई समय पहली आधे में है, तो समय का मूल्यांकन करते समय सकारात्मक संकेत माना जाता है, अन्यथा नकारात्मक संकेत का उपयोग किया जाता है।

प्रश्न: 3 और 4 बजे के बीच, घड़ी की सुइयां 10 डिग्री का कोण कब बनाती हैं?

समाधान:

दिया गया: H = 3 , A = 10

चूंकि तीन और चार दोनों पहले आधे में हैं, इसे सकारात्मक संकेत माना जाता है।

गणना:

T = 2/11 [3*30 - 10]

T = 2/11 [90 - 10]

T = 2/11 [80]

T = 160/11

T = 14 6/11

उत्तर बताता है कि घड़ी की सुइयां 3 और 4 बजे के बीच 10 डिग्री का कोण 3:14:6/11 (3 बजे 14 मिनट और 6/11 मिनट = 6/11*60 = 6.54 सेकंड) पर बनाती हैं।

सही घड़ी बनाम गलत घड़ी

इस अनुभाग में सही घड़ी के समय की तुलना गलत घड़ी के समय से की जाती है। गलत समय इस बात का संकेत है कि घड़ी सही समय की तुलना में या तो धीमी है या तेज। गलत घड़ी या तो कुछ सेकंड/मिनट/घंटे के लिए तेज हो सकती है या कभी-कभी कुछ दिनों और हफ्तों के लिए।

प्रश्न: एक घड़ी हर 3 मिनट में 5 सेकंड बढ़ती है। यदि घड़ी सुबह 7 बजे काम करना शुरू करती है, तो उसी दिन शाम 4 बजे गलत घड़ी में समय क्या होगा?

• एक घड़ी हर 3 मिनट में 5 सेकंड बढ़ती है, अर्थात यह 30 मिनट में 50 सेकंड बढ़ाएगी, या 60 मिनट में 100 सेकंड प्राप्त करेगी। अर्थात यह 1 घंटे में 100 सेकंड बढ़ाएगी। चूंकि घड़ी सुबह 7 बजे शुरू हुई थी और सही समय अब 4 बजे है, तो घड़ी ने कुल 9 घंटे काम किया है।
• हमें पता है कि 1 घंटे में यह 100 सेकंड बढ़ाती है, तो 9 घंटे में यह 900 सेकंड बढ़ाएगी। 900 सेकंड को मिनटों में बदलने पर यह 15 मिनट होगा। यह वृद्धि बताती है कि घड़ी 15 मिनट तेज है क्योंकि घड़ी बढ़ रही है। इसलिए, घड़ी में समय 4:15 बजे होगा।

याद रखने योग्य बिंदु

मिनट स्थान: घड़ी का चेहरा या डायल एक वृत्त है जिसकी परिधि को 60 समान भागों में विभाजित किया गया है, जिन्हें मिनट स्थान कहा जाता है।

घड़ी के सुइयाँ: छोटी सुई को घंटे की सुई या शॉर्टहैंड कहा जाता है और बड़ी सुई को मिनट की सुई या लॉन्गहैंड कहा जाता है।

• 60 मिनट में, मिनट की सुई घंटे की सुई की तुलना में 55 मिनट स्थान प्राप्त करती है। (60 मिनट में, घंटे की सुई 5 मिनट स्थान चलेगी जबकि मिनट की सुई 60 मिनट स्थान चलेगी। इस प्रकार, मिनट की सुई का घंटे की सुई के संबंध में स्थान लाभ 60 - 5 = 55 मिनट होगा।)
• घड़ी की दोनों सुइयाँ हर घंटे में एक बार मिलती हैं। उदाहरण: 11 और 1 बजे के बीच, सुइयाँ एक साथ होती हैं जैसा कि समीपवर्ती चित्र में दिखाया गया है।

• जब घड़ी की सुइयाँ एक ही सीधी रेखा में होती हैं, तो वे एक-दूसरे के विपरीत या समान होती हैं। यदि दोनों सुइयाँ विपरीत दिशाओं में हैं (180° अलग), तो वे 30 मिनट स्थान दूर होती हैं। यह 1 घंटे में एक बार होता है। 12 घंटे के समय में, दोनों सुइयाँ विपरीत दिशा में 11 बार होती हैं और एक दिन में दोनों सुइयाँ 22 बार विपरीत दिशा में होती हैं।

• जब घड़ी की सुइयाँ समकोण पर होती हैं, तो वे 15 मिनट स्थान दूर होती हैं। यह 1 घंटे में दो बार होता है। 12 घंटे के समय में, सुइयाँ समकोण पर 22 बार होती हैं (2 सामान्य स्थितियाँ) और एक दिन में दोनों सुइयाँ 44 बार समकोण पर होती हैं।

• जब घड़ी की सुइयाँ विपरीत दिशाओं में होती हैं, तो वे 30 मिनट स्थान दूर होती हैं।
• 12 घंटे में घंटे की सुई द्वारा बनाया गया कोण = 360°
• यदि कोई घड़ी 9:15 दिखाती है, जबकि सही समय 9:00 है, तो इसे 15 मिनट तेज कहा जाता है।
• यदि कोई घड़ी 8:45 दिखाती है, जबकि सही समय 9:00 है, तो इसे 15 मिनट धीमा कहा जाता है।
• घड़ी की सुइयाँ एक सीधी रेखा में होंगी, लेकिन विपरीत दिशा में, एक दिन में 22 बार।
• (i) घड़ी की सुइयाँ एक दिन में 22 बार मिलती हैं। (ii) घड़ी की सुइयाँ एक दिन में 44 बार सीधी होती हैं। (iii) घड़ी की सुइयाँ एक दिन में 44 बार समकोण पर होती हैं।

ट्रिक्स

घड़ी के मिनट हाथ की घंटा हाथ को सही समय के M मिनट में पार कर जाता है। घड़ी एक दिन में या तो गति करती है या खोती है:

• घड़ी के हाथों के बीच का कोण-
  • (क) केस 1: जब मिनट हाथ घंटा हाथ से पीछे होता है, तब H बजे M मिनट के बाद दोनों हाथों के बीच का कोण:
  • (ख) केस 2: जब मिनट हाथ घंटा हाथ से आगे होता है, तब H बजे M मिनट के बाद दोनों हाथों के बीच का कोण:

(क) केस 1: जब मिनट हाथ घंटा हाथ से पीछे होता है, तब H बजे M मिनट के बाद दोनों हाथों के बीच का कोण: (ख) केस 2: जब मिनट हाथ घंटा हाथ से आगे होता है, तब H बजे M मिनट के बाद दोनों हाथों के बीच का कोण:

• घड़ी के दोनों हाथ H और (H 1) बजे के बीच दाएँ कोण पर होंगे:
  • (क) केस 1: जब मिनट हाथ घंटा हाथ से 15 मिनट पीछे होता है, तो इस स्थिति में, मिनट हाथ को घंटा हाथ पर (5H – 15) मिनट का लाभ उठाना होगा।
  • (ख) केस 2: जब मिनट हाथ घंटा हाथ से 15 मिनट आगे होता है, तो इस स्थिति में, मिनट हाथ को घंटा हाथ पर (5H + 15) मिनट का लाभ उठाना होगा।

घड़ी के दोनों हाथ H और (H 1) बजे के बीच दाएँ कोण पर होंगे:

(ख) केस 2: जब मिनट हाथ घंटा हाथ से 15 मिनट आगे होता है, तो इस स्थिति में, मिनट हाथ को घंटा हाथ पर (5H + 15) मिनट का लाभ उठाना होगा।

• घड़ी के दोनों हाथ H और (H 1) बजे के बीच एक सीधी रेखा में होंगे, लेकिन एक साथ नहीं:

घड़ी के दोनों हाथ H और (H 1) बजे के बीच एक सीधी रेखा में होंगे, लेकिन एक साथ नहीं:

घड़ी की दो सुइयाँ H और (H 1) ओ’clock के बीच इस समय एक साथ होंगी:

• घड़ी की दो सुइयाँ H और (H 1) ओ’clock के बीच इस समय एक साथ होंगी:

समस्या हल की गई

उदाहरण 1: 4 और 5 के बीच, मिनट की सुई घंटे की सुई से 2 मिनट आगे कब होगी?

उत्तर: 4 बजे, दोनों सुइयाँ 20 मिनट की दूरी पर होती हैं।

इस मामले में, मिनट की सुई को (20 - 2) अर्थात् 22 मिनट की दूरी को पाटना होगा।

तो, 22 मिनट की दूरी को (60/55) × 22 = 24 मिनट में पाटा जाएगा।

उदाहरण 2: एक घड़ी की मिनट की सुई घंटे की सुई को सही समय में 65 मिनट के अंतराल पर ओवरटेक करती है। घड़ी 12 घंटे में कितना खोती या प्राप्त करती है?

उत्तर: एक सही घड़ी में, मिनट की सुई और घंटे की सुई हर 65 5/11 मिनट में मिलनी चाहिए।

लेकिन हम जानते हैं कि वे हर 65 मिनट में मिल रही हैं।

तो, 65 मिनट में प्राप्ति 5/11 मिनट है।

12 घंटे में प्राप्ति = (120 × 60/65) × (5/11) = 720/143 = 5 5/143 मिनट।

उदाहरण 3: एक घड़ी को सुबह 10 बजे सही किया गया। घड़ी 12 घंटे में 5 मिनट प्राप्त करती है। जब घड़ी अगले दिन 3 बजे का संकेत देती है, तो सही समय क्या होगा?

उत्तर: सुबह 10 बजे से अगले दिन 3 बजे तक का समय 29 घंटे है।

अब, इस घड़ी के 12 घंटे 5 मिनट अर्थात् 145/12 घंटे = सही घड़ी के 12 घंटे हैं।

तो, इस घड़ी के 29 घंटे = (29 × 12 × 12)/145 = 144/5 = 28 घंटे 48 मिनट।

इसलिए, समय 3 बजे से 12 मिनट पहले होगा।

उदाहरण 4: एक घड़ी की मिनट की सुई घंटे की सुई को 60 मिनट के अंतराल पर ओवरटेक करती है। घड़ी एक दिन में कितना लाभ या हानि करती है?

उत्तर: एक सही घड़ी में, मिनट की सुई घंटे की सुई पर 60 मिनट में 55 मिनट की जगहें प्राप्त करती है।

इसलिए, 60 मिनट की जगहें (60 × 60)/55 = 720/11 मिनट में प्राप्त होती हैं।

दूसरे शब्दों में, मिनट की सुई हर 720/11 मिनट में घंटे की सुई को पार कर लेती है।

उदाहरण में, मिनट की सुई 60 मिनट में घंटे की सुई को पार करती है।

इसलिए, 60 मिनट में लाभ = (720/11) - 60 = 60/11 मिनट।

24 घंटे में लाभ = (60/11) × 24 = 1440/11 मिनट।

लाभ/हानि =

चूंकि संकेत सकारात्मक है, घड़ी एक दिन में 1440/11 मिनट का लाभ उठाती है।

उदाहरण 5: एक घड़ी की मिनट की सुई 66 मिनट के अंतराल पर घंटे की सुई को पार करती है। घड़ी एक दिन में कितना लाभ या हानि करती है?

उत्तर: जैसा कि हमने पहले देखा, मिनट की सुई हर 720/11 मिनट में घंटे की सुई को पार करती है।

इस उदाहरण में, मिनट की सुई 66 मिनट में घंटे की सुई को पार करती है।

इसलिए, 66 मिनट में हानि = 66 - 720/11 = 6/11 मिनट।

24 घंटे में हानि = 6/11 × 1/66 × 66 × 24 = 1440/121 मिनट।

चूंकि संकेत नकारात्मक है, घड़ी एक दिन में 1440/121 मिनट की हानि करती है।

उदाहरण 6: 7:20 बजे घड़ी की सुईयों के बीच का कोण क्या है? 7 बजे, घंटे की सुई ऊर्ध्वाधर से 210 डिग्री पर होती है।

उत्तर: 20 मिनट में, घंटे की सुई = 210 + 20*(0.5) = 210 + 10 = 220 {घंटे की सुई की गति 0.5 डिग्री प्रति मिनट है।}

मिनट की सुई = 20*(6) = 120 {मिनट की सुई की गति 6 डिग्री प्रति मिनट है।} सुईयों के बीच का अंतर या कोण = 220 – 120 = 100 डिग्री।

उदाहरण 7: एक घड़ी 3 मिनट में 5 सेकंड का लाभ उठाती है और इसे सुबह 8 बजे सही सेट किया गया था। उसी दिन रात 10 बजे यह क्या समय दिखाएगी?

उत्तर: घड़ी 3 मिनट में 5 सेकंड बढ़ती है => 1 घंटे में 100 सेकंड। उसी दिन सुबह 8 बजे से रात 10 बजे तक का समय 14 घंटे है। 14 घंटे में, घड़ी ने 1400 सेकंड या 23 मिनट 20 सेकंड बढ़ाए होंगे। इसलिए, जब सही समय रात 10 बजे है, तब घड़ी 10:23:20 PM दिखाएगी।