सारांश: औसत | CSAT की तैयारी (हिंदी) - UPSC PDF Download

CSAT में महत्व

यह अध्याय CSAT परीक्षाओं के लिए Basic Numeracy का सबसे महत्वपूर्ण अध्याय है। पिछले वर्षों के प्रश्न पत्रों के विश्लेषण से यह स्पष्ट है कि इस अध्याय से सीधे प्रश्न नहीं पूछे जाते, लेकिन इसके मूल तत्व Data Interpretation के लिए आवश्यक हैं। वर्ष 2024 में 2 प्रश्न पूछे गए थे और 2023 में 1 प्रश्न तथा 2015-2022 के वर्षों में औसत के सीधे अनुप्रयोग पर लगभग 1-2 प्रश्न पूछे गए थे।

औसत क्या हैं?

औसत को डेटा के एक सेट में केंद्रीय मान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

• औसत को एक सेट में सभी मानों के योग को मानों की कुल संख्या से विभाजित करके सरलता से गणना किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, एक औसत मान डेटा सेट का मध्य मान दर्शाता है। डेटा सेट किसी भी चीज का हो सकता है जैसे कि उम्र, पैसे, रन आदि।

उदाहरण: पहले पाँच लगातार विषम संख्याओं का औसत क्या है?

समाधान:

पहले पाँच लगातार विषम संख्याएँ हैं: 1, 3, 5, 7, 9।

यहाँ, डेटा या अवलोकनों की संख्या 5 है और इन 5 संख्याओं का योग 25 है।

तो, औसत = 25 / 5 = 5।

औसत के अनुप्रयोग

प्रकार I: औसत उम्र

जब एक व्यक्ति एक समूह को छोड़ता है और उस व्यक्ति की जगह पर एक नया व्यक्ति समूह में शामिल होता है, तो:

(i) औसत उम्र में वृद्धि होने पर,

नए व्यक्ति की उम्र = छोड़े गए व्यक्ति की उम्र (समूह में व्यक्तियों की संख्या × औसत उम्र में वृद्धि)

(ii) यदि औसत आयु में कमी आती है,

नए व्यक्ति की आयु = छोड़े गए व्यक्ति की आयु - (समूह में व्यक्तियों की संख्या × औसत आयु में कमी)

उदाहरण: 10 दोस्तों के एक समूह की औसत आयु 10 वर्ष है। यदि उनमें से एक दोस्त समूह छोड़ देता है लेकिन उसकी जगह 22 वर्ष का एक नया दोस्त समूह में शामिल होता है, तो औसत आयु 8 वर्ष हो जाती है। समूह से छोड़े गए दोस्त की आयु ज्ञात कीजिए।

• (a) 40 वर्ष
• (b) 42 वर्ष
• (c) 44 वर्ष
• (d) 46 वर्ष

हल: (b)

व्याख्या:

नए दोस्त की आयु = छोड़े गए दोस्त की आयु - [समूह में व्यक्तियों की संख्या × औसत आयु में कमी]

⇒ 22 = छोड़े गए दोस्त की आयु - (10 × (10 - 8))

∴ छोड़े गए दोस्त की आयु = 22 + (10 × 2)

= 22 + 20

= 42 वर्ष

प्रकार II: संख्याओं का औसत

1. प्राकृतिक संख्याओं से संबंधित औसत

(i) n तक लगातार प्राकृतिक संख्याओं का औसत

= (n + 1) / 2

(ii) n तक लगातार प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का औसत

(iii) n तक लगातार प्राकृतिक संख्याओं के घनों का औसत

उदाहरण: पहले पांच प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का औसत ज्ञात कीजिए।

• (a) 10
• (b) 11
• (c) 3
• (d) 5

हल: (b)

पहले पांच प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का औसत

2. सम संख्याओं से संबंधित औसत

(i) n लगातार सम संख्याओं का औसत = (n + 1)

(ii) n लगातार सम संख्याओं के वर्गों का औसत =

(iii) n तक लगातार सम संख्याओं के वर्गों का औसत =

उदाहरण: 10 तक लगातार सम संख्याओं के वर्गों का औसत ज्ञात कीजिए।

हल: (b)

10 तक के लगातार सम संख्याओं के वर्गों का औसत

3. विषम संख्याओं से संबंधित औसत

(i) n लगातार विषम संख्याओं का औसत = n

(ii) n तक के लगातार विषम संख्याओं का औसत = (n - 1) / 2

उदाहरण: 9 तक के लगातार विषम संख्याओं का औसत ज्ञात करें।

• (a) 4
• (b) 5
• (c) 7
• (d) 9

हल: (b)

व्याख्या: 9 तक के लगातार विषम संख्याओं का औसत = (n - 1) / 2 = (9 - 1) / 2 = 8 / 2 = 4

प्रकार III औसत गति

1. यदि एक निश्चित दूरी x किमी/घंटा की गति से तय की जाती है और वही दूरी y किमी/घंटा की गति से तय की जाती है, तो पूरे सफर की औसत गति है

उदाहरण: यदि यात्रा के आधे हिस्से को 15 किमी/घंटा की गति से तय किया जाता है और अगले आधे हिस्से को 12 किमी/घंटा की गति से, तो पूरे सफर की औसत गति ज्ञात करें।

हल:

औसत गति =

यहाँ, x = 15 और y = 12

2. यदि कोई व्यक्ति या मोटर कार तीन समान दूरी को क्रमशः x किमी/घंटा, y किमी/घंटा, और z किमी/घंटा की गति से तय करता है, तो पूरे सफर के लिए व्यक्ति या मोटर कार की औसत गति है

उदाहरण: एक ट्रेन पहले 160 किमी को 120 किमी/घंटा की गति से, अगला 160 किमी 140 किमी/घंटा की गति से, और अंतिम 160 किमी 80 किमी/घंटा की गति से तय करती है। पूरे सफर के लिए ट्रेन की औसत गति ज्ञात करें।

हल:

यहाँ, x = 120, y = 140 और z = 80

3. यदि कोई व्यक्ति A किमी को x किमी/घंटा की गति से, B किमी को y किमी/घंटा की गति से, और C किमी को z किमी/घंटा की गति से तय करता है, तो पूरे सफर के लिए औसत गति है

उदाहरण: एक व्यक्ति 9 किमी को 3 किमी/घंटा की गति से, 25 किमी को 5 किमी/घंटा की गति से, और 30 किमी को 10 किमी/घंटा की गति से तय करता है। पूरे सफर की औसत गति ज्ञात करें।

समाधान:

यहाँ, A= 9, B= 25, C=30, x= 3, y=5, z=10

4. यदि कोई व्यक्ति दूरी के A^थ भाग को x किमी/घंटा की गति से, B^थ भाग को y किमी/घंटा की गति से, और शेष C^थ भाग को z किमी/घंटा की गति से कवर करता है, तो पूरे यात्रा के दौरान औसत गति है

उदाहरण: एक ट्रेन यात्रा के 50% को 30 किमी/घंटा की गति से, 25% को 25 किमी/घंटा की गति से, और शेष को 20 किमी/घंटा की गति से कवर करती है। पूरे यात्रा के दौरान ट्रेन की औसत गति ज्ञात करें।

औसत गति=

यहाँ, A=50, B=25, C=25, x=30, y=25 और z= 20

माध्यिका और मोड

• संख्याओं की एक सीमित सूची की माध्यिका ज्ञात की जा सकती है सभी अवलोकनों को सबसे कम से उच्चतम मान तक व्यवस्थित करके और मध्यवर्ती एक का चयन करके।
• मोड वह मान है जो सबसे अधिक बार आता है: मोड = 3*माध्यिका - 2*माध्य

नोट:

1 से n तक के लगातार प्राकृतिक संख्याओं का योग = [n(n + 1)]/2

1 से n तक के लगातार प्राकृतिक संख्याओं का औसत = (n + 1)/2

शॉर्टकट तकनीकें
औसत पर आधारित प्रश्नों को शॉर्टकट का उपयोग करके आसानी से हल किया जा सकता है। शॉर्टकट का उपयोग करके, किसी भी प्रश्न को तेजी से और कुशलता से हल किया जा सकता है, जिससे बहुत सारा समय बचाया जा सकता है।

शॉर्टकट तकनीकें

औसत पर आधारित प्रश्नों को शॉर्टकट का उपयोग करके आसानी से हल किया जा सकता है। शॉर्टकट का उपयोग करके, किसी भी प्रश्न को तेजी से और कुशलता से हल किया जा सकता है, जिससे बहुत सारा समय बचाया जा सकता है।

1. औसत या औसत में परिवर्तन ज्ञात करने के लिए

उदाहरण 1:

एक बल्लेबाज का 16 पारियों में औसत 36 है। अगली पारी में, वह 70 रन बना रहा है। उसका नया औसत क्या होगा?

• a) 44
• b) 38
• c) 40
• d) 48

परंपरागत रूप से हल करना:

नया औसत = (पुराना योग नया स्कोर)/(कुल पारियों की संख्या) = ((16 × 36) + 70)/((16 + 1)) = 38

शॉर्टकट तकनीक:

• चरण 1) नए स्कोर और पुराने औसत के बीच का अंतर लें = 70 – 36 = 34
• चरण 2) यह 34 अतिरिक्त रन हैं जो 17 पारियों में फैलते हैं। इसलिए, पारी का औसत 34/17 = 2 से बढ़ जाएगा।
• चरण 3) इसलिए, औसत में वृद्धि => 36 + 2 = 38।

यहाँ कुछ और औसत प्रश्न और उनके समाधान इसी तकनीक का उपयोग करके दिए गए हैं।

उदाहरण 2:

एक विशेष विद्यालय में 19 बच्चों का औसत अंक 50 है। जब एक नए छात्र के अंक 75 के साथ कक्षा में शामिल होते हैं, तो कक्षा का नया औसत क्या होगा?

चरण 1) पुराने औसत और नए अंक के बीच का अंतर लें = 75 - 50 = 25

चरण 2) यह स्कोर 20 छात्रों में वितरित होता है => 25/20 = 1.25

चरण 3) इसलिए, औसत में वृद्धि 1.25 => 50 + 1.25 = 51.25।

2. एक और उदाहरण जहाँ औसत घटता है:

उदाहरण 3:

श्री मार्क के 3 बच्चों की औसत आयु 8 वर्ष है। एक नया बच्चा पैदा होता है। उनके सभी बच्चों की औसत आयु ज्ञात करें?

नयी आयु 0 वर्ष होगी। पुराने औसत और नई आयु के बीच का अंतर = 0 - 8 = -8

यह आयु 8 वर्ष 4 बच्चों में फैलती है => (-8/4 = -2) इसलिए, औसत घटकर 8 - 2 = 6 वर्ष हो जाता है।

3. औसत दिया जाने पर नए मान का पता लगाना:

29 छात्रों की औसत आयु 18 वर्ष है। यदि शिक्षक की आयु को भी शामिल किया जाए तो कक्षा की औसत आयु 18.2 वर्ष हो जाती है। शिक्षक की आयु ज्ञात करें।

• a) 28
• b) 32
• c) 22
• d) 24

समाधान: पारंपरिक विधि द्वारा समाधान:

मान लें कि शिक्षक की औसत आयु = x (29 × 18 + x × 1) / 30

x के लिए हल करने पर, हमें मिलता है x = 24।

शॉर्टकट तकनीक:

शॉर्टकट का उपयोग करते हुए, पहले उपयोग की गई विधि के आधार पर:

चरण 1: औसत में परिवर्तन की गणना करें = 18.2 – 18 = 0.2। यह परिवर्तन 30 के नमूने के आकार पर परिलक्षित होता है।

नई आयु औसत से 30 × 0.2 = 6 वर्ष बढ़ी है, अर्थात् 18 + 6 = 24; जो कि शिक्षक की आयु है।

औसत ज्ञात करने की विधि का अंतर:

मानित औसत का सिद्धांत नया नहीं है। इसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है ताकि सांख्यिकी में औसत खोजने में गणना को कम किया जा सके, जहाँ डेटा बहुत बड़ा होता है।

यहाँ, हम औसत और भारित औसत पर आधारित कुछ योग्यता प्रश्नों को हल करने के लिए मानित औसत के उपयोग को प्रदर्शित करेंगे।

समझने के लिए एक उदाहरण लें:

उदाहरण: 30 छात्रों की कक्षा में, औसत आयु 12 वर्ष है। यदि कक्षा शिक्षक की आयु को शामिल किया जाए, तो कक्षा की नई औसत आयु 13 वर्ष हो जाती है। कक्षा शिक्षक की आयु ज्ञात करें।

मानक दृष्टिकोण:

मानक दृष्टिकोण लगाने पर, 30 छात्रों की कुल आयु = 12 × 30 = 360 वर्ष। जब कक्षा शिक्षक को शामिल किया जाता है, तो कक्षा की नई कुल आयु = 13 × 31 = 403 वर्ष। ध्यान दें कि कुल आयु में वृद्धि केवल कक्षा शिक्षक के कारण ही है। इसलिए कक्षा शिक्षक की आयु = 403 – 360 = 43 वर्ष है।

विचलन विधि

विचलन विधि को समझने के लिए, हम समस्या का अनुकरण करते हैं। औसत आयु के मामले में, मान लें कि प्रत्येक छात्र के पास 12 चॉकलेट हैं।

• कक्षा शिक्षक ने कुछ चॉकलेट लाए और कक्षा में चॉकलेट का पुनर्वितरण इस प्रकार किया गया कि हर व्यक्ति, जिसमें कक्षा शिक्षक भी शामिल हैं, के पास समान संख्या में चॉकलेट हैं; जिसके परिणामस्वरूप प्रति व्यक्ति 13 चॉकलेट (नया औसत) होता है।
• अब, यह स्पष्ट है कि यदि कक्षा शिक्षक केवल 12 चॉकलेट लाते हैं, तो औसत वही रहता है अर्थात 12 (क्योंकि वे उतनी ही चॉकलेट लेकर आए हैं जो समूह की औसत संख्या के बराबर है)।
• लेकिन यहाँ कक्षा शिक्षक के शामिल होने से, औसत 1 बढ़ जाता है। इसका मतलब है कि वे चॉकलेट की ऐसी संख्या लेकर आए थे कि उन्होंने प्रत्येक छात्र को 1 चॉकलेट दी ताकि अब सभी 30 छात्रों के पास 13 चॉकलेट हों।
• इसके अलावा, अंत में, उनके पास अपने लिए 13 चॉकलेट बची रहती हैं ताकि उनके शामिल होने पर कक्षा के प्रत्येक सदस्य के पास अब 13 चॉकलेट हों।

इसलिए, वह 30 × 13 = 390 चॉकलेट लेकर आए। या कक्षा शिक्षक की आयु 43 वर्ष है।

औसत के बारे में महत्वपूर्ण तथ्य

• यदि प्रत्येक संख्या को किसी निश्चित मात्रा n से बढ़ाया/कम किया जाता है, तो औसत भी उसी मात्रा से बढ़ता या घटता है।
• यदि प्रत्येक संख्या को किसी निश्चित मात्रा n से गुणा/भाग किया जाता है, तो औसत भी उसी मात्रा से गुणा या भाग होता है।
• यदि आधी संख्याओं में एक समान मान जोड़ा जाता है और दूसरी आधी संख्याओं से वही मान घटाया जाता है, तो औसत के अंतिम मान में कोई परिवर्तन नहीं होगा।

भारित औसत

भारित अंकगणितीय औसत, जिसे सामान्यतः WAM (Weighted Arithmetic Mean) कहा जाता है, को इस प्रकार दर्शाया जाता है:

जहाँ x₁, x₂, x₃, …, x_n औसत हैं और w₁, w₂, w₃, …, w_n उनके संबंधित भार हैं।

उदाहरण: 25 लड़कों और 15 लड़कियों की एक कक्षा में, लड़कों और लड़कियों के औसत ऊँचाई क्रमशः 150 सेमी और 140 सेमी है। कक्षा की औसत ऊँचाई ज्ञात करें।

मानक विधि:

लड़कों के समूह का कुल भार = 25 × 150 = 3750
और लड़कियों के समूह का कुल भार = 15 × 140 = 2100
अतः, कक्षा की औसत ऊँचाई =

भिन्नता विधि:

मान लें कि प्रत्येक लड़का और प्रत्येक लड़की क्रमशः 150 और 140 चॉकलेट ले जा रहे हैं।

• हमें कुल चॉकलेट को इस प्रकार वितरित करना है कि प्रत्येक लड़का और लड़की समान संख्या में चॉकलेट ले जाए। चूंकि प्रत्येक लड़का प्रत्येक लड़की से 10 चॉकलेट अधिक ले जा रहा है, इसलिए हम प्रत्येक लड़के से 10 चॉकलेट ले लेते हैं ताकि अब प्रत्येक लड़का और लड़की 140 चॉकलेट ले जाए। हमारे पास जो अतिरिक्त चॉकलेट हैं, वह बराबर हैं।

• ये अतिरिक्त चॉकलेट लड़कों और लड़कियों के बीच समान रूप से वितरित की जाएंगी। इसलिए, सभी को = 6.25 अधिक चॉकलेट मिलेंगे। अतः, कक्षा की औसत = 140 + 6.25 = 146.25 सेमी।

हल किए गए उदाहरण:

प्रश्न 1: 15 चुने हुए खिलाड़ियों द्वारा EPL (English Premier League) में औसत गोल 16 है। किसी खिलाड़ी द्वारा बनाए गए गोलों की अधिकतम संख्या 20 है और न्यूनतम 12 है। खिलाड़ियों द्वारा बनाए गए गोल 12 से 20 के बीच हैं। कम से कम 18 गोल करने वाले खिलाड़ियों की अधिकतम संख्या क्या हो सकती है?

• c) 9
• d) 6
• e) इनमें से कोई नहीं

समाधान: विकल्प (c)

18 और उससे अधिक गोल करने वाले खिलाड़ियों की संख्या को अधिकतम करने के लिए, यह मान लेना चाहिए कि केवल एक व्यक्ति ने 20 गोल किए हैं। इसके विपरीत, एक व्यक्ति 12 गोल करेगा।

यानी, 15 – 2 = 13 खिलाड़ी बचे हैं।

अब हर दो खिलाड़ियों के लिए जो 18 गोल कर रहे हैं, एक खिलाड़ी 12 गोल करेगा। यह औसत 16 तक पहुंचने के लिए किया गया है। हमारे पास 8 खिलाड़ी होंगे जिन्होंने 18 गोल किए और 4 खिलाड़ियों ने 12 गोल किए। अंतिम खिलाड़ी का स्कोर 16 होगा। इस प्रकार, 18 और उससे अधिक गोल करने वाले लोगों की अधिकतम संख्या = 9।

प्रश्न 2: 8 लड़कियों के एक समूह का औसत वजन 50 किलोग्राम है। यदि 2 लड़कियाँ R और S, P और Q की जगह लेती हैं, तो नया औसत वजन 48 किलोग्राम हो जाता है। P का वजन = Q का वजन और R का वजन = एक अन्य लड़की T का वजन है जो समूह में शामिल की गई है और नया औसत वजन 48 किलोग्राम हो गया है। T का वजन = R का वजन। P का वजन बताइए?

• a) 48 किलोग्राम
• b) 52 किलोग्राम
• c) 46 किलोग्राम
• d) 56 किलोग्राम

समाधान: विकल्प (d)

8 x 50 - R - S - P - Q = 48 × 8

R + S - P - Q = -16

P + Q - R - S = 16

R = S और P = Q

P - R = 8

एक और व्यक्ति शामिल किया गया और वजन = 48 किलोग्राम

मान लीजिए वजन a = (48 × 8 - a) / 9 = 48

A = 48 किलोग्राम = R का वजन

=> P का वजन = 48 + 8 = 56 किलोग्राम।

Q3: EPL में 15 चयनित खिलाड़ियों द्वारा किए गए औसत गोलों की संख्या 16 है। किसी एक खिलाड़ी द्वारा किए गए गोलों की अधिकतम संख्या 20 है और न्यूनतम 12 है। खिलाड़ियों द्वारा किए गए गोल 12 और 20 के बीच हैं। कम से कम 18 गोल करने वाले खिलाड़ियों की अधिकतम संख्या क्या हो सकती है? a) 10 b) 5 c) 9 d) 6

समाधान: विकल्प (c) 18 या उससे अधिक गोल करने वाले खिलाड़ियों की संख्या को अधिकतम करने के लिए, यह मान लेना चाहिए कि केवल एक व्यक्ति ने 20 गोल किए हैं। इसके मुकाबले एक व्यक्ति 12 गोल करेगा। यानी, 15 – 2 = 13 खिलाड़ी बचे हैं।