Method of Lines for transient PDEs - MATLAB Video Lecture | MATLAB Programming for Numerical Computation - Software Development

नमस्कार और न्यूमेरिकल
कम्प्युटशंस के लिए
MATLAB प्रोग्रामिंग
(MATLAB programming for Numerical Computations
) में आपका स्वागत
है। हम मॉड्यूल 8 और
इस मॉड्यूल में हैं,
हम आर्डिनरी डिफरेंशियल
एक्वेशन्स (ordinary differential
equations) के इनिशियल वैल्यू
प्रोब्लेम्स (intial
value problems) के व्यावहारिक
पहलुओं को कवर कर
रहे हैं। विशेष रूप
से, हम कई वेरिएबल्स
(variables) वाले विषम ode
को देख रहे हैं। दोनों
व्याख्यानों में,
हमारे पास उच्च आर्डर
(order) ode इनिशियल वैल्यू
प्रोब्लेम्स (intial
value problems) थीं, जिन्हें
पहले ऑर्डर ode के सेट
में बदल दिया गया
था। आज के व्याख्यान
में, हम जो कवर करने
जा रहे हैं, वह है
कि कैसे हम पार्शियल
डिफरेंशियल एक्वेशन्स
(partial differential equations) को परिवर्तित
कर सकते हैं, जो समय
और स्थान के अंतराल
में पार्शियल डिफरेंशियल
एक्वेशन (partial differential
equation) हैं उन्हें समय
के अंतराल में पार्शियल
डिफरेंशियल एक्वेशन्स
(partial differential equations) में,
मेथड ऑफ़ लाइन्स (method
of lines) का उपयोग करके।
तो, यह एक उदाहरण था
जिसे हमने व्याख्यान
4.5 में कवर किया था।
व्याख्यान 4.5 में,
हमने इसे टॉय डायगोनल
मैट्रिक्स एल्गोरिथ्म
(tri diagonal matrix algorithm)के संदर्भ
में कवर किया था।
उस मामले में, हमने
एक स्टेडी स्टेट
(steady state) समाधान पर विचार
किया था, जिसमें dT
/ dt 0 के बराबर था। हालांकि,
ट्रांसिएंट्स (transients)
के मामले में, मॉडल
(model) इस तरह दिखने वाला
है। तो, विचार करें,
कि हमारे पास एक रॉड
(rod) है जो 1 मीटर लंबा
है। बता दें, कि रॉड
(rod) शुरुआत में कमरे
के तापमान पर होता
है, जो 25 डिग्री सेल्सियस
होता है। समय 0 पर,
हम रॉड के एक छोर को
गर्म करना शुरू करते
हैं और उस छोर को 100
डिग्री सेल्सियस
पर बनाए रखते हैं।
दूसरे छोर को 25 डिग्री
सेल्सियस के कमरे
के तापमान पर बनाए
रखा जाता है। इसके
अलावा, रॉड (rod) भी गर्म
है, जिससे आसपास में
गर्मी की घाटा हो
जाती है। गर्मी का
नुकसान इस विशेष
शब्द पर आधारित है,
हीट कंडक्शन (heat conduction)
इस शब्द पर आधारित
है, और कुल मिलाकर,
कैसे तापमान 25 डिग्री
सेल्सियस से रॉड
(rod) में समान रूप से
अंतिम तापमान प्रोफ़ाइल
(profile) में एक छोर पर
100 डिग्री और 25 डिग्री
पर समान रूप से चला
जाता है। दूसरे छोर
पर, इस पार्शियल डिफरेंशियल
एक्वेशन (partial differential
equation) द्वारा परिभाषित
किया गया है।
अब, इस पार्शियल डिफरेंशियल
एक्वेशन (partial differential
equation) को कैसे हल करें?
इसे हल करने का एक
तरीका है, जिसे मेथड
ऑफ़ लाइन्स (method of lines)
के रूप में जाना जाता
है, जैसा कि हमने व्याख्यान
4.5 में किया था। मेथड
ऑफ़ लाइन्स (method of lines)
में, हम क्या करने
जा रहे हैं, स्थान
में अंतर करने के
लिए का सेंट्रल डिफरेंस
फार्मूला (central difference
formula) उपयोग करें। हम
डिफरेंशियल (differential)
भाग को समय के साथ
छोड़ देते हैं। तो,
हम कहते हैं, हम उस
रॉड (rod) को लेने जा
रहे हैं, जो 1 मीटर
लंबा है और इसे 10 अंतरालों
में विभाजित करता
है। हम तापमान के
लिए जा रहे हैं, उस
प्रारंभिक बिंदु
के 100 से 25 के अंतिम
बिंदु तक किसी तरह
से जा रहे हैं।सेंट्रल
डिफरेंस फार्मूला
(central difference formula) के परिणामस्वरूप
किसी भी बिंदु i d स्क्वायर
(square) t / dx स्क्वायर (square)
को इस रूप में लिखा
जाएगा। यदि 1 मीटर
की रॉड (rod)को 10 क्षेत्रों
में विभाजित किया
गया है, तो डेल्टा
(delta) x 1/10 के बराबर होने
वाला है। यदि हमारे
पास 10 क्षेत्र या
10 अंतराल हैं, तो हमारे
पास 11 नोडल बिंदु
होंगे। पहला वाला
t = 100 है, अंतिम वाला
t = 25 होने जा रहा है
और t2 से t10 तक के सभी
मध्य बिंदुओं के
लिए हम समीकरण रखने
जा रहे हैं, यह विशेष
समीकरण संतुष्ट है,
एक बार जब हम इस को
यहाँ प्रतिस्थापित
करते हैं।
जब हम यह करते हैं
कि मेथड ऑफ़ लाइन्स
(method of lines) हमें सभी मध्यविंदु
बिंदुओं और t1 = 100 और
t (n + 1) = 25 के लिए 2 समीकरणों
पर इस समीकरण के बराबर
dT / dt प्राप्त करने
वाली है। अब समय के
साथ क्या बदल रहा
है, ti जो (t2: tn) है । तो,
हम क्या करने जा रहे
हैं, समाधान वेक्टर
y को t2, t3, t4 और इसी तरह
tn तक परिभाषित करें।
हमें t1 या tn +1 के लिए
हल करने की आवश्यकता
नहीं है क्योंकि
वे मान पहले से ही
हमारे लिए ज्ञात
हैं। तो चलिए MATLAB पर
चलते हैं और इस समस्या
को हल करने की कोशिश
करते हैं। संपादित
करें, हम इस रॉड (rod)
कंडक्शन (conduction), rodcon
या rodConduc और फ़ंक्शन
को कहते हैं। जैसा
कि हम हमेशा से करते
आ रहे हैं, फ़ाइल नाम
(filename) rodConduc(t, y) के बराबर
fval ठीक है। तापमान
प्राप्त करना, t1 100
के बराबर होने वाला
है। हम जानते हैं
ठीक है। हमें यह भी
पता लगाने की आवश्यकता
है, कि n मूल्य क्या
है। तो n कुछ भी नहीं
बल्कि length(y + 1) होने
जा रहा है। ऐसा क्यों
है, क्योंकि y 2 से n
तक जाता है। ठीक है,
इसलिए length(y) n- 1 है और
इसलिए n लंबाई (y + 1)
के बराबर होने जा
रही है। t2 से n, y के
बराबर होने वाला
है और tn + 1 25 के बराबर
होने जा रहा है। परिवेश
का तापमान, पैरामीटर,
परिवेश का तापमान
ta 25 है और tn + 1. हम इसे
ta के रूप में प्रतिस्थापित
करेंगे। तो, अब हमारे
पास अपना तापमान
वेक्टर है जो पूरी
तरह से परिभाषित
है। हमें dT / dt को परिभाषित
करते हैं। dT/dt हमें
शून्य कहने के बराबर
होने वाला है zeroes(n
+ 1, 1) ठीक है। इसलिए,
dT / dt हम फिर से सभी
t के लिए परिभाषित
करने जा रहे हैं।
हालाँकि dT1 / dt और dT (n
+ 1) / dt को परिभाषित
करने का कोई तरीका
नहीं है। तो हम शुरू
में यह सब करने जा
रहे हैं लेकिन आखिरकार
हम dt1 और dT (n + 1) को छोड़ने
जा रहे हैं। तो, हम
थोड़ा ठीक करेंगे।
हमें विभिन्न अन्य
मापदंडों को भी परिभाषित
करने की आवश्यकता
है। अन्य पैरामीटर,
जिन्हें हमें परिभाषित
करने की आवश्यकता
है वे अल्फा (alpha) = 0.025
और बीटा (beta) = 0.1 हैं।
हमें स्टेप साइज
(step size) h या डेल्टा (delta)
x होने की भी आवश्यकता
है। अगर n है अंतराल
की संख्या, स्टेप
साइज (step size) length / n, 1 / n
है। क्यों की रॉड
की लंबाई 1 मीटर ठीक
है। इसलिए, अब हमें
अंतिम भाग करना है
और यह है कि dT / dt को
परिभाषित करना और
इसलिए fval को परिभाषित
करना है। i = 2: n, इसलिए,
हम वही लिखेंगे, for
i = 2: n के लिए। dTdt (i) इस
अंतर को सेंट्रल
डिफरेंस फार्मूला
(central difference formula) से गुणा
करने वाले अल्फा
(alpha) के बराबर होने
वाला है। तो अल्फा
(alpha)/h ^ 2 *T(i + 1) - 2 * T(i) + T (i-
1) ठीक है। तो, यह पहला
भाग है, जो कि अल्फा
(alpha) / h ^ 2 * T(i + 1) - 2 * T (i) + T
(i- 1) - बीटा (beta) किसी
चीज से गुणा किया
जाता है। तो, हम उस
भाग को भी (alpha)-बीटा
(beta) * T (i) - Ta ठीक है। हमें
परिभाषित करने की
आवश्यकता है, अल्फा
और बीटा जो हमने पहले
ही किया है। हमें
h को परिभाषित करने
की भी आवश्यकता है
जो कि पहले से ही (alpha)
ठीक हो चुका है।
तो, यह dT / dt की हमारी
परिभाषा को पूरा
करना चाहिए। अंत
में, हम dT / dt से fval निकालना
चाहते हैं और ऐसा
करने के लिए, हम कहेंगे
कि fval dTdt (2: n) के बराबर
होगा। और यह हमारा
fval है और सोचता है
कि हमने यहां पर किया
है। हमें यह save करना
है। इसे run करने के
लिए, runRodProblem। हम एक
स्क्रिप्ट बनाएंगे,
एक रॉड में क्षणिक
गर्मी चालन (transient heat
conduction problem) चलाने के
लिए।
बता दें, अंतराल की
संख्या 10 ठीक थी।
हमारे प्रारंभिक
मान T (1) = 100, T (2: n) = 25 और
T (n + 1) = 25 होने जा रहे
हैं। हमें यह भी सुनिश्चित
करना होगा कि कॉलम
वेक्टर (column vector) है।
तो हम इसे T (1, 1), T (2: N,
1) और T (N + 1, 1) के रूप में
लिखते हैं। हमें
tSpan के रूप में कॉल
करें (0:20) ठीक है। और
(tSol, TSol) समाधान ode45 @ (t,
y) और rodConduc(t, y) होने जा
रहा है। मुझे लगता
है कि हमें यहां पर
एक space बनाना चाहिए।
हमारे पास tSpan और हमारा
T0 है। मुझे यह सुनिश्चित
करने के लिए T0 के रूप
में भी लिखें, हम जानते
हैं कि इसका मतलब
है कि हमारी प्रारंभिक
स्थिति।
प्लॉटिंग (plotting) के
परिणाम, इसलिए, हम
क्या करना चाहते
हैं, पी हमें प्लॉट
(plot) करते हैं tSol और
ySol यहाँ पर नौ लाइनें
होने जा रही हैं, लेकिन
यह वास्तव में कोई
समस्या नहीं है।
हम बस इतना ही करेंगे।
जबकि हमारा T0 (1; n + 1)
से जाता है, हमारे
y0 को वास्तव में T (2:
n) से जाना चाहिए, यही
उसकी परिभाषा थी।
और यह वह बदलाव है
जिसे हमें करने की
आवश्यकता है। और
हमारे परिणाम को
प्लॉट (plot) करना है।
तो, चलिए हम इसे run
करते हैं और हमें
एक अपरिभाषित वेरिएबल
(variable) मिलता है, क्योंकि
वेरिएबल (variable) नाम
जो हमने यहाँ पर उपयोग
किया है। हमने T0 का
उपयोग किया है। इसलिए
इसे भी T0 में बदल देना
चाहिए। तो, हम इसे
save करते हैं और इसे
run करते हैं। तो, जो
बिंदु गर्म छोर सबसे
करीब है, लगभग 85 डिग्री
सेल्सियस के तापमान
तक पहुंच जाता है,
20 मिनट के बाद, दूसरा
बिंदु लगभग 75 डिग्री
सेल्सियस, कुछ 62 डिग्री
सेल्सियस इत्यादि।
तो, यह गर्म छोर के
करीब बिंदु है और
यह ठंडे छोर के करीब
बिंदु है। तो, यह है
कि तापमान 25 डिग्री
सेल्सियस के प्रारंभिक
मूल्य से अंतिम स्टेडी
स्टेट (steady state) मूल्य
कैसे भिन्न होता
है। इसलिए, हमने यहां
क्या किया है, समय
के साथ एक पार्शियल
डिफरेंशियल एक्वेशन
(partial differential equation) को एक
आर्डिनरी डिफरेंशियल
एक्वेशन्स (ordinary differential
equations)में बदलने के
लिए मेथड ऑफ़ लाइन्स
(method of lines) का उपयोग करना
है। और हमने परिणामी
आर्डिनरी डिफरेंशियल
एक्वेशन्स (ordinary differential
equations) को हल करने के
लिए ode45 का उपयोग किया
है।
अंत में, मैं यहां
जो दिखाने जा रहा
हूं वह ode45 की शक्ति
है। तो, आइए हम कहते
हैं, 10 अंतरालों के
बजाय, यदि हम समग्र
डोमेन को 100 अंतरालों
में विभाजित करते
हैं, तो हमें बस सब
कुछ प्लॉट (plot) करने
दें। हम कहते हैं,
हम मध्य बिंदु करना
चा को प्लॉट (plot)हते
हैं। तो, हमें बस इसे
या मध्यबिंदु को
प्लॉट (plot) करना चाहिए।
मुझे सिर्फ n / 2 कहने
दें। मुझे बस यह है
run करने दें इसे हल
करने में थोड़ा समय
लगता है, लेकिन आखिरकार
इसने समस्या को हल
कर दिया है और आप देखेंगे,
यह है कि रॉड (rod) के
बीच में तापमान कैसे
बदलता है। यदि हम
यह जांचना चाहते
हैं कि रॉड (rod) के गर्म
सिरे के करीब तापमान
कैसे बदलता है। और
हम यह भी देखना चाहते
हैं कि यह रॉड (rod) के
ठंडे छोर के करीब
कैसे बदलता है। इसलिए,
हम इन कई लाइनों को
प्लॉट (plot) करने जा
रहे हैं और हमें ठीक
देखने देंगे। तो
यह है कि छड़ के गर्म
छोर के करीब तापमान
अलग-अलग है और इस तरह
से तापमान छड़ के
ठंडे छोर के करीब
भिन्न होता है।
इसलिए, इसके साथ हम
इस उदाहरण को समाप्त
करते हैं, पार्शियल
डिफरेंशियल एक्वेशन
(partial differential equation) को हल
करने के लिए मेथड
ऑफ़ लाइन्स (method of lines)
का उपयोग करते हुए।
और वास्तव में हम
व्याख्यान 8.3 के अंत
में आते हैं। हमने
इस व्याख्यान में
क्या किया है, एक मेथड
ऑफ़ लाइन्स (method of lines)
लिया है और इसे आर्डिनरी
डिफरेंशियल एक्वेशन्स
(ordinary differential equations)की एक
श्रृंखला में परिवर्तित
किया है और ode45 का उपयोग
करके परिणामी आर्डिनरी
डिफरेंशियल एक्वेशन्स
(ordinary differential equations) को हल
करता है। हमने यह
भी दिखाया कि, ode45 एक
काफी बहुमुखी विधि
है और यह एक बहुत बड़ी
संख्या में ode को हल
करने की क्षमता है।
इसके साथ, मैं 8.3 व्याख्यान
के अंत में आता हूं
और मैं आपको अगले
व्याख्यान में देखूंगा।
धन्यवाद और अलविदा।