प्रश्न.1. किसी घन के प्रत्येक फलक को काले या सफेद रंग से रँगा जा सकता है। उस घन को कितने विभिन्न तरीकों से रँगा जा सकता है? (2019)
(क) 9
(ख) 10
(ग) 11
(घ) 12
उत्तर. (घ)
उपाय.
घन का प्रत्येक फलक समरूप होता है, यहाँ प्रत्येक फलक को या तो काले या सफेद रंग से रंगना है। घन का फलक को जब रंगते हैं
कुल तरीका = 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 10
प्रश्न.2. समीकरण x + y + z = 6 को कितने त्रिक (x, y, z) संतुष्ट करते हैं, जहाँ x, y और z धनपूर्ण संख्याएँ हैं? (2019)
(क) 4
(ख) 5
(ग) 9
(घ) 10
उत्तर. (घ)
उपाय.
अतः कुल त्रिको की संख्या 10 है
प्रश्न.3. कोई मुद्रक किसी पुस्तक के पृष्ठों पर 1 से प्रारंभ कर पृष्ठ-संख्या डालता है और कुल मिला कर 3089 अंक प्रयोग में लाता है। इस पुस्तक में कितने पृष्ठ हैं? (2019)
(क) 1040
(ख) 1048
(ग) 1049
(घ) 1050
उत्तर. (ग)
उपाय.
पृष्ठ संख्या 9 तक कुल 9 अंक प्रयुक्त होता है।
10 से 99 तक सभी पृष्ठ संख्या दो अंकों की होती है।
पृष्ठों की संख्या = (99 - 10) + 1 = 90
अंकों की संख्या = 2 × 90 = 180
100 से 999 तक सभी पृष्ठ संख्या 3 अंकों की होती है।
पृष्ठों की संख्या = 999 - 100 + 1 = 900
अंकों की संख्या = 3 × 900 = 2700
1000 से 9999 तक की पृष्ठ संख्या 4 अंकों की होती है।
शेष अंक = 3089 - 2700 - 180 - 9 = 200
शेष पृष्ठों की संख्या 200/4 = 50
अतः कुल पृष्ठों की संख्या = 999 + 50 = 1049
प्रश्न.4. मान लीजिए, आपके पास तीन मूल्य-वर्गों, ₹ 1, ₹ 10 और ₹ 50, में रुपया मुद्रा पर्याप्त मात्रा में है। आप ₹ 107 के एक बिल का भुगतान कितने विभिन्न तरीकों से कर सकते हैं? (2019)
(क) 16
(ख) 17
(ग) 18
(घ) 19
उत्तर. (ग)
उपाय.
तीनों मूल्य-वर्गों की संख्या
कुल तरीकों की संख्या = 1 + 6 + 11 = 18
प्रश्न.5. चार समांतर रेखाओं के एक समुच्चय से, जो कि चार समांतर रेखाओं के एक अन्य समुच्चय से प्रतिच्छेदी है, बनाए जा सकने वाले समांतर चतुर्भुजों की संख्या है (2019)
(क) 18
(ख) 24
(ग) 32
(घ) 36
उत्तर. (घ)
उपाय.
m क्षैतिज तथा n उर्द्धाधर सामान्तर रेखाओं से बने समानान्तर चतुर्भुज की संख्या = mC2 x nC2
यहाँ m = n = 4.
इसलिए, समानान्तर चतुर्भुजों की संख्या = 4c2 × 4c2 = 36
प्रश्न.6. एक खेल प्रतियोगिता के लिए लकड़ी के तीन खण्डकों को मिलाकर बने विजेता-मंच का आकार नीचे दिया गया हैः (2018)
उपलब्ध छः विभिन्न रंगों में से रंग चुनने हैं और लकड़ी के तीनों खण्डकों में से प्रत्येक को इस प्रकार रंगा जाना है कि कोई भी दो खण्डकों का रंग एक समान न हो। विजेता-मंच को कितने अलग-अलग तरीकों से रंगा जा सकता है?
(क) 120
(ख) 81
(ग) 66
(घ) 36
उत्तर. (क)
उपाय.
आवश्यक तरीकों की संख्या
प्रश्न.7. एक अष्टभुज के शीर्षों को जोड़कर कितने विकर्ण खीचें जा सकते हैं? (2018)
(क) 20
(ख) 24
(ग) 28
(घ) 64
उत्तर. (क)
उपाय.
एक अष्टभुज में विकर्णों की संख्या
प्रश्न.8. यदि 700 से 1000 तक सभी संख्याएँ लिखी जाएँ, तो ऐसी कितनी संख्याएँ आती हैं जिनमें सैकड़े का अंक, दहाई के अंक से तथा दहाई का अंक, इकाई के अंक से बड़ा है? (2018)
(क) 61
(ख) 64
(ग) 85
(घ) 91
उत्तर. (ग)
उपाय.
अतः, संपूर्ण संख्याएं = 21 + 28 + 36 = 85
प्रश्न.9. किसी झोले में 15 लाल गेंदें और 20 काली गेंदें हैं। प्रत्येक गेंद पर 1 या 2 या 3 की संख्या लिखी है। लाल गेंदों के 20% पर संख्या 1 तथा उनके 40% पर संख्या 3 लिखी है। इसी प्रकार, काली गेंदों में 45% पर संख्या 2 तथा 30% पर संख्या 3 लिखी है। एक बालक यदृच्छया एक गेंद निकालता है। यह गेंद यदि लाल है और उस पर 3 की संख्या है अथवा यदि गेंद काली है और पर 1 या 2 की संख्या है, तो बालक जीत जाता है। उसके जीतने की प्रायिकता क्या है? (2018)
(क) 1/2
(ख) 4/7
(ग) 5/9
(घ) 12/13
उत्तर. (ख)
उपाय.
गेंदों की कुल संख्या = 15 + 20 = 35
तीन लिखित लाल गेंदों की कुल संख्या
1 या 2 लिखित काली गेंदों की कुल संख्या
आवश्यक अवसर
प्रश्न.10. एक थैले में 20 गेंदे हैं। 8 गेंदे हरी है, 7 सफेद है और 5 लाल है। आँख बंद कर, थैले में से न्यूनतम कितनी गेंदे निकालना आवश्यक है (किसी को भी बिना बदले) जिससे सुनिश्चित हो कि प्रत्येक रंग की कम-से कम एक गेंद निकली हो? (2017)
(क) 17
(ख) 16
(ग) 13
(घ) 11
उत्तर. (ख)
उपाय.
दिये गये जानकारी पर विचार करने के अनुसार, पहली 15 निकाली गयी गेंदे लाल और सफेद है।
इस प्रकार, 16वाँ बार यह सुनिश्चित है कि 3 विभिन्न रंगों के गेंदे निकली है।
प्रश्न.11. यदि 2 लड़कों और 2 लड़कियों को एक पंक्ति में इस व्यवस्था में खड़ा करना हो कि लड़कियाँ एक-दूसरे के अगल-बगल खड़ी न हों, तो कितनी संभव व्यस्थाएँ हो सकती है? (2017)
(क) 3
(ख) 6
(ग) 12
(घ) 24
उत्तर. (ग)
उपाय.
2 लड़के अपनी सीटें 2! तरीकों से ले सकता है, और 3 लड़कियाँ
शेष 3 सीटों 3C2 x 2! तरीकों से ले सकती है।
इस प्रकार, तरीको की संख्या = 2! × 3C2 × 2! = 12 तरीका
प्रश्न.12. अंक 1, 2, 3 और 4 को लेकर चार-अंकीय संख्यायें बनानी हैं। इन चार अंकों में से किसी एक की भी किसी भी रीति से पुनरावृत्ति नहीं करनी है, तथा (2016)
(i) 2 और 3 एक-दूसरे से एकदम आगे पीछे नहीं हो सकते
(ii) 3, 1 के एकदम पीछे नहीं हो सकता
(iii) 4 अंतिम स्थान पर नहीं आ सकता
(iv) 1 प्रथम स्थान पर नहीं आ सकता
कितनी पृथक संख्याएं बन सकती हैं?
(क) 6
(ख) 8
(ग) 9
(घ) उपर्युक्त में से कोई नहीं
उत्तर. (क)
प्रश्न.13. बारह व्यक्ति अपना एक क्लब बना लेते हैं। महीने में एक बार, पर्ची निकाल कर, उनमें से एक व्यक्ति सभी के लिए रात्रिभोज की मेजबानी करेगा। एक वर्ष में किसी विशेष सदस्य को कितनी बार रात्रिभोज की मेजबानी करनी होगी? (2015)
(क) एक
(ख) शून्य
(ग) तीन
(घ) पूर्वानुमान नहीं लगाया जा सकता
उत्तर. (घ)
उपाय.
दिये गए तथ्य से हम ये पूर्वानुमान नहीं लगा सकते है कि कोई विशेष व्यक्ति, कितनी बार सभी सदस्यों के लिए रात्रिभोज की मेजबानी करेगा क्योंकि ये संभव है कि कोई भी सदस्य पर्ची निकालकर एकबार से अधिक रात्रिभोज का आयोजन कर सकता है।
प्रश्न.14. 5 कार्य और 5 व्यक्ति हैं। कार्य-1, या तो व्यक्ति-1 को अथवा व्यक्ति-2 को नहीं दिया जा सकता। कार्य-2, या तो व्यक्ति-3 को अथवा व्यक्ति-4 को ही दिया जाना चाहिए। हर व्यक्ति को एक कार्य दिया जाना है। कार्य कितने तरीकों से दिया जा सकता है? (2015)
(क) 6
(ख) 12
(ग) 24
(घ) 144
उत्तर. (ग)
उपाय.
यहाँ 5 व्यक्ति और 5 कार्य है।
शर्त I,
कार्य T2 व्यक्ति 3 के लिए निश्चित है।
कार्य 1 का कुल तरीके = 2
कार्य 2 का कुल तरीके = 1
कार्य 3 का कुल तरीके = 3
कार्य 4 का कुल तरीके = 3
कार्य 5 का कुल तरीके = 3
कुल तरीके (शर्त 1 के लिए) = 2 + 1 + 3 + 3 + 3 = 12
अब, शर्त 2 के लिए
जब कार्य T2 व्यक्ति 4 के लिए निश्चित है
कार्य 1 का कुल तरीके = 2
कार्य 2 का कुल तरीके = 1
कार्य 3 का कुल तरीके = 3
कार्य 4 का कुल तरीके = 3
कार्य 5 का कुल तरीके = 3
कुल तरीके (शर्त II के लिए) = 3 + 3 + 3 + 2 + 1 = 12
अब कुल तरीके (शर्त I+ शर्त II के लिए) = 12 + 12 = 24
प्रश्न.15. किसी समाज में यह रिवाज है कि एक ही लिंग के मित्र मिलते समय एक-दूसरे के गले लग कर मिलते हैं, और विपरीत लिंग के मित्र मिलते समय एक-दूसरे से हाथ मिलाकर मिलते हैं। एक पार्टी में मित्रों के एक समूह के मिलने पर 24 बार हाथ मिलाए गए।
निम्नलिखित में से कौन सी एक संख्या, गले लगने की संभावित संख्या इंगित करती है? (2015)
(क) 39
(ख) 30
(ग) 21
(घ) 20
उत्तर. (ग)
उपाय.
माना कि,
महिलाओं की संख्या = x
पुरुषों की संख्या = y
हाथ मिलाने पर (xy) = 24
तब, 24 का संभव गुणनखण्ड = (6× 4) है। अब x = 6, 4 अथवा y = 4, 6
गले मिलने का संभावित संख्या = 6C2 + 4C2
= 15 + 6 = 21
प्रश्न.16. एक बक्से में, जिसमें तीन प्रकार के गोलियां हैं, लाल गोलियों से तीन कम सफेद गोलियां हैं आरै हरी गोलियो से पांच अधिक सफेद गोलियां है। यदि कुल 10 सफेद गोलियां हैं, तो बक्से में कुल कितनी गोलियां हैं? (2015)
(क) 26
(ख) 28
(ग) 32
(घ) 36
उत्तर. (ख)
उपाय.
अब कुल गोलियाँ की संख्या = 5 + 10 + 13 = 28
प्रश्न.17. प्रधानाचार्य के एक पद आरै उप-प्रधानाचार्य के दो पदों के लिए चयन होना है। साक्षात्कार के लिए बुलाए गए 6 उम्मीदवारों में से केवल दो उम्मीदवार प्रधानाचार्य के पद के लिए पात्र है जबकि उप-प्रधानाचार्य के पद के लिए वे सभी उम्मीदवार पात्र हैं। चुने जाने वाले उम्मीदवारों के सभी संभव संयेाजनों की संख्या क्या है? (2015)
(क) 4
(ख) 12
(ग) 18
(घ) उपर्युक्त में से कोई नहीं
उत्तर. (घ)
उपाय.
प्रधनाचार्य के पद के चयन का तरीका = 2C1
उप-प्रधनाचार्य के पद के चयन का तरीका = 5C2
कुल चयन का तरीका
∴ चुने जाने वाले उम्मीदवारों के संभव संयोजनों की कुल संख्या = 10×2 = 20
प्रश्न.18. एक विद्यार्थी को एक पाठयक्रम के लिए 5 विषयों, नामतः वाणिज्य, अर्थशास्त्र, सांख्यिकी, गणित I और गणित II में से 2 विषयों को चुनना है। गणित II केवल तभी चुना जा सकता है जब गणित I भी चुना गया हो। दो विषयों के चनुे जा सकने वाले संभव संयोजनों की संख्या क्या है? (2015)
(क) 5
(ख) 6
(ग) 7
(घ) 8
उत्तर. (ग)
उपाय.
यदि गणित I को नहीं चुना जाता है तो दो विषयों के चयन का तरीका
यदि गणित I को चुना जाता है तो गणित II तभी चुना जायेगा
इसलिए दो विषयों की चयन का कुल तरीका = 6 + 1 = 7
प्रश्न.19. एक व्यक्ति ने 5 जोड़े काले मोजे और कुछ जोड़े भूरे मोजे का ऑर्डर दिया। एक काले जोड़े की कीमत एक भूरे जोड़े की कीमत से तीन गुनी थी। बिल बनाते समय, बिल क्लर्क ने काले और भूरे जोड़ों की संख्या को गलती से आपस में बदल दिया जिसके कारण बिल 100 प्रतिशत बढ़ गया। मूल ऑर्डर में भूरे मोजे के जोड़ों की संख्या क्या थी? (2015)
(क) 10
(ख) 15
(ग) 20
(घ) 25
उत्तर. (घ)
उपाय.
माना कि, भूरे रंग के जोड़ों की संख्या = y
भूरे रंग के प्रत्येक जोड़ो की कीमत = x
काले रंग के प्रत्येक जोड़ों की कीमत = 3x
प्रश्न से,
5 काले जोड़े और y भूरे रंग की कुल कीमत = 5 × 3x + yx = 15x + yx
परंतु, बिल क्लर्क ने काले और भूरे जोड़ों की संख्या आपस में बदल देने पर, कीमत 100% बढ़ जाती है। अब,
= 3xy + 5x = 30x + 2xy = xy = 25x
y = 25
अतः प्रारंभ आर्डर में भूरे रंग के मोजे की कुल संख्या = 25
प्रश्न.20. सिर्फ पत्रिका X पढ़ने वाले व्यक्तियों की संख्या, पत्रिका Y पढ़ने वाले व्यक्ति कि संख्या की तीन गुनी है। सिर्फ पत्रिका Y पढ़ने वाले व्यक्तियों की संख्या, पत्रिका X पढ़ने वाले व्यक्तियों की संख्या की तीन गुनी है। तब, निम्नलिखित में से कौन सा/ से निष्कर्ष निकाला/निकाले जा सकता/सकते है/ हैं? (2015)
1. दोनों पत्रिकाएँ पढ़ने वाले व्यक्तियों की संख्या, सिर्फ पत्रिका X पढ़ने वाले व्यक्तियों की संख्या की दुगुनी है।
2. उन व्यक्तियों की कुल संख्या जो या तो कोई एक पत्रिका पढते़ हैं या दोनों पत्रिकाएँ पढते़ हैं, दोनों पत्रिकाएं पढ़ने वाले व्यक्तियों की संख्या की दुगनी है।
नीचे दिए गए कूट का प्रयोग कर सही उत्तर चुनिएः
(क) केवल 1
(ख) केवल 2
(ग) 1 और 2 दोनों
(घ) न तो 1, न ही 2
उत्तर. (*)
प्रश्न.21. 630 बच्चों के एक समूह का सामूहिक फोटो लेने के लिए पंक्तियों में बिठाया गया। प्रत्येक पंक्ति में उसके आगे की पंक्ति की तुलना में तीन बच्चे कम थे। पंक्तियों की निम्नलिखित संख्याओं में से कौन-सी, एक संभव नहीं है ? (2014)
(क) 3
(ख) 4
(ग) 5
(घ) 6
उत्तर. (घ)
उपाय.
माना कि स्तम्भ की संख्या = x, पक्तियों की संख्या = y
∴ xy = 630 – [3 × 1 + 3 × 2 + ......... + 3 × (y – 1)]
= 630 – 3 [1 + 2 + ........ + (y – 1)]
(a) यदि y = 3, तब 3x = 630 – 9
(b) यदि y = 4, तब 4x = 630 – 18
(c) यदि y = 5, तब 5x = 630 – 30
