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महत्वपूर्ण सूत्र: परिमाण और संयोजन | Quantitative Aptitude/संख्यात्मक योग्यता - Bank Exams PDF Download
परिवर्तन और संयोजन सूत्र
- n चीजों के सभी परिवर्तन, r एक समय में लिए गए, के लिए संख्या है
- n चीजों के सभी संयोजन, r एक समय में लिए गए, के लिए संख्या है
याद रखने योग्य बिंदु
- किसी भी नकारात्मक मात्रा का फैक्टोरियल मान्य नहीं है।
- यदि कोई विशेष चीज m तरीकों से की जा सकती है और दूसरी चीज n तरीकों से की जा सकती है, तो:
- इनमें से एक को m × n तरीकों से किया जा सकता है और
- दोनों को m × n तरीकों से किया जा सकता है।
- 0! = 1
- यदि n वस्तुओं के कुल सेट में ‘p1’ एक प्रकार के हैं और ‘p2’, ‘p3’ और इसी तरह ‘pr’ अन्य हैं, तो:
- nPn = n!
- nC0 = 1
- nCr = nC(n-r)
- nC0, nC1, nC2, nC3,…, nCn = 2n
- इनमें से एक को m × n तरीकों से किया जा सकता है और
- दोनों को m × n तरीकों से किया जा सकता है।
परिवर्तन और संयोजन सूत्र - फैक्टोरियल
n! = n(n-1)(n-2)…1 उदाहरण: 5! = 5(5-1)(5-2)(5-3)(5-4) = 5(4)(3)(2)(1)
मानक सत्य
- 0! = 1
- n! केवल n >= 0 के लिए मौजूद है और n < 0="" के="" लिए="" मौजूद="" नहीं="" />
परिवर्तन सूत्र
n चीजों में से r चीजों का चयन और व्यवस्था करने के तरीके (nPr द्वारा निरूपित)। nPr = n चीजों के लिए r एक समय में लिए गए बदलावों की संख्या। उदाहरण:
- शब्दों को अर्थ देने या न देने के लिए अक्षरों/वर्णों की व्यवस्था।
- टेबल पर गेंदों की व्यवस्था।
संयोजन के लिए सूत्र
r वस्तुओं में से n वस्तुओं में से एक समय में चुनने के तरिकों की संख्या को संयोजन (जिसे nCr के रूप में व्यक्त किया जाता है) कहते हैं। nCr = n वस्तुओं में से r वस्तुओं को एक समय में लेने के संयोजन (चयन) की संख्या।
- जहाँ n ≥ r (n r से अधिक या उसके बराबर है)।
- लोगों के चयन जो पिकनिक पर जाना चाहते हैं।
- लोगों के साथ पदों को भरना।
- उपलब्ध खिलाड़ियों में से खेल टीम का चयन।
- एक थैले से गेंदों का चयन।
महत्वपूर्ण गुण
गुण 1
n विभिन्न वस्तुओं के सभी को एक समय में लेने की व्यवस्थाओं (या क्रम) की संख्या = n!
गुण 2
जब P1 एक प्रकार की समान वस्तुएँ हैं, P2 किसी अन्य प्रकार की समान वस्तुएँ हैं और P3 किसी अन्य प्रकार की समान वस्तुएँ हैं और बाकी सभी भिन्न होनी चाहिए, तब व्यवस्थाओं की संख्या =
गुण 3
जब पुनरावृत्ति की अनुमति है, तब n विभिन्न वस्तुओं के r वस्तुओं को एक समय में लेने की व्यवस्थाओं की संख्या = n × n × n ×… (r बार) = nr
गुण 4
यहाँ, हम k गेंदों को n बक्सों में विभिन्न शर्तों के तहत वितरित करने के तरिकों की संख्या गिन रहे हैं। जो शर्तें सामान्यतः पूछी जाती हैं वे हैं:
- गेंदें या तो भिन्न हैं या समान।
- कोई बॉक्स एक से अधिक गेंद नहीं रख सकता या कोई बॉक्स एक से अधिक गेंद रख सकता है।
- कोई बॉक्स खाली नहीं हो सकता या कोई बॉक्स खाली हो सकता है।
अन्य गुण
- nPr = r! × nCr
- nCr nCr-1 = n1Cr
- nCx = nCy जब x = y या x y = n
- nCr = nPn-r
- nCr = n n-1Cr-1
- nCr के सबसे बड़े होने के लिए (a) यदि n सम है, r = n/2 (b) यदि n विषम है।
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Mar 25, 2025
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