Proof of Sum of n terms of an A.P (Hindi) Video Lecture - Class 10

उत्तर. एक एपी के न अंशों का योग के लिए समीकरण है: $$S_n = \frac{n}{2} \left(2a + (n-1)d\right)$$ यहां, $S_n$ एपी के न अंशों का योग है, $n$ अंशों की संख्या है, $a$ पहला अंश है और $d$ अंतर है.

उत्तर. एक आरंभिक एपी के न अंशों का योग को ब्रीफकेस्ट समीकरण के माध्यम से प्रमाणित किया जा सकता है. यहां हम इसका प्रमाण करते हैं: 1. एपी के पहले न अंशों का योग को $S_n$ के रूप में लेते हैं. 2. इसके बाद, हम अनुक्रमिक तरीके से एपी के पहले न अंशों को लेते हैं और उन्हें एपी के नये अंशों की समूह के रूप में देखते हैं. 3. अगले कदम में, हम एपी के नये अंशों का योग निकालने के लिए उन्हें एपी के पहले न अंशों के समूह के साथ जोड़ते हैं. 4. इन दोनों अंशों के योग को एक समीकरण के रूप में लिखते हैं. 5. तत्पश्चात, हम आरंभिक एपी के अंशों के योग को दो अलग-अलग तरीकों से लिखते हैं और उन्हें समान रूप में लिखते हैं. 6. इन दो समीकरणों को सामान्य आर्थिक अंतर के रूप में लिखते हैं और उसे मनोबल के रूप में लिखते हैं. 7. इस प्रक्रिया को विस्तार से दोहराते हुए, हम $n$ अंशों के लिए समीकरण को प्राप्त करते हैं.

उत्तर. एपी के न अंशों का योग निकालने के लिए आमतौर पर हम इस तरीके का उपयोग करते हैं: 1. पहले नये अंश का अनुक्रमिक तकनीक से सूचना प्राप्त करें: $a_n = a + (n-1)d$, यहां $a_n$ एपी का नया अंश है, $a$ पहला अंश है और $d$ अंतर है. 2. इसके बाद, पहले न अंशों का योग $S_n$ का समीकरण प्राप्त करें: $S_n = \frac{n}{2} \left(2a + (n-1)d\right)$. 3. यहां, आपको नये अंश को $a_n$ के साथ जोड़ने की जरूरत होती है: $S_n = a + a_2 + a_3 + ... + a_n$. 4. इस तरीके को आवरण रूप में लिखा जा सकता है: $S_n = a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + (n-1)d)$. 5. आपको एपी के पहले नये अंशों को एक पुनरावृत्ति रूप में लिखने की जरूरत होती है: $S_n = (a_n) + (a_{n-1}) + (a_{n-2}) + ... + (a_1)$. 6. इसके बाद, आपको दो समीकरणों को मिलाने की जरूरत होती है: $S_n = a + a_2 + a_3 + ... + a_n = (a_n) + (a_{n-1}) + (a_{n-2}) + ... + (a_1)$. 7. अंत में, आपको समीकरण को आवरण रूप में लिखने की जरूरत होती है और उसे मनोबल के रूप में लिखने की जरूरत होती है.

उत्तर. समीकरण में प्रयोग किए जाने वाले शब्दों का निम्नल