अध्याय नोट्स: पूर्णांक

परिचय
पूर्णांक हमारे चारों ओर हैं, भले ही हम इसे न समझें! इस अध्याय में, हम पूर्णांकों की दुनिया का अन्वेषण करेंगे और सीखेंगे कि उन्हें हमारे दैनिक जीवन में समस्याओं का प्रतिनिधित्व करने और हल करने के लिए कैसे उपयोग करें।

पूर्णांक
मान लीजिए कि राहुल अपने दोस्तों के साथ पिकनिक पर जा रहा है। वह अपने साथ कपकेक लेना चाहता है, लेकिन उसके पास केवल 3 कपकेक हैं, और उसके 4 दोस्त हैं। अब वह क्या करेगा?

तो, राहुल ने अपनी बहन से एक कपकेक उधार लेने का निर्णय लिया, जिसे वह बाद में वापस करेगा।

अब उसके पास कितने कपकेक हैं?

अपनी बहन से एक कपकेक उधार लेने के बाद, उसके पास 4 कपकेक हैं, जिन्हें वह अपने चार दोस्तों को देगा।

वह पिकनिक पर जाता है, जहाँ वह अपने दोस्तों को 4 कपकेक दे देता है। अब, उसके पास कितने कपकेक बचे हैं? क्या आपका उत्तर शून्य (0) है?

हम कह सकते हैं कि उसके पास कोई या 0 कपकेक नहीं बचे हैं, लेकिन हमें यह भी ध्यान में रखना होगा कि उसने अपनी बहन से एक कपकेक उधार लिया है।

लेकिन शून्य के पीछे कुछ नहीं है। तो अब वह क्या करेगा?

राहुल शून्य से आगे बढ़ता है। और शून्य के पीछे रखे गए नंबरों को नकारात्मक (-) चिह्न से चिह्नित किया गया है।

तो, वास्तव में राहुल के पास (-1) कपकेक हैं, जिसका अर्थ है कि 1 कपकेक उधार लिया गया है और यह उसका नहीं है। यदि वह अगले दिन 3 और कपकेक खरीदता है, तो उसे अपनी बहन को 1 कपकेक लौटाना होगा और उसके पास केवल 2 कपकेक ही रहेंगे।

• प्राकृतिक संख्याएँ: प्राकृतिक संख्याएँ सकारात्मक संख्याओं का एक सेट हैं, 1 से लेकर अनंत तक।
  प्राकृतिक संख्याएँ: 1, 2, 3, 4, 5, 6,.......
• पूर्ण संख्याएँ: पूर्ण संख्याएँ भी सकारात्मक पूर्णांकों का एक सेट हैं, जिसमें 0 शामिल है, अर्थात् 0 से अनंत तक।
  पूर्ण संख्याएँ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.......
• नकारात्मक संख्याएँ: एक नकारात्मक संख्या वह संख्या है जिसका मान हमेशा शून्य से कम होता है और इसके पहले नकारात्मक (-) चिह्न होता है।
  नकारात्मक संख्याएँ: ........, -4, -3, -2, -1

पूर्णांक सकारात्मक पूर्णांकों और सभी प्राकृतिक संख्याओं के नकारात्मक का एक सेट है।

पूर्णांक: ........, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, .....

पूर्णांक: नकारात्मक और सकारात्मक

• जब हमें नकारात्मक चिन्ह वाले संख्याओं का उपयोग करना होता है, तो हमें संख्या रेखा पर शून्य के बाएँ जाना पड़ता है। इन संख्याओं को नकारात्मक संख्याएँ कहा जाता है।
• इन नकारात्मक संख्याओं के कुछ उदाहरण हैं: तापमान पैमाना, झील या नदी में पानी का स्तर, तेल टंकी का स्तर, डेबिट खाता और बकाया शुल्क।
• संख्याएँ -1, -2, -3, -4... जिन्हें नकारात्मक संख्याएँ कहा जाता है, उन्हें नकारात्मक पूर्णांक भी कहा जाता है।
• संख्याएँ 1, 2, 3, 4 ... जिन्हें सकारात्मक संख्याएँ कहा जाता है, उन्हें सकारात्मक पूर्णांक भी कहा जाता है।
• यदि हम संख्या रेखा पर शून्य के चिह्न पर खड़े हैं, तो हम या तो नकारात्मक पूर्णांकों की ओर बाएँ जा सकते हैं या सकारात्मक पूर्णांकों की ओर दाएँ।
• जब हम संख्या रेखा पर शून्य की ओर बाएँ जाते हैं, तो सकारात्मक पूर्णांकों का मान घटता है।
• जब हम संख्या रेखा पर शून्य के और दूर बाएँ जाते हैं, तो नकारात्मक पूर्णांकों का मान घटता है।

पूर्णांकों का संख्या रेखा पर प्रतिनिधित्व

• संख्या रेखा संख्या का एक दृश्य प्रतिनिधित्व है जो एक सीधी रेखा पर होता है।
• यह रेखा उन संख्याओं की तुलना के लिए उपयोग की जाती है जो एक अनंत रेखा पर समान अंतराल पर रखी जाती हैं, जो दोनों तरफ़ क्षैतिज रूप से बढ़ती है।
• अन्य संख्याओं की तरह, पूर्णांकों का समूह भी संख्या रेखा पर प्रदर्शित किया जा सकता है।
• संख्याओं का संग्रह, अर्थात् ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...., को पूर्णांक कहा जाता है।

• एक रेखा खींचें और उस पर एक बिंदु को 0 के रूप में चिह्नित करें।
• बाएँ चिह्नित बिंदु (-1, -2, -3, -4, -5, -6) को नकारात्मक पूर्णांक कहा जाता है।
• दाएँ चिह्नित बिंदु (1, 2, 3, 4, 5, 6) को सकारात्मक पूर्णांक कहा जाता है।

उदाहरण: संख्या रेखा पर 2 को चिह्नित करें।

संख्यात्मक रेखा पर 2 को चिह्नित करने के लिए, हम शून्य के दाईं ओर 2 बिंदु आगे बढ़ते हैं।

पूर्णांकों का क्रम

पूर्णांकों का क्रम उस श्रृंखला या अनुक्रम के लिए कहा जाता है जहाँ संख्याएँ एक क्रम में व्यवस्थित होती हैं। पूर्णांक संख्यात्मक रेखा पर सकारात्मक और नकारात्मक पूर्णांकों के आधार पर व्यवस्थित होते हैं।

आइए हम फिर से संख्यात्मक रेखा पर दर्शाए गए पूर्णांकों का अवलोकन करें।

हम जानते हैं कि 5 > 4 और ऊपर दिखाई गई संख्यात्मक रेखा से, हम देखते हैं कि 5, 4 के दाईं ओर है।

इसी प्रकार, 4 > 0 है, और 4, 0 के दाईं ओर है।

अब, चूंकि 0, -3 के दाईं ओर है, इसलिए 0 > -1 है।

फिर, -1, -2 के दाईं ओर है, इसलिए -1 > -2 है।

इस प्रकार, हम देखते हैं कि संख्यात्मक रेखा पर, संख्या दाईं ओर बढ़ने पर बढ़ती है और बाईं ओर बढ़ने पर घटती है।

इसलिए, -3 < -2,="" -2="">< -1,="" -1="">< 0,="" 0="">< 1,="" 1="">< 2,="" 2="">< 3="">

इसलिए, पूर्णांकों का संग्रह इस प्रकार लिखा जा सकता है: ..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...

पूर्णांकों की तुलना

• एक पूर्णांक दूसरे पूर्णांक से या तो बड़ा हो सकता है या छोटा।
• इसलिए, दो पूर्णांकों की तुलना करने के लिए, हम बड़े (>), छोटे (<) और="" यदि="" दोनों="" पूर्णांक="" समान="" हों="" तो="" 'बराबर="" (=")'" चिह्न="" का="" उपयोग="" करते="">

नीचे दिए गए उदाहरण देखें:

• 0 > -88 > -50 <>
• -1 > -10 <>
• -20 <>
• -100 <>
• 0 > -200

उपरोक्त उदाहरणों से, हम यह देख सकते हैं कि जितना अधिक एक पूर्णांक नकारात्मक होता है, उसकी मान उतनी ही कम होती है।

प्रश्न 1: कौन से पूर्णांक 0 और -3 के बीच हैं?

समाधान: पूर्णांकों के क्रम के अनुसार, हम जानते हैं कि, -3 < -2="">< -1="">< 0।="" इसलिए,="" 0="" और="" -3="" के="" बीच="" दो="" पूर्णांक="" हैं,="" वे="" हैं="" -1="" और="">

प्रश्न 2: निम्नलिखित में से सबसे बड़ा और सबसे छोटा पूर्णांक कौन सा है?

8, 10, -12, 0, 23, 1, 3, -7, -22

समाधान: दिए गए पूर्णांक हैं: 8, 10, -12, 0, 23, 1, 3, -7, -22। सबसे छोटा पूर्णांक = -22 सबसे बड़ा पूर्णांक = 23

प्रश्न 3: गौतम -2 पर है। वह -6 तक पहुँचने के लिए किस दिशा में और कितने कदम चले?

समाधान: गौतम को -2 के बाईं ओर 4 कदम चलना होगा ताकि वह -6 पर पहुँच सके।

प्रश्न 4: यदि हम -3 के दाईं ओर 5 कदम चलें तो हम किस संख्या पर पहुँचेंगे?

समाधान: यदि हम -3 के दाईं ओर 5 कदम चलते हैं, तो हम 2 पर पहुँचते हैं।

पूर्णांकों का योग

पूर्णांकों के योग में मुख्य तीन संभावनाएँ हैं:

• दो सकारात्मक संख्याओं के बीच योग
• दो नकारात्मक संख्याओं के बीच योग
• एक सकारात्मक संख्या और एक नकारात्मक संख्या के बीच योग

पूर्णांकों के योग के नियम

• दो सकारात्मक संख्याओं के बीच योग: जब दो सकारात्मक पूर्णांकों को जोड़ा जाता है, तो हमें सकारात्मक संकेत के साथ एक पूर्णांक मिलता है। उदाहरण: (8) + (6) = 14, (10) + (15) = 25
• दो नकारात्मक संख्याओं के बीच योग: जब दो नकारात्मक पूर्णांकों को जोड़ा जाता है, तो हमें नकारात्मक संकेत के साथ एक पूर्णांक मिलता है। उदाहरण: (-3) + (-5) = -8, 10 + (-15) = -5
• एक सकारात्मक संख्या और एक नकारात्मक संख्या के बीच योग: जब एक सकारात्मक पूर्णांक को नकारात्मक पूर्णांक में जोड़ा जाता है, तो हम उन्हें घटाते हैं और बड़े पूर्णांक का संकेत रखते हैं। बड़े पूर्णांक का निर्णय पूर्णांकों के संकेतों को अनदेखा करके किया जा सकता है। उदाहरण: (3) + (-4) = -1; (5) + (-3) = 2

• योगात्मक व्युत्क्रम: जैसे कि 8 और -8, 2 और -2, जब एक-दूसरे के साथ जोड़े जाते हैं तो उनका योग शून्य होता है। इन्हें एक-दूसरे का योगात्मक व्युत्क्रम कहा जाता है।

प्रश्न 1: जोड़ें (5) + (-8)

समाधान: = (5) (-5) (-3) = 0 (-3) = (-3)

प्रश्न 2: (-9) (4) (-6) (3) का योग ज्ञात करें।

समाधान: हम संख्याओं को इस प्रकार व्यवस्थित कर सकते हैं कि सकारात्मक पूर्णांक और नकारात्मक पूर्णांक एक साथ समूहित हों।

हमारे पास है (-9) (4) (-6) (3)

= (-9) (-6) (4) (3) = (-15) (7) = -8

संख्यात्मक रेखा पर पूर्णांकों का जोड़ना

संख्यात्मक रेखा पर पूर्णांकों को जोड़ने के लिए, बस दूसरे संख्या के संकेत की जांच करें जिसे आप जोड़ रहे हैं। यदि हम दिए गए पूर्णांक में एक सकारात्मक संख्या जोड़ते हैं, तो हम दाईं ओर चलते हैं, और यदि हम दिए गए पूर्णांक में एक नकारात्मक पूर्णांक जोड़ते हैं, तो हम बाईं ओर चलते हैं। आइए हम संख्यात्मक रेखा पर पूर्णांकों को जोड़ने के लिए कुछ उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण 1: 1 + 2 के संचालन को संख्यात्मक रेखा का उपयोग करके निष्पादित करें।

समस्या को समझने के लिए नीचे दिए गए चरणों पर ध्यान दें।

चरण 1: पहले संख्या (1) को संख्यात्मक रेखा पर प्रारंभिक बिंदु के रूप में मानें। 1 + 2 जोड़ने के लिए, संख्यात्मक रेखा पर 1 को चिह्नित करें।

चरण 2: अब, पहले संख्या से दाईं ओर दूसरे संख्या के समतुल्य इकाइयों द्वारा कूदें। इसका कारण यह है कि संख्यात्मक रेखा पर मान दाईं ओर बढ़ने पर बढ़ते हैं। इस मामले में, हम 1 + 2 जोड़ रहे हैं, इसलिए हम दाईं ओर 2 कदम चलेंगे। इससे हमें 3 संख्या प्राप्त होगी। तो, 1 + 2 = 3।

उदाहरण 2: 3 + (-4) के संचालन को संख्यात्मक रेखा का उपयोग करके निष्पादित करें।

चरण पहले जैसा ही रहेगा, सिवाय दिशा के क्योंकि जोड़ने का संचालन नकारात्मक संख्या के साथ है। यहाँ, हम 3 को प्रारंभिक संख्या के रूप में लेते हैं और संख्यात्मक रेखा पर बाईं ओर 4 इकाइयाँ चलते हैं क्योंकि दूसरी संख्या -4 है, जिसका परिणाम -1 है।

पूर्णांकों का घटाव

• जब हम एक छोटे सकारात्मक पूर्णांक से एक बड़े सकारात्मक पूर्णांक को घटाते हैं, तो अंतर एक नकारात्मक पूर्णांक होता है। उदाहरण: (5) - (8) = -3
• किसी दिए गए पूर्णांक से नकारात्मक पूर्णांक को घटाने के लिए, हम केवल नकारात्मक पूर्णांक का जोड़ात्मक विपरीत उस दिए गए पूर्णांक में जोड़ते हैं। उदाहरण: (-5) - (-8) = 3

इस प्रकार, किसी पूर्णांक का घटाव उसके जोड़ात्मक विपरीत के जोड़ के समान है। पूर्णांकों का जोड़ और घटाव दोनों को संख्या रेखा पर दिखाया जा सकता है।

प्रश्न 1: (-10) में से (-4) घटाएं

हल: (-10) - (-4) = (-10) (-4 का जोड़ात्मक विपरीत) = -10 + 4 = -6

प्रश्न 2: (-3) में से (3) घटाएं

(-3) - (3) = (-3) (3 का जोड़ात्मक विपरीत) = (-3) + (-3) = -6

संख्या रेखा की मदद से पूर्णांकों का घटाव

• संख्या रेखा पर पूर्णांकों को घटाने के लिए, केवल उस संख्या के चिन्ह की जांच करें जिसे आप घटा रहे हैं। सकारात्मक पूर्णांक को घटाने के लिए, हम संख्या रेखा पर बाईं ओर चलते हैं, और नकारात्मक पूर्णांक को घटाने के लिए हम संख्या रेखा पर दाईं ओर चलते हैं।

उदाहरण 1: संख्या रेखा का उपयोग करते हुए 5 - 3 का संचालन करें।

समस्या को समझने के लिए दिए गए चरणों पर ध्यान दें। चरण 1: संख्या रेखा पर पहले संख्या (5) को चिह्नित करें। चरण 2: दिए गए दूसरे संख्या के अनुसार संख्या रेखा के बाईं ओर चलें। इस मामले में, दूसरा संख्या 3 है, इसलिए हम तीरों द्वारा दिखाए अनुसार 3 इकाइयों तक बाईं ओर चलेंगे। इसलिए, हम 2 पर पहुँचते हैं, जो उत्तर है।

3 को -4 से घटाना संख्या रेखा का उपयोग करके। हम समस्या को हल करने के लिए पूर्णांकों को संख्या रेखा पर घटाने के चरणों का पालन करेंगे।

हम संख्या रेखा पर पहले संख्या -4 से शुरू करते हैं और दूसरे संख्या (जो 3 इकाइयाँ हैं) के बराबर इकाइयों को बाईं ओर चलकर -7 पर पहुँचते हैं। इस प्रकार, हम देखते हैं कि -4 - 3 = -7 को संख्या रेखा पर दर्शाया गया है।

महत्वपूर्ण प्रश्न

Q1. -8 और -15 के बीच सभी पूर्णांक लिखिए। (उन्हें बढ़ते क्रम में लिखें।) उत्तर: -8 और -15 के बीच बढ़ते क्रम में पूर्णांक हैं:

-14, -13, -12, -11, -10 और -9।

Q2. निम्नलिखित का समाधान खोजिए: (-9) ( 13) उत्तर: (-9) ( 13) = (-9) ( 9) ( 4) = 0 ( 4) = 4।

Q3. घटाइए: (-20) - (-13) उत्तर: (-20) - (-13) = (-20) (-13 का जोड़ात्मक व्युत्क्रम) = (-20) (13) = -7।

Q4. निम्नलिखित का मान खोजिए: (-7) (-9) 4 16 उत्तर: (-7) (-9) 4 16 = (-16) 20 = (-16) 16 4 = 0 4 = 4।

Q5. संख्या रेखा का उपयोग करके निम्नलिखित पूर्णांकों को जोड़िए: 9 (-6)। उत्तर: संख्या रेखा पर हम पहले 0 से 9 कदम दाईं ओर चलते हैं और 9 पर पहुँचते हैं, फिर हम 9 से 6 कदम बाईं ओर चलते हैं और 3 पर पहुँचते हैं। इस प्रकार, 9 (-6) = 3।

Q6. एक विशेष सुबह 5 बजे तापमान -11℃ है। यदि तापमान 6 बजे 3 डिग्री गिरता है और 8 बजे 5 डिग्री बढ़ता है और फिर 9 बजे 3 डिग्री गिरता है, तो 9 बजे तापमान क्या होगा? उत्तर: 5 बजे तापमान = -11℃ 6 बजे 3℃ गिरने पर = -3 8 बजे 5℃ बढ़ने पर = 5 9 बजे 3℃ गिरने पर = -3 अंतिम तापमान 9 बजे = (-11) (-3) (5) (-3) = -11 - 3 5 - 3 = -17 5 = -12℃।

प्रश्न 7: संख्या रेखा पर पूर्णांक क्या हैं?

संख्या रेखा पर पूर्णांक एक दृश्य तरीके से पूर्णांकों का प्रतिनिधित्व करते हैं, जहाँ सभी सकारात्मक और नकारात्मक पूर्णांक, जिसमें 0 भी शामिल है, को अंकित किया जाता है। यह हमें पूर्णांकों की तुलना करने और उन पर अंकगणितीय संचालन करने में मदद करता है।

प्रश्न 8: संख्या रेखा पर पूर्णांकों का प्रतिनिधित्व कैसे करें?

पूर्णांक संख्या रेखा पर निम्नलिखित तरीके से अंकित किए जाते हैं:

• पूर्णांक 0 को संख्या रेखा के मध्य में अंकित किया जाता है।
• सभी सकारात्मक पूर्णांक 0 के दाएं अंकित किए जाते हैं और सभी नकारात्मक पूर्णांक 0 के बाएं अंकित किए जाते हैं।

उदाहरण के लिए, हम पूर्णांक 5 को 0 के दाएं अंकित करेंगे, और -9 को 0 के बाएं अंकित करेंगे।

प्रश्न 9: संख्या रेखा पर पूर्णांकों को जोड़ने और घटाने का तरीका क्या है?

• पूर्णांकों को जोड़ने के लिए, हम हमेशा पहले संख्या से शुरू करते हैं और दूसरे संख्या के समकक्ष इकाइयों के अनुसार दाईं ओर (यदि सकारात्मक हो) या बाईं ओर (यदि नकारात्मक हो) चलते हैं। उदाहरण के लिए, 5 + (-4) करने के लिए, हम 5 से शुरू करते हैं और 4 इकाइयों बाईं ओर चलते हैं, जो 1 पर पहुँचते हैं।
• पूर्णांकों को घटाने के लिए, हम हमेशा पहले संख्या से शुरू करते हैं और दूसरे संख्या के समकक्ष इकाइयों के अनुसार बाईं ओर (यदि सकारात्मक हो) या दाईं ओर (यदि नकारात्मक हो) चलते हैं। उदाहरण के लिए, -8 - (-3) करने के लिए, हम -8 से शुरू करते हैं और 3 इकाइयों दाईं ओर चलते हैं, जो -5 पर पहुँचते हैं।