NCERT समाधान: प्रत्यक्ष और उल्टे अनुपात (व्यायाम 11.1, 11.2)

प्रयास करें (पृष्ठ संख्या 132)

प्रश्न 1: निम्नलिखित तालिकाओं का अवलोकन करें और पता करें कि क्या x और y सीधे अनुपात में हैं।

• i.e. प्रत्येक अनुपात समान है। ∴ x और y सीधे अनुपात में हैं।
• i.e. सभी अनुपात समान नहीं हैं। ∴ x और y सीधे अनुपात में नहीं हैं।

प्रश्न 2: प्रधान राशि = रु 1000, दर = 8% प्रति वर्ष। निम्नलिखित तालिका भरें और पता करें कि कौन सा प्रकार का ब्याज (सरल या चक्रवृद्धि) समय अवधि के साथ सीधे अनुपात में बदलता है।

समाधान:

सरल ब्याज का मामला [P = रु 1000, r = 8% प्रति वर्ष]

• ∵ प्रत्येक मामले में अनुपात समान है। ∴ सरल ब्याज समय अवधि के साथ सीधे अनुपात में बदलता है।

चक्रवृद्धि ब्याज का मामला [P = रु 1000, r = 8% प्रति वर्ष]

• ∵ प्रत्येक मामले में समान नहीं है। ∴ चक्रवृद्धि ब्याज समय अवधि के साथ सीधे अनुपात में नहीं बदलता है।

सोचें, चर्चा करें और लिखें

प्रश्न: यदि हम समय अवधि और ब्याज दर को निश्चित करते हैं, तो सरल ब्याज प्रधान राशि के साथ समानुपाती रूप से बदलता है। क्या चक्रवृद्धि ब्याज के लिए भी ऐसा ही संबंध होगा? क्यों?

समाधान:

सरल ब्याज के लिए, चूंकि दर और समय अवधि स्थिर हैं, तो SI सीधे P के अनुसार बदलता है। इस प्रकार, सरल ब्याज प्रधान राशि के साथ सीधे अनुपात में बदलता है।

चक्रवृद्धि ब्याज के लिए, चूंकि दर और समय अवधि स्थिर हैं, तो CI P के साथ बदलता है। इस प्रकार, चक्रवृद्धि ब्याज भी प्रधान राशि के साथ सीधे अनुपात में बदलता है।

व्यायाम 11.1

प्रश्न 1: निम्नलिखित रेल्वे स्टेशन के पास कार पार्किंग शुल्क हैं। जांचें कि क्या पार्किंग शुल्क पार्किंग समय के साथ सीधे अनुपात में हैं।

समाधान: हमारे पास,

• ∴ पार्किंग शुल्क पार्किंग समय के साथ सीधे अनुपात में नहीं हैं।

प्रश्न 2: पेंट का मिश्रण 1 भाग लाल रंग के पिगमेंट को 8 भाग आधार के साथ मिलाकर तैयार किया जाता है। निम्नलिखित तालिका में, आधार के भागों को खोजें जो जोड़े जाने की आवश्यकता है।

समाधान: मान लीजिए कि लाल पिगमेंट को x1, x2, x3, ... और आधार को y1, y2, y3, ... द्वारा दर्शाया गया है। जैसे-जैसे आधार बढ़ता है, आवश्यक लाल पिगमेंट की संख्या भी बढ़ेगी। ∴ मात्रा सीधे बदलती है। अब,

• इस प्रकार, आवश्यक आधार के भाग हैं: 32, 56, 96 और 160।

प्रश्न 3: ऊपर प्रश्न 2 में, यदि 1 भाग लाल पिगमेंट को 75 मिलीलीटर आधार की आवश्यकता होती है, तो हमें 1800 मिलीलीटर आधार के साथ कितनी लाल पिगमेंट मिलानी चाहिए?

समाधान: यहाँ, x1 = 1, y1 = 75 और y2 = 1800

• इस प्रकार, आवश्यक लाल पिगमेंट = 24 भाग।

प्रश्न 4: एक सॉफ्ट ड्रिंक फैक्ट्री में एक मशीन 6 घंटे में 840 बोतलें भरती है। यह 5 घंटे में कितनी बोतलें भरेगी?

समाधान: भरी गई बोतलों की संख्या

• बोतलें भरी गईं: 840
• घंटे: 6
• x: 5

अधिक घंटे के लिए, अधिक बोतलें भरी जाएंगी। इस प्रकार, दी गई मात्राएँ सीधे बदलती हैं। इस प्रकार, आवश्यक बोतलों की संख्या = 700

प्रश्न 5: एक बैक्टीरिया का फोटो 50,000 गुना बढ़ने पर 5 सेमी लंबाई प्राप्त करता है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। बैक्टीरिया की असली लंबाई क्या है? यदि फोटो केवल 20,000 गुना बढ़ता है, तो इसकी बढ़ी हुई लंबाई क्या होगी?

समाधान: मान लीजिए कि बैक्टीरिया की असली लंबाई = x सेमी

• फोटो बढ़ने की संख्या: 1
• x 50,000 = 5

लंबाई बढ़ने के साथ बढ़ती है। ∴ यह सीधे अनुपात का मामला है। फिर,

प्रश्न 6: एक जहाज के मॉडल में, मस्तूल 9 सेमी ऊँचा है, जबकि असली जहाज का मस्तूल 12 मीटर ऊँचा है। यदि जहाज की लंबाई 28 मीटर है, तो मॉडल जहाज की लंबाई कितनी है?

समाधान: मान लीजिए कि आवश्यक मॉडल की लंबाई = x सेमी

• हमारे पास: जहाज की लंबाई: 28
• मस्तूल की ऊँचाई: 12
• x: 9

चूंकि, जहाज की लंबाई बढ़ने पर, उसके मस्तूल की लंबाई भी बढ़ेगी। ∴ यह सीधे परिवर्तन का मामला है। इस प्रकार, आवश्यक मॉडल की लंबाई = 21 सेमी

प्रश्न 7: मान लीजिए 2 किलोग्राम चीनी में 9 * 10⁶ क्रिस्टल होते हैं। (i) 5 किलोग्राम चीनी में कितने चीनी क्रिस्टल हैं? (ii) 1.2 किलोग्राम चीनी में कितने हैं?

समाधान: मान लीजिए कि 5 किलोग्राम चीनी में आवश्यक चीनी क्रिस्टल x हैं। हमारे पास:

• चूंकि, अधिक चीनी के साथ, अधिक चीनी क्रिस्टल होंगे। ∴ यह सीधे परिवर्तन का मामला है। इस प्रकार, आवश्यक चीनी क्रिस्टल = 2.25 * 10⁷

(ii) मान लीजिए कि 1.2 किलोग्राम चीनी में चीनी क्रिस्टल की संख्या y है। ∴ हमारे पास:

• ∴ सीधे परिवर्तन के लिए,

प्रश्न 8: रश्मि के पास एक रोड मैप है जिसमें 1 सेमी 18 किमी का प्रतिनिधित्व करता है। वह 72 किमी की दूरी पर गाड़ी चलाती है। मानचित्र में उसकी कवर की गई दूरी क्या होगी?

समाधान: मान लीजिए कि मानचित्र में आवश्यक दूरी x सेमी है। हमारे पास:

• चूंकि, यह सीधे परिवर्तन का मामला है,

इस प्रकार, मानचित्र पर आवश्यक दूरी 4 सेमी है।

प्रश्न 9: एक 5 मीटर 60 सेमी ऊँचा खड़ा पोल 3 मीटर 20 सेमी लंबी छाया डालता है। उसी समय (i) 10 मीटर 50 सेमी ऊँचा दूसरे पोल की छाया की लंबाई क्या होगी और (ii) वह पोल जिसकी छाया 5 मीटर लंबी है, उसकी ऊँचाई क्या होगी?

समाधान:

• (i) मान लीजिए कि आवश्यक छाया की लंबाई x सेमी है। हमारे पास:
• जितनी अधिक पोल की ऊँचाई, उतनी ही अधिक उसकी छाया की लंबाई उसी अनुपात में बढ़ेगी। इसलिए, यह सीधे परिवर्तन का मामला है। इस प्रकार, आवश्यक छाया की लंबाई = 600 सेमी या 6 मीटर
• (ii) मान लीजिए कि आवश्यक पोल की ऊँचाई y सेमी है। ∴ हमारे पास:
• चूंकि, यह सीधे परिवर्तन का मामला है,

इस प्रकार, आवश्यक पोल की ऊँचाई = 875 सेमी या 8 मीटर 75 सेमी

प्रश्न 10: एक लोडेड ट्रक 25 मिनट में 14 किमी यात्रा करता है। यदि गति समान रहती है, तो यह 5 घंटे में कितनी दूरी तय कर सकता है?

समाधान: चूंकि गति स्थिर है, ∴ अधिक दूरी के लिए, अधिक समय की आवश्यकता होगी। इसलिए, यह सीधे परिवर्तन का मामला है। मान लीजिए कि 5 घंटे में तय की जाने वाली दूरी x किमी है। हमारे पास:

• दूरी (किमी) समय (मिनट)
• 14 x 25 300
• ∴ आवश्यक दूरी = 168 किमी

प्रयास करें (पृष्ठ संख्या 139)

प्रश्न: निम्नलिखित तालिकाओं का अवलोकन करें और पता करें कि कौन से चर (यहाँ x और y) विपरीत अनुपात में हैं।

• (i) x 50 40 30 20 y 5 6 7 8
• (ii) x 100 200 300 400 y 60 30 20 15
• (iii) x 90 60 45 30 20 y 10 15 20 25 30 35

समाधान:

• (i) ∵ x1 = 50 और y1 = 5 ⇒ x1y1 = 50 * 5 = 250
• x2 = 40 और y2 = 6 ⇒ x2y2 = 40 * 6 = 240
• x3 = 30 और y3 = 7 ⇒ x3y3 = 30 * 7 = 210
• x4 = 20 और y4 = 8 ⇒ x4y4 = 20 * 8 = 160
• 250 ≠ 240 ≠ 210 ≠ 160 या x1y1 ≠ x2y2 ≠ x3y3 ≠ x4y4 ∴ x और y विपरीत अनुपात में नहीं हैं।

व्यायाम 11.2

प्रश्न 1: निम्नलिखित में से कौन से विपरीत अनुपात में हैं?

• (i) किसी काम पर श्रमिकों की संख्या और काम को पूरा करने का समय।
• (ii) यात्रा के लिए लिया गया समय और समान गति से तय की गई दूरी।
• (iii) खेती की गई भूमि का क्षेत्रफल और फसल की कटाई।
• (iv) निश्चित यात्रा के लिए लिया गया समय और वाहन की गति।
• (v) किसी देश की जनसंख्या और प्रति व्यक्ति भूमि का क्षेत्रफल।

समाधान:

याद रखें यदि एक मात्रा में वृद्धि दूसरी में समकक्ष कमी लाती है और इसके विपरीत, तो दोनों मात्राएँ विपरीत रूप से बदलती हैं।

• (i) यदि श्रमिकों की संख्या बढ़ाई जाती है तो काम को पूरा करने का समय कम होगा। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है।
• (ii) अधिक दूरी के लिए, अधिक समय की आवश्यकता होगी। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला नहीं है।
• (iii) अधिक कृषि भूमि के लिए, अधिक फसलें कटाई जाएंगी। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला नहीं है।
• (iv) यदि गति अधिक है, तो निश्चित दूरी तय करने का समय कम होगा। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है।
• (v) अधिक जनसंख्या के लिए, प्रति व्यक्ति कम भूमि की आवश्यकता होगी। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है।

प्रश्न 2: एक टेलीविज़न गेम शो में, पुरस्कार राशि रु 1,00,000 को विजेताओं के बीच समान रूप से विभाजित किया जाना है। निम्नलिखित तालिका को पूरा करें और पता करें कि क्या किसी व्यक्तिगत विजेता को दी जाने वाली पुरस्कार राशि सीधे या विपरीत अनुपात में विजेताओं की संख्या के साथ है?

• विजेताओं की संख्या: 1 2 4 5 8 10
• प्रत्येक विजेता के लिए पुरस्कार (रु में): 1,00,000 50,000 ...-...-

समाधान: यदि विजेताओं की संख्या अधिक है, तो पुरस्कार राशि कम होगी। ∴ यह विपरीत अनुपात का मामला है। इस प्रकार, तालिका इस प्रकार पूर्ण होती है:

• विजेताओं की संख्या: 1 2 4 5 8 10
• प्रत्येक विजेता के लिए पुरस्कार (रु में): 1,00,000 50,000 25,000 20,000 12,500 10,000 5,000

प्रश्न 3: रहमान एक पहिया बना रहा है जिसमें तीलियाँ हैं। वह चाहता है कि तीलियाँ इस प्रकार लगाई जाएँ कि किसी भी दो लगातार तीलियों के बीच का कोण समान हो। उसे निम्नलिखित तालिका को पूरा करने में मदद करें।

• तीलियों की संख्या: 4 6 8 10 12
• लगातार तीलियों के बीच का कोण: 90° 60° ............

(i) क्या तीलियों की संख्या और लगातार तीलियों के बीच बनते कोण विपरीत अनुपात में हैं? (ii) एक पहिए में 15 तीलियों के बीच का कोण निकालें। (iii) यदि लगातार तीलियों के बीच का कोण 40° है, तो कितनी तीलियाँ आवश्यक होंगी?

समाधान:

• (i) स्पष्ट रूप से, तीलियों की संख्या अधिक होने पर लगातार तीलियों के बीच का कोण कम होगा। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है।

इस प्रकार, तालिका इस प्रकार पूर्ण होती है:

• तीलियों की संख्या: 4 6 8 10 12
• लगातार तीलियों के बीच का कोण: 90° 60° 45° 36° 30°

(ii) मान लीजिए कि आवश्यक कोण x° है।

(iii) मान लीजिए कि आवश्यक तीलियों की संख्या n है। ∴ आवश्यक तीलियों की संख्या = 9

प्रश्न 4: यदि मिठाई का एक डिब्बा 24 बच्चों के बीच बाँटा जाता है, तो प्रत्येक को 5 मिठाई मिलेंगी। यदि बच्चों की संख्या 4 कम हो जाए, तो प्रत्येक को कितनी मिठाई मिलेगी?

समाधान: घटित बच्चों की संख्या = 24 - 4 = 20

चूंकि, बच्चों की संख्या अधिक होने पर, मिठाई की मात्रा कम होगी। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है।

i.e. 24 * 5 = 20 * x या ∴ प्रत्येक छात्र को 6 मिठाई मिलेगी।

प्रश्न 5: एक किसान के पास अपने मवेशियों को 20 जानवरों को 6 दिनों तक खिलाने के लिए पर्याप्त खाद्य सामग्री है। यदि उसमें 10 और जानवर शामिल हो जाएँ तो खाद्य सामग्री कितने दिन चलेगी?

समाधान: जोड़े गए जानवरों की संख्या = 10 ∴ अब, कुल जानवर = 20 + 10 = 30

अधिक जानवरों के लिए, खाद्य सामग्री कम दिनों तक चलेगी। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है। इस प्रकार,

• 30 * x = 20 * 6

इसलिए, खाद्य सामग्री अब 4 दिनों तक चलेगी।

प्रश्न 6: एक ठेकेदार का अनुमान है कि 3 व्यक्ति जसमिंदर के घर की वायरिंग 4 दिनों में कर सकते हैं। यदि वह तीन की बजाय 4 व्यक्तियों का उपयोग करता है, तो उन्हें काम पूरा करने में कितना समय लगेगा?

समाधान: अधिक व्यक्तियों की संख्या होने पर, काम पूरा करने का समय कम होगा। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है।

• व्यक्तियों की संख्या: 3 4 4 x

∴ 3 * 4 = 4 * x या x = 3 *

ये प्रयास करें (पृष्ठ संख्या 132)

प्रश्न 1: निम्नलिखित तालिकाओं का अवलोकन करें और जांचें कि क्या x और y प्रत्यक्ष अनुपात में हैं। अर्थात्, प्रत्येक अनुपात समान है। ∴ x और y प्रत्यक्ष अनुपात में हैं। अर्थात्, सभी अनुपात समान नहीं हैं। ∴ x और y प्रत्यक्ष अनुपात में नहीं हैं। अर्थात्, सभी अनुपात समान नहीं हैं। ∴ x और y प्रत्यक्ष अनुपात में नहीं हैं।

प्रश्न 2: प्रधान = ₹ 1000, ब्याज दर = 8% प्रति वर्ष। निम्नलिखित तालिका भरें और पता करें कि किस प्रकार का ब्याज (सरल या चक्रवृद्धि) समय अवधि के साथ प्रत्यक्ष अनुपात में बदलता है। समाधान। सरल ब्याज का मामला [P = ₹ 1000, r = 8% प्रति वर्ष] ∵ प्रत्येक मामले में अनुपात समान है। ∴ सरल ब्याज समय अवधि के साथ प्रत्यक्ष अनुपात में बदलता है। चक्रवृद्धि ब्याज का मामला [P = ₹ 1000, r = 8% प्रति वर्ष] ∵ प्रत्येक मामले में समान नहीं है। ∴ चक्रवृद्धि ब्याज समय अवधि के साथ प्रत्यक्ष अनुपात में नहीं बदलता है।

सोचें, चर्चा करें और लिखें प्रश्न: यदि हम समय अवधि और ब्याज दर को तय करें, तो सरल ब्याज प्रधान के साथ आनुपातिक रूप से बदलता है। क्या चक्रवृद्धि ब्याज के लिए ऐसा ही संबंध होगा? क्यों? समाधान। सरल ब्याज के लिए, चूंकि ब्याज दर और समय अवधि स्थिर हैं, तब SI सीधे P के अनुसार बदलता है। इस प्रकार, सरल ब्याज प्रधान के साथ प्रत्यक्ष अनुपात में बदलता है। चक्रवृद्धि ब्याज के लिए, चूंकि ब्याज दर और समय अवधि स्थिर हैं, तब CI P के साथ बदलता है। इस प्रकार, चक्रवृद्धि ब्याज भी प्रधान के साथ प्रत्यक्ष अनुपात में बदलता है।

व्यायाम 11.1

• प्रश्न 1: निम्नलिखित रेलवे स्टेशन के पास कार पार्किंग शुल्क की जांच करें कि क्या पार्किंग शुल्क पार्किंग समय के साथ प्रत्यक्ष अनुपात में है। समाधान: हमारे पास, चूंकि ∴ पार्किंग शुल्क पार्किंग समय के साथ प्रत्यक्ष अनुपात में नहीं है।
• प्रश्न 2: एक रंग मिश्रण तैयार किया जाता है जिसमें 1 भाग लाल रंगद्रव्य और 8 भाग आधार मिलाए जाते हैं। निम्नलिखित तालिका में, आवश्यक आधार के भाग पता करें। समाधान: मान लें कि लाल रंगद्रव्य को x1, x2, x3, ... द्वारा दर्शाया गया है और आधार को y1, y2, y3, ... द्वारा दर्शाया गया है। जैसे-जैसे आधार बढ़ता है, आवश्यक लाल रंगद्रव्य की संख्या भी बढ़ेगी। ∴ मात्राएँ सीधे भिन्न होती हैं। अब, इस प्रकार, आवश्यक आधार के भाग हैं: 32, 56, 96 और 160।
• प्रश्न 3: यदि 1 भाग लाल रंगद्रव्य के लिए 75 mL आधार की आवश्यकता है, तो 1800 mL आधार के साथ हमें कितना लाल रंगद्रव्य मिलाना चाहिए? समाधान: यहां, x1 = 1, y1 = 75 और y2 = 1800। इस प्रकार, आवश्यक लाल रंगद्रव्य = 24 भाग।
• प्रश्न 4: एक मशीन एक सॉफ्ट ड्रिंक फैक्ट्री में 6 घंटे में 840 बोतलें भरती है। वह 5 घंटे में कितनी बोतलें भरेगी? समाधान: भरी गई बोतलों की संख्या: 840, 6, x, 5। अधिक घंटे के लिए, अधिक बोतलें भरी जाएंगी। इस प्रकार दिए गए मात्राएँ सीधे भिन्न होती हैं। इस प्रकार, आवश्यक बोतलों की संख्या = 700।
• प्रश्न 5: एक बैक्टीरिया का फोटो 50,000 गुना बड़ा होकर 5 सेमी लंबा हो जाता है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। बैक्टीरिया की वास्तविक लंबाई क्या है? यदि फोटो केवल 20,000 गुना बड़ा किया जाता है, तो इसकी बढ़ी हुई लंबाई क्या होगी? समाधान: मान लें कि बैक्टीरिया की वास्तविक लंबाई = x सेमी। फोटो के बढ़ने की संख्या, लंबाई (सेमी) 1: x, 50,000: 5। लंबाई बढ़ने के साथ फोटो के बढ़ने की संख्या में वृद्धि होती है। ∴ यह प्रत्यक्ष अनुपात का मामला है।
• प्रश्न 6: एक जहाज के मॉडल में मस्तूल 9 सेमी ऊँचा है, जबकि वास्तविक जहाज का मस्तूल 12 मीटर ऊँचा है। यदि जहाज की लंबाई 28 मीटर है, तो मॉडल जहाज की लंबाई कितनी होगी? समाधान: मान लें कि आवश्यक मॉडल की लंबाई = x सेमी। हमारे पास: जहाज की लंबाई, मस्तूल की ऊँचाई 28: 12, x: 9। चूंकि, जहाज की लंबाई बढ़ने पर, उसके मस्तूल की लंबाई भी बढ़ेगी। ∴ यह प्रत्यक्ष परिवर्तन का मामला है। इस प्रकार, मॉडल की आवश्यक लंबाई = 21 सेमी।
• प्रश्न 7: मान लें कि 2 किलोग्राम चीनी में 9 * 10^6 क्रिस्टल होते हैं। (i) 5 किलोग्राम चीनी में कितने चीनी क्रिस्टल होंगे? (ii) 1.2 किलोग्राम चीनी में कितने होंगे? समाधान: मान लें कि 5 किलोग्राम चीनी में आवश्यक चीनी क्रिस्टल x हैं। हमारे पास: चूंकि, चीनी की मात्रा बढ़ने पर, चीनी क्रिस्टल की संख्या भी बढ़ेगी। ∴ यह प्रत्यक्ष परिवर्तन का मामला है। इस प्रकार, आवश्यक चीनी क्रिस्टल = 2.25 * 10^7। (ii) मान लें कि 1.2 किलोग्राम चीनी में चीनी क्रिस्टल की संख्या y है। ∴ हमारे पास: ∴ प्रत्यक्ष परिवर्तन के लिए।
• प्रश्न 8: राश्मी के पास 1 सेमी = 18 किलोमीटर के पैमाने वाला एक मानचित्र है। वह 72 किलोमीटर की दूरी तय करती है। मानचित्र में उसकी दूरी कितनी होगी? समाधान: मान लें कि मानचित्र में आवश्यक दूरी x सेमी है। हमारे पास: चूंकि, यह प्रत्यक्ष परिवर्तन का मामला है। इस प्रकार, मानचित्र पर आवश्यक दूरी 4 सेमी है।
• प्रश्न 9: 5 मीटर 60 सेमी ऊंचा एक ऊर्ध्वाधर खंभा 3 मीटर 20 सेमी लंबी छाया डालता है। उसी समय में (i) 10 मीटर 50 सेमी ऊँचे दूसरे खंभे द्वारा डाली गई छाया की लंबाई ज्ञात करें और (ii) एक खंभे की ऊँचाई ज्ञात करें जो 5 मीटर लंबी छाया डालता है। समाधान: (i) मान लें कि आवश्यक छाया की लंबाई x सेमी है। हमारे पास: जैसे-जैसे खंभे की ऊँचाई बढ़ती है, उसकी छाया की लंबाई भी उसी अनुपात में बढ़ती है। इसलिए, यह प्रत्यक्ष परिवर्तन का मामला है। इस प्रकार, आवश्यक छाया की लंबाई = 600 सेमी या 6 मीटर। (ii) मान लें कि आवश्यक खंभे की ऊँचाई y सेमी है। ∴ हमारे पास: चूंकि, यह प्रत्यक्ष परिवर्तन का मामला है। इस प्रकार, आवश्यक खंभे की ऊँचाई = 875 सेमी या 8 मीटर 75 सेमी।
• प्रश्न 10: एक भरा हुआ ट्रक 25 मिनट में 14 किमी यात्रा करता है। यदि गति समान रहती है, तो वह 5 घंटे में कितनी दूर यात्रा कर सकता है? समाधान: चूंकि गति स्थिर है, ∴ लंबी दूरी के लिए अधिक समय की आवश्यकता होगी। इसलिए, यह प्रत्यक्ष परिवर्तन का मामला है। मान लें कि 5 घंटे (300 मिनट) में यात्रा की जाने वाली आवश्यक दूरी x किमी है। हमारे पास: दूरी (किमी में), समय (मिनट में) 14, x, 25, 300। ∴ आवश्यक दूरी = 168 किमी।

ये प्रयास करें (पृष्ठ संख्या 139)

प्रश्न: निम्नलिखित तालिकाओं का अवलोकन करें और पता करें कि कौन सा युग्म चर (यहां x और y) विपरीत अनुपात में हैं।

• (i) x: 50, 40, 30, 20; y: 5, 6, 7, 8
• (ii) x: 100, 200, 300, 400; y: 60, 30, 20, 15
• (iii) x: 90, 60, 45, 30, 20; y: 10, 15, 20, 25, 30

समाधान: (i) ∵ x1 = 50 और y1 = 5 ⇒ x1y1 = 50 * 5 = 250, x2 = 40 और y2 = 6 ⇒ x2y2 = 40 * 6 = 240, x3 = 30 और y3 = 7 ⇒ x3y3 = 30 * 7 = 210, x4 = 20 और y4 = 8 ⇒ x4y4 = 20 * 8 = 160। इसके अलावा 250 ≠ 240 ≠ 210 ≠ 160 या x1y1 ≠ x2y2 ≠ x3y3 ≠ x4y4। ∴ x और y विपरीत अनुपात में नहीं हैं।

व्यायाम 11.2

• प्रश्न 1: निम्नलिखित में से कौन सा विपरीत अनुपात में हैं? (i) किसी कार्य पर श्रमिकों की संख्या और कार्य को पूरा करने का समय। (ii) यात्रा के लिए लिया गया समय और समान गति में तय की गई दूरी। (iii) कृषि भूमि का क्षेत्रफल और फसल की कटाई। (iv) एक निश्चित यात्रा के लिए लिया गया समय और वाहन की गति। (v) किसी देश की जनसंख्या और प्रति व्यक्ति भूमि का क्षेत्र।

समाधान: याद रखें, यदि एक मात्रा में वृद्धि दूसरी मात्रा में एक समान कमी लाती है और इसके विपरीत, तो दोनों मात्राएँ विपरीत अनुपात में होती हैं। (i) यदि श्रमिकों की संख्या बढ़ाई जाती है, तो कार्य को पूरा करने का समय कम हो जाएगा। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है। (ii) लंबी दूरी के लिए अधिक समय की आवश्यकता होगी। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला नहीं है। (iii) अधिक कृषि भूमि के लिए अधिक फसल काटी जाएगी। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला नहीं है। (iv) यदि गति अधिक है, तो एक निश्चित दूरी को कवर करने का समय कम होगा। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है। (v) अधिक जनसंख्या के लिए प्रति व्यक्ति कम भूमि की आवश्यकता होगी। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है।

• प्रश्न 2: एक टेलीविजन गेम शो में, ₹ 1,00,000 का पुरस्कार धन राशि विजेताओं के बीच समान रूप से विभाजित किया जाएगा। निम्नलिखित तालिका को पूरा करें और पता करें कि क्या एक व्यक्तिगत विजेता को दिया गया पुरस्कार धन राशि विजेताओं की संख्या के लिए प्रत्यक्ष या विपरीत अनुपात में है? संख्याबिजेता 1 2 4 5 8 10 20। प्रत्येक विजेता का पुरस्कार (₹) 1,00,000, 50,000, ... - ... -

समाधान: यदि विजेताओं की संख्या बढ़ती है, तो पुरस्कार धन राशि कम होगी। ∴ यह विपरीत अनुपात का मामला है। इस प्रकार, तालिका इस प्रकार पूर्ण की जाती है: संख्याबिजेता 1 2 4 5 8 10 20। प्रत्येक विजेता का पुरस्कार (₹) 1,00,000, 50,000, 25,000, 20,000, 12,500, 10,000, 5,000।

• प्रश्न 3: रहमान एक पहिया बना रहा है जिसमें स्पोक हैं। वह इस तरह से समान स्पोक स्थापित करना चाहता है कि किसी भी दो लगातार स्पोक के बीच के कोण समान हों। उसकी मदद करें और निम्नलिखित तालिका को पूरा करें। स्पोक की संख्या 4 6 8 10 12। लगातार स्पोक के बीच का कोण 90°, 60° ...। (i) क्या स्पोक की संख्या और लगातार स्पोक के बीच बने कोण में विपरीत अनुपात है? (ii) 15 स्पोक वाले पहिये पर लगातार स्पोक के बीच का कोण क्या होगा? (iii) यदि लगातार स्पोक के बीच का कोण 40° है, तो कितने स्पोक की आवश्यकता होगी? समाधान: (i) स्पष्ट रूप से, स्पोक की संख्या बढ़ने पर, लगातार स्पोक के बीच का कोण कम होगा। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है। इस प्रकार, तालिका इस प्रकार पूर्ण की जाती है: स्पोक की संख्या 4 6 8 10 12। लगातार स्पोक के बीच का कोण 90°, 60°, 45°, 36°, 30°। (ii) मान लें कि आवश्यक कोण x° हो। (iii) मान लें कि आवश्यक स्पोक की संख्या n हो। ∴ आवश्यक स्पोक की संख्या = 9।

प्रश्न 4: यदि मिठाई का एक डिब्बा 24 बच्चों में बांटा जाए, तो प्रत्येक को 5 मिठाई मिलेगी। यदि बच्चों की संख्या 4 कम हो जाए, तो प्रत्येक को कितनी मिठाई मिलेगी? समाधान: बच्चों की संख्या कम हुई = 24 - 4 = 20। चूंकि, बच्चों की संख्या बढ़ने पर, मिठाई की मात्रा कम हो जाएगी। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है। अर्थात् 24 * 5 = 20 * x या ∴ प्रत्येक छात्र को 6 मिठाई मिलेगी।

प्रश्न 5: एक किसान के पास अपने मवेशियों के लिए खाद्य सामग्री है जिससे 20 जानवरों को 6 दिनों तक खिलाया जा सकता है। यदि उसके मवेशियों में 10 और जानवर होते हैं, तो खाद्य सामग्री कितने दिन तक चलेगी? समाधान: जोड़े गए जानवरों की संख्या = 10 । ∴ अब, कुल जानवरों की संख्या = 20 + 10 = 30। अधिक जानवरों के लिए, खाद्य सामग्री कम दिनों तक चलेगी। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है। इस प्रकार, हम 30 * x = 20 * 6 या इसलिए, खाद्य सामग्री अब 4 दिनों तक चलेगी।

प्रश्न 6: एक ठेकेदार का अनुमान है कि 3 व्यक्ति जसमिंदर के घर की वायरिंग को 4 दिनों में पूरा कर सकते हैं। यदि वह तीन के बजाय 4 व्यक्तियों का उपयोग करता है, तो उन्हें काम पूरा करने में कितना समय लगेगा? समाधान: अधिक व्यक्तियों की संख्या होने पर, काम पूरा करने का समय कम होगा। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है। व्यक्तियों की संख्या, कार्य पूरा करने के लिए दिन 3, 4, x। ∴ 3 * 4 = 4 * x या x = 3 * 4 = 3। ∴ आवश्यक दिन = 3।

प्रश्न 7: एक बैच की बोतलें 12 बोतलों में 25 बॉक्स में पैक की जाती हैं। यदि उसी बैच को प्रत्येक बॉक्स में 20 बोतलें पैक किया जाए, तो कितने बॉक्स भरेंगे? समाधान: मान लें कि आवश्यक बॉक्सों की संख्या x है। हमारे पास: एक बॉक्स में बोतलों की संख्या, बॉक्सों की संख्या 12, 20, 25, x। चूंकि, अधिक बोतलों की संख्या होने पर, भरे जाने वाले बॉक्सों की संख्या कम होगी। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है। अर्थात् आवश्यक बॉक्सों की संख्या = 15।

प्रश्न 8: एक फैक्ट्री में 42 मशीनों की आवश्यकता होती है ताकि 63 दिनों में एक निश्चित संख्या में वस्तुओं का उत्पादन किया जा सके। समान संख्या में वस्तुओं का उत्पादन करने के लिए 54 दिनों में कितनी मशीनें आवश्यक होंगी? समाधान: मान लें कि आवश्यक मशीनों की संख्या x है। हमारे पास: मशीनों की संख्या, दिनों की संख्या 42, 63, x, 54। इस प्रकार, आवश्यक मशीनों की संख्या = 49।

प्रश्न 9: एक कार 60 किमी/घंटा की गति से एक गंतव्य तक पहुँचने में 2 घंटे लेती है। यदि कार 80 किमी/घंटा की गति से यात्रा करती है, तो उसे कितना समय लगेगा? समाधान: अधिक गति के लिए, एक निश्चित दूरी तय करने में कम घंटे लगेंगे। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है। गति (किमी/घंटा), निश्चित दूरी को कवर करने का समय 60, 2, 80, x। इस प्रकार आवश्यक घंटे = ...

प्रश्न 10: दो व्यक्ति एक घर में नई खिड़की लगाने में 3 दिन ले सकते हैं। (i) यदि कार्य शुरू होने से पहले उनमें से एक बीमार हो जाता है। अब कार्य पूरा करने में कितना समय लगेगा? (ii) एक दिन में खिड़कियाँ लगाने के लिए कितने व्यक्तियों की आवश्यकता होगी? समाधान: (i) मान लें कि शेष व्यक्तियों द्वारा कार्य पूरा करने में लिया गया समय x है। ∵ 2 व्यक्ति - 1 व्यक्ति =

सोचें, चर्चा करें और लिखें प्रश्न: यदि हम समय अवधि और ब्याज दर को निश्चित करते हैं, तो साधारण ब्याज मूलधन के साथ आनुपातिक रूप से बदलता है। क्या संवृद्धि ब्याज के लिए भी ऐसा ही संबंध होगा? क्यों? समाधान। साधारण ब्याज के लिए, चूंकि दर और समय अवधि स्थिर हैं, इसलिए SI सीधे P के अनुसार बदलता है। इस प्रकार, साधारण ब्याज मूलधन के साथ सीधे आनुपात में बदलता है। संवृद्धि ब्याज के लिए, चूंकि, दर और समय अवधि स्थिर हैं, तो CI भी P के साथ बदलता है। इस प्रकार, संवृद्धि ब्याज भी मूलधन के साथ सीधे आनुपात में बदलता है।

व्यायाम 11.1

• प्रश्न 1: निम्नलिखित रेलवे स्टेशन के पास कार पार्किंग शुल्क हैं। जाँच करें कि क्या पार्किंग शुल्क पार्किंग समय के साथ सीधे आनुपात में हैं। समाधान: हमारे पास है, चूंकि ∴ पार्किंग शुल्क पार्किंग समय के साथ सीधे आनुपात में नहीं हैं।
• प्रश्न 2: एक रंग का मिश्रण 1 भाग लाल रंग के रंगद्रव्यों को 8 भाग आधार के साथ मिलाकर तैयार किया जाता है। निम्नलिखित तालिका में, आवश्यक आधार के भागों को खोजें। समाधान: मान लीजिए कि लाल रंगद्रव्य को x1, x2, x3, ... और आधार को y1, y2, y3, ... द्वारा दर्शाया गया है। जैसे-जैसे आधार बढ़ता है, आवश्यक लाल रंगद्रव्यों की संख्या भी बढ़ेगी। ∴ ये मात्राएँ सीधे बदलती हैं। अब इस प्रकार, आवश्यक आधार के भाग हैं: 32, 56, 96 और 160।
• प्रश्न 3: उपरोक्त प्रश्न 2 में, यदि 1 भाग लाल रंगद्रव्य को 75 मि.ली. आधार की आवश्यकता होती है, तो 1800 मि.ली. आधार के साथ हमें कितने लाल रंगद्रव्य मिलाने चाहिए? समाधान: यहाँ, x1 = 1, y1 = 75 और y2 = 1800। इस प्रकार, आवश्यक लाल रंगद्रव्यों की संख्या = 24 भाग।
• प्रश्न 4: एक सॉफ्ट ड्रिंक फैक्ट्री में एक मशीन 6 घंटे में 840 बोतलें भरती है। वह 5 घंटे में कितनी बोतलें भरेगी? समाधान: भरी गई बोतलों की संख्या, घंटे की संख्या = 840 / 6 = x / 5। अधिक घंटों के लिए, अधिक बोतलें भरी जाएँगी। इस प्रकार, दिए गए मात्राएँ सीधे बदलती हैं। आवश्यक बोतलों की संख्या = 700।
• प्रश्न 5: एक बैक्टीरिया की फोटो 50,000 गुना बढ़ाकर 5 सेमी लंबी होती है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। बैक्टीरिया की वास्तविक लंबाई क्या है? यदि फोटो केवल 20,000 गुना बढ़ाई जाती है, तो इसकी बढ़ी हुई लंबाई क्या होगी? समाधान: मान लीजिए कि बैक्टीरिया की वास्तविक लंबाई = x सेमी। फोटो बढ़ाने का संख्या = 50,000, लंबाई (सेमी) = 5। लंबाई बढ़ती है जब फोटो बढ़ाने की संख्या बढ़ती है। ∴ यह सीधे आनुपात का मामला है।
• प्रश्न 6: एक जहाज के मॉडल में मस्तूल 9 सेमी ऊँचा है, जबकि असली जहाज का मस्तूल 12 मीटर ऊँचा है। यदि जहाज की लंबाई 28 मीटर है, तो मॉडल जहाज की लंबाई कितनी होगी? समाधान: मान लीजिए कि मॉडल जहाज की आवश्यक लंबाई = x सेमी। हम हैं: जहाज की लंबाई / मस्तूल की ऊँचाई = 28 / 12 = x / 9। चूँकि, जहाज की लंबाई बढ़ने पर, उसके मस्तूल की लंबाई भी बढ़ेगी। ∴ यह सीधे परिवर्तन का मामला है। इस प्रकार, मॉडल की आवश्यक लंबाई = 21 सेमी।
• प्रश्न 7: मान लीजिए 2 किलोग्राम चीनी में 9 × 10^6 क्रिस्टल होते हैं। (i) 5 किलोग्राम चीनी में कितने चीनी क्रिस्टल होंगे? (ii) 1.2 किलोग्राम चीनी में कितने? समाधान: (i) मान लीजिए 5 किलोग्राम चीनी में आवश्यक चीनी क्रिस्टल x हैं। हमें मिलते हैं: चूंकि, अधिक चीनी की मात्रा होने पर, अधिक चीनी क्रिस्टल होंगे। ∴ यह सीधे परिवर्तन का मामला है। आवश्यक चीनी क्रिस्टल = 2.25 × 10^7। (ii) 1.2 किलोग्राम चीनी में चीनी क्रिस्टल की संख्या y है। ∴ हम हैं: ∴ सीधे परिवर्तन के लिए।
• प्रश्न 8: रश्मि के पास एक रोड मैप है जिसमें 1 सेमी 18 किलोमीटर का पैमाना दर्शाता है। वह 72 किलोमीटर की दूरी पर यात्रा करती है। मैप में उसकी दूरी कितनी होगी? समाधान: मान लीजिए कि मैप में आवश्यक दूरी x सेमी है। हम हैं: चूंकि, यह सीधे परिवर्तन का मामला है, इस प्रकार, मैप पर आवश्यक दूरी 4 सेमी है।
• प्रश्न 9: एक 5 मीटर 60 सेंटीमीटर ऊँचा खड़ा पोल 3 मीटर 20 सेंटीमीटर लंबी छाया डालता है। उसी समय में (i) एक और पोल की छाया की लंबाई क्या होगी जो 10 मीटर 50 सेंटीमीटर ऊँची है और (ii) एक पोल की ऊँचाई क्या होगी जो 5 मीटर लंबी छाया डालता है? समाधान: (i) मान लीजिए कि आवश्यक छाया की लंबाई x सेमी है। हमें मिलते हैं: जैसे-जैसे पोल की ऊँचाई बढ़ती है, उसकी छाया की लंबाई भी उसी अनुपात में बढ़ती है। इस प्रकार, आवश्यक छाया की लंबाई = 600 सेमी या 6 मीटर। (ii) मान लीजिए कि आवश्यक पोल की ऊँचाई y सेमी है। ∴ हम हैं: चूंकि, यह सीधे परिवर्तन का मामला है, इस प्रकार, आवश्यक पोल की ऊँचाई = 875 सेमी या 8 मीटर 75 सेंटीमीटर।
• प्रश्न 10: एक लोडेड ट्रक 25 मिनट में 14 किलोमीटर यात्रा करता है। यदि गति समान रहती है, तो वह 5 घंटे में कितनी दूर यात्रा कर सकता है? समाधान: चूंकि गति स्थिर है, ∴ अधिक दूरी के लिए, अधिक समय की आवश्यकता होगी। इसलिए, यह सीधे परिवर्तन का मामला है। मान लीजिए कि 5 घंटे में यात्रा की जाने वाली दूरी x किलोमीटर है। हम हैं: दूरी (किमी) समय (मिनट) = 14/x = 25/300। ∴ आवश्यक दूरी = 168 किलोमीटर।

प्रयास करें (पृष्ठ संख्या 139)

• प्रश्न: निम्नलिखित तालिकाओं पर ध्यान दें और खोजें कि कौन सा जोड़ा परिवर्तनीय (यहाँ x और y) विपरीत अनुपात में हैं। (i) x: 50, 40, 30, 20; y: 5, 6, 7, 8 (ii) x: 100, 200, 300, 400; y: 60, 30, 20, 15 (iii) x: 90, 60, 45, 30, 20, 5; y: 10, 15, 20, 25, 30, 35। समाधान: (i) ∵ x1 = 50 और y1 = 5 ⇒ x1y1 = 250; x2 = 40 और y2 = 6 ⇒ x2y2 = 240; x3 = 30 और y3 = 7 ⇒ x3y3 = 210; x4 = 20 और y4 = 8 ⇒ x4y4 = 160। इसके अलावा, 250 ≠ 240 ≠ 210 ≠ 160 या x1y1 ≠ x2y2 ≠ x3y3 ≠ x4y4 ∴ x और y विपरीत अनुपात में नहीं हैं।

व्यायाम 11.2

• प्रश्न 1: निम्नलिखित में से कौन सा विपरीत अनुपात में हैं? (i) एक काम पर श्रमिकों की संख्या और काम पूरा करने का समय। (ii) यात्रा के लिए लिया गया समय और समान गति में यात्रा की गई दूरी। (iii) खेती की भूमि का क्षेत्रफल और फसल की कटाई। (iv) एक निश्चित यात्रा के लिए लिया गया समय और वाहन की गति। (v) एक देश की जनसंख्या और प्रति व्यक्ति भूमि का क्षेत्र। समाधान: याद रखें यदि एक मात्रा में वृद्धि दूसरी में समान रूप से कमी लाती है और इसके विपरीत, तो दो मात्राएँ विपरीत रूप से भिन्न होती हैं। (i) यदि श्रमिकों की संख्या बढ़ाई जाती है तो काम पूरा करने का समय घटेगा। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है। (ii) लंबी दूरी के लिए, अधिक समय की आवश्यकता होगी। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला नहीं है। (iii) अधिक भूमि क्षेत्र के लिए, अधिक फसल की कटाई होगी। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला नहीं है। (iv) यदि गति अधिक है, तो एक निश्चित दूरी को कवर करने का समय कम होगा। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है। (v) अधिक जनसंख्या के लिए, प्रति व्यक्ति कम भूमि क्षेत्र की आवश्यकता होगी। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है।
• प्रश्न 2: एक टेलीविजन गेम शो में, पुरस्कार राशि 1,00,000 रुपये को विजेताओं के बीच समान रूप से बाँटनी है। निम्न तालिका को पूरा करें और पता करें कि क्या एक व्यक्तिगत विजेता को दी गई पुरस्कार राशि विजेताओं की संख्या के लिए सीधे या विपरीत रूप से आनुपातिक है? विजेताओं की संख्या: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20; प्रत्येक विजेता के लिए पुरस्कार (रु में): 1,00,000, 50,000, ... - ... - समाधान: यदि विजेताओं की संख्या अधिक है, तो पुरस्कार राशि कम होती है। ∴ यह विपरीत अनुपात का मामला है।
• प्रश्न 3: रहमान एक पहिया बना रहा है, जिसमें वह समान रूप से स्पोक्स को इस प्रकार स्थापित करना चाहता है कि किसी भी दो लगातार स्पोक्स के बीच के कोण समान हों। उसकी मदद करें और निम्न तालिका को पूरा करें। स्पोक्स की संख्या: 4, 6, 8, 10, 12; एक जोड़ी लगातार स्पोक्स के बीच का कोण: 90°, 60°, .......... (i) क्या स्पोक्स की संख्या और लगातार स्पोक्स के बीच बने कोण में विपरीत अनुपात हैं? (ii) एक पहिए पर 15 स्पोक्स के बीच का कोण क्या होगा? (iii) यदि लगातार स्पोक्स के बीच का कोण 40° है, तो कितने स्पोक्स की आवश्यकता होगी? समाधान: (i) स्पष्ट रूप से, स्पोक्स की संख्या बढ़ने पर, लगातार स्पोक्स के बीच का कोण कम होता है। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है। इस प्रकार, तालिका इस प्रकार पूर्ण की जाती है: स्पोक्स की संख्या: 4, 6, 8, 10, 12; लगातार स्पोक्स के बीच का कोण: 90°, 60°, 45°, 36°, 30°। (ii) आवश्यक कोण को मान लीजिए x°। (iii) आवश्यक स्पोक्स की संख्या को मान लीजिए n। ∴ आवश्यक स्पोक्स की संख्या = 9।
• प्रश्न 4: यदि मिठाइयों का एक डिब्बा 24 बच्चों में बाँटा जाता है, तो उन्हें प्रत्येक को 5 मिठाइयाँ मिलेंगी। यदि बच्चों की संख्या 4 से कम हो जाती है, तो प्रत्येक को कितनी मिठाइयाँ मिलेंगी? समाधान: बच्चों की संख्या कम हुई = 24 - 4 = 20। चूंकि, बच्चों की संख्या अधिक होने पर, मिठाइयों की मात्रा कम होगी। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है। अर्थात् 24 * 5 = 20 * x या ∴ प्रत्येक छात्र को 6 मिठाइयाँ मिलेंगी।
• प्रश्न 5: एक किसान के पास अपने मवेशियों के लिए 20 जानवरों को 6 दिनों तक खिलाने के लिए पर्याप्त भोजन है। यदि उसके मवेशियों में 10 और जानवर हों, तो भोजन कितने दिनों तक चलेगा? समाधान: जोड़े गए जानवरों की संख्या = 10 ∴ अब, जानवरों की कुल संख्या = 20 + 10 = 30। अधिक जानवरों के लिए, भोजन कम दिनों तक चलेगा। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है। इस प्रकार, हम हैं 30 * x = 20 * 6 या इसलिए, भोजन अब 4 दिनों तक चलेगा।
• प्रश्न 6: एक ठेकेदार का अनुमान है कि 3 व्यक्ति जसमिंदर के घर को 4 दिनों में फिर से वायर कर सकते हैं। यदि वह तीन के बजाय 4 व्यक्तियों का उपयोग करता है, तो उन्हें काम पूरा करने में कितना समय लगेगा? समाधान: अधिक व्यक्तियों की संख्या होने पर, काम पूरा करने का समय कम होगा। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है। व्यक्तियों की संख्या: 3, 4, 4, x। ∴ 3 * 4 = 4 * x या x = 3 * 4 = 3 ∴ आवश्यक दिन की संख्या = 3।
• प्रश्न 7: बोतलों के एक बैच को 25 डिब्बों में पैक किया गया है जिसमें प्रत्येक डिब्बे में 12 बोतलें हैं। यदि उसी बैच को प्रत्येक डिब्बे में 20 बोतलें डालकर पैक किया जाए, तो कितने डिब्बे भरे जाएंगे? समाधान: मान लीजिए कि आवश्यक डिब्बों की संख्या = x। हमें मिलते हैं: डिब्बे में बोतलों की संख्या: 12, 20, 25, x। चूंकि, अधिक बोतलें होने पर, भरे जाने वाले डिब्बों की संख्या कम होगी। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है। अर्थात्, आवश्यक डिब्बों की संख्या = 15।
• प्रश्न 8: एक फैक्ट्री को 63 दिनों में एक दिए गए संख्या के लेखों का उत्पादन करने के लिए 42 मशीनों की आवश्यकता होती है। समान संख्या के लेखों का उत्पादन करने के लिए 54 दिनों में कितनी मशीनों की आवश्यकता होगी? समाधान: मान लीजिए कि आवश्यक मशीनों की संख्या x है। हमें मिलते हैं: मशीनों की संख्या: 42, 63, x, 54। इस प्रकार, आवश्यक मशीनों की संख्या = 49।
• प्रश्न 9: एक कार 60 किमी/घंटा की गति से पहुँचने में 2 घंटे लेती है। यदि कार 80 किमी/घंटा की गति से यात्रा करती है, तो उसे कितना समय लगेगा? समाधान: अधिक गति होने पर, एक निश्चित दूरी को तय करने में कम घंटे लगते हैं। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है। गति (किमी/घंटा) समय जो निश्चित दूरी को कवर करने में लगता है = 60, 2, 80, x। इस प्रकार, आवश्यक घंटों की संख्या = ...

प्रश्न 10: दो व्यक्तियों को एक घर में नई खिड़की लगाने में 3 दिन लगते हैं। (i) यदि कार्य शुरू होने से पहले उनमें से एक व्यक्ति बीमार पड़ जाता है, तो कार्य पूरा करने में कितना समय लगेगा? (ii) एक दिन में खिड़कियाँ लगाने के लिए कितने व्यक्तियों की आवश्यकता होगी? समाधान: (i) मान लीजिए कि शेष व्यक्तियों द्वारा कार्य पूरा करने में लगने वाला समय x है। ∵ 2 व्यक्ति - 1 व्यक्ति = 1 व्यक्ति और कम व्यक्तियों की संख्या होने पर, कार्य पूरा करने में अधिक दिन लगेंगे। ∴ यह विपरीत अनुपात का मामला है। हमें मिलते हैं: व्यक्तियों की संख्या: 2, 3, 1, x। ∴ 1 व्यक्ति 6 दिन में कार्य पूरा करेगा। (ii) हमें मिलते हैं: व्यक्तियों की संख्या: 2, 3, 1, x, 6। ∴ 6 व्यक्तियों की आवश्यकता होगी।

प्रश्न 11: एक स्कूल में 8 पीरियड होते हैं, प्रत्येक की अवधि 45 मिनट होती है। यदि स्कूल में 9 पीरियड होते हैं, तो प्रत्येक पीरियड की अवधि कितनी होगी, यह मानते हुए कि स्कूल के घंटे समान हैं? समाधान: 9 पीरियड के लिए, मान लीजिए कि प्रति पीरियड की अवधि x मिनट है। ∴ हमें मिलते हैं: पीरियड की संख्या: 8, 9, 45, x। एक निश्चित अवधि के लिए, अधिक पीरियड होने पर, एक पीरियड की अवधि कम होगी। ∴ यह विपरीत अनुपात का

व्यायाम 11.1

प्रश्न 1: रेलवे स्टेशन के पास कार पार्किंग शुल्क निम्नलिखित हैं। क्या पार्किंग शुल्क पार्किंग समय के प्रति सीधे अनुपात में हैं?

हल: हमारे पास, चूंकि ∴ पार्किंग शुल्क पार्किंग समय के साथ सीधे अनुपात में नहीं हैं।

प्रश्न 2: एक पेंट का मिश्रण 1 भाग लाल पिगमेंट को 8 भाग बेस के साथ मिलाकर तैयार किया जाता है। निम्नलिखित तालिका में, यह पता लगाएँ कि कितने भाग बेस जोड़े जाने की आवश्यकता है।

हल: लाल पिगमेंट को x1, x2, x3,... और बेस को y1, y2, y3,... द्वारा दर्शाया जाए। जैसे-जैसे बेस बढ़ता है, आवश्यक लाल पिगमेंट की संख्या भी बढ़ेगी। ∴ मात्रा सीधे बदलती है।

इसलिए, आवश्यक बेस के भाग हैं: 32, 56, 96 और 160।

प्रश्न 3: उपरोक्त प्रश्न 2 में, यदि 1 भाग लाल पिगमेंट के लिए 75 मिलीलीटर बेस की आवश्यकता होती है, तो हमें 1800 मिलीलीटर बेस के साथ कितना लाल पिगमेंट मिलाना चाहिए?

हल: यहाँ, x1 = 1, y1 = 75 और y2 = 1800। इसलिए, आवश्यक लाल पिगमेंट = 24 भाग।

प्रश्न 4: एक सॉफ्ट ड्रिंक फैक्ट्री में एक मशीन 6 घंटे में 840 बोतलें भरती है। यह 5 घंटे में कितनी बोतलें भरेगी?

हल: घंटे की संख्या बढ़ने पर, बोतलों की संख्या भी बढ़ेगी। इसलिए, दी गई मात्राएँ सीधे बदलती हैं। आवश्यक बोतलों की संख्या = 700।

प्रश्न 5: बैक्टीरिया का एक फोटो 50,000 गुना बड़ा करके 5 सेंटीमीटर लंबा हो जाता है। बैक्टीरिया की वास्तविक लंबाई क्या है? यदि फोटो को केवल 20,000 गुना बड़ा किया जाए, तो इसकी बढ़ी हुई लंबाई क्या होगी?

हल: बैक्टीरिया की वास्तविक लंबाई = x सेंटीमीटर।

लंबाई बढ़ने के साथ फोटो के बढ़ने के बार-बार। ∴ यह सीधे अनुपात का मामला है।

प्रश्न 6: एक जहाज के मॉडल में, मस्तूल की ऊँचाई 9 सेंटीमीटर है, जबकि वास्तविक जहाज का मस्तूल 12 मीटर ऊँचा है। यदि जहाज की लंबाई 28 मीटर है, तो मॉडल जहाज की लंबाई कितनी होगी?

हल: मॉडल जहाज की आवश्यक लंबाई = x सेंटीमीटर।

चूंकि, जहाज की लंबाई बढ़ने पर, उसके मस्तूल की लंबाई भी बढ़ेगी। ∴ यह सीधे परिवर्तन का मामला है।

प्रश्न 7: मान लीजिए 2 किलोग्राम चीनी में 9 * 10⁶ क्रिस्टल हैं। (i) 5 किलोग्राम चीनी में कितने चीनी क्रिस्टल हैं? (ii) 1.2 किलोग्राम चीनी में कितने क्रिस्टल हैं?

हल: 5 किलोग्राम चीनी में आवश्यक चीनी क्रिस्टल = x।

चूंकि, अधिक चीनी की मात्रा का मतलब अधिक चीनी क्रिस्टल। ∴ यह सीधे परिवर्तन का मामला है।

प्रश्न 8: राश्मी के पास एक सड़क मानचित्र है जिसमें 1 सेंटीमीटर 18 किलोमीटर के स्केल का प्रतिनिधित्व करता है। यदि वह 72 किलोमीटर की सड़क पर चलती है, तो मानचित्र में उसकी दूरी कितनी होगी?

हल: आवश्यक दूरी = x सेंटीमीटर।

चूंकि, यह सीधे परिवर्तन का मामला है, इसलिए आवश्यक दूरी मानचित्र पर 4 सेंटीमीटर है।

प्रश्न 9: एक 5 मीटर 60 सेंटीमीटर ऊँचा खड़ा पोल 3 मीटर 20 सेंटीमीटर लंबी छाया डालता है। उसी समय (i) 10 मीटर 50 सेंटीमीटर ऊँचे दूसरे पोल की छाया की लंबाई क्या होगी और (ii) एक पोल की ऊँचाई क्या होगी जो 5 मीटर लंबी छाया डालता है?

हल: (i) आवश्यक छाया की लंबाई = x सेंटीमीटर।

जैसे-जैसे पोल की ऊँचाई बढ़ती है, उसकी छाया की लंबाई भी उसी अनुपात में बढ़ती है। इसलिए, यह सीधे परिवर्तन का मामला है।

छाया की आवश्यक लंबाई = 600 सेंटीमीटर या 6 मीटर।

(ii) आवश्यक पोल की ऊँचाई = y सेंटीमीटर।

चूंकि, यह सीधे परिवर्तन का मामला है, इसलिए आवश्यक पोल की ऊँचाई = 875 सेंटीमीटर या 8 मीटर 75 सेंटीमीटर।

प्रश्न 10: एक लदी हुई ट्रक 25 मिनट में 14 किलोमीटर चलती है। यदि गति समान रहती है, तो यह 5 घंटे में कितनी दूर चल सकती है?

हल: चूंकि गति स्थिर है, ∴ लंबी दूरी के लिए, अधिक समय की आवश्यकता होगी। इसलिए, यह सीधे परिवर्तन का मामला है।

आवश्यक दूरी = 168 किलोमीटर।

प्रयास करें (पृष्ठ संख्या 139)

प्रश्न: निम्नलिखित तालिकाओं का अवलोकन करें और पता करें कि कौन सा जोड़ा चर (यहाँ x और y) विपरीत अनुपात में हैं।

• (i) x: 50, 40, 30, 20 y: 5, 6, 7, 8
• (ii) x: 100, 200, 300, 400 y: 60, 30, 20, 15
• (iii) x: 90, 60, 45, 30, 20, 5 y: 10, 15, 20, 25, 30, 35

हल: (i) x₁ = 50 और y₁ = 5 ⇒ x₁y₁ = 50 * 5 = 250, x₂ = 40 और y₂ = 6 ⇒ x₂y₂ = 40 * 6 = 240, x₃ = 30 और y₃ = 7 ⇒ x₃y₃ = 30 * 7 = 210, x₄ = 20 और y₄ = 8 ⇒ x₄y₄ = 20 * 8 = 160।

इसलिए, x और y विपरीत अनुपात में नहीं हैं।

प्रश्न 6: एक मॉडल जहाज में मस्तूल की ऊँचाई 9 सेंटीमीटर है, जबकि वास्तविक जहाज का मस्तूल 12 मीटर ऊँचा है। यदि जहाज की लंबाई 28 मीटर है, तो मॉडल जहाज की लंबाई कितनी होगी?

हल: मान लें कि जहाज के मॉडल की आवश्यक लंबाई = x सेंटीमीटर है। हमारे पास है:

चूंकि, जहाज की लंबाई बढ़ने पर, इसके मस्तूल की लंबाई भी बढ़ेगी। ∴ यह प्रत्यक्ष परिवर्तन का मामला है। इस प्रकार, मॉडल की आवश्यक लंबाई = 21 सेंटीमीटर।

प्रश्न 7: मान लें कि 2 किलोग्राम चीनी में 9 × 10⁶ क्रिस्टल हैं। (i) 5 किलोग्राम चीनी में कितने चीनी क्रिस्टल होंगे? (ii) 1.2 किलोग्राम चीनी में कितने होंगे?

हल: मान लें कि 5 किलोग्राम चीनी में आवश्यक चीनी क्रिस्टल की संख्या x है। हमारे पास है: चूंकि, चीनी की मात्रा बढ़ने पर, चीनी क्रिस्टल की संख्या भी बढ़ेगी। ∴ यह प्रत्यक्ष परिवर्तन का मामला है। इस प्रकार, आवश्यक चीनी क्रिस्टल की संख्या = 2.25 × 10⁷।

(ii) मान लें कि 1.2 किलोग्राम चीनी में चीनी क्रिस्टल की संख्या y है। ∴ हमारे पास है: ∴ प्रत्यक्ष परिवर्तन के लिए।

प्रश्न 8: रश्मि के पास एक रोड मैप है जिसमें 1 सेंटीमीटर 18 किलोमीटर का प्रतिनिधित्व करता है। वह 72 किलोमीटर सड़क पर चलती है। मैप में उसके द्वारा कवर की गई दूरी कितनी होगी?

हल: मान लें कि मैप में आवश्यक दूरी x सेंटीमीटर है। हमारे पास है: चूंकि, यह प्रत्यक्ष परिवर्तन का मामला है, इस प्रकार, मैप पर आवश्यक दूरी 4 सेंटीमीटर है।

प्रश्न 9: एक 5 मीटर 60 सेंटीमीटर ऊँचा लंबवत पोल 3 मीटर 20 सेंटीमीटर लंबी छाया डालता है। उसी समय (i) 10 मीटर 50 सेंटीमीटर ऊँचे दूसरे पोल द्वारा डाली गई छाया की लंबाई ज्ञात करें और (ii) उस पोल की ऊँचाई ज्ञात करें जो 5 मीटर लंबी छाया डालता है।

हल: (i) मान लें कि आवश्यक छाया की लंबाई x सेंटीमीटर है। हमारे पास है: जैसे-जैसे पोल की ऊँचाई बढ़ती है, उसी अनुपात में उसकी छाया की लंबाई भी बढ़ती है। इसलिए, यह प्रत्यक्ष परिवर्तन का मामला है। इस प्रकार, आवश्यक छाया की लंबाई = 600 सेंटीमीटर या 6 मीटर है।

(ii) आवश्यक पोल की ऊंचाई को y सेमी मान लेते हैं। ∴ हमारे पास: चूंकि, यह प्रत्यक्ष परिवर्तन का मामला है, इसलिए, आवश्यक पोल की ऊंचाई = 875 सेमी या 8 मीटर 75 सेमी

प्रश्न 10: एक लदी हुई ट्रक 25 मिनट में 14 किमी यात्रा करती है। यदि गति समान रहती है, तो यह 5 घंटे में कितनी दूरी तय कर सकती है? समाधान: चूंकि गति स्थिर है, ∴ लंबी दूरी के लिए अधिक समय की आवश्यकता होगी। इसलिए, यह प्रत्यक्ष परिवर्तन का मामला है। मान लेते हैं कि 5 घंटे (= 300 मिनट) में यात्रा की जाने वाली आवश्यक दूरी x किमी है। हमारे पास:

ये कोशिश करें (पृष्ठ संख्या 139)

प्रश्न: निम्नलिखित तालिकाओं का अवलोकन करें और पता करें कि कौन सा युग्म (यहां x और y) विपरीत अनुपात में है।

• (i) x: 40, 30, 20, 10; y: 5, 6, 7, 8
• (ii) x: 100, 200, 300, 400; y: 60, 30, 20, 15
• (iii) x: 90, 60, 45, 30, 20; y: 10, 15, 20, 25, 30

समाधान: (i) ∵ x₁ = 50 और y₁ = 5 ⇒ x₁y₁ = 50 * 5 = 250

x₂ = 40 और y₂ = 6 ⇒ x₂y₂ = 40 * 6 = 240

x₃ = 30 और y₃ = 7 ⇒ x₃y₃ = 30 * 7 = 210

x₄ = 20 और y₄ = 8 ⇒ x₄y₄ = 20 * 8 = 160

अतः 250 ≠ 240 ≠ 210 ≠ 160 या x₁y₁ ≠ x₂y₂ ≠ x₃y₃ ≠ x₄y₄ ∴ x और y विपरीत अनुपात में नहीं हैं।

और x₁y₁ = x₂y₂ = x₃y₃ ≠ x₄y₄ ≠ x₅y₅ ≠ x₆y₆ ∴ x और y विपरीत परिवर्तन में नहीं हैं।

व्यायाम 11.2

प्रश्न 1: निम्नलिखित में से कौन से विपरीत अनुपात में हैं?

• (i) किसी कार्य पर श्रमिकों की संख्या और कार्य पूरा करने का समय।
• (ii) यात्रा के लिए लिया गया समय और समान गति में यात्रा की गई दूरी।
• (iii) खेती की गई भूमि का क्षेत्रफल और फसल की कटाई।
• (iv) एक निश्चित यात्रा के लिए लिया गया समय और वाहन की गति।
• (v) किसी देश की जनसंख्या और प्रति व्यक्ति भूमि का क्षेत्र।

समाधान: याद रखें यदि एक मात्रा में वृद्धि दूसरे में कमी लाती है और इसके विपरीत, तो दोनों मात्राएँ विपरीत रूप से परिवर्तन करती हैं।

• (i) यदि श्रमिकों की संख्या बढ़ाई जाती है, तो कार्य पूरा करने का समय कम होगा। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है।
• (ii) लंबी दूरी के लिए अधिक समय की आवश्यकता होगी। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला नहीं है।
• (iii) अधिक भूमि क्षेत्र के लिए अधिक फसलें कटाई जाएँगी। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला नहीं है।
• (iv) यदि गति अधिक है, तो एक निश्चित दूरी को कवर करने का समय कम होगा। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है।
• (v) अधिक जनसंख्या के लिए प्रति व्यक्ति कम भूमि क्षेत्र की आवश्यकता होगी। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है।

प्रश्न 2: एक टेलीविज़न गेम शो में, पुरस्कार राशि ₹1,00,000 को विजेताओं के बीच समान रूप से विभाजित किया जाना है। निम्नलिखित तालिका को पूरा करें और पता करें कि एक विजेता को दी गई पुरस्कार राशि विजेताओं की संख्या के प्रति सीधे या विपरीत अनुपात में है?

• विजेताओं की संख्या: 1, 2, 4, 5, 8, 10
• प्रत्येक विजेता के लिए पुरस्कार (₹): 1,00,000, 50,000, ..., -, -

समाधान: यदि विजेताओं की संख्या अधिक है, तो पुरस्कार राशि कम होगी। ∴ यह विपरीत अनुपात का मामला है। इस प्रकार, तालिका इस प्रकार पूरी की गई है:

• विजेताओं की संख्या: 1, 2, 4, 5, 8, 10
• प्रत्येक विजेता के लिए पुरस्कार (₹): 1,00,000, 50,000, 25,000, 20,000, 12,500, 10,000, 5,000

प्रश्न 3: रहमान एक पहिया बना रहा है। वह चाहता है कि समान स्पोक्स इस तरह से लगाए जाएं कि किसी भी दो लगातार स्पोक्स के बीच के कोण समान हों। उसकी मदद करें और निम्नलिखित तालिका को पूरा करें।

• स्पोक्स की संख्या: 4, 6, 8, 10, 12
• लगातार स्पोक्स के बीच का कोण: 90°, 60°, ............

(i) क्या स्पोक्स की संख्या और लगातार स्पोक्स के बीच बने कोण विपरीत अनुपात में हैं?

(ii) 15 स्पोक्स वाले पहिये पर लगातार स्पोक्स के बीच का कोण ज्ञात करें।

(iii) यदि लगातार स्पोक्स के बीच का कोण 40° है तो कितने स्पोक्स की आवश्यकता होगी?

समाधान: (i) स्पष्ट रूप से, स्पोक्स की संख्या अधिक होने पर, लगातार स्पोक्स के बीच का कोण कम होगा। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है। इस प्रकार, तालिका इस प्रकार पूरी की गई है:

• स्पोक्स की संख्या: 4, 6, 8, 10, 12
• लगातार स्पोक्स के बीच का कोण: 90°, 60°, 45°, 36°, 30°

(ii) आवश्यक कोण का माप मान लें x° हो।

(iii) आवश्यक स्पोक्स की संख्या मान लें n हो। ∴ आवश्यक स्पोक्स की संख्या = 9

प्रश्न 4: यदि मिठाइयों का एक डिब्बा 24 बच्चों में विभाजित किया जाता है, तो प्रत्येक को 5 मिठाइयाँ मिलेंगी। यदि बच्चों की संख्या 4 घटाई जाए तो प्रत्येक को कितनी मिठाइयाँ मिलेंगी?

समाधान: घटित बच्चों की संख्या = 24 - 4 = 20। चूंकि, बच्चों की संख्या बढ़ने पर मिठाइयों की मात्रा कम होगी। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है। अर्थात् 24 * 5 = 20 * x या ∴ प्रत्येक छात्र को 6 मिठाइयाँ मिलेंगी।

प्रश्न 5: एक किसान के पास अपने मवेशियों के लिए 20 जानवरों को 6 दिन तक खिलाने के लिए पर्याप्त भोजन है। यदि उसके मवेशियों में 10 और जानवर जोड़ दिए जाएं तो भोजन कितने दिन चलेगा?

समाधान: जोड़े गए जानवरों की संख्या = 10 ∴ अब, कुल जानवरों की संख्या = 20 + 10 = 30। अधिक जानवर होने पर, भोजन कम दिनों तक चलेगा। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है। इस प्रकार, हमारे पास 30 * x = 20 * 6 या इसलिए, भोजन अब 4 दिनों तक चलेगा।

प्रश्न 6: एक ठेकेदार का अनुमान है कि 3 लोग जस्मिंदर के घर की वायरिंग 4 दिनों में कर सकते हैं। यदि वह तीन के बजाय 4 लोगों का उपयोग करता है, तो उन्हें काम पूरा करने में कितना समय लगेगा?

समाधान: अधिक व्यक्तियों की संख्या होने पर, काम पूरा करने का समय कम होगा। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है।

• व्यक्तियों की संख्या: 3, 4
• काम पूरा करने के लिए दिनों की संख्या: 3, 4, x

∴ 3 * 4 = 4 * x या x = 3 * 4 = 3 ∴ आवश्यक दिनों की संख्या = 3

प्रश्न 7: 25 बक्सों में 12 बोतलें पैक की गई थीं। यदि उसी बैच को प्रत्येक बॉक्स में 20 बोतलें पैक किया जाए, तो कितने बक्से भरे जाएंगे?

समाधान: आवश्यक बक्सों की संख्या मान लें = x। हमारे पास:

• बोतलें प्रति बॉक्स: 12, 20
• बक्सों की संख्या: 25, x

चूंकि, प्रति बॉक्स अधिक बोतलें होने पर, भरे जाने वाले बक्सों की संख्या कम होगी। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है। अर्थात् आवश्यक बक्सों की संख्या = 15

प्रश्न 8: एक फ़ैक्टरी को 63 दिनों में दिए गए संख्या में वस्तुएँ बनाने के लिए 42 मशीनों की आवश्यकता होती है। समान संख्या में वस्तुएँ बनाने के लिए 54 दिनों में कितनी मशीनों की आवश्यकता होगी?

समाधान: आवश्यक मशीनों की संख्या मान लें = x। हमारे पास:

• मशीनों की संख्या: 42, x
• दिनों की संख्या: 63, 54

या इस प्रकार, आवश्यक मशीनों की संख्या = 49

प्रश्न 9: एक कार 60 किमी/घंटा की गति से एक गंतव्य तक पहुँचने में 2 घंटे लेती है। जब कार 80 किमी/घंटा की गति से यात्रा करती है, तो उसे कितना समय लगेगा?

समाधान: अधिक गति होने पर, निश्चित दूरी को कवर करने के लिए कम घंटे लगेंगे। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है।

• गति (किमी/घंटा): 60, 80
• निर्धारित दूरी को कवर करने का समय: 2, 8, x

इसलिए आवश्यक घंटों की संख्या = ?

प्रश्न 10: दो लोग घर में नई खिड़की लगाने के लिए 3 दिन ले सकते हैं। (i) यदि काम शुरू होने से पहले एक व्यक्ति बीमार पड़ जाता है। तो अब काम पूरा करने में कितना समय लगेगा? (ii) किसी दिन खिड़कियाँ लगाने के लिए कितने लोगों की आवश्यकता होगी?

समाधान: (i) मान लें कि शेष व्यक्तियों द्वारा काम पूरा करने में लिया गया समय x हो। ∵ 2 व्यक्ति - 1 व्यक्ति = 1 व्यक्ति और व्यक्तियों की संख्या कम होने पर, काम पूरा करने के लिए अधिक दिनों की आवश्यकता होगी। ∴ यह विपरीत अनुपात का मामला है।

• व्यक्तियों की संख्या: 2, 3, 1
• दिनों की संख्या: 3, x

∴ 1 व्यक्ति काम को 6 दिनों में पूरा करेगा। (ii) हमारे पास:

• व्यक्तियों की संख्या: 2, 3, x
• दिनों की संख्या: 3, 1

∴ 6 व्यक्तियों की आवश्यकता होगी ताकि काम 1 दिन में पूरा हो सके।

प्रश्न 11: एक स्कूल में 8 पीरियड हैं, प्रत्येक की अवधि 45 मिनट है। यदि स्कूल में 9 पीरियड हैं, तो प्रत्येक पीरियड की अवधि कितनी होगी, मानते हुए कि स्कूल के घंटे समान हैं?

समाधान: 9 पीरियड के लिए, मान लें कि प्रत्येक पीरियड की अवधि x मिनट है। ∴ हमारे पास:

• पीरियडों की संख्या: 8, 9
• पीरियड की अवधि (मिनट में): 45, x

एक निश्चित अवधि के लिए, अधिक पीरियड होने पर, एक पीरियड की अवधि कम होगी। ∴ यह विपरीत अनुपात का मामला है। अर्थात् 8 * 45 = 9 * x। इस प्रकार, प्रत्येक पीरियड की आवश्यक अवधि = 40 मिनट।

यह करें (पृष्ठ संख्या 143)

प्रश्न 1: एक कागज की शीट लें। इसे चित्र में दिखाए अनुसार मोड़ें। भागों की संख्या और प्रत्येक मामले में एक भाग का क्षेत्रफल गिनें। अपने अवलोकनों को सारणीबद्ध करें और अपने दोस्तों के साथ चर्चा करें। क्या यह विपरीत अनुपात का मामला है? क्यों?

• भागों की संख्या: 1, 2, 4, 8, 16
• प्रत्येक भाग का क्षेत्र: पेपर का क्षेत्र, 1/2 पेपर का क्षेत्र, 1/4 पेपर का क्षेत्र, 1/8 पेपर का क्षेत्र, 1/16 पेपर का क्षेत्र

समाधान: भागों की संख्या → 1, 2, 4, 8, 16

प्रत्येक भाग का क्षेत्र → पेपर का 1/2 क्षेत्र, पेपर का 1/4 क्षेत्र, पेपर का 1/8 क्षेत्र, पेपर का 1/16 क्षेत्र। यहां, अधिक भागों की संख्या, प्रत्येक भाग का क्षेत्र कम होगा। ∴ यह "विपरीत अनुपात" का मामला है।

प्रश्न 2: विभिन्न आकारों के कुछ गोलाकार आधार वाले कंटेनरों को लें। प्रत्येक कंटेनर में समान मात्रा में पानी भरें। प्रत्येक कंटेनर के व्यास और पानी के स्तर की ऊँचाई को नोट करें। अपने अवलोकनों को सारणीबद्ध करें। क्या यह विपरीत अनुपात का मामला है?

• कंटेनर का व्यास (सेमी में): d₁, d₂, d₃
• पानी के स्तर की ऊँचाई (सेमी में): h₁, h₂, h₃

समाधान: यहां, कम व्यास होने पर, कंटेनर में पानी का स्तर अधिक होगा। ∴ यह विपरीत अनुपात का मामला है।

व्यायाम 11.2

प्रश्न 1: निम्नलिखित में से कौन-कौन सी वस्तुएं विपरीत अनुपात में हैं?

• (i) किसी काम पर काम करने वालों की संख्या और उस काम को पूरा करने का समय।
• (ii) यात्रा के लिए लिया गया समय और समान गति में यात्रा की गई दूरी।
• (iii) कृषि भूमि का क्षेत्रफल और कटाई गई फसल।
• (iv) एक निश्चित यात्रा के लिए लिया गया समय और वाहन की गति।
• (v) किसी देश की जनसंख्या और प्रति व्यक्ति भूमि का क्षेत्र।

समाधान: याद रखें, यदि एक मात्रा में वृद्धि होने पर दूसरी मात्रा में कमी होती है और इसके विपरीत, तो दोनों मात्राएँ विपरीत अनुपात में होती हैं।

• (i) यदि काम करने वालों की संख्या बढ़ती है, तो काम को पूरा करने का समय घटेगा। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है।
• (ii) लंबी दूरी के लिए अधिक समय की आवश्यकता होगी। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला नहीं है।
• (iii) अधिक कृषि भूमि के लिए अधिक फसलें कटती हैं। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला नहीं है।
• (iv) यदि गति अधिक है, तो एक निश्चित दूरी को कवर करने का समय कम होगा। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है।
• (v) अधिक जनसंख्या के लिए प्रति व्यक्ति कम भूमि की आवश्यकता होगी। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है।

प्रश्न 2: एक टेलीविजन गेम शो में, 1,00,000 रुपये का पुरस्कार राशि विजेताओं के बीच समान रूप से बांटी जानी है। निम्नलिखित तालिका को पूरा करें और पता करें कि व्यक्तिगत विजेता को दी जाने वाली पुरस्कार राशि विजेताओं की संख्या के साथ सीधे या विपरीत अनुपात में है?

• विजेताओं की संख्या: 1, 2, 4, 5, 8, 10
• प्रत्येक विजेता के लिए पुरस्कार (रु में): 1,00,000, 50,000, ...-...

समाधान: यदि विजेताओं की संख्या अधिक है, तो पुरस्कार राशि कम है। ∴ यह विपरीत अनुपात का मामला है। इस प्रकार, तालिका को इस प्रकार पूरा किया गया है:

• विजेताओं की संख्या: 1, 2, 4, 5, 8, 10
• प्रत्येक विजेता के लिए पुरस्कार (रु में): 1,00,000, 50,000, 25,000, 20,000, 12,500, 10,000, 5,000

प्रश्न 3: रहमान एक पहिया बना रहा है जिसमें स्पोक्स का उपयोग हो रहा है। वह चाहता है कि स्पोक्स को इस तरह से स्थापित किया जाए कि किसी भी दो लगातार स्पोक्स के बीच के कोण समान हों। कृपया तालिका को पूरा करें:

• स्पोक्स की संख्या: 4, 6, 8, 10, 12
• लगातार स्पोक्स के बीच का कोण: 90°, 60°, ............

(i) क्या स्पोक्स की संख्या और लगातार स्पोक्स के बीच बने कोण विपरीत अनुपात में हैं? (ii) 15 स्पोक्स वाले पहिये पर लगातार स्पोक्स के बीच का कोण क्या होगा? (iii) यदि लगातार स्पोक्स के बीच का कोण 40° है, तो कितने स्पोक्स की आवश्यकता होगी?

समाधान: (i) स्पष्ट है, स्पोक्स की संख्या बढ़ने पर लगातार स्पोक्स के बीच का कोण घटता है। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है। तालिका को इस प्रकार पूरा किया गया है:

• स्पोक्स की संख्या: 4, 6, 8, 10, 12
• लगातार स्पोक्स के बीच का कोण: 90°, 60°, 45°, 36°, 30°

(ii) आवश्यक कोण को x° माना जाए। (iii) आवश्यक स्पोक्स की संख्या को n माना जाए। ∴ आवश्यक स्पोक्स की संख्या = 9

प्रश्न 4: यदि मिठाई का एक डिब्बा 24 बच्चों में बांटा जाए, तो उन्हें प्रत्येक को 5 मिठाई मिलेंगी। यदि बच्चों की संख्या 4 कम कर दी जाए, तो प्रत्येक को कितनी मिठाई मिलेगी?

समाधान: बच्चों की संख्या में कमी = 24 - 4 = 20। चूंकि, बच्चों की संख्या बढ़ने पर मिठाई की मात्रा कम होती है। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है। अर्थात 24 * 5 = 20 * x। ∴ प्रत्येक बच्चे को 6 मिठाई मिलेगी।

प्रश्न 5: एक किसान के पास 20 जानवरों के लिए 6 दिनों तक खिलाने के लिए पर्याप्त भोजन है। यदि उसके जानवरों की संख्या में 10 और जोड़ दिए जाएं, तो भोजन कितने दिन चलेगा?

समाधान: जोड़े गए जानवरों की संख्या = 10। ∴ अब, जानवरों की कुल संख्या = 10 + 20 = 30। अधिक जानवरों के लिए भोजन कम दिनों तक चलेगा। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है। इस प्रकार, 30 * x = 20 * 6। इसलिए, भोजन अब 4 दिनों तक चलेगा।

प्रश्न 6: एक ठेकेदार का आकलन है कि 3 व्यक्तियों को जस्मिंदर के घर की वायरिंग 4 दिनों में पूरी करनी होगी। यदि वह तीन के बजाय 4 व्यक्तियों का उपयोग करता है, तो उन्हें काम पूरा करने में कितना समय लगेगा?

समाधान: अधिक व्यक्तियों की संख्या होने पर, काम पूरा करने का समय कम होता है। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है।

• व्यक्तियों की संख्या: 3, 4
• काम पूरा करने के लिए दिनों की संख्या: 4, x

प्रश्न 7: 25 डिब्बों में 12 बोतलें भरी गई हैं। यदि उसी बैच को प्रत्येक डिब्बे में 20 बोतलें भरकर पैक किया जाए, तो कितने डिब्बे भरे जाएंगे?

समाधान: आवश्यक डिब्बों की संख्या को x माना जाए।

• बोतलें प्रति डिब्बा: 12, 20
• डिब्बों की संख्या: 25, x

जबकि, प्रति डिब्बा अधिक बोतलें होने पर, भरे जाने वाले डिब्बों की संख्या कम होगी। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है। इस प्रकार, आवश्यक डिब्बों की संख्या = 15।

प्रश्न 8: एक फैक्ट्री को 63 दिनों में दिए गए संख्या में वस्तुओं का उत्पादन करने के लिए 42 मशीनों की आवश्यकता है। समान संख्या में वस्तुओं का उत्पादन करने के लिए 54 दिनों में कितनी मशीनों की आवश्यकता होगी?

समाधान: आवश्यक मशीनों की संख्या को x माना जाए।

• मशीनों की संख्या: 42
• दिनों की संख्या: 63, 54

इस प्रकार, आवश्यक मशीनों की संख्या = 49।

प्रश्न 9: एक कार को 60 किमी/घंटा की गति से एक गंतव्य तक पहुँचने में 2 घंटे लगते हैं। जब कार 80 किमी/घंटा की गति से चलती है, तो उसे कितना समय लगेगा?

समाधान: अधिक गति होने पर, एक निश्चित दूरी को तय करने में कम घंटे लगते हैं। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है।

• गति (किमी/घंटा): 60, 80
• एक निश्चित दूरी को कवर करने के लिए लिया गया समय: 2, 80, x

इस प्रकार, आवश्यक घंटे = ...

प्रश्न 10: दो व्यक्तियों को घर में नई खिड़की लगाने में 3 दिन लगते हैं। (i) यदि काम शुरू होने से पहले उनमें से एक व्यक्ति बीमार हो जाए, तो अब काम करने में कितना समय लगेगा? (ii) यदि खिड़कियाँ एक दिन में लगानी हैं, तो कितने व्यक्तियों की आवश्यकता होगी?

समाधान: (i) शेष व्यक्तियों द्वारा काम पूरा करने में लगे समय को x मानें।

• व्यक्तियों की संख्या: 2, 1
• दिवस: 3, x

∴ 1 व्यक्ति को काम पूरा करने में 6 दिन लगेंगे। (ii) व्यक्तियों की संख्या: 2, 3, x, 1। ∴ 6 व्यक्तियों की आवश्यकता होगी।

प्रश्न 11: एक स्कूल में दिन में 8 पीरियड होते हैं, प्रत्येक की अवधि 45 मिनट होती है। यदि स्कूल में दिन में 9 पीरियड हों, तो प्रत्येक पीरियड की अवधि कितनी होगी, मानते हुए कि स्कूल के घंटे समान हैं?

समाधान: 9 पीरियड्स के लिए, प्रत्येक पीरियड की अवधि को x मिनट मानें।

• पीरियड्स की संख्या: 8, 9
• एक पीरियड की अवधि (मिनट में): 45, x

एक निश्चित अवधि के लिए, अधिक पीरियड्स होने पर, एक पीरियड की अवधि कम होगी। ∴ यह विपरीत परिवर्तन का मामला है। अर्थात 8 * 45 = 9 * x। इस प्रकार, आवश्यक प्रति पीरियड की अवधि = 40 मिनट।

यह करें (पृष्ठ संख्या 143)

प्रश्न 1: एक शीट पेपर लें। इसे चित्र में दिखाए अनुसार मोड़ें। भागों की संख्या और प्रत्येक मामले में एक भाग का क्षेत्रफल गिनें। अपने अवलोकनों को सारणीबद्ध करें और अपने दोस्तों के साथ चर्चा करें। क्या यह विपरीत अनुपात का मामला है? क्यों?

• भागों की संख्या: 1, 2, 4, 8, 16
• प्रत्येक भाग का क्षेत्रफल: कागज का क्षेत्रफल, 1/2 कागज का क्षेत्रफल, 1/4 कागज का क्षेत्रफल, 1/8 कागज का क्षेत्रफल, 1/16 कागज का क्षेत्रफल

समाधान: अधिक भागों की संख्या होने पर, प्रत्येक भाग का क्षेत्रफल कम होता है। ∴ यह "विपरीत अनुपात" का मामला है।

प्रश्न 2: विभिन्न आकारों के गोल आधार वाले कुछ कंटेनर लें। प्रत्येक कंटेनर में समान मात्रा में पानी भरें। प्रत्येक कंटेनर का व्यास नोट करें और पानी की स्तर पर खड़ा होने की संबंधित ऊँचाई नोट करें। अपने अवलोकनों को सारणीबद्ध करें। क्या यह विपरीत अनुपात का मामला है?

• कंटेनर का व्यास (सेमी में): d1, d2, d3
• पानी की स्तर की ऊँचाई (सेमी में): h1, h2, h3

यहाँ, कम व्यास होने पर, कंटेनर में पानी का स्तर अधिक होता है। ∴ यह विपरीत अनुपात का मामला है।

समाधान: यदि विजेताओं की संख्या अधिक है, तो पुरस्कार राशि कम होती है। ∴ यह प्रतिलोम अनुपात का मामला है। इस प्रकार, तालिका इस प्रकार पूर्ण होती है:

लगातार स्पोक्स के एक जोड़े के बीच का कोण 90° 60°............ लगातार स्पोक्स के एक जोड़े के बीच का कोण

(i) क्या लगातार स्पोक्स की संख्या और उनके बीच बने कोण में प्रतिलोम अनुपात है? (ii) 15 स्पोक्स वाले पहिए पर लगातार स्पोक्स के एक जोड़े के बीच का कोण ज्ञात करें। (iii) यदि लगातार स्पोक्स के एक जोड़े के बीच का कोण 40° है, तो कितने स्पोक्स की आवश्यकता होगी? समाधान: (i) स्पष्ट रूप से, स्पोक्स की संख्या अधिक होने पर, लगातार स्पोक्स के एक जोड़े के बीच का कोण कम होता है। ∴ यह प्रतिलोम परिवर्तन का मामला है। इस प्रकार,

प्रश्न 4: यदि मिठाई के एक डिब्बे को 24 बच्चों में बांटा जाए, तो प्रत्येक को 5 मिठाई मिलेगी। यदि बच्चों की संख्या 4 कम कर दी जाए, तो प्रत्येक को कितनी मिठाई मिलेगी? समाधान: घटाई गई बच्चों की संख्या = 24 - 4 = 20 चूंकि, बच्चों की संख्या अधिक होने पर, मिठाई की मात्रा कम होती है। ∴ यह प्रतिलोम परिवर्तन का मामला है। अर्थात् 24 * 5 = 20 * x या ∴ प्रत्येक छात्र को 6 मिठाई मिलेगी।

प्रश्न 5: एक किसान के पास अपने मवेशियों को 6 दिनों तक खिलाने के लिए पर्याप्त भोजन है। यदि उसके मवेशियों में 10 और जानवर जुड़ जाएं, तो भोजन कितने दिनों तक चलेगा? समाधान: जोड़े गए जानवरों की संख्या = 10 ∴ अब, कुल जानवरों की संख्या = 10 + 20 = 30 अधिक जानवरों के लिए, भोजन कम दिनों तक चलेगा। ∴ यह प्रतिलोम परिवर्तन का मामला है। इस प्रकार, हमारे पास 30 * x = 20 * 6 या इसलिए, भोजन अब 4 दिनों तक चलेगा।

∴ 3 * 4 = 4 * x या x = 3 * 4 = 3 ∴ आवश्यक दिनों की संख्या = 3

Speed (किमी/घंटा) निश्चित दूरी को कवर करने में लगने वाला समय

निश्चित दूरी को कवर करने में लगने वाला समय

इसलिए आवश्यक घंटे =

∴ 1 व्यक्ति इस काम को 6 दिनों में पूरा करेगा। (ii) हमारे पास है

∴ 6 व्यक्तियों को इस काम को 1 दिन में पूरा करने के लिए आवश्यक होगा।

प्रश्न 11: एक स्कूल में हर दिन 8 पीरियड होते हैं, प्रत्येक की अवधि 45 मिनट है। यदि स्कूल में 9 पीरियड हों, तो प्रत्येक पीरियड की अवधि कितनी होगी, यह मानते हुए कि स्कूल के घंटों की संख्या वही रहेगी? समाधान: 9 पीरियड के लिए, मान लें कि प्रत्येक पीरियड की अवधि x मिनट है। ∴ हमारे पास है:

• एक निश्चित अवधि के लिए, पीरियड की संख्या बढ़ने पर, एक पीरियड की अवधि कम होगी। ∴ यह विपरीत अनुपात का मामला है।
• यानी 8 * 45 = 9 * x
• इसलिए, प्रत्येक पीरियड की आवश्यक अवधि = 40 मिनट।

यह करें (पृष्ठ संख्या 143)

प्रश्न 1: एक कागज़ की शीट लें। इसे चित्र में दिखाए अनुसार मोड़ें। प्रत्येक मामले में भागों की संख्या और एक भाग का क्षेत्रफल गिनें। अपने अवलोकनों को तालिका में व्यवस्थित करें और अपने दोस्तों के साथ चर्चा करें। क्या यह विपरीत अनुपात का मामला है? क्यों?

• भागों की संख्या: 1, 2, 4, 8, 16
• प्रत्येक भाग का क्षेत्रफल: कागज़ का क्षेत्रफल
• 1/2 कागज़ का क्षेत्रफल
• 1/4 कागज़ का क्षेत्रफल
• 1/8 कागज़ का क्षेत्रफल
• 1/16 कागज़ का क्षेत्रफल

यहाँ, भागों की संख्या बढ़ने पर, प्रत्येक भाग का क्षेत्रफल कम हो रहा है। ∴ यह "विपरीत अनुपात" का मामला है।

प्रश्न 2: विभिन्न आकारों के कुछ गोल आधार वाले कंटेनर लें। प्रत्येक कंटेनर में समान मात्रा में पानी भरें। प्रत्येक कंटेनर का व्यास और पानी की ऊंचाई नोट करें। अपने अवलोकनों को तालिका में व्यवस्थित करें। क्या यह विपरीत अनुपात का मामला है?

• कंटेनर का व्यास (सेमी में): d₁, d₂, d₃
• पानी का स्तर (सेमी में): h₁, h₂, h₃

यहाँ, व्यास कम होने पर, कंटेनर में पानी का स्तर अधिक होता है। ∴ यह "विपरीत अनुपात" का मामला है।