महत्वपूर्ण सूत्र: संख्या प्रणाली | Quantitative Aptitude/संख्यात्मक योग्यता - Bank Exams PDF Download

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संख्या प्रणाली को समझना प्रतियोगी परीक्षाओं जैसे CAT के लिए महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह विभिन्न मात्रात्मक विषयों के लिए नींव तैयार करता है। यह विषय जटिल वैचारिक समस्याओं के लिए जाना जाता है जो सर्वश्रेष्ठ मस्तिष्कों का परीक्षण करते हैं। केवल समस्याओं को हल करने के बजाय, अवधारणाओं को पूरी तरह से समझने पर ध्यान केंद्रित करें। प्रश्नों को हल करने के लिए वैकल्पिक दृष्टिकोणों की खोज करें, क्योंकि यह आपकी समस्या-हल करने की क्षमताओं को बढ़ाता है और आपको परीक्षा के लिए व्यापक रूप से तैयार करता है।संख्या प्रणाली क्या है? संख्या प्रणाली एक संख्या को संख्या रेखा पर प्रदर्शित करने की एक विधि है। संख्या प्रणाली संख्या को लिखने या व्यक्त करने का एक प्रणाली है। इस पृष्ठ से आगे संख्या प्रणाली के सूत्र और परिभाषाएँ दी गई हैं। महत्वपूर्ण सूत्र

• ज्यामिति में महत्वपूर्ण सूत्र
• अल्जेब्रा एक गणित की शाखा है जो संख्याओं के लिए अक्षरों का स्थानापन्न करती है। एक अल्जेब्राईक समीकरण एक संतुलन को दर्शाता है, जो एक तरफ जो कुछ किया जाता है, वह संतुलन के दूसरी तरफ भी किया जाता है।
• (a + b)(a - b) = (a² - b²)
• (a + b)² = (a² + b² + 2ab)
• (a - b)² = (a² + b² - 2ab)
• (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc)

• 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2
• उदाहरण: पहले 35 प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करें।
• हल: दिए गए, n = 35
• प्राकृतिक संख्याओं का योग सूत्र: S = [n(n + 1)]/2 = [35(35 + 1)]/2 = 630
• (1² + 2² + ... + n²) = n(n + 1)(2n + 1)/6
• उदाहरण: पहले 40 प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग ज्ञात करें।
• हल: Σn² = [n(n + 1)(2n + 1)]/6
• यहां, n = 40, Σ40² = (40/6)(40 + 1)(2 × 40 + 1) = 22140

प्राकृतिक संख्याओं का घन योग = (n(n + 1)/2)²

• उदाहरण: 5 से 14 तक प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग ज्ञात करें।
• हल: पहले 14 प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग ज्ञात करें और पहले 4 प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग ज्ञात करें। फिर प्राप्त मानों को घटाकर उत्तर प्राप्त करें।

पहले n विषम संख्याओं का योग = n²

• उदाहरण: 1 से 50 तक विषम संख्याओं का योग ज्ञात करें।
• हल: 1 से 50 के बीच 25 विषम संख्याएँ हैं।

पहले n सम संख्याओं का योग = n(n + 1)

• उदाहरण: 1 से 50 तक सम संख्याओं का योग ज्ञात करें।
• हल: 1 से 50 के बीच 25 सम संख्याएँ हैं।

n! में n की उच्चतम शक्ति [m/n] [m/n²] [m/n³] ... है, जहां [x] x से कम या बराबर का सबसे बड़ा पूर्णांक है।

• उदाहरण: 100! में 7 की उच्चतम शक्ति ज्ञात करें।
• हल: [100/7] + [100/49] = 16

n! में शून्य की संख्या ज्ञात करने के लिए, n! में 5 की उच्चतम शक्ति ज्ञात करें।

• उदाहरण: 23! में शून्य की संख्या ज्ञात करें।
• हल: [23/5] = 4।

यदि n विशिष्ट अंकों के सभी संभावित क्रमों को एक साथ जोड़ा जाता है, तो योग = (n - 1)! * (n अंकों का योग) * (11111... n बार)।

• उदाहरण: 1, 3, 5, 7 अंकों का योग ज्ञात करें।

यदि संख्या को N = a^p * b^q * c^r के रूप में लिखा जा सकता है। तो, N के गुणकों की संख्या (p + 1) * (q + 1) * (r + 1) है।

एक संख्या N के गुणकों का योग ज्ञात करें:

• उदाहरण: 98 के गुणकों की संख्या और सभी गुणकों का योग और गुणन ज्ञात करें।

यदि गुणकों की संख्या विषम है, तो N एक पूर्ण वर्ग है।

उदाहरण: 4500 के विषम, सम, पूर्ण वर्ग, पूर्ण घन गुणकों की संख्या ज्ञात करें।

यदि एक संख्या N है और यदि उसके n गुणक हैं, जिसमें संख्या N और 1 शामिल हैं, तो गुणकों की जोड़ी की संख्या n/2 होगी।

यदि संख्या N = 2^p * a^q * b^r के रूप में व्यक्त की जा सकती है।

यदि हमें यह गणना करनी है कि X² - Y² = N के लिए संभावित सकारात्मक पूर्णांक समाधान कितने हैं, तो 4 मामले हो सकते हैं।

प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए अंतिम दो अंकों का योग ज्ञात करें:

• उदाहरण: अंतिम दो अंकों को ज्ञात करें।

प्राकृतिक संख्याओं के योग के अंतिम दो अंकों की मूल बातें:

• प्राकृतिक संख्याएँ
• सम संख्याएँ
• विषम संख्याएँ
• प्राइम संख्याएँ
• संख्यात्मक नियम

उदाहरण: 7248 के गुणकों की संख्या ज्ञात करें।

HCF और LCM

• HCF * LCM = दो संख्याओं का गुणनफल।
• संख्याओं के विभाजक ज्ञात करने के लिए सूत्र विभिन्न हैं।

HCF और LCM के उदाहरण:

• उदाहरण 1: 96, 36, और 18 का HCF ज्ञात करें।
• उदाहरण 2: 42 और 70 का HCF ज्ञात करें।
• उदाहरण 3: 144, 630, और 756 का HCF ज्ञात करें।
• उदाहरण 4: 96, 36, और 18 का LCM ज्ञात करें।
• उदाहरण 5: 42 और 70 का LCM ज्ञात करें।

EduRev Tip: दो प्राइम संख्याओं का HCF हमेशा 1 होता है। सह-प्राइम संख्याओं का HCF हमेशा 1 होता है।

संख्यात्मक प्रणाली एक संख्या को संख्यात्मक रेखा पर प्रदर्शित करने का एक तरीका है। संख्यात्मक प्रणाली संख्याओं को लिखने या व्यक्त करने की एक प्रणाली है। इस पृष्ठ पर संख्यात्मक प्रणाली के सूत्र और परिभाषाएँ दी गई हैं।

यहाँ उन महत्वपूर्ण सूत्रों की सूची दी गई है जिन्हें परीक्षाओं में सफलतापूर्वक उत्तीर्ण करने के लिए उम्मीदवारों को महारत हासिल करनी चाहिए।

अल्जेब्रा गणित की एक शाखा है जो संख्याओं के लिए अक्षरों का उपयोग करती है। एक अल्जेब्राई समीकरण एक संतुलन को दर्शाता है, जो एक तरफ एक संख्या के साथ किया गया है, वही दूसरी तरफ भी किया जाता है।

• (a + b)(a - b) = (a² - b²)
• (a + b)² = (a² + b² + 2ab)
• (a - b)² = (a² + b² - 2ab)
• (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
• (a³ + b³) = (a + b)(a² - ab + b²)
• (a³ - b³) = (a - b)(a² + ab + b²)
• (a³ + b³ + c³ - 3abc) = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ac) ⇒ जब a + b + c = 0, तब a³ + b³ + c³ = 3abc
• (a + b)ⁿ = aⁿ + (nC1)aⁿ⁻¹b + (nC2)aⁿ⁻²b² … + (nCn⁻¹)abⁿ⁻¹b

(a + b)² = a² + b² + 2ab

यह (a + b)² सूत्र दो संख्याओं के योग का वर्ग निकालने के लिए प्रयोग किया जाता है। (a + b)² के रूप में द्विघात को प्राप्त करने के लिए, हम केवल (a + b)(a + b) को गुणा करेंगे।

• (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

यह (a + b + c)² सूत्र तीन संख्याओं के वर्ग का योग निकालने के लिए प्रयोग किया जाता है बिना वास्तव में वर्ग निकालें। (a + b + c)² का विस्तार प्राप्त करने के लिए, हम (a + b + c) को स्वयं से गुणा करते हैं।

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n = n(n + 1)/2

उदाहरण: पहले 35 प्राकृतिक संख्याओं का योग निकालें। समाधान: दिया गया, n = 35

प्राकृतिक संख्याओं का योग सूत्र है: S = [n(n + 1)]/2

S = [35(35 + 1)]/2 = 630

• (1² + 2² + 3² + ….. + n²) = n(n + 1)(2n + 1)/6

उदाहरण: पहले 40 प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग निकालें। समाधान: प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग सूत्र है: Σn² = [n(n + 1)(2n + 1)]/6

यहाँ, n = 40

Σ₄₀² = (40/6)(40 + 1)(2 × 40 + 1) = 22140

• (1³ + 2³ + 3³ + ….. + n³) = (n(n + 1)/2)²

उदाहरण: 5 से 14 तक के प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग निकालें। समाधान: पहले 14 प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग निकालें और फिर पहले 4 प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग निकालें। फिर प्राप्त मानों को घटाकर उत्तर प्राप्त करें।

• पहले n विषम संख्याओं का योग = n²

उदाहरण: 1 से 50 के बीच विषम संख्याओं का योग निकालें। समाधान: हमें पता है कि 1 से 50 के बीच 25 विषम संख्याएँ हैं। इसलिए, n विषम संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं, S₂₅ = 25² = 625।

इस प्रकार, a = 1, l = 49, और n = 25। S₂₅ = (25/2) × [1 + 49]

• पहले n सम संख्याओं का योग = n (n + 1)
  उदाहरण: 1 से 50 तक सम संख्याओं का योग क्या है? समाधान: हमें पता है कि, 1 से 50 तक, 25 सम संख्याएँ हैं। इस प्रकार, n = 25। सम संख्याओं के योग के सूत्र से हमें पता है; S_n = n(n + 1) = 25(25 + 1) = 25 × 26 = 650

उदाहरण: 1 से 50 तक सम संख्याओं का योग क्या है? समाधान: हमें पता है कि, 1 से 50 तक, 25 सम संख्याएँ हैं। इस प्रकार, n = 25। सम संख्याओं के योग के सूत्र से हमें पता है; S_n = n(n + 1) = 25(25 + 1) = 25 × 26 = 650

• m! में n की उच्चतम शक्ति है [m/n] + [m/n²] + [m/n³] ….. जहाँ, [x] x से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक है।
  उदाहरण: 100! में 7 की उच्चतम शक्ति ज्ञात करें। 100! में 7 की उच्चतम शक्ति = [100/7] + [100/49] = 16

m! में n की उच्चतम शक्ति है [m/n] + [m/n²] + [m/n³] ….. जहाँ, [x] x से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक है।
उदाहरण: 100! में 7 की उच्चतम शक्ति ज्ञात करें। 100! में 7 की उच्चतम शक्ति = [100/7] + [100/49] = 16

• n! में शून्य की संख्या ज्ञात करने के लिए n! में 5 की उच्चतम शक्ति ज्ञात करें।
  उदाहरण: 23! मेंTrailing zeroes की संख्या क्या है? [23/5] = 4। यह 5 से कम है, इसलिए हम यहाँ रुक जाते हैं। उत्तर 4 है।
• यदि सभी संभावित व्युत्क्रम n अद्वितीय अंकों के जोड़ के साथ जोड़ दिए जाते हैं, तो योग = (n-1)! * (n अंकों का योग) * (11111… n बार)।
  उदाहरण: 1, 3, 5, 7 अंकों का उपयोग करके सभी संख्याओं का योग क्या होगा जो सभी एक साथ बन सकती हैं और जिनमें कोई अंक पुनरावृत्त नहीं है? समाधान: दिए गए सभी n अंकों को लेकर बनाए गए संख्याओं का योग है (सभी n अंकों का योग) * (n - 1)! * (111… n बार)। यहाँ n = 4 है, और 4 अंकों का योग = 16। 1, 3, 5, 7 अंकों का उपयोग करके सभी संख्याओं का योग = (16) * (4 – 1)! * ( 1111) = 16 * 3! * 1111

यदि सभी संभावित व्युत्क्रम n अद्वितीय अंकों के जोड़ के साथ जोड़ दिए जाते हैं, तो योग = (n-1)! * (n अंकों का योग) * (11111… n बार)।
उदाहरण: 1, 3, 5, 7 अंकों का उपयोग करके सभी संख्याओं का योग क्या होगा जो सभी एक साथ बन सकती हैं और जिनमें कोई अंक पुनरावृत्त नहीं है? समाधान: दिए गए सभी n अंकों को लेकर बनाए गए संख्याओं का योग है (सभी n अंकों का योग) * (n - 1)! * (111… n बार)। यहाँ n = 4 है, और 4 अंकों का योग = 16। 1, 3, 5, 7 अंकों का उपयोग करके सभी संख्याओं का योग = (16) * (4 – 1)! * ( 1111) = 16 * 3! * 1111

यदि संख्या को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: N = ap∗ bq ∗ cr। तब, N के गुणकों की संख्या (p + 1) * (q + 1) * (r + 1) है। सभी गुणकों का योग: उदाहरण: 98 के गुणकों की संख्या ज्ञात करें और सभी गुणकों का योग और गुणा भी ज्ञात करें। समाधान: सबसे पहले, संख्या 98 को प्राथमिक गुणनखंड में लिखें। अर्थात् 98 = 2 × 49 = 2 × 7 × 7 = 2¹ × 7² यहां A = 2, B = 7, p = 1, q = 2। 98 के लिए गुणकों की संख्या = (p + 1)(q + 1) = 2 × 3 = 6। 98 के सभी गुणकों का योग = 3 × 57 = 171। संख्या 98 के सभी गुणकों का गुणा = (98)^6/2 = 941192।

यदि संख्या के गुणकों की संख्या विषम है, तो N एक पूर्ण वर्ग है। उदाहरण: 4500 के विषम, सम, पूर्ण वर्ग, पूर्ण घन गुणकों की संख्या ज्ञात करें। 4500 = 45 × 100 = 9 × 5 × 10 × 10 = 3 × 3 × 5 × 5 × 2 × 5 × 2 = 2² × 3² × 5³। यहां, A = 2, B = 3, C = 5, p = 2, q = 2 और r = 3। यहां यह पहचानते हुए कि विषम संख्या 3 और 5 हैं। संख्या 4500 के विषम गुणकों की संख्या = (q + 1)(r + 1) = 3 × 4 = 12। ∴ कुल गुणकों की संख्या = (p + 1)(q + 1)(r + 1) = 3 × 3 × 4 = 36। सम गुणकों की संख्या = (कुल गुणकों की संख्या – विषम गुणकों की संख्या) = 36 – 12 = 24। संख्या 4500 के पूर्ण वर्ग गुणकों की संख्या = 2 × 2 × 2 = 8। संख्या 4500 के पूर्ण घन गुणकों की संख्या = 1 × 1 × 2 = 2।

मान लीजिए एक संख्या N है और यदि इसमें n गुणांक हैं, जिसमें संख्या N और 1 शामिल हैं, तो गुणांकों के जोड़े की संख्या n/2 होगी। यदि N एक पूर्ण वर्ग है, तो जोड़ों की संख्या (गुणनखंड सहित) (n + 1)/2 है। उदाहरण: आप 36 को इसके दो गुणांकों के उत्पाद के रूप में कितने तरीकों से व्यक्त कर सकते हैं? 36 का प्राइम फैक्टराइजेशन, अर्थात् हम लिखते हैं 36 = 2² × 3²। 36 के गुणांकों की संख्या (2 + 1)(2 + 1) = 9 होगी (यानी गुणांक हैं 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36)। चूंकि हमसे कुल तरीकों की संख्या पूछी गई है, इसलिए हम 36 के वर्गमूल अर्थात् 6 को भी शामिल करते हैं। इसलिए, आप 36 को इसके दो गुणांकों के उत्पाद के रूप में व्यक्त करने के लिए (9 + 1)/2 = 5 तरीके पा सकते हैं।

• यदि संख्या को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है N = 2^p × a^q × b^r ..., जहां 2 की शक्ति p है और a, b प्राथमिक संख्याएँ हैं, तो:
  • (i) N के सम गुणांकों की संख्या = p (1 + q) (1 + r) ...
  • (ii) N के विषम गुणांकों की संख्या = (1 + q) (1 + r)...

यदि संख्या को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है N = 2^p × a^q × b^r ..., जहां 2 की शक्ति p है और a, b प्राथमिक संख्याएँ हैं, तो:

• (i) N के सम गुणांकों की संख्या = p (1 + q) (1 + r) ...
• (ii) N के विषम गुणांकों की संख्या = (1 + q) (1 + r)...

जब हमसे यह पूछा जाता है कि समीकरण X² - Y² = N के लिए कितने सकारात्मक पूर्णांक समाधान संभव हैं, तो 4 मामलों की संभावना होती है। आइए हम इन्हें एक-एक करके उदाहरणों के माध्यम से देखें:

• मामला 1: N एक विषम संख्या है और पूर्ण वर्ग नहीं है
• मामला 2: N एक विषम संख्या है और पूर्ण वर्ग है
• मामला 3: N एक सम संख्या है और पूर्ण वर्ग नहीं है
• मामला 4: N एक सम संख्या है और पूर्ण वर्ग है

मामला 1: N एक विषम संख्या है और पूर्ण वर्ग नहीं है

सकारात्मक पूर्णांक समाधानों की कुल संख्या होगी = (N के गुणांक की कुल संख्या)/2

उदाहरण: समीकरण X² – Y² = 135 के लिए कितने सकारात्मक पूर्णांक समाधान संभव हैं?

135 के गुणांक की कुल संख्या = 1, 3, 5, 9, 15, 27, 45 और 135 है, जो 8 है। इसलिए, सकारात्मक पूर्णांक समाधानों की कुल संख्या = 8/2 = 4।

मामला 2: N एक विषम संख्या है और पूर्ण वर्ग है

सकारात्मक पूर्णांक समाधानों की कुल संख्या होगी = [(N के गुणांक की कुल संख्या) - 1]/2

उदाहरण: समीकरण X² – Y² = 121 के लिए कितने सकारात्मक पूर्णांक समाधान संभव हैं?

121 के गुणांक की कुल संख्या = 1, 11 और 121 है, जो 3 है। इसलिए, सकारात्मक पूर्णांक समाधानों की कुल संख्या = (3-1)/2 = 1।

मामला 3: N एक सम संख्या है और पूर्ण वर्ग नहीं है

सकारात्मक पूर्णांक समाधानों की कुल संख्या होगी = [ (N/4) के गुणांक की कुल संख्या] / 2

उदाहरण: समीकरण X² – Y² = 160 के लिए कितने सकारात्मक पूर्णांक समाधान संभव हैं?

40 के गुणांक की कुल संख्या = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 और 40 है, जो 8 है (क्योंकि N = 160 और N/4 = 40)। इसलिए, सकारात्मक पूर्णांक समाधानों की कुल संख्या = 8/2 = 4।

मामला 4: N एक सम संख्या है और पूर्ण वर्ग है

सकारात्मक पूर्णांक समाधानों की कुल संख्या होगी = { [ (N/4) के गुणांक की कुल संख्या] - 1 } / 2

उदाहरण: समीकरण X² – Y² = 256 के लिए कितने सकारात्मक पूर्णांक समाधान संभव हैं?

64 के गुणांक की कुल संख्या = 1, 2, 4, 8, 16, 32 और 64 है, जो 7 है (क्योंकि N = 256 और N/4 = 64)। इसलिए, (7-1)/2 = 3 सकारात्मक पूर्णांक समाधान।

EduRev टिप: एक संख्या को दो वर्गों के योग के रूप में लिखा जा सकता है जब तक कि 4k + 3 के रूप में होने वाले प्रधान गुणांक सम शक्ति में न हों।

अंक का संख्या ab = [b logm(a)] 1; जहाँ m संख्या का आधार है और [.] सबसे बड़ा पूर्णांक कार्य को दर्शाता है।

• बुनियादी योग गुणधर्म: (i) पहले n विषम संख्याओं का योग n² है (ii) पहले n सम संख्याओं का योग n(n + 1) है (iii) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n = n(n + 1)/2 (iv) (1² + 2² + 3² + ….. + n²) = n(n + 1)(2n + 1)/6 (v) (1³ + 2³ + 3³ + ….. + n³) = (n(n + 1)/2)²

संख्याओं का उत्पाद N के गुणांक का उत्पाद Na/2 द्वारा दिया जाता है, जहाँ 'a' गुणांक की संख्या है।

• किसी भी वर्ग के अंतिम दो अंक: a², (50 – a)², (50 + a)², (100 – a)² ... में समान होते हैं। प्रत्येक संख्या को (50n ± x) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ x 0 से 25 के बीच एक संख्या है। यहाँ 50n का अर्थ है 50 का कोई गुणांक यानी 0, 50, 100, 150, ... 0 से 25 = (0 से 25) स्वयं। 25 से 50 = 50 – (25 से 0), 50 से 75 = 50 (0 से 25), 75 से 100 = 100 – (25 से 0), 100 से 125 = 100 (0 से 25), 125 से 150 = 150 – (25 से 0) आदि।

लेकिन यह हमें किसी भी वर्ग के अंतिम दो अंकों को खोजने में कैसे मदद करता है? (50n ± x)² = 2500n² ± 100nx + x²। 2500n² और 100nx के अंतिम दो अंक 00 होंगे। इसलिए RHS के अंतिम दो अंक, और इस प्रकार LHS के अंतिम दो अंक, x² के अंतिम दो अंक होंगे।

उदाहरण: 268² के अंतिम दो अंक क्या हैं? 268 = 50 × 5 + 18। इसलिए, 268² के अंतिम दो अंक 182 के अंतिम दो अंकों के समान होंगे, यानी 24।

उदाहरण: 278² के अंतिम दो अंक क्या हैं? जबकि आप 278 = 50 × 5 + 28 को विचार कर सकते हैं, यह 278 = 50 × 6 – 22 को भी विचार करेगा, जो 0 से 25 के बीच x होगा। इसलिए, 278² के अंतिम दो अंक 222 के अंतिम दो अंकों के समान होंगे, यानी 84।

लेकिन यह हमें किसी भी वर्ग के अंतिम दो अंकों को खोजने में कैसे मदद करता है? (50n ± x)² = 2500n² ± 100nx x² 2500n² और 100nx के अंतिम दो अंक 00 होंगे। इस प्रकार, RHS के अंतिम दो अंक, और इसलिए LHS के अंतिम दो अंक, x² के अंतिम दो अंक होंगे।

268 = 50 × 5 18। इस प्रकार, 268² के अंतिम दो अंक 182 के अंतिम दो अंकों के समान होंगे, अर्थात् 24।

हालांकि आप 278 = 50 × 5 28 मान सकते हैं, यह 278 = 50 × 6 – 22 को 0 से 25 के बीच x मानने पर विचार करेगा। इस प्रकार, 278² के अंतिम दो अंक 222 के अंतिम दो अंकों के समान होंगे, अर्थात् 84।

• यदि संख्या को 210n के रूप में लिखा गया है: (i) जब n विषम है, अंतिम 2 अंक 24 हैं। (ii) जब n सम है, अंतिम 2 अंक 76 हैं।

यदि संख्या को 210n के रूप में लिखा गया है: (i) जब n विषम है, अंतिम 2 अंक 24 हैं। (ii) जब n सम है, अंतिम 2 अंक 76 हैं।

• पूर्णांक: सभी संख्या जो दशमलव स्थानों में नहीं होती हैं, उन्हें पूर्णांक कहा जाता है। Z = {∞…….-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3………∞}
  • सकारात्मक पूर्णांक: 1, 2, 3, 4….. सभी सकारात्मक पूर्णांकों का समूह है।
  • नकारात्मक पूर्णांक: −1, −2, −3….. सभी नकारात्मक पूर्णांकों का समूह है।
  • गैर-सकारात्मक और गैर-नकारात्मक पूर्णांक: 0 न तो सकारात्मक है और न ही नकारात्मक है।
• असंगत संख्याएँ: यह एक संख्या है जिसे अनुपात रूप (या भिन्न) के रूप में नहीं लिखा जा सकता। असंगत संख्याएँ समाप्त न होने वाली और आवधिक न होने वाली भिन्न होती हैं। उदाहरण: √22 = 1.414
• जटिल संख्याएँ: जटिल संख्याएँ सेट {a + bi} हैं, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं और ‘i’ काल्पनिक इकाई है।

• 2 द्वारा विभाज्यता: एक संख्या जो सम होती है या एक संख्या जिसका अंतिम अंक सम संख्या है, अर्थात् 0, 2, 4, 6, और 8।
• 3 द्वारा विभाज्यता: संख्या के सभी अंकों का योग 3 द्वारा विभाज्य होना चाहिए।
• 4 द्वारा विभाज्यता: संख्या के अंतिम दो अंकों से बने संख्या को 4 द्वारा विभाज्य होना चाहिए या 00 होना चाहिए।
• 5 द्वारा विभाज्यता: ऐसे संख्याएँ जिनका अंतिम अंक 0 या 5 है।
• 6 द्वारा विभाज्यता: एक संख्या जो 2 और 3 दोनों द्वारा विभाज्य है।
• 7 द्वारा विभाज्यता: संख्या के अंतिम अंक को दो बार घटाने पर बाकी अंकों से 7 का गुणांक प्राप्त होता है।
• 8 द्वारा विभाज्यता: संख्या के अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या को 8 द्वारा विभाज्य होना चाहिए या 000 होना चाहिए।
• 9 द्वारा विभाज्यता: संख्या के सभी अंकों का योग 9 द्वारा विभाज्य होना चाहिए।
• 10 द्वारा विभाज्यता: 10 के लिए विभाज्यता नियम यह बताता है कि कोई भी संख्या जिसका अंतिम अंक 0 है, वह 10 द्वारा विभाज्य है।
• 11 द्वारा विभाज्यता: संख्या के वैकल्पिक अंकों के योग का अंतर 11 द्वारा विभाज्य होना चाहिए।
• 12 द्वारा विभाज्यता: एक संख्या जो 3 और 4 दोनों द्वारा विभाज्य है।
• 13 द्वारा विभाज्यता: किसी भी संख्या को 13 द्वारा विभाज्य है या नहीं, यह जांचने के लिए हमें संख्या के अंतिम अंक को चार गुना करके बाकी संख्या में जोड़ना होगा और प्रक्रिया को तब तक दोहराना होगा जब तक कि हमें एक दो अंकों की संख्या न मिल जाए। अब जांचें कि क्या वह दो अंकों की संख्या 13 द्वारा विभाज्य है या नहीं। यदि यह विभाज्य है, तो दी गई संख्या 13 द्वारा विभाज्य है।
• 14 द्वारा विभाज्यता: एक संख्या जो 2 और 7 दोनों द्वारा विभाज्य है।
• 16 द्वारा विभाज्यता: अंतिम चार अंकों को 16 द्वारा विभाज्य होना चाहिए।
• 27 द्वारा विभाज्यता: 3 के समूह का योग (दाएं से बाएं लिए गए) 27 द्वारा विभाज्य होना चाहिए।

(i) संख्या 7248 के अत्यधिक दाहिनी ओर 48 है, जो 4 से पूरी तरह विभाजित है। जब हम 48 को 4 से विभाजित करते हैं, तो हमें 12 मिलता है।

(ii) संख्या 7248 के इकाई स्थान पर 8 है, जो एक समान संख्या है, इसलिए 7248 2 से विभाजित है।

(iii) 7248 8 से विभाजित है क्योंकि 7248 के सेंटी स्थान, दस स्थान और इकाई स्थान पर 248 है, जो 8 से पूरी तरह विभाजित है।

प्रश्न 3: बिना वास्तविक विभाजन के, पता लगाएँ कि 235932 (i) 4 से विभाजित है या नहीं और (ii) 8 से। उत्तर:

(i) 235932 के अत्यधिक दाहिनी ओर के अंतिम दो अंकों से बना संख्या 32 है।

(ii) 235932 के अत्यधिक दाहिनी ओर के अंतिम तीन अंकों से बना संख्या 932 है।

नियम के अनुसार, यदि किसी संख्या में अंकों का योग 9 का गुणांक है, तो वह 9 से विभाजित है। 998 में अंकों का योग: 9 + 9 + 8 = 26। 26 9 का गुणांक नहीं है। इसलिए, 998 9 से विभाजित नहीं है।

नियम के अनुसार, किसी संख्या में, यदि विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों का योग समान हैं या वे 11 से विभाजित संख्या से भिन्न हैं, तो संख्या 11 से विभाजित है। 1782 में, विषम स्थानों के अंकों का योग: 1 + 8 = 9। 1782 में, सम स्थानों के अंकों का योग: 7 + 2 = 9। 1782 में, विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों का योग समान हैं। इसलिए, 1782 11 से विभाजित है।

उदाहरण 1: 96, 36, और 18 का HCF ज्ञात करें।

उदाहरण 2: 42 और 70 का HCF ज्ञात करें।

उदाहरण 3: संख्याओं 144, 630, और 756 का HCF ज्ञात करें।

144 = 24 × 32, 630 = 2 × 32 × 5 × 7, 756 = 22 × 33 × 7। इसलिए, 144, 630, 756 का HCF = 2 × 32 = 18।

उदाहरण 4: 96, 36, और 18 का LCM खोजें।

96 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 25 × 31
36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 22 × 32
18 = 2 × 3 × 3 = 21 × 32
इसलिए, 96, 36 और 18 का LCM सभी अभाज्य गुणकों की उच्चतम शक्ति के गुणनफल है, अर्थात् 25 × 32 = 32 × 9 = 288। अर्थात्, 288 सबसे छोटा पूर्णांक है जो 96, 36 और 18 से बिना किसी शेष के विभाज्य है।

उदाहरण 5: 42 और 70 का LCM खोजें।

इस प्रकार, LCM = 2 × 3 × 5 × 7 = 210। अभाज्य गुणनखंड विधि के अलावा, दिए गए संख्याओं का LCM खोजने की एक और विधि है, जिसे लंबी विभाग विधि के रूप में जाना जाता है। यह विधि तीन या तीन से अधिक संख्याओं के लिए LCM जल्दी पाने में काफी सहायक है।

यहां, हमें 48 और 300 का LCM खोजना है।
48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 24 × 31
300 = 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 22 × 31 × 52
सभी संख्याओं को सूचीबद्ध करें, जैसे-जैसे वे उत्पन्न होती हैं, किसी एक संख्या के लिए सबसे अधिक बार, और उन्हें एक साथ गुणा करें ताकि LCM मिले। इस प्रकार, 24 × 31 × 52 = 1200। इस प्रकार, 48 और 300 का LCM 1200 है।

यहां, हमें 12, 18, 30 का LCM खोजना है। अब, हम ऊपर दी गई तीन संख्याओं के अभाज्य गुणकों को खोजते हैं।
12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 31
18 = 2 × 3 × 3 = 21 × 32
30 = 2 × 3 × 5 = 21 × 31 × 51
अब, सभी अभाज्य संख्याओं को सूचीबद्ध करें जैसे-जैसे वे उत्पन्न होती हैं, किसी एक संख्या के लिए सबसे अधिक बार, और उन्हें एक साथ गुणा करें ताकि LCM मिले। तो, 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180। इसके बजाय गुणांक का उपयोग करते हुए, प्रत्येक अभाज्य संख्या को उच्चतम शक्ति के साथ गुणा करें। इस प्रकार, 22 × 32 × 51 = 180। इस प्रकार, 12, 18, 30 का LCM 180 है।