चक्रीयता और गुणनात्मक: संख्या प्रणाली | Quantitative Aptitude/संख्यात्मक योग्यता - Bank Exams PDF Download

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चक्रवातिता

• कभी-कभी ऐसे प्रश्न होते हैं जिनमें छात्रों को संख्याओं के घातांक में आने वाले अंक का अंतिम संख्या (units digit) ज्ञात करना होता है।
• यदि कोई आपसे 33 का अंतिम अंक ज्ञात करने के लिए कहता है, तो आप इसे आसानी से निकाल सकते हैं, इसी तरह 35 के लिए भी, लेकिन यदि कोई आपसे 17399 का अंतिम अंक ज्ञात करने के लिए कहता है, तो इसे आसानी से निकालना कठिन होगा।

• लेकिन यह बहुत सरल है यदि हम समझें कि एक उत्पाद का अंतिम अंक उस अंक द्वारा निर्धारित होता है जो अंतिम स्थान पर होता है, चाहे अंकों की संख्या कितनी भी हो। उदाहरण: 5 × 5 का अंतिम अंक 5 है और 625 × 625 का भी अंतिम अंक 5 है।
• अब चलिए देखते हैं कि एक संख्या अपने घातांक में आने पर कौन सा पैटर्न उत्पन्न करती है। विभिन्न संख्याओं के अंतिम अंकों को देखें।

तालिका: विभिन्न घातों के लिए एक संख्या का अंतिम अंक प्रदर्शित करना

उपरोक्त तालिका से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि एक संख्या अपने अंतिम अंक को 1, 2 या 4 के अंतराल के बाद दोहराती है। सही मायने में, हम कह सकते हैं कि सभी संख्याओं की सार्वभौमिक चक्रवातिता 4 है। अर्थात्, 4 के बाद, सभी संख्याएँ अपने अंतिम अंकों को पुनः दोहराने लगती हैं। इसलिए, किसी दिए गए संख्या के किसी भी घातांक के लिए अंतिम अंक ज्ञात करने के लिए, हमें निम्नलिखित चरणों का पालन करना होगा:

• चरण 1: दिए गए संख्या के घातांक को 4 से विभाजित करें और शेषफल ज्ञात करें।
• चरण 2: उस संख्या का अंतिम अंक वही है जो शेषफल के अनुसार संख्या के घातांक का अंतिम अंक है।
• चरण 3: यदि शेषफल शून्य है, तो अंतिम अंक N⁴ के अंतिम अंक के समान होगा।

उदाहरण 1. (173)⁹⁹ का अंतिम अंक ज्ञात करें।

• हम देखते हैं कि घातांक 99 है। 99 को 4 से विभाजित करने पर हमें 24 भागफल और 3 शेष प्राप्त होता है।
• अब, ये 24 जोड़े 4 के प्रत्येक जोड़े से अंतिम अंक को प्रभावित नहीं करते हैं। इसलिए, (173)⁹⁹ ≈ (173)³।
• अब, अंतिम अंक 3³ = 27 है। इसलिए अंतिम अंक 7 है।

गुणक

• गुणक वह संख्या होती है जो किसी अन्य संख्या को पूर्ण रूप से विभाजित करती है। उदाहरण: 24 के गुणक हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24।

➢ गुणकों की संख्या

• यदि हमारे पास एक संख्या हो, N = p^a × q^b × r^c जहां p, q, और r अभाज्य संख्याएँ हैं और a, b, और c उन अभाज्य संख्याओं की बार-बार होने वाली संख्या हैं, तो n के गुणकों की संख्या (a + 1)(b + 1)(c + 1) द्वारा ज्ञात की जाती है।

उदाहरण: 24 × 32 के गुणकों की संख्या ज्ञात करें।

फंडा: सभी पूर्ण वर्गों के गुणकों की संख्या विषम होती है और अन्य संख्याओं के गुणकों की संख्या सम होती है।

➢ दिए गए संख्या को दो गुणकों के उत्पाद के रूप में व्यक्त करने के तरीके की संख्या

• जब किसी संख्या के गुणक सम होते हैं, तो इसे दो संख्याओं के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
• लेकिन यदि किसी संख्या के गुणक विषम होते हैं, तो इसे दो भिन्न संख्याओं के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है और इसे दो संख्याओं के उत्पाद (भिन्न या समान) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

उदाहरण: (i) 148 को 37 × 22 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। {इसलिए (p + 1)(q + 1)(r + 1) के मामले में 148 के लिए 6 है, जो सम है।}

इसलिए 6/2 या 3 तरीकों से दो कारकों का गुणनफल। (ii) 144 को (24.32) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। {इसलिए (p 1) (q 1) (r 1) के मामले में 144 का मान 15 होता है जो विषम है} इसे दो विभिन्न संख्याओं के गुणनफल के रूप में, अर्थात् 7 तरीकों से लिखा जा सकता है।

➢ एक संख्या के गुणकों का योग

• यदि एक संख्या N को N = ap.bq.cr के रूप में लिखा जाता है, जहाँ a, b और c अभाज्य संख्या हैं और p, q और r सकारात्मक पूर्णांक हैं, तो संख्या के सभी गुणकों का योग निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:

➢ N के सहाभाज्य संख्याएँ

• N के सहाभाज्य संख्याएँ, जो N से कम हैं।

फैक्टोरियल

• फैक्टोरियल को किसी भी सकारात्मक पूर्णांक के लिए परिभाषित किया जाता है। इसे या ! द्वारा दर्शाया जाता है। इसलिए “फैक्टोरियल n” को n! के रूप में लिखा जाता है या n! को 1 से n तक सभी पूर्णांकों के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है। इस प्रकार n! = 1.2.3. …. n। (n! = n(n – 1)!)

उदाहरण 2: 95! का सबसे बड़ा घातांक 3 खोजें जो शेष छोड़ने के बिना विभाजित हो सकता है।

• पहले विस्तृत स्पष्टीकरण पर ध्यान दें और फिर समस्या को हल करने के लिए एक सरल विधि पर ध्यान दें। जब हम 95! को उसके पूर्ण रूप में लिखते हैं, तो हमारे पास 95 × 94 × 93 ….. × 3 × 2 × 1 होते हैं। जब हम 95! को 3 की किसी घातांक से विभाजित करते हैं, तो हमारे पास अंश में ये 95 संख्याएँ होती हैं। हर घातांक के लिए अंश में 3 के सभी गुणांक होंगे। अंश में 95 संख्याओं में 31 गुणांक 3 के होते हैं, जो 3, 6, 9….90, 93 हैं। इन गुणांक के लिए हम हर बार अंश में एक 3 ले सकते हैं जो पूरी तरह से अंश को बिना किसी शेष के विभाजित करेगा, अर्थात् 3^31 निश्चित रूप से 95! को विभाजित कर सकता है।
• इसके अलावा, 9 के हर गुणांक, अर्थात् 9, 18, 27, आदि, अंश में एक 3 के समाप्त होने के बाद भी एक और 3 बचेगा। इसलिए अंश में 9 के हर गुणांक के लिए, हमारे पास अंश में एक अतिरिक्त 3 होगा। 95 में 9 के 10 गुणांक हैं, अर्थात् 9, 18….81, 90। इसलिए हम अंश में 10 और 3 ले सकते हैं।
• इसी तरह, 27 के हर गुणांक के लिए हम अंश में एक अतिरिक्त 3 ले सकते हैं। चूँकि 91 में 27 के 3 गुणांक हैं (जो 27, 54 और 81 हैं), हम अंश में तीन और 3 ले सकते हैं।
• अंत में, 81 के हर गुणांक के लिए, अर्थात् 81, हम अंश में एक और 3 ले सकते हैं। चूँकि 95 में 81 का एक गुणांक है, हम अंश में एक अतिरिक्त 3 ले सकते हैं।
• इसलिए अंश में हमारे पास कुल 3 की संख्या 31 + 10 + 3 + 1 है, अर्थात् 45। इसलिए 3^45 सबसे बड़ा घातांक है जो 95! को बिना किसी शेष के विभाजित कर सकता है।

इसे एक सरल तरीके से भी किया जा सकता है, जिसे नीचे समझाया गया है:

95 को 3 से भाग देने पर हमें 31 का भागफल मिलता है। इस 31 को 3 से भाग देने पर हमें 10 का भागफल मिलता है। इस 10 को 3 से भाग देने पर हमें 3 का भागफल मिलता है। इस 3 के भागफल को एक बार फिर 3 से भाग देने पर हमें 1 का भागफल मिलता है। चूंकि हम इस भागफल को और 3 से भाग नहीं दे सकते, हम यहाँ रुक जाते हैं। सभी भागफलों को जोड़ते हैं, अर्थात् 31, 10, 3, 1 जो 45 देता है, जो 3 की सबसे बड़ी शक्ति है।

• चूंकि हम इस भागफल को और 3 से भाग नहीं दे सकते, हम यहाँ रुक जाते हैं। सभी भागफलों को जोड़ते हैं, अर्थात् 31, 10, 3, 1 जो 45 देता है, जो 3 की सबसे बड़ी शक्ति है।

• सभी भागफलों को जोड़ते हैं 31, 10, 3, 1, जो 45 देता है। {ध्यान दें कि इस प्रकार का भाग करना जहां एक चरण का भागफल अगले चरण में भाजक के रूप में लिया जाता है, इसे “Successive Division” कहा जाता है। सामान्यतः, उत्तराधीन भाग में भाजक समान नहीं होना चाहिए (जैसा कि यहाँ है)। यहाँ, संख्या 95 को लगातार 3 से भाग दिया जा रहा है।}

• यह विधि केवल तभी लागू होती है जब वह संख्या जिसकी सबसे बड़ी शक्ति ज्ञात करनी है, एक प्रमुख संख्या हो। यदि संख्या प्रमुख नहीं है, तो हमें संख्या को संबंधित प्रमुख संख्याओं के उत्पादन के रूप में लिखना होगा, प्रत्येक कारक के सबसे बड़े के लिए सबसे बड़ी शक्ति ज्ञात करनी होगी, और उन सभी संबंधित कारकों में से सबसे छोटी शक्ति सबसे बड़ी शक्ति का निर्धारण करेगी।

उदाहरण 3: 200 को विभाजित करने वाली 12 की सबसे बड़ी शक्ति ज्ञात करें!

यहाँ हम अनुक्रमिक विभाजन विधि लागू नहीं कर सकते क्योंकि 12 एक अभाज्य संख्या नहीं है। 12 को अभाज्य गुणांक के सेट में विभाजित करें। हम जानते हैं कि 12 को 3 × 4 के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए, हम यह पता लगाएंगे कि 3 की सबसे बड़ी शक्ति क्या है जो 200! को विभाजित कर सकती है और 4 की सबसे बड़ी शक्ति क्या है जो 200! को विभाजित कर सकती है और दोनों में से कम को 200! को विभाजित करने वाली 12 की सबसे बड़ी शक्ति के रूप में लेंगे। 4 की सबसे बड़ी शक्ति ज्ञात करने के लिए, चूंकि 4 स्वयं एक अभाज्य संख्या नहीं है, हम सीधे अनुक्रमिक विभाजन विधि लागू नहीं कर सकते। हमें पहले यह पता लगाना होगा कि 2 की सबसे बड़ी शक्ति क्या है जो 200! को विभाजित कर सकती है। चूंकि दो 2 मिलकर 4 देंगे, इसलिए 2 की आधी शक्ति 4 की सबसे बड़ी शक्ति होगी जो 200! को विभाजित कर सकती है। हमें पता चलता है कि 197 2 की सबसे बड़ी शक्ति है जो 200! को विभाजित कर सकती है। इस आंकड़े का आधा-98-200! को विभाजित करने वाली 4 की सबसे बड़ी शक्ति होगी। चूँकि 3 और 4 की सबसे बड़ी शक्तियाँ जो 200! को विभाजित कर सकती हैं, क्रमशः 97 और 98 हैं, इसलिए दोनों में से छोटी, यानी 97, 200! को बिना किसी अवशेष के विभाजित करने वाली 12 की सबसे बड़ी शक्ति होगी।

• यहाँ हम अनुक्रमिक विभाजन विधि लागू नहीं कर सकते क्योंकि 12 एक अभाज्य संख्या नहीं है। 12 को अभाज्य गुणांक के सेट में विभाजित करें।

उदाहरण 4. 234 × 334 × 434 का अंतिम अंक क्या है?

• दी गई = (24)34
• 4n का अंतिम अंक 6 है यदि n सम है।
• उत्तर 6 है।

उदाहरण 5. (270)270 का सबसे दाहिना गैर-शून्य अंक क्या है?

• आवश्यक उत्तर 7270 का अंतिम अंक है।
• 7 की शक्तियों का अंतिम अंक हर 4 के बाद दोहराता है।
• इसलिए, 7270 का अंतिम अंक 72 का अंतिम अंक = 9 है।

उदाहरण 6. 1296 के कितने गुणक हैं?

1296 = 4 × 324
1296 = 4 × 4 × 81
1296 = 24 × 34
Factors की संख्या = (4 + 1) (4 + 1) = 25.

• Factors की संख्या = (4 + 1) (4 + 1) = 25.

उदाहरण 7. यदि x 3128 के सभी Factors का योग है और y x के Factors की संख्या है और z y को दो संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखने के तरीकों की संख्या है, तो z =?

• 3128 = 4 × 782
• 3128 = 4 × 2 × 391
• 3128 = 23 × 17 × 23
• x = 15 × (17 + 1) (23 + 1)
• x = 3 × 5 × 9 × 2 × 8 × 3
• x = 24 × 34 × 5
• ∴ y = (4 + 1) (4 + 1) (1 + 1)
• y = 2 × 5²

उदाहरण 8. 240 के लिए कितने सह-प्रधान हैं, जो 240 से कम हैं?

• 240 = 16 × 15
• 240 = 24 × 3 × 5
• को-प्राइम्स की संख्या N के लिए, जो N से कम है यदि N = ap × bq × ... (a, b, ... प्राइम संख्याएँ हैं)

उदाहरण 9. 748 के सभी सह-प्रधानों का योग क्या है? जो N से कम हैं?

• 748 = 4 × 187
• 748 = 22 × 11 × 17
• सभी सह-प्रधानों का योग N के लिए, जो N से कम हैं, है N/2 (N के सह-प्रधानों की संख्या, जो N से कम हैं)।
• योग = 748/2 * 320 = 119680

उदाहरण 10. 5544 को 2 सह-प्रधानों के गुणनफल के रूप में कितने तरीकों से लिखा जा सकता है?

• यदि N = ap × bq × ... , जहाँ a, b, ... प्राइम संख्याएँ हैं।
• N को 2n-1 तरीकों से दो सह-प्रधानों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ n N के प्राइम गुणकों की संख्या है।
• ∴ 5544 = 11 × 504 = 11 × 9 × 56 = 11 × 9 × 8 × 7 = 23 × 32 × 7 × 11

को-प्राइम्स के गुणनफल के रूप में N को लिखने के तरीकों की संख्या = 2n-1

∴ उत्तर = 24-1 = 23 = 8। (क्योंकि, 2, 3, 7 और 11 चार विभिन्न अभाज्य गुणांक हैं)।

• ∴ उत्तर = 24-1 = 23 = 8। (क्योंकि, 2, 3, 7 और 11 चार विभिन्न अभाज्य गुणांक हैं)।

➢ एक्सपोनेंट्स के अंतिम दो अंकों को दस सेकंड में गुणा करना

• इस तरीके और शॉर्टकट विधि का पालन करें ताकि आप अपने दिमाग में संख्याओं को गुणा कर सकें। यह CAT परीक्षा या किसी अन्य MBA प्रवेश परीक्षा की तैयारी कर रहे लोगों के लिए एक बड़ा लाभ हो सकता है।
• इस वीडियो में उपयोग की गई तरकीबें सरल और सीधी हैं। आप शॉर्टकट सीखने के बाद इस प्रकार के प्रश्नों को हल करने के लिए कागज और पेन की आवश्यकता नहीं महसूस कर सकते।
• एक संख्या के अंतिम अंक का रूप: an। अंतिम अंक जानने के लिए अनुसरण की जाने वाली सरल तरकीब यह है कि दिए गए संख्या के अंतिम अंक की चक्रीयता को याद रखें।
• 1 से 9 तक की प्रत्येक संख्या में जब घातांक लागू किया जाता है, तो एक पैटर्न का पालन होता है। यहाँ एक तालिका है जो इस प्रकार के प्रश्नों को हल करने में सहायक होगी।

अंतिम अंक / यूनिट का अंक an