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महत्वपूर्ण सूत्र: वर्गमूल और घनमूल | Quantitative Aptitude/संख्यात्मक योग्यता - Bank Exams PDF Download
| Table of contents |
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| वर्गमूल |
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| घनमूल |
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| वर्गमूल और घनमूल ज्ञात करने की आसान तरकीबें |
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| वर्गमूल निकालना |
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| घनमूल खोजना |
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वर्गमूल
- जब किसी मान को स्वयं से गुणा किया जाता है ताकि मूल संख्या प्राप्त हो सके, तो उस संख्या को वर्गमूल कहा जाता है। इसे एक रैडिकल प्रतीक √ द्वारा दर्शाया जाता है।
- "वर्गमूल" अक्सर मुख्य वर्गमूल को संदर्भित करने के लिए उपयोग किया जाता है।
- वर्गमूल सूत्र: किसी संख्या का वर्गमूल का घातांक 1/2 होता है। वर्गमूल सूत्र का उपयोग किसी संख्या का वर्गमूल निकालने के लिए किया जाता है। हम जानते हैं कि घातांक सूत्र:
जब n = 2, तो इसे वर्गमूल कहा जाता है। हम वर्गमूल निकालने के लिए ऊपर दिए गए किसी भी विधि का उपयोग कर सकते हैं, जैसे कि प्रमुख गुणनखंड, आदि। उदाहरण के लिए, 91/2 = √9 = √(3×3) = 3। इस प्रकार, किसी संख्या का वर्गमूल लिखने का सूत्र है √x = x1/2। - इस प्रकार, √4 = 2, √9 = 3, √196 = 14
घनमूल
- किसी संख्या का घनमूल वह संख्या है जिसे 3 बार गुणा किया जाता है ताकि मूल संख्या प्राप्त हो सके। जब कोई संख्या (x) तीन बार गुणा की जाती है, तो परिणामी संख्या को उस संख्या का घन कहा जाता है।
- हम x का घनमूल ∛x द्वारा दर्शाते हैं।
- घनमूल सूत्र:
घनमूल सूत्र किसी भी दी गई संख्या के घनमूल की गणना करने में मदद करता है जिसे प्रतीक ∛ का उपयोग करके मूल रूप में व्यक्त किया जाता है। इसकी गणना पहले दी गई संख्या का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करके और फिर बाद में घनमूल सूत्र लागू करके की जा सकती है। मान लीजिए, x कोई ऐसी संख्या है, जिससे x = y × y × y हो।
- इस प्रकार,
आवश्यक बिंदु:
(ए)(बी)
वर्गमूल और घनमूल ज्ञात करने की आसान तरकीबें
- किसी संख्या का वर्गमूल या घनमूल निकालना कोई आसान काम नहीं है। जब आप CAT, CMAT, CET, NMAT, GMAT आदि जैसी समयबद्ध परीक्षा दे रहे हों, तो यह आपका कीमती समय बरबाद कर सकता है। यह तब और भी बुरा हो जाता है जब वर्गमूल या घनमूल निकालना किसी बड़ी समस्या का केवल एक हिस्सा होता है, जैसे कि क्वांटिटेटिव एप्टीट्यूड में डेटा इंटरप्रिटेशन या चक्रवृद्धि ब्याज की समस्याएँ।
- तो अगर आपका मानसिक गणित थोड़ा कमजोर है, तो आइए जानें कि किसी संख्या का वर्गमूल या घनमूल कैसे जल्दी और आसानी से निकाला जाए। यह ट्रिक आपको हर सवाल के लिए कम से कम 40 सेकंड की गणना करने से ज़रूर बचाएगी। पहले तो आपको यह मुश्किल लगेगा लेकिन अभ्यास के साथ, आप किसी भी संख्या का वर्गमूल या घनमूल निकालने में सक्षम हो जाएँगे। तो चलिए शुरू करते हैं।
वर्गमूल निकालना
हम एक पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल निकालने के लिए एक ट्रिक का उपयोग कर सकते हैं। बिना लंबे विभाजन का उपयोग किए वर्गमूल निर्धारित करने के लिए, हमें पहले दस संख्याओं के वर्गों के इकाई अंकों को जानना आवश्यक है।
1 = 1
2 = 4
3 = 9
4 = 6
5 = 5
6 = 6
7 = 9
8 = 4
9 = 1
10 = 0
4 अंकों और 5 अंकों वाली संख्या का वर्गमूल निकालना संभव है। चलिए ट्रिक का उपयोग करके संख्याओं का वर्गमूल निकालना सीखते हैं।
1. 4 अंकों वाली संख्याओं के लिए वर्गमूल ट्रिक
4 अंकों वाली संख्या का वर्गमूल अनुमानित करने के लिए कदम हैं:
- कदम 1: दाएं से बाएं की ओर अंकों की जोड़ी बनाएं।
- कदम 2: चार्ट से संख्या के इकाई अंक का मिलान करें और इकाई अंक के वर्गमूल के संभावित मान निर्धारित करें।
- कदम 3: आइए अंकों की पहली जोड़ी पर विचार करें। इसे "n" मान लें।
- कदम 4: निर्धारित करें कि यह संख्या किन दो वर्गों के बीच स्थित है, √a 2 < n < √b 2। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि a < n < b. इस प्रकार, वांछित वर्गमूल का दहाई अंक "a" है।
- कदम 5: वर्गों के चार्ट में संदर्भित अनुसार, केवल दो संख्याएँ हैं जिनके वर्ग दोहराते नहीं हैं, अर्थात् 5 और 10। जांचें कि क्या कदम 2 में प्राप्त इकाई अंक इनमें से कोई एक है।
- कदम 6: यदि यह जांचा गया कि प्राप्त संख्या 5 या 10 है, तो इन्हें वैसा ही लिखा जाता है, अन्यथा हम नीचे दिए गए कदमों का उपयोग करके इकाई अंक ज्ञात करते हैं।
यदि कदम 2 में प्राप्त इकाई अंक 5 या 10 के अलावा हो, तो इकाई अंक ज्ञात करने के कदम इस प्रकार हैं:
- चरण 7: अब, a और b को गुणा करें।
- चरण 8: यदि ab ≤ n है, तो b चुनें, अन्यथा a चुनें।
2. पाँच अंकों की संख्या के लिए वर्गमूल ट्रिक
पाँच अंकों की संख्या के वर्गमूल का अनुमान लगाने के लिए कदम हैं:
- चरण 1: सबसे पहले, दाएं से बाएं की ओर अंकों को जोड़ी बनाएं।
- चरण 2: संख्या के इकाई अंक को चार्ट से मिलाएं और इकाई अंक के वर्गमूल के संभावित मान निर्धारित करें।
- चरण 3: पहले तीन अंकों के समूह पर विचार करें। इसे "n" मान लें।
- चरण 4: निर्धारित करें कि यह संख्या किन दो वर्गों के बीच स्थित है, √a 2 < n < √b 2। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि a < n < b. इस प्रकार, वांछित वर्गमूल का दहाई अंक "a" है।
- चरण 5: वर्गों के चार्ट में, केवल दो ऐसे अंक हैं जिनके वर्ग दोहराते नहीं हैं, अर्थात् 5 और 10। जांचें कि क्या चरण 2 में प्राप्त इकाई अंक इनमें से कोई है।
- चरण 6: एक बार यह जांचने के बाद कि प्राप्त संख्या 5 या 10 है, तो उन्हें वैसे ही लिखें, अन्यथा हम नीचे दिए गए चरणों का उपयोग करके इकाई अंक निकालते हैं।
यदि चरण 2 में प्राप्त इकाई अंक 5 या 10 के अलावा है तो इकाई अंक ज्ञात करने के चरण निम्न हैं:
- चरण 7: अब, a और b को गुणा करें।
- चरण 8: यदि ab≤ n, तो b चुनें, अन्यथा a चुनें।
उदाहरण: 10816 का वर्गमूल खोजें।
समाधान: 10816 के वर्गमूल को निर्धारित करने के लिए कदम हैं:
- 10816 के अंक को इस प्रकार जोड़ा गया है: 108 16।
- 10816 का इकाई अंक 6 है। इसलिए, वर्गमूल लेने के बाद संभावित इकाई अंक 4 और 6 हो सकते हैं।
- जब हम 10816 के पहले तीन अंकों पर विचार करते हैं, अर्थात् 108।
- संख्या 108 दो पूर्ण वर्गों 100 और 121 के बीच स्थित है, अर्थात 100 < 108 < 121 जिसे 10 2 < 108 < 11 2 के रूप में लिखा जा सकता है । इसलिए, 10816 के वर्गमूल का दहाई अंक 10 है क्योंकि 10 < 11.
- चरण 2 में प्राप्त संख्या 4 और 6 है। संख्या 104 या 106 हो सकती है। 108, 102 और 112 के बीच है। उनका गुणनफल 110 देता है।
- चूंकि 110 > 108 है, 10816 का वर्गमूल 104 और 106 में से छोटा, जो कि 104 है।
घनमूल खोजना
इकाई अंकों को याद रखना
सबसे पहले, हमें 1 से 10 तक के घनों और उनके यूनिट अंकों को याद रखना होगा। नीचे दी गई चित्र में 1 से 10 तक के संख्याओं के घनों के यूनिट अंक (दाईं ओर) दिखाए गए हैं।
1 = 1
2 = 8
3 = 7
4 = 4
5 = 5
6 = 6
7 = 3
8 = 2
9 = 9
10 = 0
अब उपरोक्त संदर्भ में हम निश्चित रूप से कह सकते हैं कि:
जब भी किसी संख्या का यूनिट अंक 9 होता है, तो उस संख्या के घन का यूनिट अंक भी 9 होगा। इसी प्रकार, यदि किसी संख्या का यूनिट अंक 9 है, तो उस संख्या की घनमूल का यूनिट अंक भी 9 होगा। इसी प्रकार, यदि किसी संख्या का यूनिट अंक 2 है, तो उस संख्या के घन का यूनिट अंक 8 होगा और इसके विपरीत, यदि किसी संख्या का यूनिट अंक 8 है, तो उस संख्या की घनमूल का यूनिट अंक 2 होगा। इसी तरह, यह अन्य संख्याओं के यूनिट अंकों पर भी लागू होगा।
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महत्वपूर्ण सूत्र: वर्गमूल और घनमूल
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1. शेष अंकों से घनमूल निकालना
आइए इसे एक उदाहरण की सहायता से समझते हैं। ध्यान दें कि यह विधि केवल तभी काम करती है जब दी गई संख्या एक पूर्ण घन हो।
474552 का घनमूल निकालें।
- 474552 का यूनिट अंक 2 है। इसलिए हम कह सकते हैं कि इसका घनमूल का यूनिट अंक 8 होगा।
- अब हम शेष अंकों से 447552 का घनमूल निकालते हैं।
- चलिए अंतिम 3 अंकों को छोड़कर शेष अंकों पर विचार करते हैं। यानि 474।
- चूंकि 474, 7 और 8 के घनों के बीच आता है।
- इसलिए घनमूल का दसवां अंक निश्चित रूप से 7 होगा।
यानि 474552 का घनमूल 78 होगा।
आइए एक और उदाहरण लेते हैं।
250047 का घनमूल निकालें।
- चूँकि संख्या का इकाई अंक 7 है, इसलिए घनमूल में इकाई अंक 3 होगा।
- अब हम 250 पर विचार करेंगे।
- चूँकि, 6 3 < 250 < 7 3 , अतः दहाई का अंक 6 होगा
- अतः हम संख्या का घनमूल 63 पाते हैं।
2. 25 - 50 के बीच की संख्याओं के लिए
समय बचाने की तकनीकें प्रतियोगी परीक्षाओं में गुणात्मक प्रश्नों से निपटने के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण हैं, जो दिए गए सामग्री में अनुपस्थित हैं।
कई बार हमें किसी संख्या का वर्ग ज्ञात करना होता है और यह 30 से अधिक याद रखना मुश्किल हो जाता है। तो, यहाँ एक ट्रिक है…..
मान लीजिए, हमें 47 का वर्ग ज्ञात करना है।
चरण 1: यदि संख्या 25 और 50 के बीच है।
यह पता करें कि दी गई संख्या 47 से कितनी छोटी है। उपरोक्त मामले में, यह 3 है।
चरण 2: इस संख्या का वर्ग एकाइ और दस स्थान पर इस प्रकार लिखें। 3 का वर्ग 9 है।
यह एक एकल अंक संख्या है, इसलिए हम इसे 09 के रूप में लिख सकते हैं।
चरण 3: दी गई संख्या और 25 के बीच का अंतर ज्ञात करें।
47 - 25 = 22
इसलिए, 47 का वर्ग 2209 होगा।
यह 25 और 50 के बीच किसी भी संख्या के वर्ग के लिए सत्य है।
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3. 51 - 75 के बीच की संख्याओं के लिए
उदाहरण: 73 का वर्ग
चरण 1: संख्या (73) और 50 के बीच का अंतर ज्ञात करें, जो 23 है।
चरण 2: अंतर का वर्ग ज्ञात करें, 23² = 529। अंतिम दो अंकों को अलग रखें, जो 73 के वर्ग के अंतिम दो अंक होंगे।
चरण 3: उस संख्या के बीच का अंतर ज्ञात करें जिसके लिए हमें वर्ग ज्ञात करना है और इस अंतर में 5 जोड़ें (जो अंतर के वर्ग का पहला अंक है)।
⇨ (73 - 25) + 5 = 53। यह संख्या वर्ग के पहले दो अंक होगी।
73 का वर्ग = 5329 होगा।
4. 76 - 100 के बीच की संख्याओं के लिए
उदाहरण: 88 का वर्ग
चरण 1: संख्या को 100 से घटाएँ। (100 - 88 = 12)
चरण 2: प्राप्त संख्या का वर्ग निकालें। 122 = 144
इस संख्या के वर्ग के अंतिम दो अंक, 88 के वर्ग के अंतिम 2 अंकों के समान होंगे।
चरण 3: पहले दो अंक, 12 के वर्ग के पहले अंक को जोड़कर प्राप्त होंगे। यानी 1 और 88 और 12 के बीच का अंतर (88 - 12 = 76)
76 + 1 = 77
संख्या 88 का वर्ग होगा = 7744
87 का वर्ग = (87 - 13)…….132
74…………….69
7569
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FAQs on महत्वपूर्ण सूत्र: वर्गमूल और घनमूल - Quantitative Aptitude/संख्यात्मक योग्यता - Bank Exams
| 1. वर्गमूल क्या होता है और इसे कैसे निकाला जाता है? |  |
| 2. घनमूल क्या है और इसे कैसे निकाला जाता है? | |
Ans. घनमूल एक ऐसी संख्या है, जो जब तीन बार अपने आप से गुणा की जाती है, तो मूल संख्या प्राप्त होती है। इसे निकालने के लिए हम किसी संख्या को ∛ (घनमूल का चिन्ह) का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, ∛27 = 3 क्योंकि 3 × 3 × 3 = 27।
| 3. वर्गमूल और घनमूल में क्या अंतर है? | |
Ans. वर्गमूल एक संख्या का वह मान है, जो दो बार अपने आप से गुणा करने पर मूल संख्या देता है, जबकि घनमूल एक संख्या का वह मान है, जो तीन बार अपने आप से गुणा करने पर मूल संख्या देता है।
| 4. क्या सभी संख्याओं का वर्गमूल और घनमूल होता है? | |
Ans. नहीं, सभी संख्याओं का वर्गमूल और घनमूल नहीं होता। केवल सकारात्मक संख्याओं का वर्गमूल और घनमूल होता है। शून्य का वर्गमूल और घनमूल भी होता है, लेकिन नकारात्मक संख्याओं का वास्तविक संख्या में वर्गमूल नहीं होता।
| 5. वर्गमूल और घनमूल निकालने के लिए कौन से सूत्रों का उपयोग किया जा सकता है? | |
Ans. वर्गमूल निकालने के लिए √x = x^(1/2) और घनमूल के लिए ∛x = x^(1/3) का उपयोग किया जा सकता है। इसके अलावा, कुछ संख्याओं के लिए विशेष संख्याओं के वर्ग और घनमूल ज्ञात होते हैं, जैसे कि 1, 4, 9, 16 आदि के लिए।
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Mar 29, 2025
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