महत्वपूर्ण अवधारणाएँ: संख्या प्रणाली | Quantitative Aptitude/संख्यात्मक योग्यता - Bank Exams PDF Download

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परिचय

• एक प्रणाली कुछ सिद्धांतों या प्रक्रियाओं का एक सेट है, जिसके अनुसार कुछ किया जाता है। संख्या प्रणाली एक सिद्धांतों का सेट है जिसके अनुसार संख्याओं का प्रतिनिधित्व किया जाता है और उन पर विभिन्न अंकगणितीय संचालन जैसे जोड़, घटाव, गुणा आदि लागू किए जाते हैं। यह विभिन्न अंकों और प्रतीकों के उपयोग के लिए बुनियादी नियम निर्धारित करता है।
• जब हम सिद्धांतों को बदलते हैं, तो हमें संख्या प्रणाली का एक नया सेट मिलता है। इससे विभिन्न प्रकार की संख्या प्रणालियाँ उत्पन्न होती हैं।
• संख्या प्रणालियों के कुछ उदाहरण हैं: संख्या प्रणालियों के प्रकार
  • (i) आधार को उन अंकों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिनका उपयोग हम संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए करते हैं।
  • (ii) अंक वे उपकरण हैं जिनका उपयोग संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है।

हम अगले अध्यायों में विभिन्न संख्या प्रणालियों और उनके आधारों के बारे में चर्चा करेंगे। जो मानक संख्या प्रणाली हम दुनिया भर में उपयोग करते हैं, वह दशमलव संख्या प्रणाली है। दशमलव संख्या प्रणाली का आधार "10" है क्योंकि यह सभी संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए 10 अंक (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) का उपयोग करती है।

मुख्य मान और स्थान मान

• मुख्य मान: किसी विशेष अंक का मान स्वयं को कहा जाता है। दशमलव संख्या प्रणाली में, हम ऊपर बताए गए 10 अंकों का उपयोग करते हैं। जहां भी उपयोग किया जाता है, मुख्य मान वही रहता है। उदाहरण: 568 और 1285 में 5 का मुख्य मान 5 है, और यहाँ तक कि 58738 में भी।
• स्थान: किसी संख्या का स्थान मान उस स्थान पर निर्भर करता है जहाँ वह स्थित है। विभिन्न स्थान और दशमलव संख्या प्रणाली में स्थान के समकक्ष गुणांक नीचे सूचीबद्ध हैं। हम सबसे बाईं ओर से शुरू करेंगे और दाएं स्थानों के अनुसार आगे बढ़ेंगे। उदाहरण: संख्या 786543 के लिए।

• किसी विशेष संख्या प्रणाली में किसी अंक का स्थान मान उस अंक के मुख्य मान को उसके समकक्ष स्थान से गुणा करके परिभाषित किया जाता है। दशमलव प्रणाली में, स्थान का मान ऊपर दिए गए तालिका में जैसा होगा। उदाहरण: 568 में 5 का स्थान मान 500 है, 1285 में 5 का स्थान मान 5 है, और 58738 में 5 का स्थान मान 50000 है।

इस अध्याय में हम संख्याओं, उनके गुण और उनके वर्गीकरण के बारे में चर्चा करेंगे। जैसा कि पहले चर्चा की गई थी, ये सभी गुण केवल दशमलव संख्या प्रणाली तक सीमित होंगे क्योंकि यही सभी पूछे गए प्रश्नों का आधार है। इस अध्याय में चर्चा की गई अवधारणाएँ किसी भी प्रवेश परीक्षा को पास करने के लिए गणित की आवश्यकताओं की सामान्य समझ के लिए आपका पहला कदम होंगी। जैसे-जैसे हम आगे बढ़ेंगे, आप महसूस करेंगे कि आपने पहले से ही अधिकांश इन अवधारणाओं को स्कूल में सीखा है।

संख्याओं के प्रकार

1. प्राकृतिक संख्या

गणित का प्राथमिक अनुप्रयोग गणना करना है। यहीं से संख्याओं का पहला वर्ग आता है, अर्थात् प्राकृतिक संख्याएँ या सामान्यतः जिन्हें गणना संख्याएँ कहा जाता है।

प्राकृतिक संख्याओं की विशेषताएँ

• ये पूर्ण संख्याएँ हैं, अर्थात् अंश/दशमलव शामिल नहीं हैं।
• शून्य शामिल नहीं है।
• ऋणात्मक संख्याएँ शामिल नहीं हैं।
• इन्हें "N" द्वारा दर्शाया जाता है।
• N = {1, 2, 3, 4, 5.........अनंत}

2. पूर्ण संख्याएँ

प्राकृतिक संख्याएँ और 0 मिलकर संख्याओं का एक सेट बनाते हैं जिसे पूर्ण संख्याएँ कहा जाता है। चूंकि '0' किसी चीज़ की अनुपस्थिति का प्रतिनिधित्व करता है और इसे गणना के लिए उपयोग नहीं किया जाता है, इसलिए इन्हें गणना संख्याएँ नहीं कहा जाता।

पूर्ण संख्याओं की विशेषताएँ

• ये पूर्ण संख्याएँ हैं, अर्थात् अंश/दशमलव शामिल नहीं हैं।
• शून्य शामिल है।
• ऋणात्मक संख्याएँ शामिल नहीं हैं।
• इन्हें "W" द्वारा दर्शाया जाता है।
• W = {0, 1, 2, 3, 4, 5.........अनंत}।

3. पूर्णांक

जो संख्याएँ 'शून्य' से कम होती हैं, उन्हें ऋणात्मक चिह्न के साथ दर्शाया जाता है और इन्हें ऋणात्मक संख्याएँ कहा जाता है। पूर्ण संख्याएँ, साथ ही प्राकृतिक संख्याओं के ऋणात्मक रूप, संख्याओं के एक सेट का निर्माण करते हैं जिन्हें पूर्णांक कहा जाता है।

पूर्णांकों की विशेषताएँ

• ये पूर्ण संख्याएँ हैं, अर्थात् अंश/दशमलव शामिल नहीं हैं।
• शून्य शामिल है।
• ऋणात्मक संख्याएँ शामिल हैं।
• इन्हें "I" द्वारा दर्शाया जाता है।
• I = {-अनंत.......-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ......... अनंत}।

4. भिन्न

शब्द ‘भिन्न’ लैटिन ‘fractus’ से लिया गया है जिसका अर्थ है “टूटा हुआ”। भिन्न एक पूरे का भाग दर्शाती है। जब हम एक पूरे को टुकड़ों में विभाजित करते हैं, तो प्रत्येक भाग पूरे का एक भिन्न होता है। उदाहरण: 1/2, 3/5, 2/7, 10/21

एक भिन्न के दो भाग होते हैं। रेखा के ऊपर का संख्या को संख्यक कहा जाता है। रेखा के नीचे का संख्या को हर कहा जाता है।

भिन्नों के प्रकार

भिन्नों को सामान्यतः प्रतिनिधित्व के आधार पर दो प्रकारों में विभाजित किया जाता है:

• सरल भिन्न उदाहरण: 30/7
• मिश्रित भिन्न उदाहरण:

5. दशमलव संख्याएँ

ये भिन्नों के प्रतिनिधित्व का एक रूप हैं। हम हर के मान को एकता, अर्थात् "1" बनाते हैं। ये दोनों नकारात्मक और सकारात्मक हो सकते हैं। उदाहरण: 2.5, 1.25, 1.3333 ......., 2.666....., 2.8284.....

दशमलव संख्याओं के प्रकार

दशमलव संख्याएँ मुख्यतः दो श्रेणियों में विभाजित की जाती हैं:

• समापन दशमलव संख्याएँ - निश्चित अंत वाली दशमलव संख्याएँ। उदाहरण: 2.5, 1.25
• असमापन दशमलव संख्याएँ - निश्चित अंत के बिना वाली दशमलव संख्याएँ। उदाहरण: 1.3333 ......., 2.666....., 2.8284.....

असमापन दशमलव संख्याएँ आगे दो श्रेणियों में विभाजित की जाती हैं:

• पुनरावृत्त असमापन दशमलव संख्याएँ: असमापन दशमलव संख्याएँ जिनमें दशमलव के बाद के अंकों का पुनरावृत्ति होती है।
• गैर-पुनरावृत्त असमापन दशमलव संख्याएँ: असमापन दशमलव संख्याएँ जिनमें दशमलव के बाद के अंक पुनरावृत्त नहीं होते हैं बल्कि पूरी तरह से यादृच्छिक पैटर्न होते हैं। ये असंगत संख्याएँ हैं जिनके बारे में हम इस अध्याय में आगे चर्चा करेंगे।

6. परिमेय संख्याएँ

वे सभी संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 हैं, उन्हें परिमेय संख्याएँ कहा जाता है। सभी पूर्णांक, भिन्न, समापन दशमलव संख्याएँ और असमापन पुनरावृत्त दशमलव संख्याएँ परिमेय संख्याओं की श्रेणी में आती हैं।

तार्किक संख्याओं का वर्गीकरण

7. असंगत संख्याएँ

वे सभी संख्याएँ जो तार्किक नहीं होती हैं, उन्हें असंगत संख्याएँ कहा जाता है। गैर-प्रतिस्थापित, गैर-समाप्ति दशमलव संख्याएँ असंगत संख्याएँ होती हैं। प्राकृतिक संख्याओं के वर्गमूल, घनमूल आदि असंगत संख्याएँ बन जाते हैं। उदाहरण: √3 = 1.7320.... , √8 = 2.8284 ......, 3√4 = 1.5874 .......

समाप्ति दशमलव संख्या को p/q रूप में परिवर्तित करना:

उदाहरण: 80.125 को p/q रूप में परिवर्तित करें

• गिनें कि दशमलव के बाद कितने अंक हैं, इस मामले में 3।
• दशमलव को हटाएँ और प्राप्त संख्या को चरण 1 में गिनती के अनुसार 10 के गुणांक से विभाजित करें। ⇒ 80.125 = 80125/1000 = 641/8

गैर-समाप्ति आवर्ती दशमलव संख्या को p/q रूप में परिवर्तित करना:

उदाहरण: 80. को p/q रूप में परिवर्तित करें।

• मान लें कि संख्या x के बराबर है ⇒ x = 80।
• गिनें कि दशमलव के बाद कितने अंक हैं, इस मामले में 3।
• दोनों पक्षों को 10 के गुणांक से गुणा करें, अर्थात 1000, इस मामले में। ⇒ 1000x = 80125।
• घटाएँ ⇒ 999x = 80045 ⇒ x = 80045 / 999

उदाहरण: 80.1 को p/q रूप में परिवर्तित करें।

• मान लें 80.1 = x।
• दोनों पक्षों को 100 से गुणा करें ⇒ घटाएँ ⇒ 99x = 7922.4

उपरोक्त उदाहरणों में हमने जो प्रक्रिया लागू की है, वह बहुत समय लेने वाली है। हमें एक ऐसा तरीका चाहिए जो इसी प्रक्रिया को बहुत कम समय में कर सके। इसके लिए हमारे पास एक सूत्र है जिससे आप एक ही चरण में उत्तर प्राप्त कर सकते हैं।

हर समाप्त होने वाली आवर्ती दशमलव संख्या में 3 भाग होते हैं: (उदाहरण के लिए: (i) दशमलव से पहले के अंक (80)। (ii) दशमलव के बाद बार के साथ अंकों की संख्या (2)। (iii) दशमलव के बाद बिना बार के अंकों की संख्या (1)।

राशि रूप: सभी अंकों को बिना दशमलव के एक बार लिखा जाता है - सभी अंकों को बिना बार के एक बार लिखा जाता है / जितने 9 हैं, उतने बार के साथ अंकों की संख्या के बाद दशमलव के बाद उतने 0 होते हैं, जितने बिना बार के अंकों की संख्या होती है।

उदाहरण: 80. को p/q रूप में परिवर्तित करें

• सभी अंकों को एक बार लिखा गया = 80125
• सभी अंकों को बिना बार के एक बार लिखा गया = 80
• दशमलव के बाद बार के साथ अंकों की संख्या = 3
• दशमलव के बाद बिना बार के अंकों की संख्या = 0
• राशि रूप = (80125 - 80) / 999 = 80045 / 999

उदाहरण: 80.1 को p/q रूप में परिवर्तित करें

• सभी अंकों को एक बार लिखा गया = 80125
• सभी अंकों को बिना बार के एक बार लिखा गया = 801
• दशमलव के बाद बार के साथ अंकों की संख्या = 2
• दशमलव के बाद बिना बार के अंकों की संख्या = 1
• राशि रूप = (80125 - 801) / 990 = 79324 / 990

8. वास्तविक संख्याएँ

• रैशनल संख्याएँ और अव्यक्त संख्याएँ मिलकर वास्तविक संख्याएँ बनाती हैं। परिभाषा के अनुसार, सभी संख्याएँ जो संख्या रेखा पर प्रदर्शित की जा सकती हैं, उन्हें वास्तविक संख्याएँ कहा जाता है।
• अब तक चर्चा की गई सभी श्रेणियाँ वास्तविक संख्याओं के सेट में आती हैं, जिनमें अव्यक्त संख्याएँ भी शामिल हैं। इन्हें भी संख्या रेखाओं पर प्रदर्शित किया जा सकता है।

9. काल्पनिक संख्याएँ

• वे सभी संख्याएं जो वास्तव में संख्या प्रणाली में मौजूद नहीं हैं, लेकिन गणनाओं के लिए उनकी उपस्थिति मानी जाती है, उन्हें काल्पनिक संख्याएं कहा जाता है।
• इनका प्रतिनिधित्व संख्या रेखाओं पर नहीं किया जा सकता। इन्हें जटिल संख्याएं भी कहा जाता है। उदाहरण: √−3, √−16, 4√−8

नोट: जटिल संख्याओं का अध्ययन अप्टीट्यूड परीक्षण के दृष्टिकोण से महत्वपूर्ण नहीं है। इसलिए, हम इस विषय को आगे नहीं बढ़ाएंगे।

10. विषम और सम संख्याएं

• सम संख्याएं वे होती हैं जो 2 से विभाज्य होती हैं। ये वे संख्याएं हैं जिनका इकाई अंक 2, 4, 6, 8 या 0 होता है। सम संख्याओं का सामान्य प्रदर्शन 2n है जहां n एक पूर्ण संख्या है।
• विषम संख्याएं वे होती हैं जो 2 से विभाज्य नहीं होती हैं। ये वे संख्याएं हैं जिनका इकाई अंक 1, 3, 5, 7 या 9 होता है। विषम संख्याओं का सामान्य प्रदर्शन 2n + 1 है जहां n एक पूर्ण संख्या है।

पूर्ण संख्याओं पर कुछ संचालन:

(i) विषम ± विषम = सम

(ii) सम ± सम = सम

(iii) विषम ± सम = विषम

(iv) सम ± सम ± सम ........... n पद = सम

(v) विषम ± विषम ± विषम .............. n पद = सम यदि n सम है, विषम यदि n विषम है

(vi) विषम × विषम = विषम

(vii) सम × विषम = सम

(viii) सम × सम = सम

(ix) सम × सम × सम ....... n पद = सम

(x) विषम × विषम × विषम ....... n पद = विषम

(xi) (सम)n = सम

(xii) (विषम)n = विषम

11. अभाज्य और समुच्चय संख्या

(a) अभाज्य संख्या: अभाज्यता एक प्राकृतिक संख्या की विशेषता है। वे सभी संख्या जो केवल 2 संख्याओं, अर्थात् स्वयं और एकता "1" द्वारा विभाज्य होती हैं।

उदाहरण: 2, 3, 5, 7, 11 आदि।

(b) समुच्चय वे संख्याएँ हैं जो 2 से अधिक संख्याओं, अर्थात् स्वयं, एकता "1" और कम से कम एक अन्य संख्या द्वारा विभाज्य होती हैं। उदाहरण: 4, 6, 8, 9, 10 आदि।

1 न तो अभाज्य है और न ही समुच्चय।

➢ अभाज्य संख्याओं की विशेषता

• सभी अभाज्य संख्याएँ जो 3 से बड़ी हैं, 6n ± 1 के रूप में होती हैं लेकिन 6n ± 1 के रूप के सभी संख्याएँ अभाज्य नहीं होती। यह विशेषता दर्शाती है कि जब 3 से बड़ी अभाज्य संख्याएँ 6 से विभाजित की जाती हैं, तो वे 1 या 5 का शेष छोड़ती हैं।

12. सह-प्रमुख संख्याएँ

• यह एक जोड़ी या दो से अधिक प्राकृतिक संख्याओं की विशेषता है। यदि केवल एक संख्या जो दोनों संख्याओं को पूर्ण रूप से विभाजित कर सकती है, वह 1 है, तो दो संख्याएँ सह-प्रमुख कहलाती हैं। 1 के अलावा कोई अन्य संख्या दोनों संख्याओं को विभाजित नहीं कर सकती।
• ये संख्याएँ अपने आप में अभाज्य या समुच्चय हो सकती हैं। 1 सभी प्राकृतिक संख्याओं के साथ सह-प्रमुख है, सिवाय 1 के। उदाहरण: (3, 7); (4, 15); (3, 10) आदि।
• यदि किसी संख्याओं के समूह का HCF 1 है, तो कहा जाता है कि वे सह-प्रमुख हैं। हम अगले अध्यायों में HCF के बारे में सीखेंगे। उदाहरण: (3, 7, 11); (4, 15, 10); (3, 10, 8) आदि।