Gauss Elimination and Back-Substitution - MATLAB Video Lecture | MATLAB Programming for Numerical Computation - Software Development

नमस्कार और संख्यात्मक
अभिकलन के लिए MATLAB
प्रोग्रामिंग (MATLAB
programming for numerical computations) में
आपका स्वागत है।
हम सप्ताह संख्या
4 में हैं।
इस सप्ताह में हम
रैखिक समीकरणों (linear
equations) को कवर कर रहे
हैं।
व्याख्यान 4.2 में,
हम रैखिक समीकरणों
(linear equations) को हल करने
के सबसे लोकप्रिय
तरीकों में से एक
को कवर करने जा रहे
हैं जिसे गॉस एलिमिनेशन
(Gauss Elimination) के रूप में
जाना जाता है।
आज के व्याख्यान
में हम गॉस एलिमिनेशन
(Gauss Elimination) तकनीक का
उपयोग करने जा रहे
हैं।
ठीक है, हम एक उदाहरण
लेते हैं।
यह दिखाने के लिए
कि हम इस समस्या को
कैसे हल करने जा रहे
हैं, उदाहरण के लिए
कम्प्यूटेशनल तकनीकों
से वीडियो कोर्स
मॉड्यूल 3 भाग 2 है
जिसके लिए लिंक यहाँ
पर दिया गया है ठीक
है।
तो ये 3 समीकरण और
3 अज्ञात हैं।
3 अज्ञात हैं X1, x2 और
x3 एक साथ वे एक वेक्टर
बनाते हैं जो कॉलम
वेक्टर है जिसमें
3 पंक्तियाँ ठीक हैं।
हम इस समीकरण को Ax
= b के रूप में लिखेंगे,
जहां एक मैट्रिक्स
1, 1, 1 के अलावा कुछ नहीं
होने वाला है; 2, 1, 3;
3, 4, -2 और हमारा b वेक्टर
4, 7, 9 होने जा रहा है,
पिछले व्याख्यान
में हमने देखा है
कि हम समाधान x को
खोजने के लिए MATLAB के
शक्तिशाली रैखिक
बीजगणित (linear algebra) का
उपयोग कर सकते हैं।
या तो inv (a) * b या बैकस्लैश
कमांड (backslash command) का
उपयोग करके, जो हम
आज करने जा रहे हैं,
वह इस रैखिक समीकरण
को हल करने के लिए
गॉस एलिमिनेशन (Gauss
Elimination) तकनीक का उपयोग
करना है।
और हम कहते हैं कि
gaussElim को संपादित करें
और यह वह है जिसे हम
गॉस एलिमिनेशन (Gauss
Elimination) का उपयोग करके
समस्या को हल करने
के लिए बनाने जा रहे
हैं।
हम चलें और समस्या
को देखें, हमारा a
1 1 1; 213 है. हम इसे 1 1 1
के रूप में लिखते
हैं; 2 1 3 और 3 4 -2।
हमारा b मैट्रिक्स
कुछ भी नहीं है लेकिन
हमें वापस जाने दें
और 4, 7, 9 बी देखें 4; 7;
9 ठीक है।
हमें इसे save करने और
इसे run करने से हम a
और b प्राप्त कर सकते
हैं।
और हमारा x कुछ भी
नहीं है, बल्कि a \b
है और यह हमारा x है
जो 1 2 1 है।
इसलिए यह MATLAB के बैकस्लैश
कमांड (backslash command) का
उपयोग करके हमारी
समस्या का समाधान
है।
। ठीक है कि हम क्या
करना चाहते हैं, गॉस
एलिमिनेशन (Gauss Elimination)
का उपयोग करके इस
समस्या को हल करना
है।
इसलिए गॉस एलिमिनेशन
(Gauss Elimination) में पहला
कदम ऑगमेंटेड मैट्रिक्स
(augmented matrix) बनाना है।
और हम आगे बढ़ें और
ऐसा करें।
हमें पहले comments करने
दें।
Ax = b, naïve गॉस एलिमिनेशन
(Gauss Elimination) हल करें।
और ऑगमेंटेड मैट्रिक्स
(augmented matrix) Ab = A, b और हम
इसे अर्धविराम के
साथ end करेंगे।
ठीक है चलो ठीक है।
अब प्रत्येक चरण
A (i, i) पर धुरी तत्व
(pivot element) है।
इसलिए पहले हमारे
पास धुरी तत्व (pivot
element) के रूप में A (1,1)
होगा और फिर धुरी
तत्व (pivot element) के रूप
में A (2,2) और अंत में
A (3,3) धुरी तत्व (pivot element)
के रूप में होगा।
हमें मुख्य रूप से
A (3,3) के साथ कुछ नहीं
करना है क्योंकि
A (3,3) पंक्ति संख्या
3 अंतिम पंक्ति है।
हमें वास्तव में
यह A (1,1) धुरी तत्व (pivot
element) के रूप में करना
चाहिए।
हां, हमारे पास इसके
साथ गणना का एक सेट
होगा।
हमारे पास A (2,2) के साथ
धुरी तत्व (pivot element)
के रूप में और A (3,3)
के साथ धुरी तत्व
(pivot element) के रूप में
गणना होगी।
हम कहते हैं कि गॉस
एलिमिनेशन (Gauss Elimination),
ध्यान दें कि जब मैंने
2 प्रतिशत संकेतों
का उपयोग किया है,
तो इसने इस विशेष
कोड में एक अनुभाग
बनाया है।
और इसके साथ यहाँ
पर enter कर दें।
अब हम अगले चरण करने
के लिए तैयार हैं।
तो धुरी तत्व (pivot element)
के रूप में A (i, i) के
साथ क्या चरण है?
तो आइए हम कहते हैं
A (1, 1) धुरी तत्व (pivot
element) के रूप में हम
उस Pivot कॉलम में 0 बनाना
चाहते हैं जिसका
अर्थ स्तंभ संख्या
1 में है।
इसलिए यहाँ पर कॉलम
1 मूल रूप से 2, 1, 3 है।
इसलिए हम क्या करने
जा रहे हैं है, हम
पंक्ति संख्या 2 से
2 बार पंक्ति 1 घटाना
चाहते हैं।
इसलिए हमें पंक्ति
संचालन का उपयोग
करने की आवश्यकता
है।
यदि पंक्ति 2, नई पंक्ति
2 पंक्ति 2 होने जा
रही है, तो पुरानी
पंक्ति 2-अल्फ़ा (alpha)
गुणा पंक्ति 1 जहाँ,
अल्फ़ा (alpha) A (2,1) A (1,1),
A (2,1) से विभाजित है
जो 2 विभाजित A(1,1) है
जो 1.
है।
इसलिए यह 2 के बराबर
अल्फा (alpha) देने वाला
है और पंक्ति 2-2 * पंक्ति
1 हमारा पहला चरण होने
जा रहा है।
तो चलिए हम MATLAB में
अल्फ़ा (alpha) = A (2,1) कहते
हैं, जो कि A (1,1) द्वारा
विभाजित दूसरी पंक्ति
का पहला कॉलम है।
हम वापस जाते हैं
और देखते हैं कि वास्तव
में, हमारे पास αi,j
क्या है, A (i, i) से विभाजित
A (j, i) के बराबर होने
जा रहा है।
इसलिए A (2,1) A (1,1) द्वारा
विभाजित और A (3,1) A (1,1)
द्वारा विभाजित ठीक
है।
तो वह हमारा अल्फ़ा
(alpha) है।
हमारी पंक्ति 2 = पंक्ति
2- अल्फा (alpha) बार पंक्ति
1 ठीक है।
यह एक सही तरीका नहीं
है, इसलिए हम पंक्ति
कैसे प्राप्त करते
हैं, हम पंक्ति कैसे
प्राप्त करेंगे?
और हम Ab मैट्रिक्स
की पंक्ति प्राप्त
करने जा रहे हैं और
जिस तरह से हम ऐसा
करने जा रहे हैं, आइए
हम वास्तव में इस
को कॉपी पेस्ट (copy
paste) करें, और हाँ, इसलिए
हमारे पास यह Ab मैट्रिक्स
है।
तो, आप पंक्ति संख्या
2 कैसे प्राप्त करेंगे?
Ab का पंक्ति संख्या
2 पंक्ति (2, :) के अलावा
और कुछ नहीं है।
इस command द्वारा संपूर्ण
पंक्ति संख्या 2 निकाली
जाएगी।
यह हमें मिलता है।
तो यह पंक्ति 2 है।
पंक्ति 1 क्या है?
पंक्ति 1 Ab (1, :) ठीक है।
तो, पंक्ति 1 से अल्फा
(alpha) को गुणा क्या है?
पंक्ति 1 से गुणा किया
गया अल्फा (alpha), 2*Ab (1,
:) होने वाला है और
जब हम ऐसा करते हैं,
तो हमें जो मिलता
है वह 2*पंक्ति 1 होता
है।
हम जो करना चाहते
हैं वह पंक्ति 2-2*पंक्ति
1 और इसे पंक्ति 2 में
असाइन किया जाता
है।
इसलिए Ab (2, :), Ab (2, :) के
बराबर होने जा रहा
है जिसका अर्थ पंक्ति
2 = पंक्ति 2- अल्फा
(alpha)*पंक्ति 1 है।
और पंक्ति 1 Ab(1, :) थी।
यह पंक्ति 1 लिखें,
जो मैंने यहाँ पर
लिखी है।
अल्फा(alpha) मान 2 है,
यह वही है जो मैंने
यहाँ पर लिखा है, पंक्ति
2 Ab (2, :) है, जो कि मैंने
यहाँ पर लिखी है और
यह अभिव्यक्ति Ab (2
,:) को दी गई है।
तो मुझे इसे काटने
(cut) दो, यहाँ वापस जाओ
और इसे पेस्ट (paste) करें।
तो यह कुछ नहीं बल्कि
पंक्ति 2- अल्फा(alpha)*पंक्ति
1 है।
यह हमारे साथ अच्छा
है।
आगे हम क्या करना
चाहते हैं, हम पंक्ति
3 के साथ दोहराना चाहते
हैं।
जैसा कि हमने यहां
देखा है।
हम 0 के पूरे पिवट
कॉलम (pivot column) को बनाने
के लिए पिवट एलिमेंट
(pivot element) का उपयोग करते
हैं, पंक्ति 1 का उपयोग
करते हुए पूरे कॉलम
1 हम यहां 0 और यहां
0 बनाने जा रहे हैं।
इसलिए हमें अब दोहराने
की आवश्यकता है कि
पंक्ति संख्या 2 के
लिए।
और जिस तरह से हम करने
जा रहे हैं वह कुछ
भी नहीं है, लेकिन
अल्फा 3, 2/a होने जा
रहा है, क्षमा करें,
3, 1 /a 1, 1।
ध्यान दें कि केवल
पंक्ति संख्या बदल
रही है।
पंक्ति संख्या 2 से
3 में बदल गई है और
हम यहां से 2 से 3 के
बीच बदल गए हैं और
-अल्फा(alpha)* पंक्ति
संख्या क्या है, यह
पंक्ति 3 = पंक्ति
3- अल्फा(alpha)*पंक्ति
1 है।
इसलिए धुरी तत्व
(pivot element) के रूप में
A (1, 1) के साथ आवश्यक
गणना है और हमने यहाँ
पर किया है।
तो वह पहला कदम है।
अब हमें कॉलम संख्या
2 के लिए इसे दोहराने
की आवश्यकता है।
तो अब इसके अंत में
क्या होगा?
हम प्राप्त करने
जा रहे हैं, हम 1 1 1 प्राप्त
करने जा रहे हैं।
यह आदमी 0 होने जा
रहा है, यह आदमी संशोधित
संख्या और इतने पर
और आगे होने वाला
है।
यह फिर से 0 होने जा
रहा है और इसके लिए
हमारे पास कुछ संख्याएँ
हैं।
हमें यह करने दो।
हमें इसे save करें,
run करें और देखें कि
अब हमें क्या मूल्य
मिल रहा है और अगर
हमें कोई एरर (error) मिल
रही है तो ठीक है,
अच्छा है।
इसलिए हमारी कोई
एरर (error) नहीं है।
स्क्रीन को क्लियर
करें और Ab टाइप करें।
तो हमने पहले चकण
के अंत में जो कुछ
किया है वह A (1,1) के
साथ है क्योंकि हमने
उस धुरी स्तंभ (pivot
column) में 0 को स्तंभ
संख्या 1 में, पंक्ति
2, 3 और इसी तरह से 0 प्राप्त
किया है।
हमने यहाँ पर 0 प्राप्त
किया है।
तो वह पहला कदम है।
अब दूसरा चरण होने
जा रहा है, इसे 0 में
परिवर्तित करने के
लिए A (2, 2) का प्रयोग
पिवट एलिमेंट (pivot
element) के रूप में, हम
A(2, 2) के साथ रो ऑपरेशन्स
(row operations) को पिवट एलिमेंट
(pivot element) के रूप में
उपयोग करने जा रहे
हैं, और हमें चलते
हैं MATLAB पर वापस जाएं।
हमें वह करने दो।
इस मामले में अब अल्फा
(alpha) A (2, 2) से विभाजित
होने जा रहा है और
क्या कुछ होने वाला
है।
यह पंक्ति संख्या
3 होने वाली है।
हम यहाँ क्या करना
चाहते हैं, हम इस लड़के
को 0 के बराबर पाने
के लिए पंक्ति 2 का
उपयोग करना चाहते
हैं।
अल्फा(alpha) इस आदमी
को इस आदमी द्वारा
विभाजित किया जा
रहा है।
तो यह A (3,2) A (2,2) से विभाजित
है।
तो यह एक 3 खेद है, 3,
2 ठीक है।
फिर से उन समीकरणों
के साथ जो हमने एक
मिनट पहले देखे थे।
यह यहाँ पर अल्फा
(alpha) का मान है और हमारे
Ab (3, :) का मान Ab(3, :) - अल्फा
(alpha)*Ab के अलावा और कुछ
नहीं होने वाला है।
और इस समय यह है (2,
:)। क्यों कि धुरी
तत्व (pivot element) के रूप
में A (2, 2) के साथ हमारा
समीकरण r3- अल्फा (alpha)*r2
ठीक था।
तो r3 यह लड़का r3- अल्फा
(alpha)*r2 के बराबर है और
यही वह है जो हम यहाँ
प्राप्त करते हैं।
तो चलिए इसे save करें
run करें और इसे run करते
हैं और देखते हैं
कि हमें अपने मैट्रिक्स
Ab ठीक है।
ऊप्स! यह कुछ गलत है
और हमें वापस जाने
दें और जांचें कि
हमने क्या गलत किया।
अल्फा (alpha) के बराबर
होने जा रहा है, मुझे
क्षमा करें, यह एक
समस्या है जो मुझे
यहां पर Ab का उपयोग
करना चाहिए और ठीक
नहीं है।
इसलिए मुझे जो कुछ
भी बदलना है उसे सही
से बदलें।
और यहाँ पर अल्फा
(alpha) को भी Ab होना चाहिए
क्योंकि हम संवर्धित
मैट्रिक्स (augmented matrix)
के साथ काम कर रहे
हैं ठीक है।
क्योंकि यह निचले
त्रिकोणीय रूप में
है, हमें वास्तव में
धुरी तत्व (pivot element)
A(3,3) के साथ कुछ भी करने
की आवश्यकता नहीं
है।
तो उफ़! हाँ, मुझे
यहाँ से जाने दें
और इस भाग को धुरी
तत्व (pivot element) से हटा
दें।
और यह हमारे गॉस एलिमिनेशन
(Gauss Elimination) का अंत है।
हमने यहां पर गॉस
एलिमिनेशन (Gauss Elimination)
के साथ काम किया है।
हमने क्यों सोचा
कि हम सिर्फ 2 कदम
हैं क्योंकि हमारे
पास 3/3 मैट्रिक्स
ठीक था।
अगला कदम वापस प्रतिस्थापन
(back substitution) होने जा रहा
है।
अब हम जो करते हैं
उसे वापस प्रतिस्थापन
(back substitution) के संबंध
में, हमारे पास अपने
अंतिम समीकरण हैं
जैसे कि, हम MATLAB पर
वापस जाते हैं और
यह जाँचते हैं, हमारा
अंतिम समीकरण है
- 4 x3 = - 4.
तो x3 बस इस आदमी को
विभाजित करने वाला
है इस आदमी द्वारा
ठीक है।
तो हमारा x3 ठीक 1 के
बराबर होने वाला
है।
फिर हम दूसरे अंतिम
समीकरण पर जाते हैं,
दूसरा अंतिम समीकरण
है - 1x2 + 1 x3 = -1 से गुणा।
हम इसे दाहिने हाथ
की ओर ले जाते हैं
और A (2,2) से विभाजित
करते हैं और यह x2 के
लिए हमारा समाधान
होने जा रहा है और
फिर हम X1 खोजने के
लिए x2 और x3 का उपयोग
करते हैं।
यही वह प्रक्रिया
है जिसका हम उपयोग
करने जा रहे हैं।
तो हम ऐसा करते हैं।
तो हम x करने जा रहे
हैं।
तो x, हमारे समाधान
को आरंभिक रूप से
ठीक करें।
तो हमारा x3 कुछ भी
नहीं होने वाला है,
लेकिन Ab (3, end) जो अंतिम
छोर है, जिसका मूल
रूप से अंतिम कॉलम
और तीसरी पंक्ति
Ab (3, end) Ab (3,3) से विभाजित
है।
यह x3 का मान है।
फिर से हमें x3 के संबंध
में क्या मिलेगा,
Ab (3,3) भाजक (denominator) है
और Ab (3, end) अंश है Ab (3,
end) अंश (numerator) है और Ab
(3,3) denominator है जो हमारे
x3।
हमारा x2 कुछ भी नहीं
है लेकिन Ab (2, end) सही
है।
Ab पंक्ति 2 और अंतिम
कॉलम Ab (2, end) - Ab (2, 3)* x3 है।
यह अंश (numerator) होने
जा रहा है, इसलिए हम
अंश (numerator) को Ab (2,2) से
विभाजित होने वाली
कोष्ठक में डाल देंगे,
जो कि हमारा x2 होने
वाला है और हमारा
X1 केवल इसे कॉपी करने
वाला है और हमें इसे
पूरा करना होगा हर
जगह 2 से 1 में परिवर्तन
और बाकी सब कुछ समान
रहता है।
तो (1, end) - Ab (2, 3)* x3 से बदलकर
Ab (1, 3)* x3 किया जाएगा
और हम ऐसा करेंगे।
हम x2(1, 2) से Ab (1, 2)*x2 जोड़ने
जा रहे हैं, ठीक है।
तो आइए देखें कि हमने
क्या किया है।
हमने यहाँ पर जो किया
है, वह पहला लड़का
X1 है (1, end) - Ab (1,3)*x3 - Ab (1,2)*
x2 है और यह वास्तव
में है जो हमने किया
है हमारे MATLAB में यहाँ
ठीक है।
और यही हमें समाधान
देगा।
एक बार मैंने denominator
भी ठीक कर दी।
ध्यान रखें कि मेरे
पास यहाँ एक आंतरिक
ब्रैकेट है और फिर
यहाँ पर एक बाहरी
ब्रैकेट है।
और इसे save करें।
हम इसे run करते हैं
और हम जाँचते हैं
कि समाधान मिले हैं
या नहीं हमारे x का
मान 1, 2, 1 है जो बैकलैश
(backslash) के समान था।
तो यह हमारा गॉस एलिमिनेशन
(Gauss Elimination) उस तरह से
काम कर रहा है जिस
तरह से हम इसे ठीक
करने के लिए चाहते
थे।
अब इसे बेहतर बनाने
के लिए हमें कुछ समय
देना चाहिए।
इससे हमारा मतलब
यह है कि MATLAB में एक
बहुत शक्तिशाली रैखिक
बीजगणित (linear algebra) setup
उपकरण (tools) हैं और हमें
वास्तव में इसे लिखने
की आवश्यकता नहीं
है।
हमने इसे अभी लिखा
है।
हमें जो करने की आवश्यकता
है, उसे हमें एक लूप
में डालने की आवश्यकता
है।
सबसे पहले हम इस समीकरण
को देखें।
आइए हम इस अंश (numerator)
को कॉपी करें जो ब्रैकेट
में था और इसे यहाँ
पेस्ट करें।
मुझे बस कुछ स्थान
देना चाहिए ताकि
हमारे लिए ठीक जाँचना
थोड़ा आसान हो जाए।
तो हमारे पास Ab(1, end)
है - चीजों का गुच्छा
ठीक है।
तो आइए हम Ab (1, end) को
स्क्रॉल (scroll) पर रखें।
हमें उस हिस्से के
बारे में चिंता करने
की जरूरत नहीं है।
आइए हम उस चीज को देखें
जो कि कोष्ठक में
थी।
वह Ab (1,3) * x3 + Ab (1,2) * x2 था।
इसलिए अगर मुझे Ab
1, 2 से 3 लिखना है तो
मुझे क्या करना है,
2 लोग Ab (1, 2) और Ab (1, 3) ठीक
है।
अगर मैं x 2: 3 लिखता
हूं और मैं अब वेक्टर
पाने जा रहा हूं जो
कॉलम वेक्टर है और
अगर हम इन 2 को गुणा
करते हैं, तो मुझे
जो मिलने वाला है
वह है Ab (1, 2) * x2 + Ab (1, 3)*X3
जो ठीक है, हमारे यहाँ
था।
तो मुझे इस आदमी के
साथ इस आदमी से गुणा
करने दें।
और वह Ab (1, 2) से 3*x2 से
3 करने जा रहा है और
हम यह जांचना चाहते
हैं कि क्या परिणाम
इस आदमी के समान है
कि परिणाम 3 के बराबर
है या नहीं।
तो हम एंटर दबाते
हैं और हम वास्तव
में पाते हैं।
हाँ, यह वही है जो
हमें मिलता है।
इसलिए, मुझे यहाँ
जाने दें और मैं ब्रैकेट
में उस चीज़ को बदलने
जा रहा हूँ जो हमने
कमांड प्रॉम्प्ट
(command prompt) में लिखी थी।
कमांड प्रॉम्प्ट
(command prompt) जो हमने लिखा
था, वह इसे कॉपी करता
है और इसे यहां पेस्ट
करता है।
अब अगर यह X1 का मान
है, तो यदि आपको 1+ 2
से 3 दिखाई देता है।
तो हम इसे केवल 1 + 1
के रूप में लिखेंगे,
ठीक है, n तक और ऊपर
जाएगा और हम n = 3.
लिखेंगे।
हमारे पास 3 समीकरण
होंगे इसलिए, मैं
इसे यहाँ पर लिखूंगा
और वास्तव में इसे
ले जाऊंगा और इसे
ठीक शीर्ष पर रख दूंगा।
तो 1 + 1 से n और 1 + 1 से
n जो Ab (1, 1) से विभाजित
है।
इसी तरह, हम जो करने
जा रहे हैं, वह है
Ab (2, 2+ 1) से लेकर n*Ab (2+
1 से n) ठीक है।
हम इस तरह से क्यों
लिख रहे हैं क्योंकि
अब हमारे पास यह x
3 से 3 जा रहा है और
यह हमारे लिए काफी
अच्छा है।
आइए इस n लूप (loop) को
i = 2 के लिए -1 से 1 end के
चरण में रखें।
End write end यह i होने जा
रहा है।
मैं यहाँ पर i के साथ
2 की जगह है।
हर जगह जहां 2 है, मैं
इसे i से बदल रहा हूं।
एक ही बात मैं यहाँ
पर करने जा रहा हूँ,
लेकिन हर जगह 1 है,
मैं उस i को प्रतिस्थापित
करने जा रहा हूँ।
अब हम इन 2 की तुलना
करते हैं।
हम जो देखेंगे, वह
यह है कि ये 2 भाव बिल्कुल
एक जैसे हैं, हम यह
लिखते हैं कि i, परिणाम
end loop में ठीक हैं।
उस के रूप में अगर
हम x3 के लिए ऐसा करने
के लिए थे।
जो हम प्राप्त करने
जा रहे हैं वह Ab (3, end)
- Ab (3, 3) + 1, 4 से 3 और 4 से
3 null है।
तो 4 से 3 कुछ भी नहीं
होने वाला है इसलिए
Ab (3, 3) से विभाजित Ab-
कुछ भी नहीं होने
जा रहा है।
तो मैं इसे हटा दूंगा
और मैं इसे 3 में बदल
दूंगा और gaussElim करूंगा।
और हम देखेंगे कि
हमारा x ठीक वैसा ही
है जैसा हम यहाँ पर
थे।
उसके साथ हम व्याख्यान
4.2 के अंत में आते हैं
और मैं आपको अगले
व्याख्यान में देखूंगा
धन्यवाद और अलविदा।
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