Tridiagonal Matrix Algorithm - MATLAB Video Lecture | MATLAB Programming for Numerical Computation - Software Development

नमस्कार और संख्यात्मक
अभिकलन के लिए MATLAB
प्रोग्रामिंग (MATLAB
programming for numerical computations) में
आपका स्वागत है।
हम मॉड्यूल नंबर
4 में हैं, और यह इस
मॉड्यूल का अंतिम
व्याख्यान है। मॉड्यूल
4 में हम A(x) = b के रैखिक
समीकरणों (linear equations)
को कवर करते हैं, जहां
A, n/n वर्ग मैट्रिक्स
है और बी एक n/1 कॉलम
वेक्टर है। इस व्याख्यान
में, हम एक विशेष प्रकार
के एल्गोरिथ्म (algorithm)
को कवर करने जा रहे
हैं, जिसे थॉमस एल्गोरिथ्म
(Thomas algorithm) या त्रिकोणीय
विकर्ण (tri-diagonal) मैट्रिक्स
एल्गोरिथ्म (algorithm)
के रूप में जाना जाता
है।
तो, आइए देखें कि त्रि-विकर्ण
(tri-diagonal) संरचना कैसी
दिखती है। यहाँ पर
दिखाया गया मैट्रिक्स
A है, त्रि-विकर्ण
(tri-diagonal) मैट्रिक्स
क्या दिखेगा। तो
मूल रूप से, विकर्ण
तत्व d1, d2, dn तक है, 1 उप
विकर्ण (sub-diagonal) पंक्ति
है जो l2, l3 तक ln है, और
1 सुपर विकर्ण (super diagonal)
है जो विकर्ण से 1
ऊपर है जो u, u2 तक un-1
है। इसे त्रि-विकर्ण
(tri-diagonal) संरचना के रूप
में जाना जाता है।
बहुत इंजीनियरिंग
समस्याओं की, एक त्रिकोणीय
विकर्ण (tri-diagonal) मैट्रिक्स
संरचना को कम करने,
या कभी-कभी हमारे
पास क्या है, जिसे
बैंडेड (banded) विकर्ण
संरचना के रूप में
जाना जाता है। त्रि-विकर्ण
(tri-diagonal), बैंड की चौड़ाई
(band width)= 3 के साथ बैंडेड
विकर्ण संरचना का
एक विशिष्ट उदाहरण
है। तो, आइए हम 1 विशेष
उदाहरण देखें, जहां
हमें त्रि-विकर्ण
(tri-diagonal) संरचना मिलती
है। यह उदाहरण कम्प्यूटेशनल
तकनीक पाठ्यक्रम
मॉड्यूल 3 भाग 5 से
है और जिसके लिए लिंक
यहां है।
यदि हमारे पास एक
रॉड (rod) है, जिसके माध्यम
से चालन हो रहा है,
तो रॉड (rod) का एक छोर
100 डिग्री सेल्सियस
पर आयोजित किया जाता
है और रॉड (rod) का दूसरा
छोर 25 डिग्री सेल्सियस
पर होता है, और यह
रॉड (rod) आसपास के वातावरण
में गर्मी खो रही
है, फिर सिस्टम के
लिए समग्र मॉडल, व्युत्पन्न
किया जा सकता है, इस
तरह से कुछ प्राप्त
करने के लिए।
अब यदि हम समीकरणों
के इस सेट (set) को हल
करना चाहते हैं, तो
हम संख्यात्मक विभेदन
(numerical differentiation) का उपयोग
कर सकते हैं जिसे
हमने मॉड्यूल 3 में
कवर किया है। और केंद्रीय
अंतर सूत्र (central difference
formula) इस प्रकार का
होगा। अब इसे बाएं
हाथ की ओर और दाहिने
हाथ की ओर प्रतिस्थापित
किया जाता है, गामा
(gamma) को T1 -25 से गुणा
किया जाता है। आप
इसे कई स्थानों के
लिए लिखते हैं जिसका
अर्थ है प्रारंभिक
बिंदु T1, अगला बिंदु
T2, T3 और इसी तरह Tn +1 तक
ठीक है। यदि आप ऐसा
करते हैं, तो आप इसे
बदल कर देंगे, यह विशेष
अंतर समीकरण (differential
equation), n अज्ञात में
n रेखीय समीकरण।
और ये, उदाहरण के लिए
रेखीय समीकरण (linear
equations), उदाहरण जो कि
हम कम्प्यूटेशनल
तकनीक के व्याख्यान
में कवर किया, 10 अंतराल
में विवेकशील शामिल
थे। यदि गामा (gamma) = 4,
तो पहला समीकरण T1
= 100 होने जा रहा है,
और रॉड के भीतर सभी
नोड्स (nodes) के लिए,
हम समीकरण बनाते
हैं। यदि हम व्युत्पत्ति
करते हैं, तो T1 - (2+ alpha)
T2 + T3 =beta और इसी तरह आगे
और आगे के समीकरणों
को प्राप्त करेंगे।
तो, आप यहाँ क्या देख
सकते हैं। पहला समीकरण,
विकर्ण तत्व 1 है और
गैर-विकर्ण (non-diagonal)
तत्व सभी 0 हैं और
वेक्टर b के लिए, पहला
तत्व 100 है। यदि आप
अगले समीकरण को देखें,
तो विकर्ण तत्व (- 2
+ alpha) ठीक है । और उप
विकर्ण (sub-diagonal) और सुपर
विकर्ण (super diagonal) तत्व
दोनों 1 के बराबर हैं।
तो, हम MATLAB पर चलते
हैं, और इस विशेष समस्या
को हल करने का प्रयास
करना शुरू करते हैं।
myTDMA, मैंने पहले ही
संरचना का एक कंकाल
बनाया है। इसलिए,
पहला कदम, जो हम करने
जा रहे हैं, वह है
कि हम समस्या को ठीक
करने जा रहे हैं।
। यदि हम जाते हैं
और फिर से पावर पॉइंट
(powerpoint) को देखते हैं,
तो ठीक है कि हमारे
पास जो होने वाला
है, मूल रूप से A मैट्रिक्स
का एक प्रकार है।
हमारे पास विकर्ण
तत्व हैं जो हम वेक्टर
d में संग्रहीत करने
जा रहे हैं। सुपर
विकर्ण तत्व (super diagonal
elements) जहां हम वेक्टर
u में स्टोर करने जा
रहे हैं, और उप विकर्ण
तत्व (sub diagonal elements) जो
हम वेक्टर l में स्टोर
करने जा रहे हैं।
यही हम ठीक करने जा
रहे हैं।
तो, हमारा वेक्टर
l, l(1, 1) 0 के बराबर होने
जा रहा है। आइए हम
इसे फिर से देखें
l (1, 1) = 0 क्योंकि कोई
तत्व नहीं है, l के
लिए पहली पंक्ति
में। और अंतिम पंक्ति
में, ln भी 0 के बराबर
है। इसलिए, हम ऐसा
ही करेंगे। Ln, हमें
वास्तव में, आइए हम
इसे ln + 1, n = 10 के रूप
में डालें क्योंकि
10 अंतराल हैं और इसलिए
हमारे पास 11 नोड (nodes)
हैं इसलिए यह भी 0
के बराबर है। हमें
n पहले बनाने की आवश्यकता
है। इस मामले में,
हमारा n 10 के बराबर
था, हमारा अल्फा (alpha)
0.04 के बराबर था और
हमारा बीटा (beta) -1 के
बराबर था। हमें केवल
उन चीजों की जांच
करनी चाहिए, अल्फा
(alpha) = 0 .04 बीटा (beta)= -1 और
n = 10 ठीक है।
इसी तरह, u के लिए भी
हम प्राप्त करने
जा रहे हैं, u (1, 1) = 0।
याद रखें, पहला समीकरण
सिर्फ T1 = 100 था। इसलिए,
u (1, 1) 0 था और u (n + 1, 1) भी
0 के बराबर था। फिर
से, आखिरी समीकरण
को याद करें, T11 = 0 क्षमा
करें, T11 = 25 जिसका मतलब
था कि, गैर-विकर्ण
तत्व (non-diagonal elements) सभी
0 थे और विकर्ण तत्वों
का पूरा सेट (set), जो
हमने देखा है वह पहला
लड़का है, और अंतिम
आदमी, दोनों 1 के बराबर
हैं, जबकि बाकी सब
-2 + अल्फा (alpha) ठीक है।
तो हम d (1,1) = 1 और d (n + 1,1)
= 1 को फिर से लिखेंगे
और इसी तरह b (1,1) को
1 और माफ करना, 100 के
बराबर था और b (n + 1,1)
25 के बराबर था। इसलिए,
यह संरचना है जिसे
हमने बनाया है। पहली
और आखिरी पंक्ति
का ध्यान रखा जाता
है। अब हम सभी मध्य
पंक्तियों की ध्यान
चाहते हैं, इसलिए
l (2: n, 1) के बराबर, हम
यह तय करेंगे, u(2: n,
1) फिर से, हमें यह तय
करने की आवश्यकता
है। मैं यहाँ प्रश्नवाचक
चिन्ह लगाऊंगा, फिर
से यह एक त्रुटि है
लेकिन हम इसे तुरंत
बदल देंगे। (2: n, 1) = ?? और
b (2: n, 1) फिर से = ?? तो,
आइए हम देखें कि हमें
अपने वेक्टर l में
क्या रखना है।
तो, हमारे वेक्टर
l, जैसा कि हमने कहा
था, 1 * T1 जो l हो जाता
है। और 1 * T 3, वह यू में
है। तो, u l2 = 1 होने जा
रहा है, l3 भी 1. u2 = 1, u3
= 1 इत्यादि के बराबर
होने जा रहा है। इसलिए,
सभी मध्य तत्व, दोनों
l और u मैट्रिसेस सभी
1 के बराबर हैं। इसलिए,
हम इसे, विकर्ण तत्व
डालेंगे। यदि हम
जांचते हैं कि विकर्ण
तत्व (-2+ अल्फा (alpha))
हैं, तो हम इसे (-2+ अल्फा
(alpha)) डालेंगे।
और हमारे बी तत्व
बीटा (beta)के बराबर
हैं। तो, हम उस बीटा
(beta) को डालेंगे। और
इसके साथ, हमने समस्या
मैट्रीक (matrix) बनाने
के साथ किया है। हमने
इसे save कर लिया है।
हमें MATLAB पर जाएं और
myTDMA चलाएं। यह सुनिश्चित
करने के लिए कि हमारे
पास इस स्तर पर त्रुटियां
नहीं हैं ठीक है।
हम इसे सही करते हैं।
तो, हम कहते हैं, यह
ठीक थे।
तो यहाँ, यदि आप इस
विशेष कोड (code) को देखते
हैं, जो मैंने किया
है, मैंने एक typo बनाया
है, यहाँ पर एक अल्पविराम
लगाने के बजाय, मैंने
एक डॉट लगाया है, जो
टाइपो (typo) का है। तो,
मुझे जाने दो और इसे
बदलो, और बचाओ, और
मुझे इसे चलाने दो,
और देखो कि क्या हमें
त्रुटियां मिलती
हैं। तो, जैसा दिखता
है वैसा नहीं है।
तो, clc, जो मैंने भी
किया था वह एक छोटा
सा फंक्शन था जिसे
शो मैट्रिक्स (show matrix)
कहा जाता है।
इसलिए अगर मैं शो
मेट्रिक्स (show matrix)
को कॉल (call) करता हूं
और (l,d,u) देता हूं। मुझे
हमारा A मैट्रिक्स
यहाँ पर मिल जाएगा
ठीक है। यह सिर्फ
हमारी चर्चा में
आसानी के लिए है, और
मैं सिर्फ इस के पहले
5 तत्वों को print करूंगा।
तो, ये 5 तत्व हैं, और
यह बिल्कुल वैसा
ही दिखता है जैसा
हम चाहते थे, हमारा
पहला लड़का 1 होने
जा रहा है, हमारा दूसरा
लड़का (1- 2 + अल्फा (alpha))
और 1 है, तीसरा लड़का
0 1 (-2+ अल्फा (alpha)) है 1)
इतने पर और आगे ठीक
है। और अगर हम पूरे
A मैट्रिक्स को प्रिंट
(print) कर रहे थे। हमें
वांछित परिणाम भी
ठीक मिलेगा। और आइए
हम b वेक्टर का प्रिंट
आउट (print out) भी लेते
हैं। और इसलिए, यह
b वेक्टर है, और यह
A मैट्रिक्स ठीक है।
अब इस स्तर पर, हम
क्या कर सकते हैं,
इसे उन तरीकों का
उपयोग करके हल करें
जो हमने व्याख्यान
4.1 में देखे हैं जिसका
अर्थ है हमारा एक्स।
हम इसे X1 = A \b कहेंगे
और यह समाधान ठीक
है। तो, यह समग्र तापमान
है, रॉड में एक छोर
से दूसरे छोर तक, 100
डिग्री सेल्सियस
से 25 डिग्री सेल्सियस
के अंत तक। यह परिणाम
है। हम क्या करना
चाहते हैं, इस परिणाम
को स्लैश (slash) का उपयोग
नहीं बल्कि TDMA एल्गोरिथ्म
(algorithm) का उपयोग करके
पुन: उत्पन्न करें।
तो, TDMA एल्गोरिदम कैसे
काम करता है? आप इस
लिंक पर फिर से जा
सकते हैं जो यहाँ
पर दिखाया गया है
और आप यह वीडियो देखने
के लिए यह समझने की
कोशिश कर सकते हैं
कि TDMA या थॉमस (Thomas) एल्गोरिथम
कैसे काम करता है?
हम बस इसका उपयोग
करने जा रहे हैं, यह
एक तरह से गॉस एलिमिनेशन
(Gauss elimination) के समान है,
सिवाय इसके कि हम
इस तथ्य को ध्यान
में रखते हैं कि, d,
l और u को छोड़कर अन्य
सभी तत्व 0 हैं, इसलिए
हमें सभी गणना करने
की आवश्यकता नहीं
है , कि गॉस एलिमिनेशन
(Gauss elimination)करता है, वही
है।
दूसरा अंतर यह है
कि, प्रत्येक चरण
में, हम एक विशिष्ट
गॉस एलिमिनेशन (Gauss
elimination) स्टेप (step) करने
से पहले, धुरी तत्व,
d1 A (1, 1), A1, A (2,2) को विभाजित
करते हैं। । तो, चलिए
हम काम करना शुरू
करते हैं। थॉमस एल्गोरिथ्म
(Thomas algorithm) में पहला
कदम है, विभाजित करके
सामान्यीकृत किया
जाएगा। आइए हम इसे
एक लूप (loop) में रखते
हैं, i = (1: n + 1) के लिए
लूप (loop) (n + 1) नहीं होना
चाहिए हम बाद में
आएंगे, लेकिन अभी
के लिए, मेरे पास बस
इसे पूरे के लिए करने
की कोशिश करते हैं
ठीक है।
तो, पहली पंक्ति di,
या di से विभाजित होने
वाली किसी भी पंक्ति
को विभाजित करने
जा रही है। तो जब भी,
आप जानते हैं, A(i, i)
धुरी तत्व है, धुरी
तत्व के बाईं ओर सब
कुछ पहले से ही 0 है.
इसलिए, हमें l वेक्टर
में कुछ भी विभाजित
करने के बारे में
चिंता करने की आवश्यकता
नहीं है। हमें केवल
d वेक्टर, u वेक्टर
और b वेक्टर को देखना
होगा। लेकिन ध्यान
रखें कि क्योंकि
हम स्वयं d से विभाजित
कर रहे हैं, इसलिए
हमें d वेक्टर के संबंध
में कुछ भी करने की
आवश्यकता नहीं है।
तो, हम क्या करने जा
रहे हैं, u(i) d(i) से विभाजित
u(i) के अलावा कुछ भी
नहीं होने जा रहा
है, और b के साथ एक ही
बात भी b(i) = b(i)/d(i) और d
(i) 1 के बराबर होने
जा रहा है। क्यों
d (i) पुराना d (i) हो रहा
है अपने आप से विभाजित
है इसलिए यह 1 के बराबर
है और यह केवल एक चीज
है जिसे हमें चाहिए
करना। हमें भी यहाँ
end डाल दिया। इसलिए,
हमने इसे d (i) के साथ
विभाजित करके इसे
सामान्य कर दिया।
तो, यह वह कदम है जिसे
हम उठाने जा रहे हैं।
तो, यह सामान्य करने
के संबंध में पहला
कदम है।
इसलिए, हमने जो अभी
किया था, A(1, 1) के साथ
पिवट एलिमेंट (pivot
element) के रूप में, row 1
को उस पिवट एलिमेंट
(pivot element) द्वारा विभाजित
किया गया था। तो, कि
पहली पंक्ति में।
अब हमारे पास 1, u को
d 0, 0, 0 और इतने पर विभाजित
किया गया है। और अंतिम
आदमी b d से विभाजित
है ठीक है। अब हम पहले
कॉलम में शून्य बनाने
के लिए, उस धुरी तत्व
का उपयोग करने जा
रहे हैं।
अब हमें 0 बनाने की
आवश्यकता कहाँ है?
हमें केवल पंक्ति
संख्या 2 में 0 या पंक्ति
संख्या (i + 1) बनाने
की आवश्यकता है।
क्यों, क्योंकि यह
केवल non-0 तत्व है।
तो, l(i + 1) उस धुरी स्तंभ
में एकमात्र non-0 तत्व
है, जो उन्मूलन के
लिए धुरी तत्व का
उपयोग करता है। तो,
हमारा अल्फ़ा (alpha)
l (i + 1) होने वाला है,
। क्यों, क्योंकि
हमारे d (i) का अर्थ
है, A (i, i) पहले से ही
1 के बराबर है, क्योंकि
यह चरण ठीक है।
इसलिए यदि हम i + 1 वीं
पंक्ति में, ith कॉलम
बनाना चाहते हैं,
तो हमें केवल l (i + 1)
के साथ पंक्ति को
गुणा करना होगा और
इसे पंक्ति (i + 1) से
घटाना होगा और अनिवार्य
रूप से हम जो करने
जा रहे हैं। । आपका
अल्फ़ा (alpha) बस l (i + 1)
/ d (i) होने वाला है,
लेकिन d (i) पहले से
ही 1 है। इसलिए, आपको
उस विभाजन को ठीक
बनाने की आवश्यकता
नहीं है। तो, अल्फ़ा
(alpha) = l (i + 1), l (i + 1) l (i + 1) - अल्फा
(alpha) के बराबर होने
जा रहा है जो मूल रूप
से 0 के बराबर होने
वाला है। तो, हमें
यह अतिरिक्त गणना
क्यों करनी चाहिए?
हमें यह अतिरिक्त
गणना करने की आवश्यकता
नहीं है। हम इसे सीधे
0 के बराबर रख सकते
हैं और अनिवार्य
रूप से हमने किया
है।
अब d (i + 1) भी बदलने जा
रहा है। और d (i + 1) बदलने
जा रहा है, क्योंकि
d (i + 1) d (i + 1) -alpha * u (i) -alpha
* u (i) है। और b के साथ
भी यही बात b (i + 1) b(i +
1) के बराबर होने वाली
है ठीक है। b (i + 1) के
ऊपर क्या है? b (i + 1) से
ऊपर बिल्कुल d (i) है।
तो, यह होने जा रहा
है -alpha * b (i) ठीक है।
तो, वह बात है।
तो, u (i + 1) के बारे में
क्या? U (i + 1) से ऊपर का
तत्व 0 है। इस आदमी
के ऊपर का तत्व 0 है,
इसलिए यदि हम किसी
भी प्रकार की गणना
करते हैं, तो यह अभी
भी u (i + 1) होने वाला
है। इसलिए, हमें u
(i + 1) बदलने की आवश्यकता
नहीं है। इसलिए, हम
कर रहे हैं। इसलिए,
गॉस एलिमिनेशन (gauss
elimination) के संबंध में
हमें बस इतना ही करना
है।
यह गॉस एलिमिनेशन
(gauss elimination) एक विशेष
संरचना, बैंडेड संरचना,
जिसे त्रि-विकर्ण
(tri-diagonal) मैट्रिक्स
के लिए लागू किया
जाता है। तो, चलिए
अब हम इसे run करते हैं।
मुझे एक त्रुटि (error)
की उम्मीद है, और मैं
उस पर आऊंगा, जब हम
वास्तव में एक त्रुटि
(error) प्राप्त करेंगे।
मुझे एक त्रुटि (error)
की उम्मीद है, और मैं
एक मिनट में समझाऊंगा।
मुझे बस run करने दो,
ठीक है और हमें देखने
दो कि हमें क्या त्रुटि
(error) मिलती है। त्रुटि
(error), सीमा से बाहर
l (12) सूचकांक तक पहुंचने
का प्रयास है। तो,
यहाँ क्या हो रहा
है, यह तब है जब i = (i:
n + 1) जिसके साथ i = 11 ठीक
है, हमने यह सामान्य
किया है, यह ठीक है,
हालाँकि यह जारी
नहीं रह सकता है।
क्यों, क्योंकि वहाँ
कुछ भी नहीं कहा जाता
है, il (12) या d (12) या b (12),
हमारा मैट्रिक्स
समाप्त होता है, पंक्ति
संख्या 11 पर, स्तंभ
संख्या 11 ठीक है।
तो, हमें वास्तव में
क्या करने की आवश्यकता
थी, हमें केवल 10 पंक्ति
संचालन करने की आवश्यकता
है न कि 11 वीं पंक्ति
संचालन की क्योंकि
r (11) का उपयोग नीचे
कुछ भी बदलने के लिए
नहीं किया जा रहा
है क्योंकि r (11) अंतिम
पंक्ति है। इसलिए
हमें इसका उपयोग
करने की आवश्यकता
है, केवल i = (1: n) से जाने
के लिए ठीक है। तो,
हम ऐसा करते हैं।
हमें MATLAB पर जाने दें,
आप सभी को clear all करें,
clc करें और myTDMA को run
करते हैं। और यहाँ
पर हमारे परिणाम
हैं।
अब, हम क्या करना चाहते
हैं, हम अपने A मैट्रिक्स
को जांचना चाहते
हैं। तो A showMatrix है, और
फिर हम A (1: 5) प्रदर्शित
करना चाहते हैं और
देखें कि वे कैसे
दिखते हैं। तो, यह
है कि हमारा A मैट्रिक्स
कैसे दिखने वाला
है। तो, A मैट्रिक्स
में अब एक ऊपरी त्रिकोणीय
संरचना और एक विशेष
प्रकार की ऊपरी त्रिकोणीय
संरचना है। केवल
ऊपरी त्रिकोणीय संरचना
में u तत्व non-zero हैं,
बाकी सब शून्य है
इसलिए हमारे पास
आपके A(i, i) गैर-शून्य
(non-zero) के रूप में हैं।
A (i, i + 1) नॉन जीरो (non-zero)
है और A (i, i + 1) कुछ भी
नहीं है, बल्कि u (i)
के बराबर है। तो, जब
हम वापस प्रतिस्थापन
(back substitution) करते हैं।
A (i, i) पहले से ही 1 के
बराबर है। जब हम इस
आदमी को दाहिने हाथ
की ओर ले जाते हैं,
तो हम b (i) - u (i) * x (i + 1) करने
जा रहे हैं। और वह
हमारा x(i) है। हमें
A(1, 1) से विभाजित करने
की आवश्यकता नहीं
है, क्योंकि A(1, 1) पहले
से ही 1 के बराबर है।
इसलिए, बैक प्रतिस्थापन
(back substitution) भी काफी सरल
है ठीक है।
तो, हमारा पहला लड़का
है, हमारा पहला कदम
होने जा रहा है, हम
x = zeroes (n + 1, 1) और x (n + 1, 1)
कहने जा रहे हैं और
x b (n + 1) / d (n + 1)के बराबर
होने जा रहा है ठीक
है। हमें d (n + 1)विभाजित
करने की आवश्यकता
क्यों है , क्योंकि
ये सभी चीजें, हमने
इसे किया है, केवल
पंक्ति संख्या 10,
पंक्ति संख्या 11 तक?
हम अभी तक धुरी तत्व
से विभाजित नहीं
हुए हैं। इसलिए, हमें
बैक-प्रतिस्थापन
(back substitution) कदम करने
की जरूरत है ठीक है।
और फिर हमारे पास
(-1: 1) के चरणों में i
= n के लिए बैक प्रतिस्थापन
(back substitution) के लिए लूप
(loop) है।
और हमारा x (i) हमने
कहा कि b (i) - u (i), x (i + i)
से गुणाके बराबर
होने वाला है। ध्यान
रखें, u (i) A (i, i + 1) के अलावा
और कुछ नहीं है। A
(i, i + 1) x (i + 1) से गुणा कर
रहा है। हम इसे दाईं
ओर ले जाते हैं, इसे
b (i) से घटाते हैं और
1 से विभाजित करते
हैं। हमें उस विभाजन
की आवश्यकता नहीं
है क्योंकि, 1 से विभाजित
करना हमें एक ही परिणाम
देने वाला है और ठीक
है। और यही वह बैक
प्रतिस्थापन (back substitution)
है जिसकी हमें जरूरत
थी। तो, आइए देखें
कि क्या हमें कोई
त्रुटि मिलने वाली
है या यह एक मौका की
तरह चलने वाला है।
इसलिए, मुझे run पर क्लिक
करने दें, और हमें
अपने कमांड प्रॉम्प्ट
(command prompt) पर वापस जाने
दें, और देखें कि हम
किस समाधान x को पाने
जा रहे हैं। तो, यह
वही है जो हम x के रूप
में प्राप्त कर रहे
हैं। आइए हम x1 के साथ
वापस जांचें और 2 परिणामों
की तुलना करें। इसलिए,
जैसा कि हम देख सकते
हैं, परिणाम जो MATLAB
गॉस एलिमिनेशन (gauss
elimination) का उपयोग करते
हैं, जब वह बैकस्लैश
(backslash) करता था, तो इसका
उपयोग होता है। और
हमारे TDMA एल्गोरिदम
का उपयोग करने वाले
परिणाम, वे बिल्कुल
ठीक मिलान कर रहे
हैं।
तो TDMA एल्गोरिथ्म
(algorithm), कुछ भी अलग नहीं
है, यह ट्राइ-डायगोनल
मैट्रिक्स (tri-diagonal
matrix) की संरचना का फायदा
उठाने वाले तथ्य
को छोड़कर, बैक प्रतिस्थापन
(back substitution) के साथ गॉस
एलिमिनेशन (gauss elimination)
से अलग कुछ भी नहीं
करता है। इसका मतलब
है, किसी भी पंक्ति
में केवल 3 तत्व हैं
जो गैर-शून्य हैं
और इसलिए, हमें एक
मानक गॉस एलिमिनेशन
(gauss elimination) एल्गोरिथ्म
(algorithm) की तुलना में
काफी कम संख्या में
गणना करने की आवश्यकता
है।
तो, यही वह है जो मैं
थॉमस एल्गोरिथ्म
(Thomas algorithm) के संबंध
में कवर करना चाहता
था। मैं आप लोगों
के लिए एक अभ्यास
के रूप में क्या कहूंगा,
वही समस्या है लेकिन
उदाहरणों की एक बड़ी
संख्या के साथ। और
यह पहली समस्या है
और दूसरी समस्या,
जो यह होने जा रही
है, उसी समस्या को
हल करने के लिए जो
हमने इस व्याख्यान
में की है।इस सटीक
समान समस्या को हल
करने के लिए गॉस एलिमिनेशन
(Gauss elimination) विधि का उपयोग
करना।
तो यहाँ आपको अपने
A मैट्रिक्स और अपने
b वेक्टर का निर्माण
करना होगा और गॉस
एलिमिनेशन (Gauss elimination)
का उपयोग करके इसकी
गणना करनी होगी।
तो, आपको जो करने की
आवश्यकता होगी वह
मूल रूप से आप इस A
मैट्रिक्स और b मैट्रिक्स
को बनाते हैं। मैंने
आपको अपना कोड नहीं
दिखाया है, जो कि शो
मैट्रिक्स कोड (Show
matrix code) है, जो कि मैंने
l, d और u से एक मैट्रिक्स
की गणना करने के लिए
उपयोग किया है जो
कि इस असाइनमेंट
की आपकी दूसरी समस्या
का मुख्य crux है।
व्याख्यान 4.5 के अंत
में आने के लिएऔर
वास्तव में मॉड्यूल
4 के अंत में। मॉड्यूल
4 में, हमने Ax =b के प्रकार
के रैखिक समीकरणों
(linear equations) को हल किया
है, व्याख्यान4.2 में
हमने भोले गॉज़ एलिमिनेशन
(Gauss elimination) को कवर किया
है, व्याख्यान 4.3 हम
गॉस एलिमिनेशन (Gauss
elimination) के लिए आंशिक
धुरी के साथ गॉस एलिमिनेशन
(Gauss elimination) बदलते हैं,
साथ ही साथ हमने बहुत
जल्दी देखा कि LU अपघटन
(LU decomposition) कैसे काम
करता है।
व्याख्यान 4.4 में,
हमने उस चीज़ पर ध्यान
दिया, जिसे पुनरावृत्त
विधियों (iterative methods)और
कवर किए गए गेस सेडेल
(Gauss seidel) विधि के रूप
में जाना जाता है,
और आज के व्याख्यान
में, अंतिम व्याख्यान
है जिसे हमने समीकरणों
के त्रि-विकर्ण (tri-diagonal)
प्रणाली को हल करने
के लिए थॉमस एल्गोरिथ्म
(Thomas algorithm) के रूप में
जाना जाता है। धन्यवाद
और मैं आपको अगले
सप्ताह देखूंगा जहां
हम नॉनलाइनर (non-linear)
समीकरणों को हल करने
पर काम शुरू करने
जा रहे हैं। धन्यवाद
और अगले सप्ताह में
आपको देखूंगा।