Newton-Raphson (single variable) - MATLAB Video Lecture | MATLAB Programming for Numerical Computation - Software Development

नमस्कार और संख्यात्मक
अभिकलन के लिए MATLAB
प्रोग्रामिंग (MATLAB
programming for numerical computations) में
आपका स्वागत है।
मॉड्यूल 5 में हम फॉर्म
f (x) = 0 के गैर रेखीय
बीजीय समीकरणों (non
linear algebraic equations) को हल
करने के तरीकों को
कवर कर रहे हैं। व्याख्यान
5.1 में हमने एक संख्यात्मक
तकनीक को कवर किया
जिसे बैसेक्शन विधि
(bisection method) कहा जाता
है। बैसेक्शन विधि
(bisection method) हम 2 प्रारंभिक
अनुमानों के साथ
शुरू करते हैं और
इच्छा समाधान प्राप्त
करने के लिए बैसेक्शन
विधि (bisection method) का उपयोग
करते हैं। व्याख्यान
5.3 में हमने अलग-अलग
संख्यात्मक तकनीक
को कवर किया है जिसे
फिक्स प्वाइंट पुनरावृत्ति
(fix point iteration) के रूप में
जाना जाता है।
फिक्स प्वाइंट पुनरावृत्ति
(fix point iteration) केवल एक
ही प्रारंभिक अनुमान
का उपयोग करता है
तो हम वांछित समाधान
प्राप्त करने के
लिए पुनरावर्ती समीकरण
हल करते हैं। इस व्याख्यान
में हम एक तीसरी विधि
को कवर करने जा रहे
हैं जिसे न्यूटन
रफसन विधि (Newton Raphson
method) के रूप में जाना
जाता है जो एक बहुत
ही लोकप्रिय तरीका
है। आज हम न्यूटन
रैपसन विधि (Newton Raphson
method) के सिंगल वेरिएबल
(single variable) को कवर करने
जा रहे हैं। एक बाद
के व्याख्यान में
हम न्यूटन रैपसन
विधि को कई वेरिएबल
(variable) मामलों में विस्तारित
करने जा रहे हैं।
हालाँकि आज हम जो
करने जा रहे हैं वह
2 चीजें हैं।
पहले हम देखेंगे
कि कैसे हम एक समस्या
f (x) = 0. को हल करने के
लिए MATLAB में न्यूटन
रैपसन (Newton Raphson) का उपयोग
कर सकते हैं और बाद
में हम देखेंगे कि
न्यूटन रैपसन विधि
(Newton Raphson method) कितनी जल्दी
वांछित समाधानों
में परिवर्तित हो
जाती है। तो न्यूटन
रैपहंस (Newton Raphson) के
बारे में बात करते
हैं।
यह एक लोकप्रिय तरीका
है जो कम्प्यूटेशनल
तकनीकों के मॉड्यूल
4 भाग 2 में फिर से कवर
किया गया था, जिसके
लिए लिंक यहां दिया
गया है। न्यूटन रैपसन
विधि (Newton Raphson method) के
लिए प्रत्येक नया
अनुमान हम एक प्रारंभिक
अनुमान x0 के साथ शुरू
कर सकते हैं और X1 प्राप्त
करने के लिए इस समीकरण
का उपयोग कर सकते
हैं और फिर हम x2 को
प्राप्त करने के
लिए X1 का उपयोग करते
हैं।
हम समस्या को हल करने
में रुचि रखते हैं
f (x) = 0 और फ़ंक्शन (function)
को f (x) दिया गया है।
हमें f’x की गणना करने
की भी आवश्यकता है
जो फ़ंक्शन (function) का
पहला व्युत्पन्न
(derivative) है। इसलिए अगर
हमारे पास मौजूदा
अनुमान पर f (x) और f’x
का मूल्य है और फिर
यह समीकरण है जिसका
उपयोग न्यूटन राफसन
तकनीकों (Newton Raphson techniques)
का उपयोग करके नए
अनुमान की गणना करने
के लिए किया जाएगा।
न्यूटन रैपहैन्स
तकनीक (Newton Raphson technique)
एक लोकप्रिय तकनीक
है क्योंकि इसमें
गैर रेखीय बीजीय
समीकरणों (non linear algebraic
equations) को हल करने के
लिए उपयोग किए जाने
वाले विभिन्न तरीकों
में अभिसरण (convergence)
की सबसे तेज दर है।
आइए अब देखें कि हम
न्यूटन रफसन (Newton Raphson)
का उपयोग कैसे करेंगे
ताकि हम इस मॉड्यूल
में अब तक कवर किए
गए उदाहरण को हल कर
सकें। उदाहरण f (x) 2-x
+ ln (x) द्वारा दिया गया
है और हमें विशेष
गैर रेखीय आयतों
(non-linear equations) का हल खोजने
की आवश्यकता है।
जैसा कि मैंने पिछली
स्लाइड में कहा था
कि न्यूटन रैपसन
विधि (Newton Raphson method) का
उपयोग करके इस समाधान
की गणना करने के लिए
हमें f’(x) की भी आवश्यकता
है।
और इस समस्या के लिए
f’(x) और कुछ नहीं बल्कि
-1 + 1 / x ठीक है। एक बार
जब हम f (x) और f ‘(x) से
लैस हो जाते हैं, तो
हम MATLAB पर जा सकते हैं
और न्यूट्रॉन राफसन
(Newton Raphson) का उपयोग करके
पुनरावृत्त विधि
का उपयोग करके यहां
समाधान की गणना कर
सकते हैं। पिछली
बार की फ़ाइल को खोलने
दें, जो कि फिक्स्ड
पॉइंट इटरेशन (fixed
point iteration) थी। और हम इसे
अलग फाइल के रूप में
कॉपी और सेव (copy and save)
करते हैं।
इसे हम newtRaph, newtRaph कहते
हैं। न्यूटन रैपसन
(Newton Raphson) का उपयोग करके
गैर-रैखिक समीकरणों
(non-linear equations) को हल करने
के लिए कोई case1 और case2
नहीं है। हमारा f (x)
2-x + ln (x) ठीक है। इसलिए
आज के व्याख्यान
में जो मैं यहां कर
रहा हूं, वह एक खाली
स्लेट से शुरू करने
के बजाय, मैं उस समाधान
को ले लूंगा जो हमने
पिछले व्याख्यान
में प्राप्त किया
था। और मैं न्यूटन
रैपसन (Newton Raphson) का उपयोग
करके समस्या को save
करने के लिए समाधान
संपादित करूंगा।
तो यह ऐसा करने का
एक और तरीका है। अगर
हम खाली स्लेट से
शुरुआत कर रहे थे
तो हम न्यूटन रैपसन
(Newton Raphson) कोड को थोड़ा
और जल्दी लिख पाएंगे।
हम फिर से इसी प्रारंभिक
अनुमान x0 = 1 को रखेंगे।
हमें 50 के रूप में
maxIter रखें; tolX इसे सिर्फ
-4 की पावर (power) के रूप
में रखता है। यह वह
जगह है जहां हमें
बदलने की आवश्यकता
है।
इसलिए न्यूटन रैपसन
(Newton Raphson) विधि के लिए,
पहले हमें f (x) और f की
गणना करने की आवश्यकता
है जो 2-x + log (x) और f ' के
अलावा और कुछ नहीं
है, हम df के रूप में
प्रतिनिधित्व करेंगे।
df -1 + 1 / x है। तो -1 यहाँ
से आता है और 1 / x यहाँ
से आता है ठीक है।
तो x i + 1 x-f / df के अलावा
और कुछ नहीं है। और
वह न्यूटन रफसन (Newton
Raphson) का उपयोग करके
हमारा समाधान है
और फिर हम xold में स्टोर
की गई x की एरर (error) की
गणना जारी रखते हैं।
और अगर एरर (error)सहिष्णुता
मूल्य (tolerance value) से कम
है, तो हम रोकते हैं।
तो यह हमारी न्यूटन
रैपसन तकनीक (Newton Raphson
technique) है। हमें इसे
चलाने दें और हमें
समाधान को देखने
दें। तो 1 के शुरुआती
अनुमान के लिए हमें
वास्तव में एक समाधान
नहीं मिलता है और
यह न्यूटन राफसन
(Newton Raphson) के साथ समस्याओं
में से एक का प्रदर्शन
है। अगर हम निश्चित
बिंदु पुनरावृत्ति
(fixed point iteration) की तरह न्यूटन
राफसन (Newton Raphson) के लिए
सभ्य प्रारंभिक अनुमान
के साथ शुरू नहीं
करते हैं।
हमें converge करने के
लिए न्यूटन रैपसन
(Newton Raphson) नहीं मिल सकता
है। मान लें कि 1 के
बजाय हम अलग प्रारंभिक
अनुमान 2 के साथ शुरू
करने वाले थे. चलो
इसे save करें और run करें।
यदि हम 2 के प्रारंभिक
अनुमान के साथ शुरू
करने वाले थे, तो न्यूटन
रैपहैन्स (Newton Raphson)
विधि 4 पुनरावृत्तियों
(iterations) में 3.1462 में परिवर्तित
हो गई। तो आइए हम powerpoint
पर वापस जाएं और देखें
कि हमने अब तक क्या
किया है। हमने उसी
कोड का इस्तेमाल
किया, जो पिछली बार
फिक्स पॉइंट इटरेशन
(fixed point iteration) के लिए इस्तेमाल
किया था और न्यूटन
रैपसन फॉर्मूले (Newton
Raphson formula) का उपयोग करके
इसे संशोधित किया
था।
और यह न्यूटन रैपसन
फॉर्मूला (Newton Raphson formula)
था। X का नया मान पुराने
मूल्य -f के अलावा
और कुछ नहीं है। फंक्शन
f’(x)/f(x)। इसलिए अब हमने
न्यूटन रैपसन (Newton
Raphson) का उपयोग करके
समस्या को हल कर दिया
है। MATLAB में हम अगले
कुछ मिनटों में क्या
करने जा रहे हैं, न्यूटन
रैपसन (Newton Raphson) तकनीक
का कुछ विश्लेषण
करना है। वास्तव
में हम न्यूटन रैफसन
(Newton Raphson) और फिक्स पॉइंट
इटरेशन (fixed point iteration)
दोनों का विश्लेषण
करते हैं जो हमने
lecture 5.3 में किया है।
और हम तुलना करेंगे
कि 2 विधियाँ एक दूसरे
से कैसे व्यवहार
करती हैं। हम पहले
ही फिक्स पॉइंट इटरेशन
(fixed point iteration) विधि देख
चुके हैं। converge करने
के लिए कुछ 10 पुनरावृत्तियों
को लें। जबकि, न्यूटन
रैपसन कुछ 4 पुनरावृत्तियों
में converge होता है।
ऐसा क्यों है क्योंकि
न्यूटन राफसन (Newton
Raphson) के पास वह है जिसे
quadratic rate of convergence के रूप
में जाना जाता है
जो मूल रूप से इसका
मतलब यह है कि एरर
(error) i + 1 पुनरावृत्ति
लगभग पावर 2 के लिए
ith पुनरावृत्ति में
एरर (error) के बराबर है,
दूसरी तरफ फिक्स
पॉइंट पुनरावृति
(fixed point iteration) में अभिसरण
की रैखिक दर है। उदाहरण
के लिए, इसका क्या
अर्थ है, यदि हम 0.1
के लिए एरर (error) ith पुनरावृत्ति
कहते हैं, तो i + 1 पुनरावृत्ति
10 ^-2 होगी।
तब यह 10^ -4 तक, 10 ^ -8 पर
और आगे तक जाएगा।
तो यह आम तौर पर फिक्स
पॉइंट पुनरावृति
(fixed point iteration) की तुलना
में अभिसरण की बहुत
तेज दर है। इसकी व्युत्पत्ति
(derivation) और विश्लेषण
कम्प्यूटेशनल तकनीकों
के मॉड्यूल भाग 4 में
शामिल किया गया था
जिसके लिए लिंक यहाँ
पर दिया गया है। तो
आइए हम देखें कि क्या
मतलब है, जब हम quadratic
rate of convergence के बारे में
बात करते हैं, तो हम
क्या करना चाहते
हैं, यह देखना चाहते
हैं कि i + 1 वें चरण
में एरर (error) पिछले
चरण की तुलना में
कैसे हुई।
इसलिए हमें MATLAB पर
वापस जाना चाहिए
और हमें न्यूटन रैपसन
(Newton Raphson) को ठीक से देखना
चाहिए। तो यह समग्र
न्यूटन रैपसन (Newton
Raphson) समाधान था। इसलिए
अगर हमने अपनी एरर
(error) को इस विशेष तरीके
से परिभाषित किया
है, तो मैं क्या करूंगा,
आइए हम इस एरर (error)
को i चरण में कहेंगे
और इसलिए एरर (error) यह
है। तो मुझे इसे save
करने दें और हमें
इसे run करने दें और
हमारे पास 3 अलग-अलग
एरर (error) मान हैं।
तो आइए हम इस err वेक्टर
को टाइप करें। तो
यह error1, error2, error3, error4 ठीक
है। तो prevErr है, prevErr एरर
(error)(1: 3) होने जा रहा
है और currErr = err (2: 4) है।
तो मुझे सिर्फ prevErr
करने दो, यह दिखाने
के लिए कि मैं वास्तव
में क्या ठीक हूं।
तो prevErr था, इसलिए यह
ei है। यह e1 और यह e2 है।
यह e2, यह e3 है, यह e4 है।
अगर मैं इस y अक्ष
के रूप में currErr डालता
हूं और x अक्ष के रूप
में prevErr होता हूं।
हम जो plot कर रहे हैं
वह x अक्ष में ei के
खिलाफ e i + 1 है। तो हम
करते हैं कि plot x अक्ष
prevErr है, prevErr y अक्ष currErr
है ठीक है। हमें यह
plot करने दो। तो यह
है कि कैसे इस curErr और
prevErr बदलने जा रहे हैं।
तो आइए, हम भी जो करना
चाहते हैं, वह इस तरह
से नहीं है, हम चाहते
हैं कि इसका लघुगणक
(logarithmic) भी हो।
ताकि हमारा कुछ सार्थक
निष्कर्ष निकले।
तो log(prevErr) और log(currErr) ठीक
है। तो हमारे पास
एक लॉग लॉग प्लॉट
(log log plot) है और इस लॉट
का slope लगभग = 2 होने
वाला है। इसलिए हमारे
पास यह x 0.3 है और y का
योग 1 है। जब x -5 हो जाता
है। 6, y बन जाता है
-13। So -13, -1 एक -12 और -5, -0.3,
-5.6, -0.3 होने जा रहा है।
लगभग 6. इसलिए 12 को
6 से विभाजित किया
जाता है। इसलिए लगभग
बोलना, उस लाइन का
slope 3 है।
हमारे पास 2 के slope के
साथ 2 के slope के रूप
में यह विशेष रेखा
है। तो चलिए हम उस
पर bold टाइप करते हैं
और उस प्लॉट को दूसरी
विधि पर जाने देते
हैं, सभी को clear all, clc
करते हैं, और वह है
फिक्स पॉइंट अप्रेशन
(fixed point iteration)। तो जोड़ा
बिंदु पुनरावृत्ति
जोड़ा (fixed point iteration)और
हमें एक ही बात को
err (i) से करते हैं। और
हम 2 के प्रारंभिक
अनुमान के साथ शुरू
करना चाहते हैं।
इसलिए यह err(i) और हम
त्रुटियों को संग्रहीत
करना चाहते हैं।
इसे चलाने दें, अब
हम त्रुटियों को
store कर रहे हैं।
मुझे यह करने की आवश्यकता
है, क्योंकि मेरे
पास err(i) यह क्या कर रहा था,
यह अगर कोई भी err मान
tol (x) से अधिक है, तो
रुकने वाला नहीं
है। इसलिए मैंने
यह विशेष बदलाव किया।
फिर से clear all करें और
हमें यह चलाने दें।
इसलिए दसवीं पुनरावृत्ति
में यह परिवर्तित
हो गया है और हम जो
करेंगे, वह PrevErr है।
PrevErr 1: 9 है, curErr 2 से 10 है
और हम जो करना चाहते
हैं, वह currErr के खिलाफ
loglog PrevErr plot है।
और इसे डैश रेड लाइन
के रूप में प्लॉट
करें, ग्राफ़ को दिखाएं।
तो यह है कि जब यह
निश्चित बिंदु पुनरावृत्ति
(fixed point iteration) हो जाती
है तो एरर (error)कैसे
बदल जाती है और जब
न्यूटन राफसन (Newton
Raphson) होता है तो यह
एरर (error) कैसे बदल जाती
है। तो एक निश्चित
बिंदु पुनरावृत्ति
(fixed point iteration) के मामले
में जो हमें मिलता
है, एक रैखिक रेखा
x गिर गई है या लॉग
(log) x लगभग 9 से गिर गया
है, y इतनी गिर गया
है -1 से -10 तक लगभग 9,
y चला गया है। और लगभग
0 से -9 तक, x चला गया
है। तो x छंद y में एक
रेखीय slope है, जबकि
slope लगभग 2 की slope है।
तो इसका मतलब था कि
quadratic rate of convergence छंद linear
दर है। जब यह quadratic rate
of convergence error है, तो ith चरण
में एरर (error) का वर्ग
है और जब यह convergence ith
चरण एरर (error) की रैखिक
दर है, तो यह परिमाण
का लगभग समान क्रम
है जैसा कि i-1th चरण
एरर (error) है। यही कारण
है कि आंशिक रूप से
न्यूटन रैपसन (Newton
Raphson) विधि लोकप्रिय
है क्योंकि इसमें
quadratic rate of convergence है।
आज के व्याख्यान
में हमने जो देखा
है, जब हमने एक बहुत
ही छोटी प्रारंभिक
स्थिति दी या न्यूटन
रैपसन (Newton Raphson), जब हमने
1 की प्रारंभिक शर्त
के साथ न्यूटन रैपसन
(Newton Raphson) शुरू किया,
तो न्यूटन राफसन
(Newton Raphson) ने convergence नहीं
किया, लेकिन यह वास्तव
में विचलन (diverge) करता
है। इसलिए डाइवर्जेंस
(divergence) समस्या जिसे
हमने वास्तव में
फिक्स्ड पॉइंट इटरेशन
प्रॉब्लम (fixed point iteration
problem) के लिए देखा है,
न्यूटन रैपसन (Newton
Raphson) विधि के लिए भी
है। इसलिए न्यूटन
रफसन (Newton Raphson) या फिक्स्ड
पॉइंट इटरेशन (fixed
point iteration) जैसी विधि
को लागू करने से पहले
बहुत सावधानी बरतने
की जरूरत है। तो इसके
साथ ही मैं इस व्याख्यान
5.4 के अंत में आता हूं।
इस व्याख्यान और
पिछले व्याख्यान
में हमने 2 तकनीकों
को शामिल किया है।
व्याख्यान 5.3 में
फिक्स्ड पॉइंट इटरेशन
(fixed point iteration) और आज के
व्याख्यान में न्यूटन
रैपसन (Newton Raphson) विधि।
हमने न्यूटन राफसन
(Newton Raphson) के कन्वर्जन
रेट (convergence rate) और फिक्स
पॉइंट इटरेशन (fixed
point iteration) के बीच तुलना
करके आज के व्याख्यान
को समाप्त कर दिया।
इसका उद्देश्य वास्तव
में यह समझना था कि
quadratic rate of convergence से इसका
क्या अर्थ है और quadratic
rate of convergence का परिणाम
न्यूटन राफसन (Newton
Raphson) पद्धति की लोकप्रियता
में क्या है।
जैसे ही इस विशेष
व्याख्यान श्रृंखला
के लिए जाता है, हम
मुख्य रूप से MATLAB का
उपयोग करके समस्या
को हल करने में रुचि
रखते हैं और न्यूटन
रफसन (Newton Raphson) विधि
के लिए एरर (error) विश्लेषण
कुछ ऐसा है जिसे हमने
अभी जोड़ा है ताकि
यह तकनीक कैसे काम
करती है, इसके लिए
हमें स्वाद मिल सके।
इसके साथ मैं इस व्याख्यान
के अंत में आता हूं
और अगले व्याख्यान
में आपको देखूंगा।
धन्यवाद, और अलविदा।