Newton-Raphson (multi Variable) - MATLAB Video Lecture | MATLAB Programming for Numerical Computation - Software Development

नमस्कार और न्यूमेरिकल
कम्प्युटशंस के लिए
MATLAB प्रोग्रामिंग
(MATLAB programming for Numerical Computations
) में आपका स्वागत
है। हम मॉड्यूल 5 में
हैं जहां, हम नॉनलीनियर
(nonlinear) अल्जेब्राइक
(algebraic) समीकरणों को
हल करने के तरीकों
को कवर कर रहे हैं।
यह इस मॉड्यूल व्याख्यान
5.6 का अंतिम व्याख्यान
है। इस व्याख्यान
में, हम मल्टीवारिएबल
(multivariable) न्यूटन रैपसन
(Newton Raphson) विधि पर विचार
करने जा रहे हैं।
पिछले व्याख्यान
5.5 में, हमने fsolve को
कवर किया है, जो एक
MATLAB फ़ंक्शन (function) है,
कई अज्ञात में कई
नॉनलीनियर (nonlinear) समीकरण
को हल करने के लिए
है।
इसलिए, जब हमारे पास
n अज्ञात में n नॉनलीनियर
(nonlinear) अल्जेब्राइक
(algebraic) समीकरणों की
एक प्रणाली है, तो
हम इसे हल करने के
लिए fsolve का उपयोग कर
सकते हैं। व्याख्यान
5.4 में, हमने एक सिंगल
वेरिएबल (single variable) न्यूटन
रैपसन (Newton Raphson) विधि
को कवर किया था। आज
के व्याख्यान में,
हम मल्टीवारिएबल
(multivariable) मामले में
व्याख्यान 5.4 में
शामिल सिंगल वेरिएबल
(single variable) न्यूटन रैपसन
(Newton Raphson) विधि का विस्तार
करने जा रहे हैं और
हम लोरेंज (Lorenz) समीकरण
समस्या को हल करने
जा रहे हैं जिसे हमने
पिछले व्याख्यान
में देखा था, व्याख्यान
5.5 ठीक है।
तो, आइए हम स्थिर स्थिति
(steady state) लोरेंज (Lorenz)
समीकरण को देखें।
स्थिर स्थिति (steady
state) लोरेंज (Lorenz) समीकरण
का रूप xy = 0, 2x-xz-y = 0 और
xy-3z = ठीक है। अब गणना
में,न्यूटन रैपसन
(Newton Raphson) की विधि में,
एक मल्टीवारिएबल
(multivariable) मामले के लिए,
हमें एक जेकबियन
(Jacobian) की गणना करने
की आवश्यकता है।
जैसा कि आप जानते
हैं कि जेकबियन (Jacobian)
निम्नलिखित रूप में
गणना करता है ठीक
है।
जेकबियन (Jacobian) का 1,
1 तत्व पार्शियल (partial)
f1 से पार्शियल (partial)
x द्वारा विभाजित
, df1 / dx होने जा रहा है।
तो df1 f1 है यह है, इसलिए
जब हम पार्शियल डेरीवेटिव
(partial derivative) लेते हैं,
तो x के संबंध में,
हमें वह मूल्य 1 ठीक
के बराबर मिलता है।
अगले, y के संबंध में
f1 का पार्शियल (partial)
हिस्सा -1 होने जा
रहा है। तो, और तीसरा
df1 / dx होने जा रहा । अब
दूसरी पंक्ति को
देखते हैं। दूसरी
पंक्ति होने जा रही
है, दूसरी पंक्ति
का पहला तत्व होने
जा रहा है, df2 से dx द्वारा
विभाजित जो 2-z होने
जा रहा है। दूसरा
तत्व , df2 /dy होने जा
रहा है, जो -1 है, तीसरा
तत्व होने जा रहा
है, df2 / dz, जो कि -x होने
वाला है। तो, इस टर्म
(term)का d / dz, और यह टर्म
(term)गायब होने वाला
है, क्योंकि वहां
पर कोई z निर्भरता
नहीं है। और केवल
यह टर्म (term)ही रहने
वाला है और क्योंकि
हम z के संबंध में
पार्शियल डेरीवेटिव
(partial derivative) ले रहे हैं,
x को स्थिर (constant) रखा
गया है और हम -x को 1
से गुणा करते हैं,
जो कि तीसरे तत्व
के रूप में -x है। इसी
तरह, अगर हम पिछले
समीकरण को देखें
तो df3 / dx y होने जा रहा
है, df3 / dy x होने जा रहा
है और dz3 द्वारा dz3 -3
होने जा रहा है। याद
है कि न्यूटन रैपसन
(Newton Raphson) की विधि को
सिंगल वेरिएबल (single
variable) में। आइए हम यहां
पर समीकरण डालें,
न्यूटन रैपसन (Newton
Raphson) विधि सिंगल वेरिएबल
(single variable) में, xi + 1 के
रूप में लिखी गई थी।
तो, सिंगल वेरिएबल
(single variable) में न्यूटन
रैपसन (Newton Raphson) विधि
xi + 1 = xi-fi को ji द्वारा
विभाजित किया गया
था। जहाँ, उस मामले
में j कुछ भी नहीं
था लेकिन f डैश (dash)
था। मल्टीवारिएबल
(multivariable) मामले के मामले
में, हम इन सभी को
वैक्टर (vector) में बदल
देंगे। और क्योंकि
हम j से विभाजित नहीं
कर सकते हैं, इसके
बजाय हमें क्या करने
की आवश्यकता है एक
इनवर्स (inverse) लेंगे
ठीक है। तो, यह ji इनवर्स
(inverse) होने जा रहा है,
fi द्वारा गुणा। और
यह हमारा मल्टीवारिएबल
(multivariable) है, न्यूटन
राफसन (Newton Raphson) का ठीक
है। तो यह मल्टीवारिएबल
(multivariable) न्यूटन रैपसन
(Newton Raphson) के लिए है।
हम हल करना चाहते
हैं जहां, fxyz कुछ भी
नहीं है, लेकिन इसे
और जैकोबी (jacobi) इसके
अलावा कुछ भी नहीं
है। तो चलिए MATLAB की
ओर बढ़ते हैं और इस
समस्या को हल करने
का प्रयास करते हैं,
मल्टीवारिएबल न्यूटन
रैपसन (multivariable Newton Raphson)
का उपयोग करते हुए।
तो, आइए हम देखें,
कि हमने पहले क्या
लिखा था, एक फ़ंक्शन
(function) लोरेंज (Lorenz) सिस्टम
(system) का उपयोग किया
गया था जिसे fsolve के
साथ उपयोग किया गया
था। हमें एक अलग फ़ाइल
नाम (filename) के रूप में
save करते हैं।
आइए हम उस lorenzsysnr.nr को
कॉल करें न्यूटन
रैपसन (Newton Raphson) के लिए
ठीक है। और हमें फ़ाइल
नाम (filename) के समान फ़ंक्शन
(function) नाम का उपयोग
करने की आवश्यकता
है। इसलिए, हम फ़ाइल
नाम (filename) के साथ केवल
फ़ंक्शन (function) नाम
को प्रतिस्थापित
करेंगे। इस विशेष
फ़ाइल को दोनों fvalue
के साथ-साथ जेकबियन
(Jacobian) की गणना करने
की आवश्यकता है।
तो, आइए हम जेकबियन
(Jacobian) को jac कहकर पुकारें
और हमें जेकबियन
(Jacobian) को ठीक से परिभाषित
करें। और जो हमारे
यहां था उस पर नजर
डालते हैं। 1, -1 और
0. तो j 1, -1, 0 हो रहा है,
दूसरी पंक्ति 2-z, -1,
-x है, और तीसरा पंक्ति
y, x, -3 ठीक है। और यह
सब है कि हमें इस स्तर
पर ठीक है। तो ध्यान
रखें कि, हम इसे ठीक
उसी अंदाज़ में लिख
पा रहे थे, जैसा कि
हमने इसे यहाँ पर
लिखा था, मुख्यतः
क्योंकि हमने शुरुआत
में वेरिएबल (variable)
x, y और z = x1, x2 और x3 लिखे
थे। कभी-कभी, हम ऐसा
नहीं कर पाएंगे, जिस
स्थिति में हमें
इसे 2-x3-1 के रूप में
लिखना होगा। और फिर
यह -x1 होने जा रहा है।
इसी तरह, y कुछ भी नहीं
है, लेकिन x2 है और हम
इसे x2 के रूप में लिख
सकते हैं और यह x1 होने
जा रहा है। किसी भी
तरह से बिल्कुल ठीक
होने जा रहे हैं, वे
दोनों बिल्कुल एक
जैसे हैं। आपको सावधान
रहने की जरूरत है,
इस वेरिएबल (variable) के
बारे में कि आपके
द्वारा उपयोग किए
जाने वाले। सादगी
के लिए, मैं बस अपने
edits को undo कर दूंगा कि
मैंने कुछ मिनट पहले
ही किया है। और हमें
अच्छा होना चाहिए
ठीक है। एक बात जिस
पर आप गौर करेंगे,
मैं वास्तव में इस
अधिकार को करने की
कोशिश करूंगा। अब
अगर मैं इसे कॉल करता
हूं, और हमारे वेरिएबल
(variable) का उपयोग कर रहा
हूं तो कुछ ठीक है।
तो, हम इसे लोरेंज
(Lorenz) कहते हैं। आइए
हम f, j = lorenzSysnr कहते हैं
कि 1, 1, 1. हमें कुछ समस्या
होने वाली है, और समस्या,
आउटपुट आर्ग्यूमेंट्स
(output arguments) है जिसे jac
को नहीं सौंपा गया
है। अब देखते हैं,
हमें वह विशेष एर्रर
(error) क्यों मिलती है।
हमें यह एर्रर (error)
मिलती है क्योंकि,
मैंने जेकोबिएन jac
को कॉल करने के बजाय
इसे यहां पर कैपिटल
j कहा है। इसलिए मुझे
सिर्फ इसे बदलने
की जरूरत है और एक
एर्रर (error) नहीं होगी।
दूसरी बात यह ध्यान
रखना है कि MATLAB। मैं
इसे undo कर दूंगा और
अब आपको दिखाऊंगा।
MATLAB, काफी उपयोगी है
जब यह कुछ एर्रर्स
(errors) या चेतावनियों
(warnings) को इंगित करने
के लिए आता है। तो
अगर आप यहाँ देखते
हैं, तो हरे रंग का
बटन बदल गया था अब
यहाँ नारंगी रंग
का बटन है। और यह कहता
है कि, अब यदि आप यहां
क्लिक (Click) करते हैं,
तो यह उस स्थान पर
जाएगा जहां यह आपको
चेतावनी (warning) दे रहा
है। यदि आप अपने माउस
(mouse) को ले जाते हैं
और उस बिंदु पर मंडराते
हैं, तो आप चेतावनी
(warning) देख पाएंगे।
चेतावनी (warning) कहती
है कि function return value jac might
be unset। इसका क्या मतलब
है, यह है कि MATLAB आपको
यह बताने की कोशिश
कर रहा है, इस फ़ंक्शन
(function) में lorenzSysnr। मैं
अपने आउटपुट वेरिएबल
(output variable) के रूप में
jac की उम्मीद कर रहा
हूं। हालांकि, पूरे
फ़ंक्शन (function) में,
मैंने यह निर्दिष्ट
नहीं किया है कि jac
क्या है। इसलिए मुझे
यहां जाना चाहिए
और अपने j को jac में
बदलना चाहिए। जब
मैं करता हूं कि आप
नोटिस करते हैं कि
नारंगी बुलेट हरे
रंग में बदल गई है
जो कहती है कि कोई
चेतावनी (warning) नहीं
पाई जाती है। तो, हम
इसे save होने दें। अब
हम कहते हैं कि, हम
न्यूटन रैपसन (Newton
Raphson) के पास जाना चाहते
हैं और हम एक मल्टीवारिएबल
(multivariable) न्यूटन रैपसन
(Newton Raphson) करना चाहते
हैं। तो आइए हम यहां
पर चलते हैं और न्यूटन
रैपसन (Newton Raphson) के लिए
मल्टीवार्बलेन nr
के रूप में save करते
हैं। तो आइए हम कहते
हैं, हां नहीं हल करें,
nr, न्यूटन रैपसन (Newton
Raphson) का उपयोग करके
नॉनलाइनियर (nonlinear)समीकरणों
के एक क्रम को हल करें।
अब, हमारी प्रारंभिक
शर्तें (initial conditions) capital
X = 1, 1, 1 ठीक थीं। ध्यान
रखें, मैं यहाँ क्या
कर रहा हूँ, मैंने
पिछली समस्या को
हल कर लिया है और मैं
इस पूरे मल्टीवारिएबल
(multivariable) को लिखने के
बजाय इसका संपादन
कर रहा हूँ।
खरोंच सेन्यूटन रैपसन
(Newton Raphson), अधिकतम इटरेशंस
(iterations) 50 और tolx को वैसा
ही रखने के लिए था,
जैसा कि हमने पिछले
व्याख्यान में fsolve
में देखा था। हम 1e-6
ठीक के रूप में tolx
लेंगे। कम्प्यूटेशन
(computation)का उपयोग, निश्चित
बिंदु इटरेशंस (iterations)
नहीं, न्यूटन रैपसन
(Newton Raphson) ठीक है। हमारे
शुरुआती X, हमें इस
X0 को कॉल करना चाहिए,
हमारा शुरुआती X X0
है, और हमारा Xold भी
X0 है, इसलिए ठीक है।
अब यहाँ पर f, j = lorenzSysnr
(x) ठीक है। इसलिए पहले
जो हमारे पास था, हमने
गणना f कि 2- x + log (x) का
उपयोग करने के बजाय
हमारे fx के बराबर
2-x + log (x) के बराबर है।
हमारा f (x) x-y वगैरह
है और आगे। हमारा
f (x) xy, 2x-xz-y और xy-3z था। तो,
हमने इस विशेष तत्व्
को इस lorenzSysnr के साथ
बदल दिया और lorenzSysnr
के अलावा f देने के
साथ जेकबियन (Jacobian)
भी देता है। X का हमारा
नया मूल्य होने जा
रहा है, X-jacobian inverse का
हमारा पुराना मूल्य
है। तो inv j को f से गुणा
करें। एर्रर (error) X-Xold
होने वाली है और एर्रर
(error), हम चाहते हैं
कि सभी नियम ith कॉलम
यह होना चाहिए। और
हमारी Xold = x और यदि
एर्रर (error) से कम है,
यदि सभी एर्रर्स
(errors), सहिष्णुता x से
कम हैं, तो इस संकलन
को ठीक करें। तो, यही
हमारे पास है, हमें
clear all करते है। आइए
हम इस मल्टीवारिएबल
(multivariable) nr को हल करते
हैं। मल्टीवारिएबल
(multivariable) nr को हल करें
और हमें 1, .7321, 1. 7321 और
1.0 के रूप में समाधान
x मिलता है और हमें
यह x केवल 5 इटरेशंस
(iterations) में मिला है।
अब हम बदलते हैं, कि
प्रारंभिक अनुमान
-1, -1 और 1 है और देखते
हैं कि जब हम इसे run
करते हैं तो क्या
होता है। इसलिए, जब
हम इसे run करते हैं,
तो हम फिर से solution और
solution प्राप्त करते
हैं फिर से हम 5 इटरेशंस
(iterations) में पहुंच गए।
और समाधान है -root 3,
-root 3 और 1.0। आइए हम इसे
-1 -1 और 0. में बदलते
हैं और हमें देखते
हैं कि हमें क्या
solution मिलता है और हम
इसे run करते हैं। हम
अपने x 10 के पावर (power)
-21 के रूप में प्राप्त
करते हैं। इसलिए
यह वास्तव में 0 के
करीब है।
यह समग्र कोड (code) है
जिसे हमने 3 नॉनलाइनर
(nonlinear)समीकरणों और
3 अज्ञात के सिस्टम
(system) को हल करने के
लिए उपयोग किया है
जो कि मल्टीवारिएबल
(multivariable) न्यूटन रैपसन
(Newton Raphson)का उपयोग कर
रहा है। हमने न्यूटन
रैपसन (Newton Raphson) कोड
(code) और मुख्य रूप से
2 स्थानों पर किए गए
परिवर्तनों के साथ
सिंगल वेरिएबल (single
variable) के साथ शुरुआत
की। पहला परिवर्तन,
जो हमने किया था, x
= x खेद, 2-x + ln (x) की गणना
करने के बजाय हमने
अपने f और हमारे जेकबियन
(Jacobian) की गणना करने
के लिए अपने फ़ंक्शन
(function) lorenzSysnr का उपयोग
किया। और इसके बजाय
x = x - f को df से विभाजित
करके उपयोग किया
गया, inverse जैकबियन (Jacobian)
के साथ हमारे फंक्शन
(function) f को पहले से गुणा
कर दिया। यह दूसरा
बदलाव था जो हमने
किया था। तीसरा बदलाव
जो हमने किया, वह यह
था कि किसी भी ith इटरेशंस
(iterations) में एर्रर (error)
अब एकल मान नहीं है,
लेकिन यह एक स्तंभ
वेक्टर ठीक है। तो,
हमने उस कॉलम वेक्टर
को x और xold के बीच के
अंतर के रूप में पाया
और जाँच किया कि क्या
उस कॉलम वेक्टर के
सभी 3 तत्व, x सहिष्णुता
से कम हैं या नहीं।
और अगर वे थे, तो हमने
इटरेशंस (iterations) को
रोक दिया, यदि हमने
इटरेशंस (iterations) जारी
नहीं रखी, जब तक कि
रोक के मापदंड ठीक
थे। तो, इसके साथ ही
हम मूल रूप से इस व्याख्यान
के अंत में आते हैं,
लेकिन मॉड्यूल संख्या
5 के अंत में हीं है।
और शुक्रिया, सुनने
के लिए। अगले मॉड्यूल
में, संख्या 6, हम रिग्रेशन(regression
), इन्टरपोलेशन(interpolation
) और कर्व फिटिंग (curve
fitting) को कवर करने जा
रहे हैं। शुक्रिया
और अगले हफ्ते मिलते
हैं।