Using MATLAB command fsolve (multi-variable) Video Lecture | MATLAB Programming for Numerical Computation - Software Development

नमस्कार और संख्यात्मक
अभिकलन के लिए MATLAB
प्रोग्रामिंग (MATLAB
programming for numerical computations) पर
इस पाठ्यक्रम में
आपका स्वागत है।
हम मॉड्यूल 5 में हैं,
nonlinear बीजीय समीकरणों
(non linear algebraic equations) को हल
करने के तरीकों को
कवर करते हैं। इस
व्याख्यान में, वह
व्याख्यान 5.5 है।
मैं मुख्य रूप से
कवर करने जा रहा हूं,
हम कैसे MATLAB फ़ंक्शन
(function) fsolve का उपयोग कर
सकते हैं। पहले, हमने
एक और MATLAB फ़ंक्शन
fzero का उपयोग किया
है। एक एकल वेरिएबल
(variable) में fzero एक समीकरण
को हल करने में सक्षम
था। दूसरी ओर fsolve, एक
साथ कई अरेखीय बीजीय
समीकरणों (non linear algebraic
equations) को हल करने में
सक्षम है।
इससे पहले कि हम आज
के व्याख्यान की
विषय-वस्तु पर आगे
बढ़ें, आइए हम recap करें
कि हमने मॉड्यूल
5 में अब तक क्या किया
है। हमने क्या किया
है, यदि हमने f (x) = 2-x
+ ln (x) = 0 का उदाहरण लिया
है और इस एकल वेरिएबल
(variable) समीकरण को हल
किया, x का मान प्राप्त
करने के लिए, जो समाधान
देता है। पहले व्याख्यान
में, हमने एक विधि
को कवर किया जिसे
बैसेक्शन विधि (bisection
method) के रूप में जाना
जाता है, हमने इस समीकरण
को हल करने और समाधान
खोजने के लिए अपना
कोड लिखा।
दूसरे व्याख्यान
में, हमने दिखाया
कि कैसे हम MATLAB फ़ंक्शन
(function) fzero का उपयोग कर
सकते हैं। अगले 2 व्याख्यानों
में, हमने फिक्स्ड
प्वाइंट इरीटेशन
(fixed point iteration) और न्यूटन
रैपसन विधि (Newton Raphson
method) को कवर किया। इन
दोनों को, कई वेरिएबल
(variable) तक बढ़ाया जा
सकता है। हालाँकि,
लेक्चर 3 और लेक्चर
4 में, हमने एक ही उदाहरण
2-x + ln (x) के लिए फिक्स्ड
प्वाइंट इटरेशन (fixed
point iteration) और न्यूटन
रैपसन विधि (Newton Raphson
method) को कवर किया। हमने
इस उदाहरण का उपयोग
प्रदर्शन करने के
लिए किया है, संख्यात्मक
विधियों के कुछ गुण
जो हमने 4 व्याख्यान
में कवर किए हैं।
आगे जो आता है, वह
निम्नलिखित है; इस
व्याख्यान में, हम
देखने जा रहे हैं,
कि कैसे हम MATLAB फ़ंक्शन
fsolve का उपयोग कर सकते
हैं। सबसे पहले, हम
fsolve का उपयोग करने
जा रहे हैं, उसी समीकरण
2-x + ln (x) = 0 को हल करने
के लिए. अगले व्याख्यान
में, हम a, n समीकरण
और n अज्ञात को हल
करने के लिए बहुभिन्नरूपी
न्यूटन रैपसन विधि
(Newton Raphson method) को देखने
जा रहे हैं।
तो, चलिए आज के व्याख्यान
की एक सामग्री के
साथ शुरू करते हैं,
जहां, हम एकल समीकरण
2-x + ln (x) में एकल समीकरण
को हल करने के लिए
MATLAB फ़ंक्शन fsolve का
उपयोग करने जा रहे
हैं, और फिर हम इसे
विस्तारित करने जा
रहे हैं, एकाधिक वेरिएबल
(multivariable) उदाहरण ठीक
है।
तो फ़ंक्शन fsolve का
उपयोग कैसे करें?
फ़ंक्शन fsolve का सिंटैक्स
(syntax) फ़ंक्शन fzero के
समान है। तो, इस मामले
में, हमारे वेरिएबल
(variable) x एक वेक्टर ठीक
होने जा रहा है। जैसा
कि हम पहले चर्चा
कर चुके हैं कि x एक
कॉलम वेक्टर होने
जा रहा है। तो यह n
पंक्तियाँ और एकल
स्तंभ है। तो, यह एक
n / 1 वेक्टर है। समाधान
होने जा रहा है, xSol
ठीक है। और यह भी n
/ 1 वेक्टर होने जा
रहा है और फ़ंक्शन
funName फ़ंक्शन फ़ाइल
है जो वेक्टर x के
फ़ंक्शन के रूप में
एक वेक्टर मूल्यवान
फ़ंक्शन f की गणना
करेगा।
फिर से, क्योंकि हम
n अज्ञात में n समीकरणों
को हल करने में रुचि
रखते हैं, f वापस लौटने
वाले हैं या फ़ंक्शन
funName n मान वापस करने
जा रहा है और इसे कॉलम
वेक्टर के रूप में
लौटाया जाएगा।
और हमें प्रारंभिक
अनुमान प्रदान करने
की आवश्यकता है, और
प्रारंभिक अनुमान
को वेरिएबल (variable) की
संख्या के समान आयाम
होना चाहिए। fzero के
विपरीत, हमें प्रारंभिक
अनुमान प्रदान करने
की आवश्यकता नहीं
है जो समाधान को ब्रैकेट
करते हैं। हमें केवल
प्रारंभिक अनुमान
प्रदान करना है, जो
हमें लगता है कि सबसे
अच्छा अनुमान है,
जिस समाधान के लिए
हम उम्मीद कर रहे
हैं।
तो, हमें एक उदाहरण
पर नजर डालते हैं,
हम nonlinear समीकरण 2-x +
ln (x) = 0 को हल करने के
लिए fsolve का उपयोग करेंगे,
मुझे MATLAB पर जाने दें
और इसलिए हम उस फ़ंक्शन
को देखें जिसे हमने
पहले ही बनाया है।
। हमने पहले ही fun4bisec
नाम से फंक्शन तैयार
किया था। जहाँ, फ़ंक्शन
मान, यह फ़ंक्शन मान,
2-x + ln (x) गणना करता है।
और हम इसे हल करना
चाहते हैं।
जैसा कि मैंने यहां
कहा था, हमारा funName
एक ऐसा फंक्शन है
जो f(x) को गणना करता
है। fsolve MATLAB फ़ंक्शन
है जिसे हम f (x) = 0 में
हल करेंगे। इसे किसी
तरह एक फ़ंक्शन की
आवश्यकता होती है
जो इसके लिए f (x) की
गणना करता है ठीक
है। और यही हम यहां
प्रदान करने जा रहे
हैं। और हम उस फ़ंक्शन
को बिल्कुल भी संशोधित
नहीं करने जा रहे
हैं। और हम सिंटैक्स
का उपयोग करने जा
रहे हैं, जैसा कि यहां
दिखाया गया है।
f xSol = या समाधान या
= fsolve ठीक @ x वह वेरिएबल
(variable) है, जिसे हम हल
करना चाहते हैं, फ़ंक्शन
का नाम 4bisec (x) fsolve @ x space
fun4bisec कोष्ठक में x।
इस तरह से हम इस विशेष
फ़ंक्शन को कॉल करते
हैं और इसे fsolveकरते
हैं और हमें एक प्रारंभिक
अनुमान की आवश्यकता
होती है, इसलिए हमें
इस मामले में प्रारंभिक
अनुमान बताएं, आइए
हम शुरुआती अनुमान
को 1 मानते हैं। और
हमें सिर्फ एंटर
(Enter) करने दें।
जब हम x = 1 के रूप में
प्रारंभिक अनुमान
देते हैं, तो हम एक
समस्या में आते हैं।
। हमें यह समस्या
क्यों है, इसका कारण
यह है कि हम इस विशेष
फ़ंक्शन को देखें।
अब इस फंक्शन में
x = 1 पर मैक्सिमा (maxima)
है, इसलिए, उदाहरण
के लिए, यदि आप इसे
अलग करते हैं, जैसा
कि हमने पहले व्याख्यान
में देखा था, तो हम
इसे -1 + 1/x के रूप में
प्राप्त करते हैं।
- 1 + 1/x पर x = 1, 0 के बराबर
होने जा रहा है।
जिसका अर्थ है कि
विशेष व्यक्ति या
तो एक मैक्सिमा (maxima)
या मिनिमा (minima) होने
जा रहा है। इसलिए,
यदि अब, यदि हम लेते
हैं, तो d वर्ग लेते
हैं हम x=1 पर -1/x वर्ग
ऋणात्मक मान प्राप्त
करने जा रहे हैं, जिसका
अर्थ है कि यह एक मैक्सिमा
(maxima) है। इसलिए, यह
फ़ंक्शन, जैसा कि
हमने पहले देखा था,
अधिकतम 1 मूल्य पर
मैक्सिमा (maxima) से गुजरता
है। तो, fzero के विपरीत,
जहां हमें समाधान
देने की आवश्यकता
थी, जो एक प्रारंभिक
अनुमान देते हैं,
जो यहां समाधान को
कोष्ठक करते हैं,
हमें प्रारंभिक अनुमान
का एक उचित मूल्य
प्रदान करने की आवश्यकता
है।
प्रारंभिक अनुमान
के मूल्य 1 के बराबर
प्रदान करने के साथ
समस्या कि न्यूटन
राफसन (Newton Raphson) या fsolve
जैसी विधि आगे नहीं
बढ़ सकती है, क्योंकि
x = 1 की धीमी गणना 0 के
बराबर है। तो यह एक
समस्या है, कि दोनों
fsolve और न्यूटन रैपसन
(Newton Raphson) विधि सामना
करते हैं। आप आरंभिक
अनुमान के साथ हल
नहीं कर सकते, एक प्रारंभिक
अनुमान है कि एक स्थानीय
मिनीमा (local minima) या स्थानीय
मैक्सिमा (local maxima) है।
हम आगे क्या देखने
जा रहे हैं यदि हम
एक प्रारंभिक अनुमान
के साथ शुरू करते
हैं जो कि उस मैक्सिमम
(maximum) के बाईं ओर है
जो हम पहले समाधान
तक पहुंचने जा रहे
हैं, अगर हम अधिकतम
अनुमान के दाईं ओर
एक प्रारंभिक अनुमान
के साथ शुरू करते
हैं, तो हम जा रहे
हैं दूसरे समाधान
पर पहुंचें।
तो आइए हम बाईं ओर
एक प्रारंभिक अनुमान
लेते हैं और वह प्रारंभिक
अनुमान उदाहरण के
लिए 0.5 ठीक है। और हम
इसे हल करें। जब हम
इसे हल करते हैं, तो
हमें MATLAB का परिणाम
मिलता है, यह बताता
है कि समीकरण हल हो
गया है और समाधान
xSol = 0.1586 है। स्मरण करो,
वह समाधान था, पिछले
समाधान जो हमने पिछले
व्याख्यान में प्राप्त
किया था ठीक है। अब
x = 2 का प्रारंभिक अनुमान
लेते हैं और देखते
हैं कि क्या होता
है। जब हम x = 2 का प्रारंभिक
अनुमान लगाते हैं,
तो xSol 3.1462 हो जाता है।
तो हम अब दूसरे समाधान
के लिए मिलता है।
अंत में, प्रारंभिक
अनुमानों का एक तीसरा
सेट, दूसरे समाधान
के दाईं ओर होने वाला
है। तो, आइए हम उस
मान को 5 के रूप में
लेते हैं और देखते
हैं कि fsol कनवर्ज (converge)
करता है या नहीं।
जब हम विधि 5 लेते
हैं, तो फिर से क्षमा
करें, हम प्रारंभिक
अनुमान को 5 के रूप
में फिर से लेते हैं,
हमें परिणाम मिलता
है कि समीकरण हल हो
गया है और पहुंच गया
समाधान दूसरा समाधान
3.1462 है। तो, इसके साथ
हम पहले उदाहरण के
अंत में आते हैं, जो
कि एकल वेरिएबल (variable)
उदाहरण ठीक था।
एकल वेरिएबल (variable)
उदाहरण, जिसके साथ
हम fsolve में उपयोग करते
हैं। हमने देखा कि,
हम ठीक उसी सबरूटीन
(subroutine) का उपयोग करने
में सक्षम थे, ठीक
उसी प्रकार का फ़ंक्शन,
जैसा कि हम f(x) को वापस
करने के लिए f0 में
उपयोग करते हैं।
एक बार, उस विशेष फ़ंक्शन
को fsolve पर पारित कर
दिया गया था, fsolve गैर-बीजगणितीय
समीकरण (non-linear algebraic equation)
को हल करने में सक्षम
था, प्रारंभिक अनुमानों
के अधिकांश के लिए,
लेकिन यह हमेशा उस
समीकरण को हल करने
में सक्षम नहीं था।
मामलों में से एक,
जब यह इस समीकरण को
हल करने में असमर्थ
है, अगर हम शुरू करते
हैं या अगर हम एक स्थानीय
मिनीमा (local minima) या स्थानीय
मैक्सिमा (local maxima) के
करीब शुरू करते हैं
जैसा कि हमने देखा,
जब हमने x0 = 1 से शुरू
किया था।
अगला, हम बहुविकल्पीय
उदाहरणों को cover करने
जा रहे हैं। और जिस
उदाहरण को मैं कवर
करने जा रहा हूं वह
एक 3-आयामी प्रणाली
है। तो, हम f(x) में हमारे
समाधान वेरिएबल (variable)
x है। हमारा x एक 3-आयामी
वेरिएबल (variable) होने
जा रहा है और f एक 3-आयामी
वेक्टर मूल्यवान
फ़ंक्शन होने जा
रहा है। इसके लिए,
हम एक उदाहरण लेने
जा रहे हैं, जिसे लॉरेंज
प्रणाली (Lorenz system) के
नाम से जाना जाता
है।
लोरेंज प्रणाली (Lorenz
system) , एक पहला उदाहरण
था जिसने अराजकता
का प्रदर्शन किया
और यह एक बहुत ही दिलचस्प
उदाहरण है, लोगों
को जानने के लिए और
यदि आप देखना चाहते
हैं या लोरेंज समीकरण
(Lorenz equation) के बारे में
कुछ विचार प्राप्त
करना चाहते हैं, तो
आप इस विकिपीडिया
लेख पर जा सकते हैं
यहाँ। और इसमें लोरेंज
समीकरण (Lorenz equation) का
बहुत अच्छा वर्णन
है? आप यहाँ इस विकिपीडिया
लेख पर जा सकते हैं,
हम इन समीकरणों को
प्राप्त करने जा
रहे हैं, x - y = 0; 2x - xz - y
= 0; xy - 3z = 0. तो, चलते हैं
और MATLAB का उपयोग करके
इसे हल करने का प्रयास
करते हैं।
लोरेंज सिस्टम (Lorenz
system) ठीक है। मैं एक
नया फ़ाइल फंक्शन
बनाऊंगा fval = lorenzSystem
X ठीक।
इसलिए, हमने यहाँ
पर इनलेट इनपुट वैरिएबल
(inlet input variable) के रूप में
कैपिटल x का उपयोग
किया है। हमें हमारे
तीन वेरिएबल (variable)
परिभाषित करते हैं,
x = X1, y = x2, z = x3 को परिभाषित
करते हैं, परिभाषित
करें f (x) ठीक है। तो
fval (1, 1) बराबर, fval (2, 1) बराबर,
fval (3, 1) बराबर फिर से।
हमने पहले भी कई बार
कहा था, कि हम यह सुनिश्चित
करने में रुचि रखते
हैं कि, fval एक कॉलम
वेक्टर होने जा रहा
है। इसका मतलब है
n संख्या पंक्तियों
और एक एकल स्तंभ ठीक
है। इसलिए हमारे
पास पहले समीकरण
के रूप में x-y है। 2x-xz-y,
2 * x - x * z, -y, जो कि दूसरा
f है और तीसरा xy-3z है,
जो x * y, -3 * z पर है , हम
अपने कमांड प्रॉम्प्ट
(command prompt) पर जाएं।
तो, अब हमें एक प्रारंभिक
अनुमान की आवश्यकता
है। तो, आइए हम प्रारंभिक
अनुमान के रूप में
1, 1, 1 को लेते हैं। और
हम xsol = fsolve @ का उपयोग
करेंगे x LorenzSystem x कहते
हैं, x ऐसा नहीं है
जो प्रारंभिक अनुमान
है, और हमें xsol में
समाधान देना चाहिए।
मैं एंटर (Enter) दबाऊंगा,
समीकरण का समाधान
हो गया है। और समाधान
1.7321, 1.7321 और 1. यदि आप
इन समीकरणों को लेते
हैं और इन्हें हल
करने का प्रयास करते
हैं, तो आप पाएंगे
कि लोरेंज समीकरण
(Lorenz Equation) या लोरेंज
प्रणाली (Lorenz System) में
3 समाधान हैं। 1 समाधान
root 3, root 3 1 है, दूसरा समाधान
-root 3 -root 31 और तीसरा समाधान
000 या origin ठीक है।
तो, आइए, हम कोशिश
करें कि दूसरा समाधान
भी प्राप्त करें।
111 कहने के बजाय x0 है।
बता दें कि x0 -1, -1, 1 था
और अब xsol खोजने की
कोशिश करते हैं।
और जब हम ऐसा करते
हैं, तो हमें अन्य
समाधान -root 3, -root 3, 1.0 मिलता
है। तो चलिए एक और
प्रारंभिक अनुमान
लगाते हैं। और इस
मामले में, हम कहते
हैं, प्रारंभिक अनुमान
-1-1 0 थे. आइए हम उस के
साथ प्रयास करें।
और xsol। जब हम कोशिश
करते हैं, तो हम समाधान
प्राप्त करते हैं,
जो लगभग 0 के बराबर
होता है।
ध्यान रखें, कि हमें
समाधान ठीक 0 नहीं
मिल रहा है। क्यों
क्योंकि, हमारे पास
एक रोक मापदंड है,
और fsol में रोक मानदंड
है, कि x के लिए सहिष्णुता
मान शक्ति -6 है। और
आप कर सकते हैं, हम
कहते हैं कि help fsolve।
एक कमांड है जिसे
optimoptions कहा जाता है।
और optimoptions वह कमांड
है जिसका उपयोग आप
optimization गुणों को बदलने
के लिए कर सकते हैं,
जिस स्थिति में आपको
fsolve को हल करने के लिए
कमांड देने की आवश्यकता
होगी जैसा कि यहाँ
दिखाया गया है। जहां
option वेक्टर से आता
है, वहां से option आता
है, यह optimoptions है।
तो, आइए हम optimoptions को
देखें। हम कहते हैं
fsolve। जब हम यह टाइप
करते हैं, तो हम प्राप्त
करते हैं, default option क्या
हैं जो fsolve उपयोग करता
है। डिफ़ॉल्ट (default)
option है, कि फ़ंक्शन
सहिष्णुता। हम f (x)
= 0 को 10^-6 कहने के लिए
निर्दिष्ट करते हैं।
हमारे समाधान वेरिएबल
(variable) x पर सहिष्णुता
भी 10^-6 है।
इसलिए जब तक हमारा
समाधान, सही समाधान
से बचाव, 10^-6 से कम है,
हमारी विधि अभिसरण
होने वाली है, तब तक
अभिसरण (converge) होने
वाला है। इस मामले
में, true solution 0 था। और
जब समाधान, दे दिया
गया था, तो 10^-7 से 3, .3,
.5 गुणा हो जाता है।
। इसका मतलब है कि,
हम वेरिएबल टॉलरेंस
tolx वैल्यू (variable tolerance
tolx value) के मुकाबले 0
के करीब हैं।
इसलिए, इस व्याख्यान
के अंत में हम आते
हैं। इस व्याख्यान
में हमने जिन बातों
को शामिल किया था,
वे थीं 2 चीजें, एकल
वेरिएबल (variable) fsolve और
एक multivariable fsolve। हमने
लारेंज समीकरणों
(Lorenz equations) का उदाहरण
लिया है, जो multivariable
fsolve के लिए है। इसके
साथ मैं इस व्याख्यान
के अंत में आता हूं,
और मैं आपको अगले
व्याख्यान में देखूंगा।
धन्यवाद।