Fixed Point Iteration in Single Variable - MATLAB Video Lecture | MATLAB Programming for Numerical Computation - Software Development

नमस्कार और संख्यात्मक
अभिकलन के लिए MATLAB
प्रोग्रामिंग (MATLAB
programming for numerical computations में
आपका स्वागत है।
हम इस सप्ताह में
सप्ताह 5 में हैं।
हम फार्म f (x) = 0. के nonlinear
बीजगणितीय समीकरणों
(non linear algebraic equations) को हल
करने के तरीकों को
कवर कर रहे हैं। 5.1
व्याख्यान में हमने
nonlinear बीजगणितीय समीकरण
(non linear algebraic equations) हल करने
की तकनीकों के साथ-साथ
कवर की गई 1 तकनीक
को bisection विधि के रूप
में जाना।
व्याख्यान 5.2 में
हमने MATLAB फ़ंक्शन
को कवर किया है जिसे
fzero कहा जाता है जिसका
उपयोग एकल वेरिएबल
(variable) में समीकरण को
हल करने के लिए किया
जा सकता है। आज के
व्याख्यान में हम
केवल एकल वेरिएबल
(variable) फिक्स्ड पॉइंट
इटरेशन (fixed point iteration)
विधि को कवर करने
जा रहे हैं।
इसलिए फिक्स्ड पॉइंट
इटरेशन (fixed point iteration)
को successive substitution की विधि
के रूप में भी जाना
जाता है इसका कारण
अभी से कुछ मिनटों
में स्पष्ट हो जाएगा।
कम्प्यूटेशनल तकनीक
पाठ्यक्रम से संबंधित
मॉड्यूल मॉड्यूल
नंबर 4 है, व्याख्यान
2 जिसके लिए लिंक नीचे
दिया गया है। कम्प्यूटेशनल
तकनीकों के पाठ्यक्रम
में यह 10 वां व्याख्यान
है।
form f (x) = 0 के समीकरण को
हल करने के बजाय फिक्स्ड
पॉइंट इटरेशन (fixed
point iteration) = इसके बजाय
form x = g (x) के समीकरण को
हल करता है। अब सवाल
है कि g (x) और f (x) कैसे
संबंधित हैं। इसलिए
यदि हम इस समीकरण
को x - g (x) = 0 या g (x) - x = 0.
के रूप में फिर से
लिख रहे हैं, तो हमें
समीकरण f (x) = 0. के रूप
में इस समीकरण को
पुनः प्राप्त करना
होगा।
हमें उस g (x) पर ध्यान
देना चाहिए। समग्र
function का एक अनूठा प्रतिनिधित्व
नहीं है। तो ऐसे कई
तरीके हैं जिनसे
हम f (x) को g (x) में बदल
सकते हैं।
इसलिए उस समीकरण
को देखें जिसे हम
हल करना चाहते हैं।
जिस समीकरण को हम
हल करना चाहते हैं
वह xi + 1 = g (xi) है। तो इसका
क्या मतलब है कि हम
शुरुआती अनुमान x0
से शुरू करते हैं।
और इस समीकरण में
और इस मूल समीकरण
में हम सिर्फ x0 के
मान को प्रतिस्थापित
करते हैं। जो परिणाम
हमें मिलता है, उसे
हम x1 के रूप में assign
करते हैं। आगे फिर
से X1, हम अपने फंक्शन
g (x) में प्रतिस्थानिक
करते हैं, जो रिजल्ट
हमें मिलता है, उसे
हम x2 के रूप में आगे
बढ़ाते हैं।
हम वास्तव में क्या
कर रहे हैं, हम क्रमिक
रूप से x (i) को समीकरण
में बदल रहे हैं और
x (i + 1) प्राप्त कर रहे
हैं और इसलिए इसे
successive substitution की विधि
के रूप में भी जाना
जाता है। अब इस विधि
को सभी शर्तों के
तहत अभिसरण करने
की गारंटी नहीं है
और जब यह अभिसरण करता
है और जब यह अभिसरण
नहीं करता है तो इसका
अध्ययन भी बड़े पैमाने
पर किया जाता है।
आज के व्याख्यान
में हम क्या करेंगे,
हम उदाहरण लेंगे
कि हम पिछले कुछ समय
से 2-x + ln (x) के लिए क्या
कर रहे हैं, इसे x = g
(x) के रूप में परिवर्तित
करें और देखें कि
हम क्या समाधान करते
हैं जब हम MATLAB में इसे
हल करने जा रहे हैं।
जिन 2 तरीकों को मैंने
यहाँ दिखाया है, क्या
आप इस x को दाहिने
हाथ की तरफ ले जा रहे
हैं और आपको x = 2+ ln (x)
मिलेगा।
अन्य विकल्प इन लोगों
को दाहिने हाथ की
ओर ले जाते हैं और
एक एक्सपोनेंट (exponent)
प्राप्त करते हैं
जिसके परिणामस्वरूप
ln (x) = (x-2) या x = e^(x-2) प्राप्त
होगा। तो 1 के मामले
में, हमारे पास g (x)
= 2+ ln (x) है, 2 के मामले
में, हमारे पास g (x)
= e^(x-2) है। हम क्या करेंगे,
यह पता लगाने की कोशिश
करेंगे कि g(x) के लिए
कौन सा समीकरण किस
समाधान की ओर जाता
है।
हमने पहले देखा है
कि इस समस्या के 2
समाधान हैं। एक समाधान
0.1586 और दूसरा समाधान
3.1462 ठीक है। इस पर निर्भर
करते हुए कि क्या
हम समाधान के बाईं
ओर शुरू करते हैं,
चाहे हम इन 2 समाधानों
के बीच शुरू करें
या चाहे हम समाधान
के दाईं ओर शुरू करें।
हम फिक्स्ड पॉइंट
इटरेशन (fixed point iteration)
का उपयोग करके अलग-अलग
परिणाम प्राप्त करने
जा रहे हैं और यह कुछ
ऐसा है जिसे हम आज
के व्याख्यान में
अध्ययन करने जा रहे
हैं।
तो जब यह फिक्स्ड
पॉइंट इटरेशन (fixed
point iteration) की बात आती
है, तो हम आगे क्या
करने जा रहे हैं, इस
फॉर्मूलेशन (formulation)
के लिए x = g (x) को हल करने
के लिए और साथ ही विभिन्न
प्रारंभिक स्थितियों
के लिए इस फॉर्मूलेशन
(formulation) को देखने के
लिए ठीक है। हमें
MATLAB पर जाएं और हमारे
codes को ऐसा करने के
लिए लिखें। fixPtIter संपादित
करें। तो यह एक नई
फ़ाइल है जिसे मैं
फिक्स्ड पॉइंट इटरेशन
(fixed point iteration) का उपयोग
करके नॉनलाइनियर
समीकरणों (non linear equations)
को हल करने के लिए
बनाऊंगा।
case 1: g(x) 2+ ln(x) है, case 2 g(x)
e^x-2 है। तो आइए हम प्रारंभिक
स्थिति और प्रारंभिक
स्थिति कहते हैं,
मान लें कि 2 समाधानों
के बीच शुरू होगा।
प्रारंभिक स्थिति
x 1 के बराबर नहीं है।
हम कई पुनरावृत्तियों
के लिए करने जा रहे
हैं। तो आइए हम कहते
हैं कि अधिकतम संख्या
की पुनरावृत्तियों
को केवल 50 के रूप में
रखा जाए। और चलिए
अब हम i = 1 से maxIter से
शुरुआत करते हैं।
तो ठीक है, हमारा फिक्स्ड
पॉइंट इटरेशन (fixed
point iteration) क्या है, बस
x = g (x) होने जा रहा है,
g(x) 2+ log(x) था। और यह ठीक
होना चाहिए। हमें
MATLAB पर जाने दें और
बस यह सुनिश्चित
करने के लिए help log करें
कि log वास्तव में प्राकृतिक
लॉगरिदम (natural logarithm)है
और 10 के आधार पर log न
करें। हां, जो वास्तव
में यह natural logarithm है,
वह प्राकृतिक logarithm
(natural logarithm) के लिए है,
यदि आप आधार 10 के लिए
logarithm चाहते हैं, जो
कि हम इस समस्या में
नहीं, बल्कि एक अन्य
समस्या में चाहते
हैं। य
दि हम आधार के लिए
logarithm चाहते हैं तो
हमें बताएं। इसके
लिए MATLAB कमांड log10 है।
और log प्राकृतिक logarithm
(natural logarithm) के लिए MATLAB
कमांड है। आइए हम
इस स्क्रीन को clean
करें और हमें अपने
कोड पर वापस जाएं।
इसलिए हम अपनी एरर
(error) की गणना करना चाहते
हैं। इसलिए मैं अभी
इसके लिए टिप्पणी
करूंगा। हमें कहें
err = abs (x-xold)। और xold, हम
इस पर भी टिप्पणी
करेंगे, xold = x।
इसलिए जब भी हम इस
गणना को चलाते हैं
तो एक बार जब हम एरर
(error) की गणना कर लेते
हैं, तो x का वर्तमान
मान अभी हमारे पास
सिर्फ xold में कोड होता
है। और फिर हम पुनरावृत्तियों
पर वापस जाते हैं।
और हम कहते हैं कि
फिक्स्ड पॉइंट इटरेशन
(fixed point iteration) का उपयोग
करके गणना ठीक है।
अब मुझे क्या उम्मीद
है? मैं वहाँ एक एरर
(error) होने की उम्मीद
है। हमें देखते हैं
कि क्या आप कोड को
देख सकते हैं और यह
पता लगा सकते हैं
कि वह एरर (error) क्या
है।
वैसे भी मैं MATLAB पर
आयोजित करूंगा और
इस समस्या को हल करने
का प्रयास करूंगा।
और हम देखेंगे कि
हम यहाँ एक एरर (error)
प्राप्त करने जा
रहे हैं। और मैं इसके
माध्यम से जाऊंगा,
हमें वह एरर (error) क्यों
मिली और इसे कैसे
किया जाए। तो FixPtIter,
हाँ Enter करें। तो हमें
एक एरर (error) मिल रही
है जो लाइन नंबर 11
में अपरिभाषित फ़ंक्शन
या वेरिएबल (variable) x
एरर (error) है।
तो चलिए इस लाइन नंबर
11 पर क्लिक करते हैं।
एरर (error) क्या कहती
है? एरर (error) का कहना
है कि जब MATLAB लाइन नंबर
11 तक पहुंचता है, तो
यह वेरिएबल (variable) x
को नहीं समझता है।
इसका क्या मतलब है
कि वेरिएबल (variable) x
अपने workspace में नहीं
है। तो आइए हम पंक्ति
संख्या 11 पर जाते
हैं और देखते हैं
कि क्या है। तो यह
11 के साथ कोई समस्या
नहीं लगती है।
तो आइए देखें कि समस्या
क्या है, हमने x0 को
परिभाषित किया है
जिसे हमने maxIter परिभाषित
किया है, लेकिन इस
बिंदु पर हमने अपने
वेरिएबल (variable) x को
परिभाषित नहीं किया
है जो यहाँ पर दाहिने
हाथ की तरफ दिखाई
देता है ठीक है । तो
हम एक प्रारंभिक
अनुमान से क्या मतलब
है? प्रारंभिक अनुमान
का मूल अर्थ है कि
पहला इटरेशन शुरू
होने से पहले, हमारे
वेरिएबल (variable) x को
x0 का मान मिलना चाहिए।
इसलिए वास्तव में
मुझे इसे गणना भाग
x = x0 पर रखना चाहिए।
तो ब्रैकेट 0 में x
x0 है, X1 है g (x0) जो तब
होता है जब i = 1, x2 होता
है g (X1) जो तब होता है
जब i = 2 इत्यादि। तो
यह वह बदलाव है जो
हमें करने की आवश्यकता
है। इसे save करें और
इसे run करें और हमें
इसका समाधान निकालने
में सक्षम होना चाहिए।
जब हम उस पर क्लिक
करते हैं तो फिक्स्ड
पॉइंट इटरेशन (fixed
point iteration), हमें समाधान
x यह मिलता है 3.1462।
आइए अब गणना करें
कि एर्रर्स (errors) और
पुराने मूल्य क्या
हैं। तो चलिए हम इसे
uncomment करते हैं। फिर
से वही एरर (error) यहाँ
होने की संभावना
है। अगर हम कुछ नहीं
बदलते हैं तो इस बिंदु
को परिभाषित नहीं
किया जाएगा। तो मैं
यहाँ क्या करूँगा,
मैं xold को x0 के रूप
में भी परिभाषित
करूँगा। और इसे save
करें, इसे run करें और
जब यह चलाया जाता
है, तो एरर (error) वास्तव
में 0 हो गई है।
हम मशीन की सटीकता
(machine precision) से नीचे जाने
तक फिक्स्ड पॉइंट
इटरेशन (fixed point iteration)
का उपयोग करके हल
करना नहीं चाह सकते
हैं। हमें एक प्राथमिकता
तय करने की आवश्यकता
है कि हमारी एरर (error)
सहिष्णुता क्या है।
तो घोल 3.1462 है। हम चाहते
हैं कि समाधान केवल
हमें चौथे दशमलव
स्थान के लिए कहें।
इसलिए हम कह सकते
हैं कि एरर (error) सहनशीलता
1 * 10^-4 होनी चाहिए।
और यह हमारे लिए पर्याप्त
होना चाहिए।
तो हम यहाँ पर क्या
करेंगे, x = 1e-4 में tolX
सहिष्णुता कहें और
हम तुलना करते हैं
कि क्या एरर (error) सहिष्णुता
से कम या अधिक है।
इसलिए यदि इर <टोलxठीक
है, तो कमांड ब्रेक
का उपयोग करके लूप
से बाहर आएं, ठीक है।
ठीक ऐसा ही हमने अपने
पहले के व्याख्यान
में भी किया है। और
अब हम इसे save करते
हैं। आइए हम एक कमांड
जोड़ते हैं जो सभी
वेरिएबल (variable) को क्लियर
(clear) कर देगा।
clear all करें और फिर हमें
इसे run करने दें और
देखें कि क्या ठीक
है। और हमने इसे x0
= 1 की प्रारंभिक स्थिति
के साथ चलाया है।
हमारा समाधान 3.1462
है, हमारी सहिष्णुता
1e-4 थी और जिस पर हम
रुके थे वह 3.6e-5 था।
हमारी एरर (error) सीमा
के नीचे एरर (error) तक
पहुँचने के लिए 11
पुनरावृत्तियों।
इस समय हमारे पास
इतना ही है। इसलिए
यह उचित जानकारी
है कि हम वास्तव में
इस 1 कोड के माध्यम
से उत्पन्न करने
में सक्षम हैं।
तो अब हम x0 = 1 से x0 = 0.1
में बदलते हैं। और
जब हम x0 = 0.1 में बदलते
हैं, तो जो होने वाला
है वह log(0.1) है, x का परिणाम
ऋणात्मक (negative) संख्या
के रूप में होगा और
हम अंततः अपने x मान
को एक काल्पनिक संख्या
के रूप में या एक जटिल
संख्या के रूप में
प्राप्त करेंगे।
तो चलिए हम इसे चलाते
हैं और देखते हैं
कि वास्तव में क्या
हैं। इसलिए जैसा
कि हमने कहा था कि
हम एक जटिल संख्या
के रूप में अपना x
मान प्राप्त करते
हैं।
हमें x टाइप करें।
x एक जटिल संख्या है
और यही कारण है कि
ऐसा तब होता है जब
हम x0 के साथ शुरू करते
हैं, तो हम कहते हैं
कि हम इसे केवल कॉपी
करें और इसे MATLAB स्क्रीन
में पेस्ट करें और
इसे x0 के साथ बदलें।
हमारा x मान -0.3026 है।
अब अगर हमें log (x) लेना
है जो एक काल्पनिक
या एक जटिल संख्या
में परिणाम देने
वाला है। और इसलिए
इस स्तर पर हमें इस
समग्र पद्धति को
जारी नहीं रखना चाहिए
क्योंकि हम उस समाधान
तक पहुंचने की गारंटी
नहीं देते हैं जो
हम चाहते हैं।
अगर हम चाहते थे कि
अगर हम वास्तविक
संख्या समाधान चाहते
हैं। तो इस मामले
में यह है कि हम हैं
कि हम भाग्यशाली
थे कि हम समाधान 3.1462
तक पहुंचने में सक्षम
थे और उस जटिल संख्या
का हमारा काल्पनिक
हिस्सा 0 था। ऐसा हमेशा
नहीं हो सकता है।
तो अगर आप एक वास्तविक
मूल्यवान समाधान
की उम्मीद कर रहे
थे और आपको एक जटिल
संख्या मिलती है
जो एक संकेत भी है
कि आपको उस लूप को
तोड़ना चाहिए जो
इसे हल कर रहा है।
हालाँकि हम अभी इस
कोड को बदलने नहीं
जा रहे हैं। आइए अब
हम एक अलग प्रारंभिक
स्थिति के लिए प्रयास
करें। आइए हम x0 = 4 की
प्रारंभिक स्थिति
लेते हैं और इस सिमुलेशन
(simulation) को चलाते हैं।
जब हम इसे x0 = 4 के साथ
9 पुनरावृत्तियों
के भीतर चलाते हैं
तो हम फिर से 3.1462 में
परिवर्तित हो जाते
हैं। आइए हम x0 = 40 जैसे
एक और x0 लेते हैं और
देखते हैं कि क्या
होता है। यदि हमारे
पास x0 = 40 है, तो फिर
से 3.1462 तक पहुंचने
के लिए 11 पुनरावृत्तियों
लगते हैं।
तो हम यहाँ पर जो देखते
हैं वह यह है कि यदि
हम इस विशेष g (x) का
उपयोग करते हैं, तो
हम इस लाइन पर शुरू
होने वाले किसी भी
मामले तक पहुँचने
वाले नहीं हैं। हम
दूसरे समाधान तक
पहुंचने जा रहे हैं
यदि हम 0 के करीब भी
शुरू करते हैं, तो
हम वास्तव में एक
जटिल मूल्यवान परिणाम
प्राप्त करेंगे क्योंकि
हम अपनी गणना के दौरान
एक नकारात्मक संख्या
के logarithm के साथ समाप्त
होते हैं।
तो यह हमारी समाधान
तकनीक का पहला हिस्सा
है। दूसरा भाग यह
है कि अगर हम इसे x
= e ^ x-2 के लिए हल करते
हैं, तो चलिए हम वापस
जाते हैं MATLAB पर जाएं
और इसे परिवर्तित
करके x = e ^ x-2 को करें।
और हमारे लिए यह करने
में सक्षम होने के
लिए कि यह एकमात्र
स्थान वही है जहां
हमारी प्रारंभिक
स्थितियां maxIter वही
बनी हुई हैं, tolx वही
रहता है, यह हिस्सा
भी वही रहता है।
केवल एक चीज जो बदलती
है वह है यह विशेष
लाइन और यह exp x-2, e ^ x-2
में बदल जाएगा, ठीक
है। और बाकी सब भी
वही रहने वाला है।
आइए हम कम प्रारंभिक
स्थिति के साथ शुरू
करें। आइए हम 0.1 की
प्रारंभिक स्थिति
से शुरू करते हैं,
जो पहले समाधान के
बाईं ओर है। आइए हम
इसे save करते हैं और
इस कोड को run करते हैं।
जब हम इस कोड को चलाते
हैं, तो फिक्स्ड पॉइंट
इटरेशन (fixed point iteration)
में कोड run हो जाता
है ओर 11 पुनरावृत्तियों
में converge होते हैं।
और समाधान x = 0.1586 है।
आइए अब हम पहले और
दूसरे समाधान के
बीच शुरू करते हैं।
हमें x0 = 1 कहते हैं।
आइए हम इस run को हल
करते हैं और इसे 7
पुनरावृत्तियों
में converge किया जाता
है। और हम फिर से 0.1586
के एक converge पर पहुंच
गए हैं। हम कहते हैं
कि हम 3 पर शुरू करने
वाले थे। 1 जो दूसरे
समाधान के बहुत करीब
है। आइए हम इसे चलाते
हैं और देखते हैं
कि क्या होता है।
हमने 3 प्रारंभिक
स्थिति के साथ 11 पुनरावृत्तियों
को लिया है। फिर से
हम समाधान x = 0.1586 पर
पहुंच गए हैं। जब
तक हम समाधान के बाईं
ओर शुरू कर रहे हैं,
हम पहले समाधान में
परिवर्तित हो रहे
हैं। आइए देखें कि
यदि हम समाधान के
दाईं ओर शुरू करते
हैं तो क्या होता
है। अगर शुरुआती
अनुमान 0.315 के दाईं
ओर था, तो हमें बताएं
कि हमें क्या मिलता
है।
तो चलिए शुरू करते
हैं 4 के शुरुआती समाधान
से, इस को save करें और
run करें। और जब हम इसे
चलाते हैं, तो हमारा
x अनंत होने वाला है।
यहां तक कि 50 पुनरावृत्तियों
में हमारे fixPtIter ने
converge नहीं किया है
कि यह वास्तव में
diverge किया है। तो चलिए
फिर से देखते हैं
कि यह x = e ^ x-2 क्या है।
तो आइए हम इसे यहाँ
डालते हैं और अगर
x e ^ x0 - 2 किया जाता है,
तो आइए इसे X1 कहते
हैं। X1 7.39 था।
x2 अब हम x2 = g (X1) की गणना
करेंगे। इसलिए हमने
enter दबाया है और 7.34 से
हम 219 तक चले गए हैं।
बता दें कि x3 x2 e ^ x2-2
था और हमें 1 .74 *10 ^ 94
मिला है। इसलिए जैसा
कि आप देख सकते हैं
कि समाधान बहुत जल्दी
diverge हो गया है। तो
हम यहाँ पर क्या देख
रहे हैं, अगर आप g से
शुरू करते हैं, यदि
आप g (x) = 2+ ln (x) लेते हैं,
तो कोई बात नहीं, इस
पंक्ति पर जहाँ आप
समाधान संख्या 2 तक
पहुँचते हैं जो 3.
1462 है।
यदि आप g(x) = e ^ x-2 लेते
हैं। यदि आप 0 और दूसरे
समाधान के बीच शुरू
करते हैं तो आप पहले
समाधान में परिवर्तित
हो जाएंगे। यदि आप
दूसरे समाधान से
परे शुरू करते हैं
तो हमारी fixPtIter स्कीम
diverge हो रही है। इसलिए
आज मैं इस व्याख्यान
में शामिल होना चाहता
हूं। इसके साथ ही
हम व्याख्यान 5.3 के
अंत में आते हैं।
व्याख्यान 5.4 में,
हम एक नई विधि को कवर
करने जा रहे हैं, जिसे
न्यूटन रैपसन विधि
(Newton Raphson) के रूप में
जाना जाता है, जो संभवत:
nonlinear बीजगणितीय समीकरणों
(non linear algebraic equations) को हल
करने के सबसे लोकप्रिय
तरीकों में से एक
है। तो 5.3 व्याख्यान
सुनने के लिए धन्यवाद
और मैं आपको अगले
व्याख्यान में देखूंगा।