प्रश्न का विवरण
इस प्रश्न में हमें त्रिकोणमिति के कुछ महत्वपूर्ण पहचान को उपयोग करके एक समीकरण को हल करना है। समीकरण है:
\[
\cos \theta = \frac{2}{3} \cdot (2 \sec^2 \theta + 2 \tan^2 \theta - 9)
\]

समीकरण का पुनर्गठन
1. सबसे पहले, हम \(\sec^2 \theta\) और \(\tan^2 \theta\) के लिए पहचान का उपयोग करेंगे:
- \(\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta\)
2. समीकरण को पुनर्गठित करते हैं:
- \(\tan^2 \theta\) से संबंधित सभी टर्म्स को एकत्रित करें।

समीकरण को हल करें
3. समीकरण को विस्तार से लिखें:
- \(\cos \theta = \frac{2}{3} \cdot (2(1 + \tan^2 \theta) + 2 \tan^2 \theta - 9)\)
4. इसे हल करने पर:
- \(\cos \theta = \frac{2}{3} \cdot (2 + 2\tan^2 \theta + 2\tan^2 \theta - 9)\)
- \(\cos \theta = \frac{2}{3} \cdot (4\tan^2 \theta - 7)\)

अंतिम साधारणकरण
5. इसे साधारण करें ताकि हम एक अंतिम रूप प्राप्त कर सकें।
- \(\cos \theta = \frac{8}{3} \tan^2 \theta - \frac{14}{3}\)

समाधान का निष्कर्ष
6. अब हमें \(\theta\) के विभिन्न मानों के लिए समीकरण को हल करना होगा।
- यहाँ से हम \(\tan\) और \(\cos\) के मान निकाल सकते हैं और \(\theta\) का मान प्राप्त कर सकते हैं।
इस प्रकार, इस समीकरण को हल करने के लिए हमें त्रिकोणमिति की कुछ मूल बातों को समझना और उनके उपयोग की आवश्यकता होती है।