संख्यात्मक प्रणाली: शेषफल खोजना | Mathematics for RRB NTPC (Hindi) - RRB NTPC/ASM/CA/TA PDF Download

GMAT में, शेष समस्याओं में यह समझना शामिल है कि जब एक संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित किया जाता है तो शेष राशि कैसे ज्ञात की जाती है। 
ये समस्याएँ संख्या गुणों, विभाज्यता नियमों और कुशल गणना विधियों की आपकी समझ का परीक्षण करती हैं।

जब किसी संख्या A को किसी संख्या B से विभाजित किया जाता है, तो इसे इस रूप में दर्शाया जा सकता है: A = B × Q + R
कहाँ,

• A  लाभांश है ,
• B  भाजक है
• Q  भागफल  (विभाजन का परिणाम) है , और
• R  शेष है , जो संतुष्ट करना चाहिए 0 ≤ आर< बी.

शेष क्या है?

• जब आप एक संख्या, जिसे " लाभांश " कहते हैं, को दूसरी संख्या, जिसे " भाजक " कहते हैं, से विभाजित करते हैं, तो परिणाम को भिन्न के रूप में व्यक्त किया जाता है, जैसे "लाभांश/भाजक।" 
• एक सरल उदाहरण में, जैसे 6 को 3 से भाग देना (6/3), उत्तर 2 है, जो कि " भागफल " है।
• हालांकि, सभी विभाजन समस्याएं 6/3 की तरह सीधी नहीं होतीं; कुछ का परिणाम " शेष"  होता है, जो मूलतः तब होता है जब एक संख्या दूसरी संख्या को पूरी तरह से विभाजित नहीं करती है, तथा पीछे एक संख्या छोड़ती है, जिसे शेष कहा जाता है।
• सरल शब्दों में कहें तो, शेष वह भिन्नात्मक भाग है जो दो संख्याओं को विभाजित करने पर बचता है, तथा विभाजन के फलस्वरूप पूर्ण संख्या भागफल प्राप्त नहीं होता है । 
• उदाहरण के लिए, जब आप 15 को 4 से विभाजित करते हैं, तो शेषफल 3 बचता है।

• शेष को मिश्रित संख्याओं के रूप में सोचना मददगार हो सकता है। उदाहरण के लिए, भिन्न 8/3 मिश्रित संख्या 2 के बराबर है 2/3.। यहाँ, 2/3 शेष को दर्शाता है, जो दर्शाता है कि पूर्ण संख्या बनाने के लिए आवश्यक 3 भागों में से 2 भाग बचे हैं। भिन्न का हर हमेशा भाजक के समान होगा।

गुणनफल का शेषफल ज्ञात करना (शेषफल व्युत्पन्न प्रमेय)

(i) यदि ' a₁ ' को  ' n ' से भाग दिया जाए तो शेष ' r₁ ' प्राप्त होगा तथा यदि ' a₂ ' को ' n ' से भाग दिया जाए तो शेष  r₂ प्राप्त होगा ।  तब,
(a) यदि a₁ + a_{2 को}  n से विभाजित किया जाए, तो शेष r₁ + r₂ होगा   _।
(b) यदि a₁ - a_{2 को}  n से विभाजित किया जाए, तो शेष r₁ - r₂ होगा ।
(c) यदि a₁ × a_{2 को}  n से विभाजित किया जाए, तो शेष r₁ × r₂ होगा ।

ऋणात्मक शेष की अवधारणा

• जब आप किसी ऋणात्मक संख्या को किसी धनात्मक संख्या से विभाजित करते हैं, तो कभी-कभी शेषफल ऋणात्मक हो सकता है। 
• लेकिन हमें आमतौर पर शेष राशि को सकारात्मक और 0 और भाजक के बीच रखना होता है। इसलिए हम इसे सकारात्मक करने के लिए समायोजित करते हैं।
  

उदाहरण के लिए, -8 को 5 से भाग दें।
हल: 
चरण 1: -8 को 5 से भाग दें: -8 ÷ 5 का भागफल -2 है, और शेष -3 है। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
-8 = 5 × (-2) + (-3)
चरण 2: शेष ऋणात्मक (-3) है। शेष को धनात्मक बनाने के लिए, 5 को -3 में जोड़ें:
-3 + 5 = 2
चरण 3: अब शेष धनात्मक है, और यह 2 है।
इसलिए, जब -8 को 5 से विभाजित किया जाता है तो शेष 2 होता है।

(ii)  यदि दो संख्याएँ ' a₁ ' तथा 'a₂ ' n से पूर्णतः विभाज्य हैं। तो उनका योग, अंतर तथा गुणनफल भी n से पूर्णतः विभाज्य होगा।
अर्थात्, यदि ' a₁ ' तथा ' a₂ ' n से विभाज्य हैं, तो
(a) a₁ + a₂ भी n से विभाज्य है।
(b) a₁ - a₂ भी n से विभाज्य है।
(c) a₁ × a₂ भी n से विभाज्य है।

उदाहरण के लिए:  12, 3 से विभाज्य है और 21 भी 3 से विभाज्य है।
अतः,  उनका योग भी 3 से विभाज्य होगा अर्थात
12 + 21 = 33
अंतर भी 3 से विभाज्य है
 12 - 21 = - 9 और 
गुणनफल भी 3 से विभाज्य है
12 × 21 = 252

शेषफल प्रमेय की सहायता से घातों का शेषफल ज्ञात करना

हम इस अवधारणा को निम्नलिखित उदाहरणों का उपयोग करके समझेंगे

उदाहरण 1:  यदि 7 ²⁵ को 6 से विभाजित किया जाए तो शेषफल क्या होगा ?
हल: यदि 7 को 6 से विभाजित किया जाए तो शेषफल 1 होगा। इसलिए यदि 7 ²⁵ को 6 से विभाजित किया जाए तो शेषफल 1 होगा (क्योंकि 7 ²⁵ = 7 × 7 × 7… 25 बार। इसलिए शेषफल = 1 × 1 × 1…. 25 बार = 1²⁵)।

उदाहरण 2:  यदि 3⁶³ को 14 से विभाजित किया जाए तो शेषफल क्या होगा ।
हल:  यदि 3³ को 14 से विभाजित किया जाए तो शेषफल - 1 होगा। इसलिए 3⁶³ को (3³)²¹ के रूप में लिखा जा सकता है ।
इसलिए शेषफल (- 1) ²¹ = - 1 होगा
। यदि भाजक 14 है तो शेषफल - 1 का अर्थ 13 है। पैटर्न विधि से (14 - 1 = 13)।

शेषफल ज्ञात करने में द्विपद प्रमेय का अनुप्रयोग

• किसी भी अभिव्यक्ति का द्विपद विस्तार
• (a + b) ⁿ = ⁿ C _o a ⁿ + ⁿ C ₁ a ^n-1 × b ¹ + ⁿ C ₂ × a ^n-2 × b ² ..... + ⁿ C _n-1 × a ¹ × b ^n-1 + ⁿ C _n × b ⁿ
• जहाँ ⁿ C _o , ⁿ C ₁ , ⁿ C ₂ , .... सभी को द्विपद गुणांक कहा जाता है
• सामान्यतः, ⁿ C _r = n!/r!(n - r)!

कुछ मौलिक निष्कर्ष हैं जो याद रखने पर सहायक होते हैं:
(a)  (n + 1) पद हैं।
(b)  विस्तार के पहले पद में केवल a है।
(c)  विस्तार के अंतिम पद में केवल b है।
(d)  अन्य सभी (n - 1) पदों में a और b दोनों होते हैं।
(e)  यदि (a + b) ⁿ को a से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल b ⁿ होगा , जिससे b ⁿ < a.

उदाहरण :  यदि 7 ²⁵ को 6 से विभाजित किया जाए तो शेष क्या होगा ?

• हल:  (7) ^{25 को} (6 + 1) ²⁵ लिखा जा सकता है । 
• अतः द्विपद विस्तार में, सभी प्रथम 25 पदों में 6 होंगे। 
• 26वाँ पद (1) ²⁵ है । अतः विस्तार 6x + 1 लिखा जा सकता है। 
• 6x सभी प्रथम 25 पदों का योग दर्शाता है।
• चूँकि उनमें से प्रत्येक 6 से विभाज्य है, इसलिए उनका योग भी 6 से विभाज्य है, और इसलिए, इसे 6x लिखा जा सकता है, जहाँ x कोई भी प्राकृतिक संख्या है। 
• अतः 6x + 1 को 6 से भाग देने पर शेषफल 1 बचता है।
  (अथवा) 
  
• जब 7 को 6 से भाग दिया जाता है तो शेष 1 बचता है। अतः जब 7 ²⁵ को 6 से भाग दिया जाता है तो शेष 1^​25 = 1 बचेगा ।

महत्वपूर्ण बिंदु

• लगातार पाँच पूर्ण संख्याओं का योग हमेशा 5 से विभाज्य होता है।   
• किसी भी विषम संख्या के वर्ग को 8 से भाग देने पर शेष 1 बचेगा
• किसी भी तीन क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल 6 से विभाज्य होता है।
• किसी भी नौ क्रमागत संख्याओं के गुणनफल का इकाई अंक सदैव शून्य होता है।
• किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए, 10n ^- 7,  3 से विभाज्य है।
• कोई भी तीन अंकों वाली संख्या जिसके सभी अंक समान हों, सदैव 37 से विभाज्य होगी।