Partial Differentials (Bonus) - MATLAB Video Lecture | MATLAB Programming for Numerical Computation - Software Development

नमस्कार और न्यूमेरिकल
कम्प्युटशंस के लिए
MATLAB प्रोग्रामिंग
(MATLAB programming for Numerical Computations
) में आपका स्वागत
है। हम मॉड्यूल 3 के
पहले भाग में हैं,
इस भाग में, हम पहले
2 व्याख्यान में न्यूमेरिकल
डिफ्रेंटिएशन (numerical
differentiation) पर विचार कर
रहे हैं। हम सिंगल
वेरिएबल (single variable) में
न्यूमेरिकल डिफ्रेंटिएशन
(numerical differentiation) माना जाता
है। हम फॉरवर्ड (forward),
बैकवर्ड (backward) और सेंट्रल
डिफरेंस (central difference)
सूत्र का उपयोग कर
df/dx और d वर्ग f/dx वर्ग
प्राप्त करने के
लिए देखते हैं।
आज के व्याख्यान
में हम पार्शियल
डेरिवेटिव्स (partial
derivatives) खोजने के लिए
एक विचार विकसित
करने जा रहे हैं।
पार्शियल डेरिवेटिव्स
(partial derivatives) जब फंक्शन
(function) f मल्टीप्ल वेरिएबल्स
(multiple variables) का एक फ़ंक्शन
(function) है, तो x1, x2 और इसी
तरह f का फ़ंक्शन (function)
है। ऐसा करने से पहले
हम इस उदाहरण पर जायेंगे
कि हमने पिछले व्याख्यान
में लिया था। प्रतिक्रिया
की दर का व्यावहारिक
उदाहरण।
हम t = 600 पर तापमान t
के संबंध में अपना
डेरीवेटिव (derivative) खोजना
चाहते थे। हम h = 10 के
पावर (power ) -4 के साथ
सेंट्रल डिफरेंस
(central difference) सूत्र का
उपयोग करते हैं।
इस व्याख्यान के
अंत में मैंने सुझाव
दिया है एक अभ्यास
के रूप में आप क्या
कर सकते हैं, आप h के
विभिन्न मूल्यों
के लिए इस समस्या
को हल करने का प्रयास
कर सकते हैं। आज के
व्याख्यान में हम
उसी उदाहरण पर वापस
देखने के लिए कुछ
मिनट का समय व्यतीत
करेंगे। h के विभिन्न
मानों को चुनने के
लिए उदाहरणों को
संशोधित करना और
h का इष्टतम मूल्य
प्राप्त करना है
जिसे हमें उपयोग
करने की आवश्यकता
है।
हम इसके पीछे के सिद्धांत
को देखने के लिए नहीं
जा रहे हैं। MATLAB का
उपयोग कर समस्याओं
को हल करने के लिए
हम व्यावहारिक पहलुओं
में रुचि रखते हैं
कि आप इस सिद्धांत
को कैसे लागू करेंगे।
ऐसा करने के लिए मैं
आपको स्टेप्स (Steps)
का एक निश्चित सेट
देने जा रहा हूं।
हमें क्या मिलेगा
कि सेंट्रल डिफरेंस
(central difference) सूत्र के
लिए h चुनने का न्यायिक
तरीका है, h को तापमान
t को 10 के पावर (power ) -6
को गुणा करें .
अगर हम फॉरवर्ड (forward)
या बैकवर्ड (backward) डिफरेंस
(difference) सूत्रों का
उपयोग कर रहे थे, तो
h का इष्टतम मूल्य
होगा t को 10 के पावर
(power ) -8 को गुणा करें.
यह कहां से आता है?
यह इस तथ्य से आता
है कि h का इष्टतम
मूल्य मशीन परिशुद्धता
के पावर (power ) ⅓ के आनुपातिक
है। तापमान 1 आर्डर
(order) का नहीं है लेकिन
आर्डर (order) 100 का है।
हमें आनुपातिक रूप
से h को बढ़ाने की
आवश्यकता है। तो
यह व्यावहारिक युक्ति
है जिसे हम उपयोग
करने जा रहे हैं और
हम देखेंगे कि यह
समस्या MATLAB पर जाकर
और इस समस्या को हल
करने का प्रयास कैसे
काम करती है।
तो, चलिए MATLAB पर आगे
बढ़ें। तो यह वह कोड
(code) था जिसे हमने पिछले
व्याख्यान में उपयोग
किया था। मैं क्या
करने जा रहा हूं, अब
h के विभिन्न मूल्यों
के लिए कोड (code) संशोधित
करें। h के विभिन्न
मूल्य जो मैं लेने
जा रहा हूं, वे 1e-3 से
1e- 7 हैं। मैं इसे t से
गुणा करने जा रहा
हूं। तो, इंडिपेंडेंट
वेरिएबल (independent variable)
तापमान का मूल्य
जिस पर हम फर्स्ट
डेरीवेटिव (first derivative)
को खोजना चाहते हैं,
वह मूल्य है जिसे
हम हमारे h को गुणा
करने जा रहे हैं ठीक
है।
अब क्योंकि अब हमारा
स्टेप साइज (step size) एक
वेक्टर (vector) है, हमने
इसे पिछले व्याख्यान
में देखा है। इन सभी
परिणामों को एक बार
में प्राप्त करने
के लिए हमें क्या
करना है। हमें क्या
करने की ज़रूरत है,
हमें इस स्लैश (slash)
को डॉट स्लैश (dot slash)
के साथ बदलने की आवश्यकता
है। यह एक स्केलर
(scalar) है। तो, जब हम एक
वेक्टर (vector) द्वारा
विभाजित करना चाहते
हैं तो स्केलर (scalar),
हमें एक डॉट स्लैश
(dot slash) की आवश्यकता
होती है।
तो हम जो परन्थेसिस
(paranthesis) में प्राप्त
करते हैं, वह एक वेक्टर
(vector) बनने वाला है।
तो जिस चीज को मैंने
हाइलाइट (highlight) किया
है वह एक वेक्टर (vector),
exp फ़ंक्शन, वेक्टर
(vector) पर exp काम करता
है और यह उस वेक्टर
(vector) के तत्त्व से
तत्व एक्सपोनेंट
(exponent) है। तो, यह हमें
एक 1/5 वेक्टर (vector) देने
जा रहा है। हम k और
c के साथ स्केलर (scalar)
गुणा कर रहे हैं।
इसलिए हमें इस स्टार
को डॉट स्टार (dot star)
में बदलने की आवश्यकता
नहीं होगी।
इस अभिव्यक्ति (expression)
में हमें वही बदलाव
करने की ज़रूरत है,
साथ ही हम स्लैश (slash)
को डॉट स्लैश (dot slash)में
बदल सकते हैं और हमारे
पास कोई अन्य अंतर
नहीं है, हमें कोई
अन्य बदलाव करने
की ज़रूरत नहीं है।
और अंत में numVal, नुमेरटर
(numerator) एक वेक्टर (vector)
है, डिनोमिनेटर (denominator)
भी एक वेक्टर (vector)
है। तो तत्त्व से
तत्व विभाजन की आवश्यकता
है और हम इसे यहां
एक डॉट स्लैश (dot slash)
द्वारा प्राप्त करते
हैं। अन्य चीजों
में से कोई भी बदलने
की जरूरत नहीं है,
ठीक है।
तो मुझे इसे save करने
दें और इसे run करें
और चलने के बाद देखते
हैं कि h के विभिन्न
मूल्यों के लिए हमें
कितनी एर्रर्स (errors)
मिलती हैं। इसलिए,
जब हम इसे run करते हैं,
तो मैं विभिन्न एर्रर्स
(errors) को प्रदर्शित
कर रहा हूं। हम देखते
हैं कि सबसे अच्छी
केस (best case ) एर्रर्स
(errors) यहां हैं ठीक
है । h के इन 2 मानों
के लिए हमारे पास
सबसे (best case ) एर्रर्स
(errors) हैं। यदि मैं
h को टाइप (type) करता
हूं तो मुझे यह मिलता
है कि मुझे बिजली
के लिए 6 * 10 के लिए 6
और 10 के लिए सबसे अच्छी
केस एर्रर्स (errors) मिलती
हैं 6 * 10 के पावर -3 से
6 * 10 के पावर -4. तो हम
अंधवत् से h नहीं चुनते
हैं।
लेकिन हमें इंडिपेंडेंट
वेरिएबल ऑफ़ इंटरेस्ट
(independent variable of interest) के
पूर्ण मूल्य से गुणा
मशीन परिशुद्धता
के पावर (power ) ⅓ के रूप
में हमारे इष्टतम
h चुनने की जरूरत है।
घर लेना संदेश तब
होता है जब h का इष्टतम
मूल्य होता है जिसके
लिए सेंट्रल डिफरेंस
(central difference) या फॉरवर्ड
डिफरेंस (forward difference)
सूत्र हमें सर्वोत्तम
परिणाम देता है।
तो चलिए इस विशेष
व्याख्यान पर जाएं।
इस विशेष व्याख्यान
में हम df/dx खोजना चाहते
हैं। जब f मल्टीप्ल
वेरिएबल्स (multiple variables)
का एक फंक्शन (function)
होता है, तो हमने इसे
पहले से ही पिछले
उदाहरण में किया
है। पिछले उदाहरण
में यदि आप इसके बारे
में सोचते हैं तो
रेट एक्सप्रेशन (rate
expression) तापमान और एकाग्रता
दोनों का एक फंक्शन
(function) है।
तो हमने इस विशेष
MATLAB कोड (code) में क्या
किया था, यह है कि
हम 1.0 पर एकाग्रता
मान स्थिर (constant) रखते
हैं और विभिन्न तापमान
t + h, t-h में रखते हैं
और सेंट्रल डेरीवेटिव
(central derivative) पाए जाते
हैं।
तो पार्शियल डिफ्रेंटिएशन
(partial differentiation) की परिभाषा
यही है। पार्शियल
डिफ्रेंटिएशन (partial
differentiation) का अर्थ है
δf / δx1 x2, x3 और इसी तरह
रखते हुए। लगातार
δf / δx2 x1, x3, और x4 को इतने
पर और आगे रखते हुए
ठीक है। तो पार्शियल
डेरिवेटिव (partial derivative)की
परिभाषा है। Δf / δx1
की गणना करने के लिए,
हम x2 स्थिर रखते हैं
और δf / δx1 की गणना करने
के लिए हमारे x1 को
बदलते हैं, हम अपने
x1 स्थिरांक को पकड़ते
हैं और हमारे x2 को
बदलते हैं।
हम देखेंगे कि पार्शियल
डिफ्रेंटिएशन (partial
differentiation) एक स्केलर
(scalar) के ग्रेडिएंट
(gradient) को खोजने जैसा
है। स्केलर (scalar)का
ग्रेडिएंट (gradient) आर
एक रो (row ) वेक्टर (vector)
के रूप में δf / δx1 और
δf / δx2 के अलावा कुछ
भी नहीं है। आइए MATLAB
पर जाएं और पार्शियल
डेरिवेटिव (partial derivative)
खोजने के लिए इस समस्या
को हल करें।। ठीक
है, हमारा a,x का मान
जिस पर हम δf / δx खोजना
चाहते हैं। तो हम
x = a पर δf / δx खोजना चाहते
हैं, एक वेक्टर (vector)
होने वाला है।
आइए हम कहते हैं कि
हम इसे 0.5 और 1 पर खोजना
चाहते हैं। इसलिए,
हमारा a 0.5 और 1 है। हमारा
TrueVal या हमारे h स्टेप
साइज (step size) भी दो मान
वेक्टर (vector) 1e-6 और 1e-6
होना चाहिए ठीक है।
तो, TrueVal cosx1 को e के पावर(power
) -x2 में गुणा किया
गया। तो cos(a1) को exp-a2
द्वारा गुणा किया
गया है और दूसरा -sinx1
e के पावर(power ) -x2 -sin (a1)
को exp-a2 द्वारा गुणा
किया गया है ठीक है।
फर्स्ट वेरिएबल (first
variable) के संबंध में
पार्शियल डेरिवेटिव्स
(partial derivatives), हम चुनेंगे
कि हमारा x बराबर होगा,
x a के बराबर होगा और
x1 बराबर होगा (a1 + h 1)
ठीक है। अब हमारे
f1 sin(x1) के exp(- x2) के गुणा
के बराबर होने जा
रहा है ठीक है। तो,
यह (x1+ h)और x2 पर 1 है।
इसी तरह हमें अपने
(x1-h) और x2 पर f2 की गणना
करने की आवश्यकता
है।
तो आइए हम इस x1 = (a-h)और
f2=sinx1 -e के पावर(power ) -x2
को कॉपी और पेस्ट
(copy and paste) करें। और हमारे
numDiff 1 कुछ भी नहीं होने
वाला है लेकिन f2, क्षमा
करें, (f1-f2) 2h द्वारा
विभाजित सेंट्रल
डिफरेंस (central difference)
सूत्र द्वारा किया
गया है। फिर कॉपी
(copy) करें, इसे पेस्ट
(paste) करें और कहें।
हम सेकंड वेरिएबल
(second variable) खोजना चाहते
हैं यह फ़ंक्शन (function)
f(x)है। इस फ़ंक्शन
(function) को इस विशेष रूप
में देने के बजाय,
इसकी अनुशंसा की
जाती है कि हम अपनी
आधा अलग फ़ंक्शन
फ़ाइल (function file) दें,
जहां हम sin x1 और e के
पावर(power ) -x को उस फ़ंक्शन
(function) के रूप में परिभाषित
करते हैं।
तो सेकंड पार्शियल
डेरिवेटिव (second partial
derivative) के लिए, सेकंड
वेरिएबल (second variable) में
पार्शियल डेरिवेटिव्स
(partial derivatives) जो मैं करने
जा रहा हूं। तो मैं
एक फ़ंक्शन (function) बनाने
जा रहा हूँ। फंक्शन
(function) fval= myFunM3। मॉड्यूल
3 के लिए मेरा फ़ंक्शन
(function) और मेरा इनपुट
आर्गुमेंट (input argument)
x है। अब x एक वेक्टर
(vector) है। x के दो मान
नहीं हैं, ये दो वेरिएबल
(variable) नहीं हैं लेकिन
x एक सिंगल वेरिएबल
(single variable) है।
और यह एक वेक्टर (vector)
वैरिएबल (varia ble) है और
मुझे क्या करने की
ज़रूरत है, हमें लिखने
की जरूरत है कि fval
sin (x1) और exp (-x2) का गुणा
होगा ; end करें और इसे
myFunM3 के रूप में करें।
हम यहां क्या करना
चाहते हैं, हम इसे
थोड़ा अलग तरीके
से करते हैं। हम क्या
करेंगे, हम अपने h
temp, h temp_h = 0, h 2 को परिभाषित
करेंगे।
यह चीजों को करने
का एक बेहतर तरीका
है क्योंकि जब हम
करते हैं (x+ temp h), पहला
तत्व सिर्फ x1 होगा;
दूसरा तत्व (x2+ h2) होने
वाला है ठीक है। हमारा
f 1 कुछ भी नहीं होने
वाला है, लेकिन x1 पर
गणना की गई myFunM3 है,
(x2+ h) जो कुछ भी नहीं
है (a + temp h) ठीक है। और
हमारे f2 myfunM3 (a- temp h) के
अलावा कुछ भी नहीं
है और हमारे पास numDiff2
होगा जो (f1- f2) 2 से विभाजित
और h2 से गुणा ठीक है।
और वही बात जो हमें
यहां करने की ज़रूरत
है। यह भी 2 को h1 से
गुणा किया जाना चाहिए।
तो यह पार्शियल डेरिवेटिव्स
(partial derivatives) है जो डिस्प्ले
(display) परिणाम है। तो
सबसे पहले जो हम डिस्प्ले
(display) करना चाहते हैं
वह एरर (error ) है। err = abs
(trueVal-numDiff)। तो आइए इसे
सेव (save)करें और इसे
run करें। clear all clc, पार्शियल
डिफ्रेंटिएशन (partial
differentiation) करें। आइए
आशा करते हैं कि यह
बिना किसी एरर (error
) के run करता है।
तो परिणाम यह है कि
यदि आप TrueVal और numDiff के
बीच यह विशेष अंतर
देखते हैं 10 के पावर
(power ) -11 के आर्डर (order)
का है और न्यूमेरिकल
डेरिवेटिव्स (numerical
derivatives) 0.32 और 0.17 ठीक है।
तो इस तरह हम पार्शियल
डेरिवेटिव्स (partial
derivatives) को लेते हैं।
अब चलो आगे बढ़ें।
तो प्रतिक्रिया की
दर के लिए एक ही उदाहरण
लेंगे। जहाँ, k, जैसा
कि पहले 1000 था, e/r 2500
था। और हमें t = 600 और
c = 1 पर δr / δt और δr / δc खोजने
की आवश्यकता है।
यही वह है जिसे हमें
यहां करने की आवश्यकता
है। मैं आपको सलाह
दूंगा कि आप इस वीडियो
को थोड़े समय के लिए
रोक सकते हैं, आप MATLAB
पर जा सकते हैं।
और आपके पास यह MATLAB
कोड (code) यहां है। मैं
आपको जो सलाह देता
हूं वह है, आप उस कोड
का यह विशेष हिस्सा
ले सकते हैं और इस
समस्या को हल करने
के लिए इसे संशोधित
करने का प्रयास कर
सकते हैं। ठीक है,
मैं क्या करूँगा
एक नई स्क्रिप्ट
(script) बनाओ। मैं इस
पार्शियल डिफ्रेंटिएशन
(partial differentiation) को कॉपी
(copy) कर दूंगा। तो हमारे
h का मूल्य t द्वारा
गुणा 1e-6 होने जा रहा
है। और दूसरा 1e-6 होने
जा रहा है, यह हमारे
h मूल्यों के होने
जा रहा है। numDiff1 myRate
x1- myRate x2 से विभाजित
होने जा रहा है, मुझे
इसे h1 और numDiff2 के रूप
में कॉल करने दें।
मैं इसे भी वही कहूंगा
लेकिन h2 द्वारा विभाजित,
h 2 द्वारा विभाजित
है ठीक है।
तो मैं यहाँ पर वास्तव
में क्या कर रहा हूं,
ठीक है, मुझे पहले
इसे सेव (save) लेंगे,
reaction partial diff इस स्क्रिप्ट
(script) का नाम है और उस
फ़ंक्शन (function) का नाम
फ़ंक्शन (function r = myRate
x ठीक है। e=x1, c=x2 और जैसा
कि हम यहां थे, हमारा
r यह है। आइए यहां
पर जाएं और इसे यहां
से हटा दें और इसे
इस file, constants, current value of t
and c, rate calculation पर ले जाएं,
ठीक है।
मैं इसे myRate से save कर
दूंगा। तो जब मैं
x1 के साथ यह myRate call करता
हूं, तो मुझे यह क्या
देना चाहिए? मुझे
यह क्या देना चाहिए,
r (t+ h)और c पर गणना की
जाती है और जब मैं
x2 पर इसका उपयोग करता
हूं, तो मुझे (t-h)और
c पर गणना की जानी
चाहिए ठीक है। तो
मैं यही करूँगा।
x 1 सी के बराबर होने
जा रहा है, माफ़ कीजिये
(t + h 1) और c ठीक है, c को
यहां कांस्टेंट (constant)
जा रहा है। तो (t-h1) और
c ठीक है। तो जैसा
कि आप देख सकते हैं
कि सी का मान यहां
कांस्टेंट (constant) रहता
है।
और t का मान बन जाता
है (t+ h) और (t-h)जो नुमेरटर
(numerator) में विभाजित
डिनोमिनेटर (denominator)
में 2 से गुणा h हो जाता
है, यहां पर denominator पर
जाना चाहिए ठीक है।
इसी प्रकार हम यहां
क्या करते हैं, x1 = t।
यह t हमाtरे मूल मूल्य
पर कांस्टेंट (constant)रहता
है और (c+ h 2) और x2 कुछ
भी नहीं है लेकिन
t और (c-h2) ठीक है। और
यह numDiff बन जाता है।
डिस्प्ले (display) परिणाम,
पार्शियल डेरिवेटिव्स
(partial derivatives) num2str, numDiff ठीक
है। आइए इसे सेव (save)
करें और हमें यह run
करने दें। और जब हमने
इसे run किया है तो r
का पार्शियल डेरिवेटिव
(partial derivative) 0.1077 था और
तापमान के संबंध
में और एकाग्रता
के संबंध में यह 38.76
है, इसलिए यह t और c
के संबंध में r का
पार्शियल डेरिवेटिव्स
(partial derivatives) है।
इसके साथ मैं इस व्याख्यान
के अंत में आ जाता
हूं और यह इस मॉड्यूल
के न्यूमेरिकल डेरिवेटिव्स
(numerical derivatives) भागों को
भी समाप्त करता है।
इस मॉड्यूल के अगले
व्याख्यान में, मैं
न्यूमेरिकल इंटीग्रेशन
(numerical integration) के साथ शुरू
करूंगा। आपको अगले
व्याख्यान में मिलते
हैं। धन्यवाद और
अलविदा।