Runge-Kutta (RK-2) method - MATLAB Video Lecture | MATLAB Programming for Numerical Computation - Software Development

नमस्कार और न्यूमेरिकल
कम्प्युटशंस के लिए
MATLAB प्रोग्रामिंग
(MATLAB programming for Numerical Computations
) में आपका स्वागत
है। हम मॉड्यूल 7 में
हैं। इस मॉड्यूल
में, हम आर्डिनरी
डिफरेंशियल एक्वेशन्स
(ordinary differential equations) के इनिशियल
वैल्यू प्रोब्लेम्स
(intial value problems) को कवर कर
रहे हैं। 7.1 व्याख्यान
में, हमने खुद को ODE
इनिशियल वैल्यू प्रोब्लेम्स
(intial value problems) से परिचित
कराया और हमने एक्सप्लिसिट
(explicit) Euler और इम्प्लिसित
(implicit) Euler का उपयोग किया।
हमने पिछले व्याख्यान
में कहा था, पिछले
व्याख्यान के अंत
में, यह है कि इस मॉड्यूल
के बाकी हिस्सों
में, हम कवर करने जा
रहे हैं, एक्सप्लिसिट
(explicit) प्रकार के तरीके
जिन्हें रुन्गे -कुट्टा
(Runge-Kutta) परिवार के तरीकों
के रूप में जाना जाता
है।
अपने आप को RK विधियों
से परिचित कराने
के लिए, हम दूसरे आर्डर
(order) रेंज-कुट्टा (Range-Kutta)
पद्धति पर विचार
करेंगे। दूसरे आर्डर
(order) रुन्गे -कुट्टा
(Runge-Kutta)पद्धति में
जाने से पहले, मैं
आपको एक सामान्य
विचार दूंगा कि रुन्गे
-कुट्टा (Runge-Kutta) पद्धति
कैसी दिखती है।
यूलर (Euler) की एक्सप्लिसिट
(explicit) विधि, हमारे पास
Y (i + 1) = Y (i) + h * f (ti, yi) ठीक
है, जिसे हमने fi के
रूप में लिखा है।
इस प्रकार हमने यूलर
(Euler) की एक्सप्लिसिट
(explicit) उपयोग किया।
हमने पिछले व्याख्यान
में भी कहा था कि उच्च
सटीकता प्राप्त करने
के लिए, हम अपने fi को
बदल सकते हैं, स्लोप(slope)
Si की गणना के कुछ अन्य
तरीके से। और, हम उस
स्लोप(slope ) का उपयोग
कर सकते हैं, समग्र
सन्निकटन Y (i + 1) = Y (i)
+ h (Si) में। अब nth ऑर्डर
(order) में रुन्गे -कुट्टा
(Runge-Kutta) विधि, स्लोप(slope
) देता है, भारित योग
के रूप में, n अलग-अलग
फ़ंक्शंस (functions) ठीक
है। अब इस स्थिति
में nth, फ़ंक्शन (function)
k1, k2 से kn तक होने जा
रहे हैं। k1 कुछ भी
नहीं होने जा रहा
है f (ti, yi).k2 जो (ti, yi) और
k1 पर निर्भर करेगा।
k3 (ti, yi) k1 और k2 पर निर्भर
करेगा और इत्यादि।
kn (ti, yi) k1, k2 और इसी तरह
kn-1 तक निर्भर करेगा।
एक बार जब हम k1 से kn
तक अद्यतन (update) करते
हैं, तो हम भारित राशि
की गणना करते हैं,
w1 k1 + w2 k2 और इसी तरह wn
kn तक, इस पर यहाँ पर
स्थानापन्न कर देते
हैं। और हम अगली बार
रेंज-कुट्टा विधि
का उपयोग करके समाधान
प्राप्त करेंगे।
तो, यह है कि रेंज-कुट्टा
विधि कैसे काम करती
है। रुन्गे -कुट्टा
(Runge-Kutta) विधि किसी भी
nth, किसी भी संख्या
n के लिए एक सामान्य
विधि है।चौथे ऑर्डर
(order) के रुन्गे -कुट्टा
(Runge-Kutta) तरीके सबसे
लोकप्रिय हैं। रुन्गे
-कुट्टा (Runge-Kutta) के सिद्धांत
और इसके पीछे की चर्चा
के तरीकों को कम्प्यूटेशनल
तकनीक के पाठ्यक्रम
के 7 भाग 2 में खोजा
गया था, जिसके लिए
लिंक (link) यहां पर दिया
गया है।
अब हम विचार करते
हैं, दूसरे ऑर्डर
(order) रुन्गे -कुट्टा
(Runge-Kutta) के कुछ तरीके
हैं। ह्यून (Heun) की
विधि में Y (i + 1) Y (i) + h
/ 2 * (k1 + k2) है जिसका मूल
अर्थ है कि हमारा
w1 और w2 दोनों 0.5 हैं।
k1 कुछ भी नहीं है लेकिन,
(ti, yi) पर f की गणना की
जाती है। और k2 f(ti + h,
yi + h) जिसे k1 द्वारा
गुणा किया जाता है।
तो ह्यून (Heun) की विधि
का सूत्र यही है।
यह एक दूसरा ऑर्डर
(order) रुन्गे -कुट्टा
(Runge-Kutta) विधि है क्योंकि
हमारे पास w1k1 + w2k2 केवल
है। इसीलिए, यह एक
दूसरे ऑर्डर (order) रुन्गे
-कुट्टा (Runge-Kutta) पद्धति
है। अब हम क्या कर
सकते हैं, क्या हम
MATLAB में जाएंगे, हम
उस उदाहरण से शुरू
करेंगे जो हमने पिछले
व्याख्यान में लिया
था और हम इसे RK2 विधि
का उपयोग करके हल
करने के लिए संशोधित
करेंगे। ठीक है, यह
यूलर (Euler) की एक्सप्लिसिट
(explicit) पद्धति थी, जो
हमें rk2Heun के रूप में
save करते है। ह्यून
(Heun) विधि का उपयोग
करके ODE-IVP को हल करें,
ठीक है। यह प्रारंभिक
भाग समान रहता है,
आइए हम tEnd को 5 और h को
0.1 के रूप में लेते
हैं। समाधान को इनिशियलाइज़
(initialize) करें, पहले की
तरह ही, ह्यून (Heun) की
विधि का उपयोग करके
हल करना है। तो पहला
कदम, ह्यून (Heun) की विधि
में k1 की गणना होने
जा रही है, जो f (ti, yi)
है। तो, हमारे k1 = f (ti,
yi)। तो, -2 * T (i) * Y (i) जो कि
fi के समान होता है,
जो हमारे यहां था,
वह वास्तव में ठीक
है। tNew, आइए इस खास
शब्द को tNew कहते हैं।
तो tNew = T (i) + h, yNew Y (i) + h * k1
ठीक है। और अगली बात,
हम करना चाहते हैं,
हमारे k2 की गणना करें।
तो, k2 पर गणना की जाती
है, -2 * tNew * yNew। और हमें
Y (i + 1) है Y (i) + h / 2 * (k1 + k2)
ठीक है। और वह हमारा
Y (i + 1) है। बाकी सब वही
रहता है, हमें कुछ
भी बदलने की जरूरत
नहीं है।
इतना बड़ा बदलाव
जो हुआ, वह केवल इस
हिस्से में था। जहां,
हम यूलर (Euler) की एक्सप्लिसिट
(explicit) पद्धति से ह्यून
(Heun) की विधि में बदल
गए। इसे save करने के
लिए और उम्मीद है
कि जब हम इसे run करेंगे
, तो हम कोई और एरर
(error) नहीं देखेंगे।
हम run कर चुके हैं और
अब हमारे पास, ह्यून
(Heun) की विधि का उपयोग
करके समाधान है।
यदि आप व्याख्यान
7.1 से याद करते हैं,
तो एरर (error), अधिकतम
एरर (error) 0.033 थी। आइए
जानते हैं कि ह्यून
(Heun) की विधि का उपयोग
करने में क्या एरर
(error) हैं।
0.03 के बजाय 0.002 पर अधिकतम
एरर (error) है जो कि 3 * 10
^ -2 है। ह्यून (Heun) की
विधि का उपयोग करने
में एरर (error) है, 2 * 10
^ -3। इसलिए ह्यून (Heun)
की विधि, RK 2 विधि, यूलर
(Euler) की तुलना में अधिक
सटीक है। तो, आइए हम
ह्यून (Heun) की पद्धति
पर चलते हैं, और जो
हमने किया उसे हम
पुन: करेंगे। इसलिए,
हमने यूलर (Euler) के विधि
कोड (code) के साथ शुरुआत
की और हमने यूलर (Euler)
के विधि कोड(code) को
इस प्रकार संशोधित
किया। पहले हमने
किया, for loop में , हमने
गणना की गई k1 जो (ti,
yi) का फंक्शन (function) है,
k2 हमने 2 चरणों में
गणना की है। सबसे
पहले, हमने गणना की,
tNew जो T (i) + h है फिर हमने
YNew की गणना की जो Y (i)
+ hk1 है। फिर हमने -2
* tNew * yNew की गणना की,
जो कि वह फंक्शन (function)
था जिसे हम रुचि रखते
थे। मिडपॉइंट (midpoint)
पद्धति में w1 को शून्य
के रूप में लिया गया
है और w2 को 1 के रूप
में लिया गया है।
इसके साथ, यह समग्र
समीकरण है, k1 जैसा
कि पहले f (ti, yi), k2 है
जैसा कि पहले f पर
गणना की गई है, क्षमा
करें, k2 यहाँ से भिन्न
है , मुझे क्षमा करें,
k2 है f (ti + h / 2, Y (i) + hk1 / 2)
ठीक है। हमने k2 में
इस स्थानापन्न की
गणना की और हम मिडपॉइंट
(midpoint) विधि का उपयोग
करते हैं।
हमें फिर से MATLAB पर
जाएं और इसे मिडपॉइंट
(midpoint) विधि का उपयोग
करके हल करें। इस
बार मैं इसे शून्य
से हल करने जा रहा
हूं। Rk2Midpoint संपादित
करें, हल करें। प्रस्तावना
भाग की copy करें और
आरंभिक भाग, जिन्हें
हम जानते हैं, वही
बने रहेंगे। हम इसे
वैसे भी जाँचेंगे,
t0 0 है, y0 1 है, tEnd 5 है, h
0.1 है और n tEnd- t0 पूरी
चीज़ h से विभाजित
है। हमने अपने t वेक्टर
को इनिशियलाइज़ (initialize)
किया है, हमने अपने
y वेक्टर को इनिशियलाइज़
(initialize) किया है और y1
= इनिशियल कंडीशन
(initial condition) है। I = 1: n के
लिए RK2 मिडपॉइंट (midpoint)
विधि का उपयोग करके
हल करें। तो, पहला
कदम k1 की गणना करना
है। k1 f (ti, yi) है। तो k1
= -2 * t * y * T (i) * Y (i) ठीक है।
k2 होने जा रहा है -2
* tNew * yNew ठीक है। tNew क्या
है? हमारा tNew T (i) + h / tNew,
yNew yi + है, yNew Y (i) + hk1 / 2, Y
(i) + h * k1 / 2 है और k2 -2 tNew
* yNew और Y(i +1) Y (i) + h स्लोप(slope
) से गुणा है। और स्लोप(slope
), यह स्लोप(slope ) कुछ
भी नहीं है, लेकिन
इस विशेष मामले में
k2 है। तो h / k2, अंत प्लॉटिंग
(plotting), plot (t, y) T. ^ 2 और err
= abs (Y-Ytrue)। ठीक है क्योंकि
हम abs फ़ंक्शन (function)
का उपयोग कर रहे हैं,
इससे कोई फर्क नहीं
पड़ता कि यह है (y-Ytrue)
या (Ytrue-y) दोनों का मतलब
एक ही चीज़ है ठीक
है। इसलिए हमारे
पास यह है और हमें
save करते है और हमें
इसे run करने दें। हमें
उम्मीद है कि यह बिना
किसी एरर (error) के चलता
है। हमें, एक एरर (error)
हो सकती है, yNew लाइन
20 पर अपरिभाषित है।
तो चलिए ठीक है। yNew,
हाँ, जिस कारण मुझे
यह एरर (error) मिल रही
है, उसका कारण है,
मैंने इसे छोटे y,
कैपिटल NEW के रूप में
परिभाषित किया है,
MATLAB case sensitive है, इसलिए
इसे छोटा yNew होना चाहिए।
तो, हमें इसे save करने
के लिए, ठीक है फिर
से जोर देने के लिए,
हमें एक कोड डिबग
(code debug) करने के लिए
होना चाहिए, और हमें
यह समझने में सक्षम
होने की आवश्यकता
है कि MATLAB क्या एरर
(error) दे रहा है। MATLAB
ने एरर (error), अपरिभाषित
फ़ंक्शन या वैरिएबल
(variable) yNew को लाइन नंबर
20 पर दिया है। इसका
मतलब है कि, MATLAB समझ
में नहीं आता है या
समझ में नहीं आया
है कि वेरिएबल y, कैपिटल
y, कैपिटल न्यू, किसके
लिए था। और कारण, हमें
वह एरर (error) क्यों मिली
क्योंकि एक प्रकार
की एरर (error) थी। हमने
yNew को कैपिटल y से बदला,
कैपिटल नई को छोटे
yNew से yNew से मिलान करने
के लिए जो हमारे यहाँ
ठीक था। तो, हम सभी
को clear all करते हैं और
हमें मध्य बिंदु
पर आने देते हैं, ठीक
है अब इस समय यह बिना
किसी एरर (error) के चलता
है।
आइए अब हम अब्सोल्युट
(absolute) एरर (error), अब्सोल्युट
(absolute) एरर (error) का मान,
मैक्सिमम एरर (maximum
error) की गणना करें।
और यह भी, 10 ^ -3 है। तो,
rk2 मिडपॉइंट (midpoint) विधि
की सटीकता का ऑर्डर
(order), rk2 Huen की विधि की
सटीकता के ऑर्डर
(order) के समान है। ये
दोनों विधियां यूलर
(Euler) की विधि से अधिक
सटीक हैं। आइए हम
घटाएं, h को परिमाण
के 1 ऑर्डर (order) से और
देखें कि हमें क्या
मिलता है। हमें बचाते
हैं, h को 0.01 में बदल
दिया गया और run करें
और मैक्सिमम एरर
(maximum error) ठीक है। एरर
(error) 10 ^ -3 से 10 ^ -5 तक गिर
गई है। तो, एरर (error)
2 ऑर्डर (order) से गिर
गई है।
हमें इसे 0.001 में बदल
दें और हमें इसे run
करें, मैक्सिमम एरर
(maximum error)2 ऑर्डर (order) से
और गिर गई है। तो,
इस 1 चीजों में से
जो आप लोगों के लिए
स्पष्ट हो सकती है,
वह यह है कि ग्लोबल
ट्रंकेशन एरर (global
truncation error) व्यू पॉइंट
(view point) से सटीकता के
लिए, यूलर (Euler) का तरीका
h के पावर (power) 1 था, जबकि
RK मेथड के लिए h ^ 2 है।
हम करेंगे RK तरीकों
के लिए एरर (error) निर्माण
पर विचार करें, बाद
के व्याख्यान में
अधिक औपचारिक तरीके
से। यह हमें इस व्याख्यान
के अंत में लाता है।
इस व्याख्यान में,
हमने जो कवर किया
है, वह स्वयं को तरीकों
के रुन्गे -कुट्टा
(Runge-Kutta) परिवार से परिचित
कराता है और ODE इनिशियल
वैल्यू प्रोब्लेम्स
(intial value problems) को हल करता
है, एकल वेरिएबल (variable)
में, 2 विभिन्न rk2 विधियों,
rk2 Huen की विधि और rk2 मिडपॉइंट
विधि का उपयोग करके।
ऐसा करने के लिए यहां
दो उद्देश्य थे।
एक यह प्रदर्शित
करना था कि यूलर (Euler)
की विधि की तुलना
में rk2 विधि अधिक सटीक
है। दूसरी बात यह
प्रदर्शित करना था
कि, रुन्गे -कुट्टा
(Runge-Kutta) एक एकल विधि
नहीं है, लेकिन यह
तरीकों के एक परिवार
को संदर्भित करता
है। किसी विशेष ऑर्डर
(order) के लिए, विभिन्न
प्रकार के तरीके
हैं जो उपलब्ध हैं,
साथ ही साथ सटीकता
के अलग-अलग ऑर्डर
(order) भी हैं। इसके साथ
मैं व्याख्यान के
अंत में आता हूं 7.2।
मैं आपको अगले व्याख्यान
में देखूंगा धन्यवाद।