MATLAB ode45 algorithm Video Lecture | MATLAB Programming for Numerical Computation - Software Development

नमस्कार और न्यूमेरिकल
कम्प्युटशंस के लिए
MATLAB प्रोग्रामिंग
(MATLAB programming for Numerical Computations
) में आपका स्वागत
है। इस मॉड्यूल में,
हम आर्डिनरी डिफरेंशियल
एक्वेशन्स (ordinary differential
equations) के इनिशियल वैल्यू
प्रोब्लेम्स (intial
value problems) को कवर कर रहे
हैं। हम व्याख्यान
7.3 में हैं, और इस व्याख्यान
में, हम एक MATLAB एल्गोरिथ्म
(algorithm) पर विचार करेंगे,
जिसे ode45 के रूप में
जाना जाता है ताकि
ode इनिशियल वैल्यू
प्रोब्लेम्स (intial
value problems) को हल किया
जा सके।
MATLAB में Ode45 एक तरह का
वर्कहॉर्स (workhorse) है।
यह पहला एल्गोरिथ्म
(algorithm) है जिसे आप ode
समस्याओं को हल करने
के लिए जाते हैं।
आइए हम ode45 के सिंटैक्स
(syntax) को देखें। तो,
ode45 का विशिष्ट उपयोग
इस प्रकार है। अब,
जैसा कि हमने rk2 में
पिछले व्याख्यान
में देखा है, हमने
ti के विभिन्न मूल्यों
पर हल yi प्राप्त किया।
इसी तरह, ode45 भी, ti और
tEnd के बीच, ti के विभिन्न
मूल्यों पर yi के मूल्यों
को लौटाता है।
मध्यवर्ती मान जिस
पर गणना की जाती है,
की गणना आंतरिक रूप
से ode45 द्वारा की जाती
है। Ode45 रुन्गे -कुट्टा
(Runge-Kutta) चौथे आर्डर
(order) विधि, एक rk4 विधि
का उपयोग करता है,
याद रखें कि हमने
पिछले व्याख्यान
में rk2 विधि को कवर
किया है। इतना ही
नहीं, यह न केवल कवर
करता है और rk4 विधि
का उपयोग करता है,
यह उपयोग करता है
जिसे अडाप्टिव स्टेप
साइज (adaptive step size) rk4 विधि
के रूप में जाना जाता
है। इसका मतलब यह
है कि, स्टेप साइज
(step size) h एक स्थिर मान
नहीं है, याद रखें
कि पिछले व्याख्यान
में, हमने स्टेप साइज
(step size) h = 0.1 लिया था और
हम बाद में इसे 0.01
और इतने पर बदल दिया।
हमने पूर्वनिर्धारित
किया था कि स्टेप
साइज (step size) क्या होने
जा रहा है। ode45, पूर्व
निर्धारित नहीं करता
है कि स्टेप साइज
(step size) क्या होने जा
रहा है। लेकिन प्रत्येक
चरण में, यह अडाप्टिव
स्टेप साइज (adaptive step
size) की गणना करता है
कि एरर (error) को कम करने
के लिए, सहिष्णुता
के बीच एरर (error) प्राप्त
करने के लिए, हमने
ode45 के लिए सेट किया
है। ये उन्नत अवधारणाएँ
हैं, जिन्हें हम इस
विशेष पाठ्यक्रम
में शामिल नहीं करने
जा रहे हैं। हालाँकि,
मैं इसे आपको इंगित
करना चाहता था, क्योंकि
यह कुछ ऐसा है जो आप
बार-बार आएंगे, यदि
आप ode45 या किसी अन्य
MATLAB ode सॉल्वर (solver) का
उपयोग करने जा रहे
हैं।
MATLAB में सभी सॉल्वर
(solver) वेरिएबल (variable)
स्टेप साइज (step size) , या
अडाप्टिव स्टेप साइज
(adaptive step size) सॉल्वर(solver)
हैं, जहां MATLAB आंतरिक
रूप से आवश्यक सहिष्णुता
अंतराल के भीतर एर्रर्स
(errors) को प्राप्त करने
के लिए स्टेप साइज
(step size)का फैसला करता
है। ठीक है, इसलिए
विशिष्ट तरीका है
कि हम ode45 का उपयोग
कैसे करेंगे (t, y) पर
ode45 याद करते हैं, हम
अपने पिछले व्याख्यान,
व्याख्यान 1 पर जाते
हैं।
हमें ode को dy/dt=f(t,y) के
रूप में दिया गया
था। तो, फ़ंक्शन (function),
f दोनों t और y का एक
फ़ंक्शन (function) है और
हमें वह फ़ंक्शन
(function) प्रदान करना
होगा। तो, यह फ़ंक्शन
(function) 2 आर्ग्यूमेंट्स
(arguments) में लेता है,
समय निर्भर वेरिएबल
(variable) y पर। और रिटर्न
(return) , वेक्टर dy ठीक
है। इस मामले में,
क्योंकि हम एकल वेरिएबल
(variable) समस्या को देखने
में रुचि रखते हैं,
यह सिर्फ एक स्केलर
(scalar) रिटर्न (return) होगा।
इसलिए ode45 आर्ग्यूमेंट्स
(arguments) (t, y) कोआर्ग्यूमेंट
(argument) के रूप में देता
है, जो फ़ंक्शन (function)
fName पर दिए जाते हैं।
प्रारंभिक समय t0,
और अंतिम समय tEnd, और
प्रारंभिक समाधान
y0, को भी हल करने के
लिए उत्तीर्ण किया
जाता है। तो fName, फ़ंक्शन
(function) का नाम है जो
एक फ़ंक्शन (function) f
(t, y) के रूप में dy/dt देता
है। आइए हम उन उदाहरणों
को देखें, जिन्हें
हम अब तक कवर कर रहे
हैं, इस मॉड्यूल में
ode45 का उपयोग कर रहे
हैं। आइए हम rk2heuns विधि
को देखें। यह rk2heuns
विधि के लिए हमारा
कोड (code) था। अब आप इसे
हल करेंगे, ode45 का उपयोग
करते हुए। runODE को संपादित
करें, ivp का उपयोग करके
ode को हल करें। तो t0
= 0, y0 = 1, tEnd = 5.
हमें यहां h की आवश्यकता
नहीं है, ode45 का उपयोग
करके हल करना। सिंटैक्स
(syntax) को देखें, (syntax)
है, (tSol, ySol) = ode45 (tSol, ySol)
= ode45 @ (t, y)। तो t और y वे
वेरिएबल (variable) हैं
जो फ़ंक्शन (function) पर
किए जाते हैं जो ode45
कोड (code) कॉल (call) करने
जा रहे हैं। इस फ़ंक्शन
(function) को हम कहते हैं,
firstODEfun(t,y), फिर से t और
y का आर्डर (order) महत्वपूर्ण
है, यह होना है (t,y) और
(y,t) नहीं।
यह एक ऐसा क्षेत्र
है जहां कुछ छात्र
गलती करते हैं, यह
गलती बहुत आम नहीं
है, लेकिन कुछ छात्र
यह गलती करते हैं।
अगला, वर्ग कोष्ठक
में है, हमें उस tspan,
समय अवधि (t0, tEnd) को देने
की आवश्यकता है, अगले
हमें y0, y0 देने की आवश्यकता
है, जो कि a और प्लॉट
(plot) होना चाहिए। तो,
हम इसे run करते हैं
और देखते हैं कि क्या
होता है। ठीक है, यह
नहीं चला, शायद कुछ
एरर (error) थी, अपरिभाषित
फ़ंक्शन (function) firstODEfun।
हमें वह क्यों मिला,
क्योंकि हमने अभी
तक अपने फ़ंक्शन
(function) को पहले परिभाषित
नहीं किया है? तो आइए
हम आगे बढ़ें और ऐसा
करें। फिर, देखें
कि जब आप MATLAB फ़ंक्शंस(functions
) run करते हैं, तो ode को
हल करने के लिए या
nonlinear समीकरणों को
हल करने के लिए, जो
भी हल करें, आपको एर्रर्स
(errors) का एक गुच्छा
मिलता है। और कॉलिंग
फ़ंक्शन (calling functions)
को वापस ट्रेस (trace)
करने में एर्रर्स
(errors) है। हम उस फंक्शन
(function) को बनाते हैं,
firstODEfun फ़ंक्शन (function)
dy = firstODEfun (t, y) ठीक है।
और dy कुछ भी नहीं है,
लेकिन -2 * t * y ठीक है,
यह सब वहाँ है, ठीक
है। और अगर हम इसे
save करते हैं, तो हम
इसे run करते हैं, हम
इस विशेष समस्या
को हल करने में सक्षम
होंगे। तो, चलिए हम
firstODEfun नहीं run करते
हैं, लेकिन odescript को
run करते हैं।
तो आइए हम सभी को clear
all करें और odecript को run
करें। और हम यहाँ
पर देखे गए अनुसार
समाधान प्राप्त करते
हैं और समाधान आसानी
से y = 0 पर जाता है।
वह हल उस पर हम प्राप्त
करते हैं। आइए हम
firstODEfun पर जाएं और कहीं
न कहीं एक छोटी सी
गलती हो सकती है।
तो, हम इसे t1 बनाते
हैं। यहां आप आगे
बढ़ाना चाहते हैं
कि एर्रर्स (errors) कैसे
दिखती हैं, आइए हम
ode run करते हैं और देखते
हैं कि वे कैसे दिखते
हैं। तो अपरिभाषित
फ़ंक्शन (function) या वेरिएबल
(variable) t1 एरर (error) , लाइन
नंबर (line number) 2 पर FirstODEfun
में देखी जाती है।
और देखें कि वह एरर
(error) t1 क्या अपरिभाषित
है, क्योंकि हमारा
इनपुट वेरिएबल (input
variable) v सेकंड t था। ध्यान
रखें, हमारे t और y मूल
रूप से डमी (dummy) वेरिएबल
(variable) हैं। इसलिए, इसे
t1 के रूप में बहुत
अच्छी तरह से नाम
दिया जा सकता है और
यह समस्या नहीं है।
उस मामले के लिए हमने
इसे MATLAB नाम दिया है
और यह भी एक समस्या
नहीं होगी। आइए हम
यह कहते हैं कि यह
भी एक समस्या नहीं
है। तो, हम इसे run करते
हैं, ode run करते हैं
और देखते हैं कि हमें
समाधान मिलता है
या नहीं और clear all नहीं
है। पहला ode हमने केवल
पहले आर्ग्यूमेंट
(argument) को MATLAB के रूप
में कहा है, दूसरा
आर्ग्यूमेंट (argument)
बेशक, यह बिल्कुल
कोई मतलब नहीं है।
लेकिन, मैं आपको दिखा
रहा हूं, फिर से यह
कुछ ऐसा है, जिस पर
कुछ लोगों का पेट
भर जाता है और यही
कारण है कि, मैं आपको
इस विशेष पागल उदाहरण
को दिखा रहा हूं।
हम इसे run करते हैं
और हमें ठीक उसी तरह
का समाधान मिलता
है। यह आपके लिए प्रदर्शित
होता है, इस बात के
आर्ग्यूमेंट (argument)
कि आप उन्हें क्या
कहते हैं, महत्वपूर्ण
नहीं है। इन आर्ग्यूमेंट्स
(arguments) का आर्डर (order)
बहुत महत्वपूर्ण
है। यह y होना है और
यह t होना है। आप t और
y को प्रतिस्थापित
नहीं कर सकते, आप t
और y को स्विच (switch) नहीं
कर सकते, t आर्ग्यूमेंट
(argument) को पहले आना होगा
और y आर्ग्यूमेंट
(argument) को दूसरे स्थान
पर आना होगा, आप इसे
जिस भी नाम से चाहें
कॉल (call) कर सकते हैं
और यह कोई समस्या
नहीं होगी, जैसे कि
जब तक आर्ग्यूमेंट्स
(arguments) के आर्डर (order)
को ठीक रखा जाता है।
हमें इसे save करने के
लिए और सिर्फ हमारे
लिए, हम इसे एक बार
फिर से run करेंगे और
हम देखेंगे कि हमें
एक ही समाधान ठीक
है।
तो, यह उदाहरण था,
टाइप (type) -2 (t, y) के ode को
हल करने के लिए ठीक
है। आइए हम एक और उदाहरण
लेते हैं, और यह उदाहरण
कम्प्यूटेशनल तकनीक
के व्याख्यान पाठ्यक्रम
के मॉड्यूल 7 में कम्प्यूटेशनल
तकनीकों के पाठ्यक्रम
में शामिल किया गया
था।
और यह एक प्लग फ्लो
रिएक्टर (plug flow reactor)
के साथ एकाग्रता
को खोजने के लिए है।
dc /dv -½*c के पावर (power) 1.25
तक ले जा v= 0 पर प्रारंभिक
स्थिति c 1 के बराबर
थी। इसलिए हम c को
वॉल्यूम (volume) 1, 5 और
10 के मानों को खोजने
के लिए हल करना चाहते
हैं। तो चलिए यहाँ
पर और editPFRode पर जाएँ,
प्लग फ्लो रिएक्टर
सिमुलेशन (plug flow reactor
simulation) हल करें। तो,
हमारा c0 1.0 के बराबर
था, हमारा v0 0 के बराबर
था, हमारा Vend था, हमारे
पास 1, 5 और 10 ठीक था।
और हमें और क्या चाहिए,
यह बहुत अधिक है जो
हमें चाहिए।
हमें आवश्यकता होगी,
vSol, cSol ठीक है। C डिपेंडेंट
वेरिएबल (dependent variable)
है, V इनडिपेंडेंट
वेरिएबल (independent variable)
है जो ode45 @ इनडिपेंडेंट
वेरिएबल (independent variable)
t, y के बराबर है। t इनडिपेंडेंट
वेरिएबल (independent variable)
है जो v, c pfrFun ठीक है।
इसे हम (t, y) भी कह सकते
हैं। हम इसे V, V, VSpan,
c0 के रूप में कॉल (call)
करना चाहते हैं।
ठीक है हम वापस आ जाएंगे।
यहाँ पर ode45 का उपयोग
करना ठीक है और clear
all करें और help ode45 करें।
तो, ode45 TOUT, YOUT = ode45 (ODEFUN जो
फ़ंक्शन (function) नाम
है, TSPAN, y0)। TSPAN = (t0 TFINAL)
समय t0 से tfinal तक एकीकृत
होता है।
समाधान प्राप्त करने
के लिए, विशिष्ट समय
पर t0, t1, t2 तक tfinal, सभी
बढ़ते हुए, सभी घटते
हुए ठीक है, हमारे
उद्देश्य के लिए
हम सिर्फ बढ़ते का
उपयोग करेंगे। TSPAN
= (T0, T1 से TFINAL तक की ) का
उपयोग करें ठीक है।
तो, हम जो चाहते हैं,
हम 1, 5 और 10 पर एक समाधान
चाहते हैं, इसलिए
हमारा VSpan v0, 1, 5 और 10 होने
जा रहा है, जो Vend के
अलावा कुछ नहीं है।
तो, यह हमारे VSpan ठीक
होने जा रहा है। तो
हमारे पास यह है हम
इस को save करते हैं।
और इसके बाद हमें
जो करने की आवश्यकता
है वह है कि हम pfrFun
बनाना चाहते हैं।
तो चलिए नए फंक्शन
(function) dc = pfrFun (V, C)। dc = -1/2
* c के पावर (power) 1.2 पर,
0.5 को C के पावर (power) 1.25
से गुणा करें। वह
यह है और हमें इसे
pfrFun के रूप में कॉल
(call) करने की आवश्यकता
है। तो बस चेक करें,
pfrFun V होना चाहता है
और C आर्ग्यूमेंट
(argument) का आर्डर (order)
है। और इसलिए, और vspan
v0 है जिसके बाद v के
मान हैं जिस पर हम
समाधान ठीक चाहते
हैं। तो चलिए हम इसे
run करते हैं और हमें
इसका हल मिल गया है।
तो vSol आप देखेंगे 0,
1, 5 और 10 है और cSol इन मूल्यों
पर एकाग्रता है।
हम 1.0 की एकाग्रता
से शुरू करते हैं।
एकाग्रता 0.6 से गिरती
है, जहां वॉल्यूम
(volume) 1 लीटर है और वॉल्यूम
(volume) 5 लीटर है, एकाग्रता
1.4 तक गिर गया है और
जब मात्रा 10 लीटर
है, तो एकाग्रता 0.039
हो गई है। तो, यह है
कि हम ode45 का उपयोग
कैसे करेंगे।
उसके साथ, हम व्याख्यान
7.3 के अंत में आते हैं।
इस व्याख्यान में
हमने जो कवर किया
है, वह है MATLAB ode 45 कोड
(code) का उपयोग करने
की विधि, ode इनिशियल
वैल्यू प्रोब्लेम्स
(intial value problems) को हल करने
के लिए, हमने ode45 का
उपयोग करने के लिए
दो अलग-अलग उदाहरणों
का उपयोग किया। और
दो उदाहरणों का उपयोग
करके, हमने दिखाया
कि एकल वेरिएबल (variable)
समस्या के लिए ode45
को चलाने के लिए यह
कितना सरल है। इसके
साथ, हम इस व्याख्यान
7.3 के अंत में आते हैं
और मैं आपको अगले
व्याख्यान में देखूंगा।
धन्यवाद अलविदा।